振動(dòng)理論與應(yīng)用第3章-單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

返回總目錄制作與設(shè)計(jì)賈啟芬第3章單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)振動(dòng)理論與應(yīng)用TheoryofVibrationwithApplications返回首頁(yè)第3章單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)目錄TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.2周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.4響應(yīng)譜

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第3章單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.1振動(dòng)微分方程3.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論3.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系3.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系3.1.5等效粘性阻尼3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

天津大學(xué)受迫振動(dòng)激勵(lì)形式－系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。－外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。簡(jiǎn)諧激勵(lì)是最簡(jiǎn)單的激勵(lì)。一般的周期性激勵(lì)可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開成簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.4.1振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧激振力F0為激振力的幅值，w為激振力的圓頻率。以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)－全解有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程全解：齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.4.1振動(dòng)微分方程3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.4.1振動(dòng)微分方程3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

x2(t)-有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)中的特解是指不隨時(shí)間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：這表明：穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)是與激勵(lì)頻率相同的諧振動(dòng)。穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無(wú)關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵(lì)的特性。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.4.1振動(dòng)微分方程3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.4.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論則有若令返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.4.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)

<<1時(shí)，由于阻尼影響不大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可將有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)化為無(wú)阻尼系統(tǒng)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.4.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 幅頻特性與相頻特性1、

＝0

的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，，

＝0，響應(yīng)與激勵(lì)同相；對(duì)于不同的

值，曲線密集，阻尼影響不大。返回首頁(yè)2、

>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，，，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。3、

＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，

急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將

＝1，即

＝pn稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無(wú)論阻尼大小，

＝1時(shí)，總有，

＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。TheoryofVibrationwithApplications3.4.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 例題例質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為e，偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速w轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有=h返回首頁(yè)例題TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。

返回首頁(yè)例題TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 阻尼比z較小時(shí)，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me

2與

2成正比。當(dāng)

→0時(shí)，

≌0，B→0；當(dāng)

>>1時(shí)，

→1，B→b，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于。

幅頻特性曲線和相頻特性曲線返回首頁(yè)例題TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系已知簡(jiǎn)諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的響應(yīng)為現(xiàn)將各力分別用B、的旋轉(zhuǎn)矢量表示。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫成式不僅反映了各項(xiàng)力之間的相位關(guān)系，而且表示著一個(gè)力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系（a）力多邊形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞1返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果?，F(xiàn)將討論簡(jiǎn)諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系。受迫振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為周期

1.激振力在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差，激振力在一周期內(nèi)做功為，做功最多。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負(fù)功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動(dòng)在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實(shí)現(xiàn)的。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系3.彈性力做的功能量曲線表明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。

在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.5等效粘性阻尼在工程實(shí)際中，振動(dòng)系統(tǒng)存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜。為了便于振動(dòng)分析，經(jīng)常應(yīng)用能量方法將非粘性阻尼簡(jiǎn)化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。假設(shè)在簡(jiǎn)諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)做的功粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量相等等效粘性阻尼系數(shù)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.5等效粘性阻尼利用式得到在該阻尼作用下受迫振動(dòng)的振幅返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.1.5等效粘性阻尼庫(kù)侖阻尼阻尼力表示為一周期內(nèi)庫(kù)侖阻尼消耗的能量為

等效粘性阻尼系數(shù)

得到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅表達(dá)式求速度平方阻尼等效粘性阻尼系數(shù)

相等返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。先考慮在給定初始條件下無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫在一起為圖共振時(shí)的受迫振動(dòng)通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和,即返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段根據(jù)初始條件確定C1、C2。于是得到全解為其特點(diǎn)是振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率,但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵(lì)因素都有關(guān)。無(wú)激勵(lì)時(shí)的自由振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)對(duì)于存在阻尼的實(shí)際系統(tǒng),自由振動(dòng)和自由伴隨振動(dòng)的振幅都將隨時(shí)間逐漸衰減,因此它們都是瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生自由振動(dòng),稱為自由伴隨振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段共振時(shí)的情況假設(shè)初始條件為由共振的定義,時(shí)上式是型,利用洛必達(dá)法則算出共振時(shí)的響應(yīng)為

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段可見,當(dāng)時(shí),無(wú)阻尼系統(tǒng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限增大.經(jīng)過(guò)短暫時(shí)間后,共振響應(yīng)可以表示為過(guò)渡階段的響應(yīng)

此即共振時(shí)的受迫振動(dòng).反映出共振時(shí)的位移在相位上比激振力滯后,且振幅與時(shí)間成正比地增大

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段有阻尼系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng).在給定初始條件下的運(yùn)動(dòng)微分方程為

全解為式中返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段如果初始位移與初始速度都為零，則成為可見過(guò)渡階段的響應(yīng)仍含有自由伴隨振動(dòng)。

在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)由三部分組成無(wú)激勵(lì)時(shí)自由振動(dòng)的初始條件響應(yīng)，其振幅與激勵(lì)無(wú)關(guān)。伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生的自由振動(dòng)－自由伴隨振動(dòng)，其振幅不僅與系統(tǒng)特性有關(guān)，而且與激勵(lì)有關(guān)。以激勵(lì)頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅不隨時(shí)間衰減－穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。第一部分和第二部分振動(dòng)的頻率都是自由振動(dòng)頻率pd；由于阻尼的作用，這兩部分的振幅都時(shí)間而衰減。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段若系統(tǒng)無(wú)阻尼，即使在零初始條件下，也存在自由伴隨振動(dòng)項(xiàng)，并且由于無(wú)阻尼，因而振動(dòng)不會(huì)隨時(shí)間衰減。因此，無(wú)阻尼系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)產(chǎn)生的受迫振動(dòng)，一般總是pn和

兩個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.1簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第3章單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)3.2周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications

3.2周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

先對(duì)周期激勵(lì)作諧波分析，將它分解為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)。然后，求出系統(tǒng)對(duì)各個(gè)頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)。再由線性系統(tǒng)的疊加原理，將每個(gè)響應(yīng)分別疊加，即得到系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)。設(shè)粘性阻尼系統(tǒng)受到周期激振力諧波分析方法，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為周期基頻返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications

3.2周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

由疊加原理，并考慮欠阻尼情況，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications

3.2周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

例3-3彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到周期性矩形波的激勵(lì)。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(其中)解：周期性矩形波的基頻為矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)將矩形波分解為固有頻率

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3.2周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)

可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將矩形波分解為從頻譜圖中看，系統(tǒng)只對(duì)激勵(lì)所包含的諧波分量有響應(yīng)。對(duì)于頻率靠近系統(tǒng)固有頻率的那些諧波分量，系統(tǒng)響應(yīng)的振幅放大因子比較大，在整個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中占主要成分。

畫出系統(tǒng)的響應(yīng)頻譜圖奇數(shù)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第3章單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 3.3.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)3.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)3.3.3單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的時(shí)-頻變換3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)3.3.5傳遞函數(shù)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)物塊受到?jīng)_量的作用時(shí)，物塊的位移可忽略不計(jì)。但物塊的速度卻變化明顯。根據(jù)力學(xué)中的碰撞理論，可得物塊受沖量作用獲得的速度設(shè)沖量的大小為作用在單自由度系統(tǒng)中，求響應(yīng)。對(duì)作用時(shí)間短、變化急劇的力常用它的沖量進(jìn)行描述。1.用沖量描述瞬態(tài)作用返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)如果取為沖量作用的瞬時(shí)等價(jià)于對(duì)初始條件的響應(yīng)初位移初速度得到單自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)如果作用在的時(shí)刻，未加沖量前，系統(tǒng)靜止，則物塊的響應(yīng)為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.1系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng)同理，如果在t=0時(shí)，沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)欠阻尼的情形，得其響應(yīng)如果作用在的時(shí)刻，則物塊的響應(yīng)為用

(t)函數(shù)表示作用在極短時(shí)間內(nèi)沖擊力返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)表明只在近旁極其短暫的時(shí)間內(nèi)起作用，其數(shù)值為無(wú)限大。但它對(duì)時(shí)間積分是有限數(shù)1。函數(shù)的定義是從積分式可見，如果時(shí)間以秒計(jì)，

(t)函數(shù)的單位是1/s。用單位脈沖(unitimpulse)函數(shù)

(t)表示沖擊力沖量表示施加沖量的瞬時(shí)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)如果在t=0的瞬時(shí)施加沖量，則相應(yīng)的沖擊力當(dāng)，即施加單位沖量時(shí)，沖擊力為F是沖擊力,

(t)函數(shù)又稱單位脈沖函數(shù)，就是由此而得名。單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為單位脈沖力作用等價(jià)于沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)欠阻尼的情形，根據(jù)初始條件可確定A和

。最后得其響應(yīng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)為了應(yīng)用方便，單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)用h(t)表示。得單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)有粘性阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)稱為單自由度系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)函數(shù)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)h(t)有以下特性不難發(fā)現(xiàn)h(t)的表達(dá)式包含系統(tǒng)的所有的動(dòng)特性參數(shù)，它實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)動(dòng)特性在時(shí)域的一種表現(xiàn)形式。h(t)是單位脈沖沖量的響應(yīng)，其量綱為[位移/沖量]。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.3單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的時(shí)-頻變換h(t)的傅里葉變換用H(

)來(lái)表示，稱之為頻域響應(yīng)函數(shù)，它是系統(tǒng)的動(dòng)特性在頻域的表現(xiàn)形式。運(yùn)用歐拉公式得返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程將激振力看作是一系列元沖量的疊加元沖量為得到系統(tǒng)的響應(yīng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)各個(gè)元沖量的總和，即得到系統(tǒng)的響應(yīng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)上式的積分形式稱為卷積。因此，線性系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于它脈沖響應(yīng)與激勵(lì)的卷積。這個(gè)結(jié)論稱為博雷爾(Borel)定理，也稱杜哈梅(Duhamel)積分。對(duì)無(wú)阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，得到任意激振力的響應(yīng)用單位脈沖函數(shù)響應(yīng)表示，得到單自由度系統(tǒng)對(duì)任意激振力響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)系統(tǒng)有初始位移和初始速度，則系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)為對(duì)于無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為t＞t1即激振力停止作用后，物塊的運(yùn)動(dòng)稱為剩余運(yùn)動(dòng)。以為初始條件的運(yùn)動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)例3-4無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受到突加常力F0的作用，試求其響應(yīng)。積分后得響應(yīng)為代入在突加的常力作用下，物塊的運(yùn)動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，只是其振動(dòng)中心沿力F0的方向移動(dòng)一距離解：取開始加力的瞬時(shí)為t=0，受階躍函數(shù)載荷的圖形如圖所示。設(shè)物塊處于平衡位置，且。也是彈簧產(chǎn)生的靜變形。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)若階躍力從t=a開始作用，則系統(tǒng)的響應(yīng)為t＜a返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)解：在階段，系統(tǒng)的響應(yīng)顯然與上例的相同，即例3-5無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到矩形脈沖力作用，試求其響應(yīng)。當(dāng)t＞t1時(shí)，F(xiàn)(t)=0，得返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為t＞t1實(shí)際上，在t＞t1階段，物塊是以t=t1的位移x1和速度為初始條件作自由振動(dòng)。因此，其響應(yīng)也可用下面的方法求得。

將初始條件3.3.4系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.5傳遞函數(shù)作為研究線性振動(dòng)系統(tǒng)的工具，拉普拉斯(簡(jiǎn)稱拉氏)變換方法有廣泛的用途。它是求解線性微分方程，特別是常系數(shù)的線性微分方程的有效工具。用拉氏變換可簡(jiǎn)單地寫出激勵(lì)與響應(yīng)間的代數(shù)關(guān)系?，F(xiàn)在說(shuō)明如何用拉氏變換方法求解單自由度具有粘性欠阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)。由物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程其中f(t)表示任意的激振力。并設(shè)t=0時(shí)，對(duì)式兩端各項(xiàng)作拉氏變換返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.5傳遞函數(shù)對(duì)式兩端各項(xiàng)作拉氏變換經(jīng)整理得是系統(tǒng)的響應(yīng)在拉氏域中的表達(dá)式

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)3.3.5傳遞函數(shù)如不計(jì)運(yùn)動(dòng)的初始條件，即令，則寫成傳遞函數(shù)

在拉氏域中，系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和激勵(lì)的乘積。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications例3-6具有粘性欠阻尼的系統(tǒng)，受到階躍力F(t)=F0的作用，且t=0時(shí)，，試用拉氏變換方法求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由式求出階躍力的拉氏變換為響應(yīng)的拉氏變換為引入記號(hào)上式寫成例題3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications其中系數(shù)可由部分分式方法確定最后得到對(duì)上式作拉氏逆變換，即得響應(yīng)例題3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)例題返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)系統(tǒng)基礎(chǔ)有階躍加速度，初始條件為，求質(zhì)量m的相對(duì)位移。

解：由牛頓定律，可得系統(tǒng)的微分方程為

系統(tǒng)的激振力為

可得響應(yīng)為

其中例題返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)解：由上題可得系統(tǒng)的微分方程為基礎(chǔ)有階躍位移系統(tǒng)的激振力為可得響應(yīng)為上題中，若基礎(chǔ)有階躍位移，求零初始條件下的絕對(duì)位移。例題