第2章 軸對(duì)稱圖形 小結(jié)與思考 蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課件

第2章

軸對(duì)稱圖形小結(jié)與思考

1.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)：軸對(duì)稱軸的對(duì)性稱質(zhì)軸對(duì)性稱質(zhì)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分軸對(duì)性稱質(zhì)線段角等腰三角形等邊三角形線段線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上角角平分線所在直線是它的對(duì)稱軸角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的離相等角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上等腰三角形頂角平分線所在直線是它的對(duì)稱軸等腰三角形的兩底角相等。等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等邊三角形角平分線所在直線它的對(duì)稱軸等邊三角形的各角都等于60°三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形2.說(shuō)說(shuō)軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系.3.“等腰三角形的兩底角相等”揭示了等腰三角形具有的一個(gè)性質(zhì)，稱為等腰三角形的性質(zhì)定理；“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”揭示了具備什么條件的三角形是等腰三角形，稱為等腰三角形的判定定理.這兩個(gè)定理是互逆定理.你能在學(xué)過(guò)的定理中，再說(shuō)出一對(duì)互逆定理，并指出其中哪一個(gè)是性質(zhì)定理，哪一個(gè)是判定定理嗎?4.在本章學(xué)習(xí)中，通過(guò)圖形的翻折，探索并證實(shí)了線段的垂直平分線、角平分線、等腰三角形的性質(zhì).運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法，也可以研究圖形的性質(zhì).5.本章例題中的“思考與表述”，體現(xiàn)了“由未知想須知”的思路，這是我們探索解決問(wèn)題途徑常用的一種思考方法.復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)鞏固1.下列圖形是不是軸對(duì)稱圖形?如果是，畫(huà)出它的對(duì)稱軸.解：圖③不是軸對(duì)稱圖形，圖①②④是軸對(duì)稱圖形，畫(huà)對(duì)稱軸略.2.請(qǐng)查找一些國(guó)家的國(guó)旗圖案，并指出其中哪些是軸對(duì)

稱圖形?試分別找出它們的對(duì)稱軸.略3.(1)圖①是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是，它有幾條對(duì)稱軸?

如果不是可以怎樣把它補(bǔ)成軸對(duì)稱圖形?①解：圖①不是軸對(duì)稱圖形，只要把拐角處“斷開(kāi)”部分連接起來(lái)，即可補(bǔ)成軸對(duì)稱圖形，如圖所示.(2)圖②由5張全等的正方形紙片組成，只移動(dòng)其中1張

紙片，你能使它變成軸對(duì)稱圖形嗎?②能，如圖所示.(答案不唯一)4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，AC

的垂直平

分線分別交AC、AD、AB

于

點(diǎn)E、F、G.點(diǎn)F到△ABC的邊__________的距離相等，點(diǎn)F

到△ABC的頂點(diǎn)___________

的距離相等.AB，ACA，B，C5.(1)在等腰三角形ABC中，∠A＝80°.若∠A是頂角，則∠B＝_________°；若∠B是頂角，則∠B＝_________°；若∠C是頂角，則∠B＝_________°.502080(2)等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為8cm，AB＝3cm.

若AB是底邊，則BC＝________

cm；若_________，則BC

＝________cm；

若_________，則BC＝________cm.2.5BC是底邊2AC是底邊36.在如圖的網(wǎng)格中：(1)畫(huà)△A1B1C1，使它與△ABC

關(guān)于l1對(duì)稱；(2)畫(huà)△A2B2C2，使它與△A1B1C1關(guān)于l2對(duì)稱；(3)畫(huà)△A3B3C3，使它與△A2B2C2關(guān)于l3對(duì)稱；(4)畫(huà)出△A3B3C3與△ABC的對(duì)稱軸.解：(1)(2)(3)畫(huà)圖如圖所示；(4)如圖中經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，A1，的直線l4

為△A3B3C3與△ABC的對(duì)稱軸.7.根據(jù)下列已知條件，分別指出各個(gè)圖形中的等腰三

角形，并加以證明，(1)如圖①，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC

上，且DE∥AB；解：△BED是等腰三角形.證明如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD.∴∠CBD＝∠BDE，∴EB＝ED(等角對(duì)等邊)，∴△BED

是等腰三角形.(2)如圖②，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在BA的

延長(zhǎng)線上，且EC//AD；解：△ACE

是等腰三角形.證明如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD

＝∠CAD.∵EC∥AD，∴∠BAD

＝∠E，

∠CAD

＝∠ACE.∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE(等角對(duì)等邊)，∴△ACE

是等腰三角形.(3)如圖③，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在BD

上，點(diǎn)G在CA

的延長(zhǎng)線上，

且GE∥AD，GE交AB

于點(diǎn)F.解：△AGF是等腰三角形.證明如下：∵AD

平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵GE∥AD，∴∠G＝∠CAD，∠AFG＝∠BAD.∴∠G＝∠AFG，∴AG＝AF(等角對(duì)等邊)，∴△AGF

為等腰三角形.8.已知：如圖，在△ABC

中，∠ABC、∠ACB的平分線

相交于點(diǎn)O，MN

過(guò)點(diǎn)O，且MN∥BC，分別

交AB、AC

于點(diǎn)M、N.求證：MN＝BM＋CN.證明：∵BO平分∠ABC，∴∠MBO＝∠CBO.∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠CBO.∴∠MBO＝∠MOB，∴BM＝MO(等角對(duì)等邊).同理CN＝NO.∴MN＝MO＋NO＝BM＋CN.靈活運(yùn)用9.如圖，點(diǎn)D、E

在BC

上，且AB＝AC，AD＝AE.圖中

還有哪些相等的線段?試用不同的方法證明你的結(jié)論。解：BD＝CE，BE＝CD.方法一：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED.又∵∠ADE＝∠B＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC.在△ABD和△ACE中，

AB＝AC，∵∠BAE＝∠CAD，

AE＝AD.∴△BAE≌△CAD(SAS).∴BE＝CD.∴BE－DE＝CD－DE.即BD＝CE.10.已知：如圖，∠ABC

＝∠ADC＝90°，M、N分別

是AC、BD的中點(diǎn).求證：MN⊥BD.證明：如圖，連接BM，DM.11.(1)野營(yíng)活動(dòng)中，小明用一塊等腰三角形的鐵皮代替

鍋，烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅，烙好一

面后把餅翻身，這塊餅仍能正好落在“鍋”中，

這是為什么?解：因?yàn)槔拥娘炁c“鍋(鐵皮)”是全等的等腰三角形，而等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，所以把餅翻身后會(huì)正好落在“鍋”中.(2)小麗用如圖①的直角三角形鐵皮，烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅，如果烙好一面后就把餅翻身，那么這塊餅不能正好落在“鍋”中.小麗將餅切了一刀，然后將兩小塊都翻身，結(jié)果餅就能正好落在“鍋”中.小麗怎樣切的?為什么?解：小麗將其沿直角三角形斜邊中線分開(kāi)為兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形都是等腰三角形，如圖所示的△ACD與△BCD，因此由(1)知“翻身后能與原圖形重合，故還是能正好落在“鍋”中.(3)如果用來(lái)烙餅的鐵皮既不是等腰三角形也不是直角三角形(如圖②)，那么烙好一面后，怎樣將烙餅翻身，才能使烙餅仍能正好落在“鍋”中?解：如圖所示，作△ABC

的高AD，把△ABC

分成兩個(gè)直角三角形，根據(jù)(2)中的方法，再作邊AB，AC

的中線DE，DF.因此，共切3刀：AD，DE，DF，或者只切2刀，即只要找出圖中的D點(diǎn)所在的位置，只需切DE，DF，圖中四邊形AEDF

是軸對(duì)稱圖形，“翻身”后仍能與原來(lái)重合.12.在一個(gè)三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎?證明你的結(jié)論.

13，如圖，AB＝AC＝AD.(1)如果AD∥BC，那么∠C和∠D有

怎樣的數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論；解：∠C＝2∠D.證明如下：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠D.∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝2∠D.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∴∠C＝2∠D.(2)如果∠C＝2∠D，那么你能得到

什么結(jié)論?證明你的結(jié)論解：AD∥BC.證明如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2∠D.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠D.∵∠ABC＝2∠D.∴∠CBD＝∠D.∴AD∥BC.探索研究14.(1)如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

點(diǎn)D在BC

上且BD＝BA，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，

且CE＝CA，求∠DAE的度數(shù)；

(2)如果把第(1)題中“AB＝AC”的條件舍去，其余條件

不變，那么∠DAE的度數(shù)會(huì)改變嗎?解：∠DAE

的度數(shù)不會(huì)改變.如圖所示.∵BD＝BA，∠BAC＝90°，∴∠4＝∠BAD＝90°－∠1.∵CA＝CE，∴∠2＝∠E.又∵∠4＝∠1＋∠3，

∠3＝∠2＋∠E，∴∠3＝2∠2，∴∠4＝90°－∠1＝∠1＋2∠2，∴2∠1＋2∠2＝90°，∴2(∠1＋∠2)＝90°，∴∠1＋∠2＝45°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE的度數(shù)不會(huì)改變.(3)如果把第(1)題中“∠BAC＝90°”的條件改為

“∠BAC＝90°”，其余條件不變，那么∠DAE

與∠BAC

有怎樣的數(shù)量關(guān)系?解：∠BAC

的度數(shù)是∠DAE度數(shù)的2倍.如圖所示∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠4，∴∠BAC＝∠BAD＋∠1＝∠4＋∠1.又∵∠4＝∠1＋∠3，CA＝CE，∴∠2＝∠E，∴∠3＝2∠2，∴∠BAC＝∠1＋∠4

＝∠1＋∠1＋2∠2

＝2(∠1＋∠2).又∵∠DAE＝∠1＋∠2.∴∠BAC＝2∠DAE.∴∠BAC的度數(shù)是∠DAE

度數(shù)的2倍.15.我們知道：如果點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線l上，那

么PA＝PB；如果PA＝PB，那么點(diǎn)P在線段AB

的垂直

平分線l上；如果點(diǎn)P不在線段AB

的垂直平分線l上，