專題28中點弦及點差法的8種常見考法歸類

專題28中點弦及點差法的8種常見考法歸類1、橢圓與雙曲線的中點弦與點差法（1）根與系數(shù)關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決；（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標為，則的斜率為，運用點差法求的斜率，設，；、都在橢圓上，兩式相減得：，即，故（2）弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：.（3）雙曲線的用點差法同理，可得(焦點在軸上）2、拋物線的中點弦與點差法點差法在圓錐曲線中的理論考點一中點弦所在直線的斜率與方程考點二由弦中點求弦長考點三求圓錐曲線的方程問題考點四求圓錐曲線的離心率問題考點五弦中點的坐標問題考點六求弦中點的軌跡方程問題考點七曲線上兩點關于直線對稱問題考點八弦中點存在性問題考點一中點弦所在直線的斜率與方程1．（2023上·貴州黔東南·高三天柱民族中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點，則以為中點的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．4 D．4【答案】A【分析】設出交點代入橢圓方程，相減化簡得到答案.【詳解】設弦與橢圓交于，，斜率為，則，，相減得到，即，解得.故選：A.2．（2023上·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的焦點到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點，若線段的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用題目條件求出雙曲線的標準方程，然后利用點差法即可求出直線的斜率.【詳解】因為雙曲線的標準方程為，所以它的一個焦點為，一條漸近線方程為，所以焦點到漸近線的距離，化簡得，解得，所以雙曲線的標準方程為，設，所以①，②，①②得，，化簡得③，因為線段的中點為，所以，代入③，整理得，顯然，所以直線的斜率.故選：B3．（2023上·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點引一條恰好被點平分的弦，則這條弦所在直線的方程是【答案】【分析】分別設出弦的兩個端點坐標，代入橢圓方程，作差求得弦所在直線的斜率，再由直線方程的點斜式得答案．【詳解】橢圓即，設弦的兩端點分別為,，,，則，則，，兩式作差可得：，．直線過點，這條弦所在直線的方程是，即．故答案為：．4．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）設A，B為雙曲線上的兩點，若線段AB的中點為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關系進行求解判斷即可.【詳解】設，則有，兩式相減，得，因為線段AB的中點為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因為，所以線段AB存在，故選：C5．（2023上·寧夏·高二六盤山高級中學?？计谥校┮阎獮閽佄锞€上的兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，則直線AB的斜率為.【答案】/0.5【分析】設出點的坐標并代入拋物線的方程，即可求出直線AB的斜率.【詳解】由題意，為拋物線上的兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，設，線段AB中點為，∴，，∴即∴直線AB的斜率為：故答案為：6．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓，過點的直線與交于兩點，且為的中點，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，代入橢圓方程相減得直線斜率，從而得直線方程．【詳解】，在橢圓內(nèi)部，易得直線的斜率存在，設的斜率為，由題意得，兩式相減得，則，得.故的方程為，即.故選：C．7．（2023上·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為.【答案】【分析】設出，的坐標，代入拋物線方程，利用作差法，結(jié)合中點坐標公式代入先求出直線的斜率，再利用點斜式方程即可得到結(jié)論.【詳解】設，，由題意，因為，在拋物線上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點為，，，所以直線的方程為，化簡得.故答案為：.8．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學校考期中）已知直線與雙曲線交于、兩點，若弦的中點為，則直線的方程為.【答案】【分析】利用點差法可求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則的中點在軸上，不合乎題意，設點、，因為若弦的中點為，則，因為，可得，即，所以，，因此，直線的方程為，即.聯(lián)立可得，，所以，直線與雙曲線有兩個交點，合乎題意，因此，直線的方程為，故答案為：.9．（2023上·湖北·高二隨州市曾都區(qū)第一中學校聯(lián)考期中）已知直線與橢圓在第一象限交于兩點，與軸、軸分別交于，兩點，且，，則的方程為．【答案】【分析】設，線段的中點為，利用點差法可得，設直線的方程為，得到的坐標，可得，進而可得，再利用求出，則可得到的方程.【詳解】設，線段的中點為，由，相減可得，則，設直線的方程為，，，解得，，，化為，，得，的方程為，即.故答案為：.10．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中學?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是3．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，該直線方程為【分析】（1）設橢圓上一點，，表達出，得到，結(jié)合離心率得到，求出橢圓方程；（2）根據(jù)點差法求出斜率，再根據(jù)點斜式可求出結(jié)果．【詳解】（1）由題意得，設橢圓右焦點坐標為，設橢圓上一點，，則，故，，因為，所以，，故，故橢圓上的點到又焦點的最小距離是，所以，聯(lián)立與，解得，故，故橢圓的方程為．（2）假設存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，設，，則，兩式相減得，得，即，直線方程為，即．所以存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，且該直線方程為．11．（2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學考試）已知橢圓的離心率為，是上一點．(1)求的方程；(2)設，是上兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式、以及點在橢圓上列式，求出與可得橢圓的方程；（2）根據(jù)點差法求出直線的斜率，再根據(jù)點斜式求出方程即可.【詳解】（1）由題可知，解得，，，故的方程為．（2）設，，則則，即．因為線段的中點坐標為，所以，，則．故直線的方程為，即．12．（2023上·四川資陽·高二四川省資陽中學?？计谥校┻^點作斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點差法即可求得關系，進而求得的值.【詳解】設，則，兩式相減得又，，則，則，.故選：A13．（2023下·四川巴中·高三?？计谀┤糁本€y=kx+1與雙曲線交于A?B兩點，且線段AB的中點橫坐標為1，則實數(shù)k=．【答案】/【分析】聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線的方程，得到韋達定理，根據(jù)中點坐標即可求解.【詳解】聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線可得，即，∵，直線y=kx+1與雙曲線交于A?B兩點，∴x1+x2=2，，∴，∴k且∵線段AB的中點橫坐標為1，∴x1+x2=2，∴，∴，∴k，∵，∴k，故答案為：．14．（2023下·安徽安慶·高二安徽省宿松中學?？奸_學考試）已知雙曲線與直線相交于A、B兩點，弦AB的中點M的橫坐標為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，利用點差法結(jié)合中點坐標可得，從而可求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】設，，則，由點差法得．∵，∴，，∴，又，∴，∴漸近線方程為.故選：A．考點二由弦中點求弦長15．（2023上·河北·高二校聯(lián)考期中）已知P是圓C：上一動點，過P作x軸的垂線，垂足為Q，點M滿足，記點M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若A，B是E上兩點，且線段AB的中點坐標為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，利用，得出的坐標，在利用P在圓C：上，即可求出M的軌跡方程.（2）利用點差法求出直線AB，再聯(lián)立直線和橢圓方程，利用弦長公式即可求解.【詳解】（1）設，則，因為，則，因為P在圓C上，所以，故E的方程為．（2）設，，若A，B是E上兩點，則，兩式相減得，即．因為線段AB的中點坐標為，所以，所以，則直線AB的方程為．聯(lián)立方程組，整理得，其中，則，，．16．（2023上·高二課時練習）若橢圓的弦的中點為，則弦的長為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用中點弦的“平方差法”求得弦的斜率，得出的直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合弦長公式，即可求解.【詳解】設，因為弦的中點為，可得，又因為在橢圓上，可得，兩式相減可得，可得，即直線的斜率為，所以弦的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，由弦長公式，可得.故選：A.17．（2023下·上海長寧·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€與過焦點的一條直線相交于A，B兩點，若弦的中點M的橫坐標為，則弦的長【答案】【分析】根據(jù)題意設，聯(lián)立拋物線及韋達定理，結(jié)合弦中點橫坐標求參數(shù)，最后應用弦長公式求即可.【詳解】由題意拋物線焦點，且直線斜率不為0，設，聯(lián)立拋物線得，，故，，所以，即，則.故答案為：18．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為4，離心率為，直線與交于兩點，是線段的中點，為坐標原點．若點的橫坐標為，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求出雙曲線方程，然后聯(lián)立直線和雙曲線方程表示出，然后判斷出直線和雙曲線一定交于兩支后進行計算.【詳解】由題知，解得，即雙曲線的方程為：.直線的斜率若不存在，則垂直于軸，由于雙曲線頂點為，斜率不存在的直線和雙曲線有交點，則兩個交點橫坐標相等且均大于，與點的橫坐標為1矛盾；直線的斜率也不會為，否則根據(jù)對稱性可知，的橫坐標為，矛盾.故直線斜率存在且非零.設直線方程為，聯(lián)立，得到，由.設，由題意，，即，的縱坐標為，即.根據(jù)雙曲線的范圍可知，若直線和雙曲線交于同一支，則交點橫坐標均大于或小于，與的橫坐標為矛盾，故直線和雙曲線交于兩支.由，得到，顯然滿足判別式條件：.由，于是故答案為：19．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，若線段中點的橫坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與拋物線的位置關系以及韋達定理、弦長公式求解即可.【詳解】因為經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，所以該直線的斜率不等于0，所以可假設直線方程為，設，聯(lián)立，整理得，所以所以，因為線段中點的橫坐標為，所以，所以，所以，故選：B.20．（2023·四川·四川省金堂中學校校聯(lián)考三模）若A，B是拋物線上不同的兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點，則的最大值為．【答案】6【分析】設，，AB中點，利用點差法得到直線AB的斜率，再利用中垂線求得，然后利用拋物線的定義，由求解.【詳解】解：設，，AB中點，設斜率為k，則，相減得：，∵，即，設拋物線的焦點為F，，∴，當且僅當A，B，F(xiàn)三點共線時等號成立，此時滿足在拋物線內(nèi)部，∴的最大值為6，故答案為：6．考點三求圓錐曲線的方程問題21．（2023·高二課時練習）中心在原點，一個焦點為的橢圓被直線截得弦的中點的橫坐標為，則橢圓的方程為．【答案】【分析】求出及其表達式，求出弦的中點坐標和的值，即可求出橢圓的方程.【詳解】由題意，在橢圓中，一個焦點為，設橢圓的方程為,∴，設直線與橢圓的交點為,弦中點為∵直線截得弦的中點的橫坐標為，∴，，∴即∴.∴，解得：∴橢圓的方程為：，故答案為：.故答案為：.22．（2023上·廣東廣州·高二廣州市育才中學?？计谥校┤魴E圓的中心在原點，焦點在軸，一個焦點為，直線與橢圓相交所得弦的中點坐標為，則這個橢圓的方程為.【答案】【分析】設橢圓的方程為，聯(lián)立方程組，得到，根據(jù)題意，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】因為橢圓的一個焦點為，可得，則，可設橢圓的方程為，設直線與橢圓相交所得弦的端點為，因為相交所得弦的中點坐標為，所以，聯(lián)立方程組，整理得，易得，則，可得，解得，所以橢圓的方程為.故答案為：.23．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓的中心為坐標原點，離心率為，過橢圓的上焦點的直線交橢圓于兩點，若線段的中點坐標為，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易知橢圓焦點在軸上，設出直線方程并與橢圓聯(lián)立，再由韋達定理以及中點坐標即可求得，可得橢圓方程為.【詳解】由題意可設橢圓的標準方程為，則，所以，所以橢圓的標準方程為．因為直線經(jīng)過橢圓的上焦點，且直線的斜率存在，所以設直線的方程為，代入橢圓的方程，消去并整理得，設，則，又，所以可得，所以橢圓的標準方程為．故選：B．24．（2023上·山西太原·高二山西大附中?？计谥校┮阎獧E圓E：的右焦點為，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，若且，則E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“點差法”以及中點弦即可求解．【詳解】如圖所示：因為橢圓E的右焦點為，所以，不妨設，由題意等價于是的中點，所以，又點在橢圓E上面，所以，進一步有，即，所以直線的斜率可以表示為，又、在直線上，所以直線的斜率為，從而，所以解得，即E的方程為.故選：D.25．（2023上·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獧E圓方程為，其右焦點為，過點的直線交橢圓與，兩點．若的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算，設，，代入橢圓方程相減得到，解得答案.【詳解】的中點坐標為，則，設，，則，，相減得到：，即，，又，，解得，，橢圓的方程為.故選：C.26．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知直線過橢圓C；的一個焦點，與C交于A，B兩點，與平行的直線與C交于M，N兩點，若AB的中點為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】運用點差法，結(jié)合直線斜率公式進行求解即可.【詳解】設，則，兩式作差得所以若O為坐標原點，則，同理，所以O，P，Q三點共線，即，所以，又過點，即橢圓的焦點，所以解得，所以C的方程為故選：C27．（2023上·高二課時練習）已知雙曲線的中心在原點，且它的一個焦點為，直線與其相交于、兩點，線段中點的橫坐標為，求此雙曲線的方程．【答案】【分析】設雙曲線的方程為，利用點差法求出的關系，再結(jié)合，求出，即可得解.【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，由直線與其相交于、兩點，線段中點的橫坐標為，得的中點為，則，由且，兩式相減得，則，即，所以，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．28．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線C：存在以點為中點的弦，請寫出一個滿足條件的拋物線方程為.【答案】（答案不唯一）【分析】拋物線存在以點為中點的弦，則該點在拋物線開口內(nèi)，列式求解即可.【詳解】拋物線存在以點為中點的弦，則該點在拋物線開口內(nèi)，即當時，.可取，則滿足條件的拋物線方程為.故答案為：（答案不唯一）考點四求圓錐曲線的離心率問題29．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓，點為左焦點，點為下頂點，平行于的直線交橢圓于，兩點，且的中點為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點差法解決中點弦問題.【詳解】由題意，設橢圓方程為，有，，設，，的中點為，，．，．由，．兩式相減得，即，，可得：，，化為：，解得，，．故選：A．30．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點四點．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可知：的中點即為弦的中點，利用點差法運算求解.【詳解】設直線：，可得，設的中點為，連接OM，則，，因為，則，即為弦的中點，設，則，因為，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.31．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中點弦點差法可得弦中點和直線斜率得，進而可得.【詳解】設直線與橢圓相交于，兩點，弦的中點坐標是，則，，直線的斜率.由，得，得，所以，故橢圓的離心率.故選：B.32．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為．【答案】/【分析】設，求出的斜率，利用點差法求出直線的斜率，在根據(jù)題意求出之間的關系即可得解.【詳解】，設，因為點P是線段AB的中點，P的橫坐標為，所以，則，由直線l與C相交于A，B兩點，得，兩式相減得，即，所以，即，所以，則，所以，所以離心率.故答案為：.33．（2023上·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是．【答案】【分析】先利用點差法應用弦中點，再求橢圓離心率.【詳解】設直線與橢圓交于兩點，其中，將兩點代入橢圓可得，兩式作差可得，即，又中點坐標是，所以，所以，令，則，所以，所以，故答案為：34．（2023上·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓上存在兩點關于直線對稱，且線段中點的縱坐標為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點關于直線對稱點的特征可求得，并得到中點坐標；利用點差法可構(gòu)造等式求得，根據(jù)橢圓離心率可求得結(jié)果.【詳解】關于直線對稱，，又中點縱坐標為，中點橫坐標為；設，，則，兩式作差得：，即，；又，，，解得：，橢圓的離心率.故選：A.35．（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）過點作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點，點M為AB的中點，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設點，代入雙曲線方程后做差，整理，可得關系，再利用消去即可求得離心率.【詳解】設點，則有，兩式做差后整理得，由已知，，又，，得故選：B36．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，（不重合），的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的垂直平分線的方程，即可求出的中點坐標，設，，利用點差法得到，最后利用離心率公式計算可得.【詳解】因為直線，所以，由題可知的垂直平分線的方程為，將與聯(lián)立可得，即的中點坐標為．設，，則，且，，兩式作差可得，即，所以，則雙曲線的離心率為．故選：D37．（2023下·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）直線不與軸重合，經(jīng)過點，橢圓上存在兩點、關于對稱，中點的橫坐標為.若，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】由點差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡并利用可求得離心率.【詳解】設，，，則，兩式相減得，即，所以，因為是垂直平分線，有，所以，即，化簡得，∵，∴.故答案為：38．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知O為坐標原點，直線與橢圓交于A，B兩點，P為的中點，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】．【分析】設，，根據(jù)題意利用兩點坐標表示斜率公式和中點坐標公式可得；由點差法可得，進而，結(jié)合離心率的概念即可求解.【詳解】設，，則，所以，得.將A、B兩點坐標代入橢圓方程，得，兩式相減，得，有，所以，由，得，即，由，得，即，解得，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故答案為：.考點五弦中點的坐標問題39．（2023上·高二課時練習）直線被橢圓所截得的弦的中點坐標是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立方程組，求出弦的中點的橫坐標，代入直線方程，即可求出縱坐標.【詳解】設弦為,,由，消去y得，即.，，所以弦的中點的橫坐標是，代入直線方程中，得.所以弦的中點坐標是.故選：A.40．（2023·全國·高三專題練習）過點作斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標為.【答案】【分析】求出直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立求解即得.【詳解】直線l的方程為，由消去y得，顯然，即直線與橢圓相交，設交點，則，于是線段中點的橫坐標為，縱坐標為，所以線段的中點坐標為.故答案為：41．【多選】（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，則（

）A．的周長為20 B．的面積為C．線段中點的橫坐標為 D．線段的長度為【答案】ACD【分析】利用橢圓的定義判斷A；聯(lián)立直線與橢圓方程，求出弦中點橫坐標及弦長判斷CD；求出面積判斷B作答.【詳解】依題意，直線過橢圓的左焦點，橢圓長軸長，所以的周長，A正確；由消去y得：，設，則，，因此線段中點的橫坐標為，C正確；線段的長度為，D正確；點到直線的距離，所以的面積為，B錯誤.故選：ACD42．（2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰O，為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、C：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于D：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設，則的中點，設直線的斜率為，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故C正確；對于選項D：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故D錯誤；故選：C.【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與雙曲線的位置關系，考查點差法，解題的關鍵是根據(jù)點差法得到，然后逐個分析判斷，考查計算能力，屬于較難題.43．（2023上·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點，且A，B關于直線：對稱，則線段中點的坐標為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，利用點差法求得，聯(lián)立方程即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：直線：的斜率為，可知直線的斜率，設，則線段中點的坐標，可得，，因為A，B為雙曲線C：上的兩點，則，兩式相減整理得，即，解得，即直線，聯(lián)立方程，解得，可知線段中點的坐標為.故答案為：.考點六求弦中點的軌跡方程問題44．（2023上·高二課時練習）求所有斜率為1的直線被橢圓所截得線段的中點的軌跡．【答案】點的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分【分析】設直線被橢圓所截得的線段的兩個端點、的橫坐標為、，線段中點為．聯(lián)立直線與橢圓方程，由求出的取值范圍，再列出韋達定理得到，消去參數(shù)，即可得到軌跡方程.【詳解】

如圖，設直線被橢圓所截得的線段的兩個端點、的橫坐標為、，線段中點為．聯(lián)立直線方程和橢圓方程得方程組，消去，并整理得．當判別式，即時，上述方程有兩個不同的實數(shù)解，即直線與橢圓的相交線段存在．因為，，從而，這就是中點的軌跡的參數(shù)方程（其中）．消去得，，由，及，可得，點的軌跡方程為，，即點的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分．45．（2023·全國·高二課堂例題）求過定點的直線被雙曲線截得的弦AB的中點的軌跡方程.【答案】（或）.【分析】可設直線的方程為，且設該直線被雙曲線截得的弦AB對應的中點為，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)判別式與韋達定理可得，再消元求解即可.【詳解】因為該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，故可設直線的方程為，且設該直線被雙曲線截得的弦AB對應的中點為，，.由得.則，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中點的軌跡方程為（或）.46．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的軌跡長度為．【答案】/【分析】設斜率為直線方程為，聯(lián)立方程組，寫出韋達定理，然后求出線段的中點為的參數(shù)方程，消參后得到的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合方法分析即可.【詳解】設斜率為直線方程為：，代入橢圓中，消元整理得：，線段的中點為，設，則，所以，，所以，消去得：，所以線段的中點為的軌跡方程為：，如圖所示：的軌跡即為線段，由或，所以，所以的軌跡長度為：，故答案為：.47．（2023·全國·高三專題練習）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．【答案】【分析】利用點的坐標和點差法得出軌跡方程，利用點M在橢圓內(nèi)即可得出取值范圍.【詳解】設，，線段AB的中點為，連接（為坐標原點）．由題意知，則，∴點的軌跡方程為．又點在橢圓內(nèi)，∴，解得：，故答案為：.考點七曲線上兩點關于直線對稱問題48．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：，若橢圓C上有不同的兩點關于直線對稱，則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】設，利用點差法得到，結(jié)合得到，聯(lián)立得到，點M應在橢圓C的內(nèi)部，得到不等式，求出m的取值范圍.【詳解】設是橢圓C上關于直線l：對稱的兩個點，是線段PQ的中點，則，兩式相減，得.∵，，∴.∵，∴，故，聯(lián)立，解得，∴.∵點M應在橢圓C的內(nèi)部，∴，解得.∴實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.49．（2023上·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）已知橢圓，若橢圓上存在兩點、關于直線對稱，則的取值范圍是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】設，中點為，利用點差法結(jié)合條件可得點，根據(jù)在橢圓內(nèi)部，進而即得．【詳解】橢圓，即：，設橢圓上兩點關于直線對稱，中點為，則，，所以，∴，∴，代入直線方程得，即，因為在橢圓內(nèi)部，∴，解得，即的取值范圍是．故選：A．50．（2023上·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的焦距為，左右焦點分別為、，圓與圓相交，且交點在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若，試問E上是否存在P、Q兩點關于l對稱，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在P、Q兩點關于l對稱，直線PQ的方程為．【分析】（1）由橢圓定義知為兩圓半徑之和，由點差法可得，求出，從而得到橢圓方程；（2）設直線PQ的方程為，根據(jù)中點在直線上求得值，注意檢驗直線PQ與橢圓有兩個交點.【詳解】（1）因為圓與圓相交，且交點在橢圓上，所以，，設，，的中點，，①－②，，，則橢圓E的方程：；（2）假設存在P、Q兩點關于l對稱，設直線PQ的方程為，，，PQ中點，，，，，即，由N在l上，，此時，故存在P、Q兩點關于l對稱，直線PQ的方程為．51．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預測）若雙曲線上存在兩個點關于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設雙曲線上兩點，，，，直線的方程是，代入雙曲線方程化簡得，的中點是，，利用判別式大于0，韋達定理結(jié)合的中點在直線上，轉(zhuǎn)化求解的范圍即可．【詳解】解：依題意，雙曲線上兩點，，，，若點A、B關于直線對稱，則設直線的方程是，代入雙曲線方程化簡得：，則，且，解得，且又，設的中點是，，所以，．因為的中點在直線上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，實數(shù)的取值范圍為：故答案為：.52．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）若拋物線上存在不同的兩點關于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】根據(jù)題意，當時，顯然滿足題意；當時，可設拋物線上關于直線對稱的兩點分別為，的中點為，利用點差法得到中點的縱坐標，代入直線得到的橫坐標，再結(jié)合在拋物線內(nèi)，即得解.【詳解】解：當時，直線，存在點關于它對稱，顯然滿足題意；當時，設拋物線上關于直線對稱的兩點分別為，且的中點為，則，而，，所以，則①②得：，，，中點在直線上，，于是，中點在拋物線區(qū)域內(nèi)，，即，解得：，綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線和拋物線的位置關系中的弦中點問題，以及點差法的應用，解題的關鍵在于利用點差法求直線的斜率，考查學生轉(zhuǎn)化和分類討論思想，以及數(shù)學運算的能力.53．（2023·高二課時練習）已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓上，則的值是.【答案】【分析】將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達定理及中點坐標公式求得中點點坐標，代入圓的方程，即可求得的值．【詳解】解：設點，，，，線段的中點，，由，得（判別式△，，，，點，在圓上，則，故.故答案為：考點八弦中點存在性問題54．（2023上·江蘇南通·高二啟東中學?？计谥校┰冖匐x心率為，且經(jīng)過點；②半長軸的平方與半焦距之比等于常數(shù)，且焦距為這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的直線存在，求出的方程；若問題中的直線不存在，說明理由.問題：已知曲線：的焦點在軸上，______，是否存在過點的直線，與曲線交于，兩點，且為線段的中點？注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【分析】選條件：可得曲線為焦點在軸上的雙曲線，根據(jù)條件求出雙曲線方程，根據(jù)直線的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時易得直線方程，驗證是否滿足題意即可；斜率存在時，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達定理驗證是否滿足題意；選條件：可得曲線為焦點在軸上的橢圓，根據(jù)條件求出橢圓方程，根據(jù)直線的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時易得