第7章 平面圖形的認識(二)-等面積法求最小值模型專項練習 蘇科版七年級數(shù)學下冊基礎知識講與練(含答案)

專題7.11等面積法求最小值模型（專項練習）一、單選題1．如圖，，P為直線上一動點，連接，若，則線段的最小值是（

）A．2 B．2.4 C．2.5 D．32．如圖，點A是直線m外一定點，點B，C是直線m上的兩定點，點P是直線m上一動點，已知AB=6cm，BC=10cm，當動點P移動到點C處時，PA恰好垂直于AB，且此時PA=8cm，則當動點P在直線m上移動時，線段PA的最小值是（

）A． B． C． D．3．如圖所示，AC⊥BC,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm，點P是線段AC上的一個動點，則線段BP長度的最小值為(

)A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動點，連接AB、AC、BC，AC與交于點D，，則BD的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P為直線AB上一動點，連PC，則線段PC的最小值是(

)．A．6 B．2.4 C．8 D．4.86．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為直線AB上一動點，連接PC，則線段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2二、填空題7．如圖，在直角三角形中．點為邊上一動點，連接，則的最小值是_____．8．如圖所示，在中，，點為邊的中點，點為上的動點，連接、，若，則的最小值為__________．9．如圖，中，，，，．點是線段上的一個動點，則的最小值為______．10．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，點P為直線AB上的一動點，連接PC，則線段PC的最小值是______________11．如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為直線AB上一動點，連PC，則線段PC的最小值是_____．12．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P為直線AB上一動點，連PC，則線段PC的最小值是______．13．如圖，直線，且a、b之間相距，點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，則在Q點的運動過程中，線段的最小值是____________．14．如圖,在銳角△ABC中,AD平分∠BAC交BC于點D，點M，N分別是AD和AB上的動點，當S?ABC=6,AC=4時,BM+MN的最小值等于_______．15．如圖，點、點是直線上兩點，，點在直線外，，，，若點為直線上一動點，連接，則線段的最小值是______．16．如圖，△ABC中，AC⊥BC，D為BC邊上的任意一點，連接AD，E為線段AD上的一個動點，過點E作EF⊥AB，垂足為F點．如果BC=5，AC=12，AB=13，則CE+EF的最小值為______．17．如圖，點A、點B是直線l上兩點，AB＝10，點M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點P為直線l上一動點，連接MP，則線段MP的最小值是____．三、解答題18．如圖，點A表示小雨家，點B表示小櫻家，點C表示小麗家，她們三家恰好組成一個直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．（1）試說出小雨家到街道BC的距離以及小櫻家到街道AC的距離．（2）畫出表示小麗家到街道AB距離的線段．19．如圖.（1）試說出點A到直線BC的距離；點B到直線AC的距離；（2）點C到直線AB的距離是多少？20．已知A，B，C三點如圖所示，畫直線，線段，射線，過點C畫的垂線段；若線段，，，，利用三角形面積公式可以得到C點到的距離是_________．21．如圖，在三角形中，．過點畫的垂線，交于點；在（1）的條件下，點到直線的距離是線段______的長度；在（1）的條件下，比較與的大小，并說明理由．22．如圖，∠l=∠C，∠2+∠D=90°，BE⊥FD，垂足為G．（1）證明：AB//CD．（2）已知CF=3，F(xiàn)D=4，CD=5，點P是線段CD上的動點，連接FP，求FP的最小值．

參考答案1．B【分析】根據(jù)三角形的面積公式、垂線段最短解答即可．解：根據(jù)垂線段最短可知，當CP⊥AB時，線段PC的值最小，則3×45×CP，解得：CP＝2.4，故選：B．【點撥】本題考查的是三角形的面積計算、垂線段最短，掌握三角形的面積公式是解題的關鍵．2．C【分析】連接AC，過A點作AH⊥BC于H，如圖，利用面積法求出AH=4.8cm，然后根據(jù)垂線段最短解決問題．解：連接AC，過A點作AH⊥BC于H，如圖，∵AC⊥AB，AH⊥BC，∴AH?BC=AC?AB，∴AH==4.8（cm），∴當點P運動到H點時，線段PA的值最小，最小值為4.8cm．故選：C．【點撥】本題考查了垂線段最短的問題．掌握利用面積法求高的方法是解題的關鍵．3．C【分析】根據(jù)“垂線段最短”解答．解：因為AC⊥BC，點P是線段AC上的一個動點，所以當線段BP的長度取最小值時，點P與點C重合，此時BP＝BC＝4cm．故選C．【點撥】本題考查了垂線段最短，實際上是求點B到直線AC的最短距離，屬于基礎題．4．A【分析】求BD的最小值可以轉化為求點B到直線AC的距離，當BD⊥AC時，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．解：由題意可知當BD⊥AC時，BD有最小值，此時，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值為2．故選：A．【點撥】本題考查平行線的性質，需結合圖形，根據(jù)平行線的性質推出相關角的關系從而進行求解．5．D【分析】根據(jù)垂線段最短的性質可知當PC⊥AB時，PC的值最小，利用三角形的面積進行求解即可.解：如圖，當PC⊥AB時，PC的值最小，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∴AC?BC=AB?PC，即×6×8=×10PC，∴PC=4.8，故選D.【點撥】本題考查了垂線段最短，解題的關鍵是會利用面積法求三角形的高.6．C【分析】當PC⊥AB時，PC的值最小，利用面積法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵當PC⊥AB時，PC的值最小，此時：△ABC的面積＝?AB?PC＝?AC?BC，∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故選：C．【點撥】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關鍵是學會利用面積法求高．7．【分析】根據(jù)垂線段最短可得，當AP⊥BC時，AP值最小，所以根據(jù)直角三角形面積公式，即可求解．解：當AP⊥BC時，如圖，此時AP值最小，∵，，，BC=5，AP⊥BC，∴，∴∴AP=，故答案為：．【點撥】本題考查垂線段最短，三角形面積，掌握垂線段最短是解題的關鍵．8．【分析】當BE⊥AC是，BE的值最小，根據(jù)等面積法即可求解．解：當BE⊥AC是，BE的值最小，此時∴∴故答案為：．【點撥】本題考查點到直線的距離垂線段最小、等面積法，靈活運用等面積法是解題的關鍵．9．【分析】當CP⊥AB時，CP的值最小，利用面積法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AB=13，當CP⊥AB時，CP的值最小，此時：△ABC的面積=?AB?CP=?AC?BC，∴13CP=5×12，∴PC=，故答案為：．【點撥】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關鍵是學會利用面積法求高．10．12【分析】作CP⊥AB于P，根據(jù)垂線段最短可知此線段PC就是最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出PC即可．解：作CP⊥AB于P，如圖：由垂線段最短可知，此時PC最小，S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×15×20＝×25×PC，解得，PC＝12，故答案為：12．【點撥】本題考查的是三角形的面積公式、垂線段最短．解題的關鍵是熟知垂線段最短的性質．11．【分析】當PC⊥AB時，PC的值最小，根據(jù)三角形的面積法求解即可；解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，AB=5，∵當PC⊥AB時，PC的值最小，此時：?AB?PC=?AC?BC，∴PC=，故答案為．【點撥】本題考查了垂線段最短和三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會理由面積法求高，屬于中考常考題型．12．【分析】當PC⊥AB時，PC的值最小，利用面積法求解即可；解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB，∵當PC⊥AB時，PC的值最小，此時：?AB?PC=?AC?BC，∴PC=，故答案為．【點撥】本題考查垂線段最短，解題的關鍵是學會利用面積法求高，屬于中考?？碱}型．13．4【分析】通過平行線之間垂線段最短的理論可知PQ垂直于兩條直線時，PQ的值最小，再根據(jù)a、b之間距離求出PQ即可．解：當時，根據(jù)垂線段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之間的距離為4cm，的最小值是4cm，故答案為：4．【點撥】本題考查了平行線之間的距離的定義，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關鍵．14．3.【分析】作N關于AD的對稱點為R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據(jù)垂線段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值．解：作N關于AD的對稱點為R，作AC邊上的高BE（E在AC上），∵AD平分∠CAB，△ABC為銳角三角形，∴R必在AC上，∵N關于AD的對稱點為R，∴MR=MN，∴BM+MN=BM+MR，即BM+MN=BR≥BE（垂線段最短），∵S?ABC=6,AC=4，∴×4×BE=6，∴BE=3，即BM+MN的最小值為3．故答案為3．【點撥】本題考查軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質，關鍵是根據(jù)角平分線的性質定理及垂線段最短，得三角形的高線BE即是最短路徑．15．4.8【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當時，有最小值，再利用三角形的面積可列式計算求解的最小值．解：當時，有最小值，，，，，，即，解得．故答案為：．【點撥】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到最小時的點位置是解題的關鍵．16．##【分析】過C作CF⊥AB于F，交AD于E．則CE+EF的最小值為CF，利用三角形等面積法求出CF，即為CE+EF的最小值．解：過C作CF⊥AB于F，交AD于E，則CE+EF的最小值為CF．∵BC=5，AC=12，AB=13，∴AB?CF=BC?AC，∴CF=，即CE+EF的最小值為：，故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確運用三角形等面積法是解題的關鍵．17．4.8【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當MP⊥AB時，MP有最小值，利用三角形的面積可列式計算求解MP的最小值．解：當MP⊥AB時，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB?MP＝AM?BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案為：4.8．【點撥】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時的P點位置是解題的關鍵．18．（1）小雨家到街道BC的距離為：900m，小櫻家到街道AC的距離為：1200m；（2）CD即為小麗家到街道AB距離試題分析：（1）利用點到直線的距離定義分別得出答案；（2）過點C作CD⊥AB進而得出答案．解：（1）∵AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，∴AC⊥BC，∴小雨家到街道BC的距離為：900m，小櫻家到街道AC的距離為：1200m；（2）如圖所示：CD即為小麗家到街道AB距離．點睛：此題主要考查了點到直線的距離定義，正確把握定義是解題關鍵．19．（1）點A到直線BC的距離、點B到直線AC的距離分別是9，12；（2）【分析】根據(jù)點到直線的距離即為垂線段的距離，求解即可.解：（1）∵，∴點A到直線BC的距離、點B到直線AC的距離分別是9，12.（2）設點C到直線AB的距離為h，的面積為，∴，∴.∴點C到直線AB的距離為.【點撥】此題主要考查對垂線段的理解，熟練掌握，即可解題.20．(1)作圖見分析 (2)【分析】（1）過畫直線連接以為端點畫射線再利用三角尺過作垂足為從而可得答案；（2）先求解的面積為6，再利用再解方程即可得到答案.（1）解：如圖，直線線段射線垂線段即為所求作的直線，線段，射線，垂線段.（2）解：解得：所以C點到的距離是故答案為：【點撥】本題考查的是畫直線，線段，射線，垂線段，以及點到直線的距離的含義，掌握“簡單幾何圖形的作圖及利用等面積法求解點到直線的距離”是解本題的關鍵.21．(1)見分析 (2)AH (3)AB>AH【分析】（1）根據(jù)垂線的做法，過C點往AB作垂線即可；（2）根據(jù)點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，可知點到直線的距離是線段AH的長度；（3）根據(jù)垂線段最短，進行判定即可．（1）解：如圖所示（2）∵，∴點到直線的距離是線段AH的長度，故答案為：AH；（3）AB>AH，理由如下：∵∴AB>BC，∵，∴∴BC>CH，∴AB>AH．【點撥】本題主要考查的是垂線段的畫法以及性質，直角三角形的性質，需要熟練掌握垂線的