多目標(biāo)最優(yōu)的相關(guān)概念公式

多目標(biāo)優(yōu)化問題可以表述為下面的形式（遺傳多目標(biāo)優(yōu)化的研究中國地質(zhì)大學(xué)）1.多目標(biāo)優(yōu)化問題其中是帶有n個(gè)決策變量的向量，滿足m個(gè)不等式約束函數(shù)和q個(gè)等式約束函數(shù)，是p個(gè)目標(biāo)函數(shù)，尋找，使得在滿足約束（1-2）和（1-3）同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。2.Pareto最優(yōu)解我們稱是最優(yōu)解（就Pareto最優(yōu)解），若滿足： 或至少存在一個(gè)j，使：其中F是滿足式（1-4）和式（1-5）的可行解集3.個(gè)體間支配關(guān)系：設(shè)Pop為一個(gè)集合，Pop中個(gè)體數(shù)為N，其中Pop中每個(gè)個(gè)體均有r個(gè)屬性，是每個(gè)個(gè)體的評(píng)價(jià)函數(shù)（k=1,2,r）,Pop中個(gè)體間的關(guān)系定義為：支配關(guān)系：且則稱i支配j，表示為：。此時(shí)i為非支配的，j為被支配的，為支配關(guān)系。（1-6）說明：對(duì)所有子目標(biāo)i不比j差；（1-7）說明：至少存在一個(gè)子目標(biāo)使i比j好。不相關(guān)：若i和j不存在支配關(guān)系，則i和j不相關(guān)。最有邊界對(duì)于1.1.1節(jié)中定義的多目標(biāo)優(yōu)化問題，設(shè)它的Pareto最優(yōu)解集為PS，則Pareto最優(yōu)邊界定義為：最優(yōu)解是目標(biāo)函數(shù)的切點(diǎn)，它總是落在搜索區(qū)域的邊界線（面）上。如圖所示，粗線段表示二個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)邊界（ParetoFront）。三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)邊界構(gòu)成一個(gè)曲面，三個(gè)以上的最優(yōu)邊界則構(gòu)成超曲面。圖中，實(shí)心點(diǎn)A、B、C、D、E、F均處在最優(yōu)邊界上，它們都是最優(yōu)解（Paretopoints），是非支配的（non-dominated）；空心點(diǎn)G、H、I、J、K、L落在搜索區(qū)域內(nèi)，但不在最優(yōu)邊界上，不是最優(yōu)解，是被支配的（dominated），它們直接或間接受最優(yōu)邊界上的最優(yōu)解支配。非支配解的構(gòu)造方法：設(shè)種群Pop的規(guī)模大小為N,將群體Pop按照某種策略進(jìn)行分類排序?yàn)閙個(gè)子集P1，P2，,Pm，且滿足下列性質(zhì)：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③（k=1，2，，m-1）對(duì)Pop種群進(jìn)行分類排序的目的是為了將其劃分為滿足上述3個(gè)性質(zhì)的互不相交的子群體，分類排序依據(jù)個(gè)體之間的支配關(guān)系進(jìn)行。設(shè)兩個(gè)向量和，其中，記錄支配個(gè)體i的個(gè)體數(shù)，記錄被個(gè)體i支配個(gè)體的集合，既有：首先通過二重循環(huán)計(jì)算每個(gè)個(gè)體的和：對(duì)種群中的每個(gè)個(gè)體i，初始化=0,；對(duì)種群中的每個(gè)個(gè)體j,若,則將j加入到中,，若，則為若=0,則沒有個(gè)體支配i,即i是非支配個(gè)體,將其加入第一個(gè)非支配類,并更新第一個(gè)非支配類,同時(shí)將其個(gè)體的次序置為。若第m個(gè)非支配類非空時(shí),即。對(duì)于中的每個(gè)個(gè)體i,其相應(yīng)的中的每個(gè)個(gè)體j的值應(yīng)減1,即。若=0,則此時(shí)子群中沒有個(gè)體支配j,將j的次序置為，同時(shí)將j加入到第m+l個(gè)非支配類,以