專題28中點(diǎn)弦及點(diǎn)差法的8種常見考法歸類

專題28中點(diǎn)弦及點(diǎn)差法的8種常見考法歸類1、橢圓與雙曲線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的斜率為，運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，兩式相減得：，即，故（2）弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：.（3）雙曲線的用點(diǎn)差法同理，可得(焦點(diǎn)在軸上）2、拋物線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法點(diǎn)差法在圓錐曲線中的理論考點(diǎn)一中點(diǎn)弦所在直線的斜率與方程考點(diǎn)二由弦中點(diǎn)求弦長(zhǎng)考點(diǎn)三求圓錐曲線的方程問(wèn)題考點(diǎn)四求圓錐曲線的離心率問(wèn)題考點(diǎn)五弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題考點(diǎn)六求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題考點(diǎn)七曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題考點(diǎn)八弦中點(diǎn)存在性問(wèn)題考點(diǎn)一中點(diǎn)弦所在直線的斜率與方程1．（2023上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．4 D．4【答案】A【分析】設(shè)出交點(diǎn)代入橢圓方程，相減化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】設(shè)弦與橢圓交于，，斜率為，則，，相減得到，即，解得.故選：A.2．（2023上·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用題目條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用點(diǎn)差法即可求出直線的斜率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以它的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，化簡(jiǎn)得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，所以①，②，①②得，，化簡(jiǎn)得③，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，代入③，整理得，顯然，所以直線的斜率.故選：B3．（2023上·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程是【答案】【分析】分別設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差求得弦所在直線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【詳解】橢圓即，設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為,，,，則，則，，兩式作差可得：，．直線過(guò)點(diǎn)，這條弦所在直線的方程是，即．故答案為：．4．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)A，B為雙曲線上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以線段AB存在，故選：C5．（2023上·寧夏·高二六盤山高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獮閽佄锞€上的兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為.【答案】/0.5【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)并代入拋物線的方程，即可求出直線AB的斜率.【詳解】由題意，為拋物線上的兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，設(shè)，線段AB中點(diǎn)為，∴，，∴即∴直線AB的斜率為：故答案為：6．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，代入橢圓方程相減得直線斜率，從而得直線方程．【詳解】，在橢圓內(nèi)部，易得直線的斜率存在，設(shè)的斜率為，由題意得，兩式相減得，則，得.故的方程為，即.故選：C．7．（2023上·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出，的坐標(biāo)，代入拋物線方程，利用作差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)，，由題意，因?yàn)?，在拋物線上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點(diǎn)為，，，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：.8．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學(xué)?？计谥校┮阎本€與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為.【答案】【分析】利用點(diǎn)差法可求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)槿粝业闹悬c(diǎn)為，則，因?yàn)椋傻?，即，所以，，因此，直線的方程為，即.聯(lián)立可得，，所以，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，合乎題意，因此，直線的方程為，故答案為：.9．（2023上·湖北·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線與橢圓在第一象限交于兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，且，，則的方程為．【答案】【分析】設(shè)，線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得，設(shè)直線的方程為，得到的坐標(biāo)，可得，進(jìn)而可得，再利用求出，則可得到的方程.【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)為，由，相減可得，則，設(shè)直線的方程為，，，解得，，，化為，，得，的方程為，即.故答案為：.10．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是3．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，該直線方程為【分析】（1）設(shè)橢圓上一點(diǎn)，，表達(dá)出，得到，結(jié)合離心率得到，求出橢圓方程；（2）根據(jù)點(diǎn)差法求出斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果．【詳解】（1）由題意得，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)橢圓上一點(diǎn)，，則，故，，因?yàn)椋?，，故，故橢圓上的點(diǎn)到又焦點(diǎn)的最小距離是，所以，聯(lián)立與，解得，故，故橢圓的方程為．（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減得，得，即，直線方程為，即．所以存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，且該直線方程為．11．（2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，是上一點(diǎn)．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式、以及點(diǎn)在橢圓上列式，求出與可得橢圓的方程；（2）根據(jù)點(diǎn)差法求出直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出方程即可.【詳解】（1）由題可知，解得，，，故的方程為．（2）設(shè)，，則則，即．因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，則．故直線的方程為，即．12．（2023上·四川資陽(yáng)·高二四川省資陽(yáng)中學(xué)校考期中）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法即可求得關(guān)系，進(jìn)而求得的值.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得又，，則，則，.故選：A13．（2023下·四川巴中·高三?？计谀┤糁本€y=kx+1與雙曲線交于A?B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，則實(shí)數(shù)k=．【答案】/【分析】聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線的方程，得到韋達(dá)定理，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.【詳解】聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線可得，即，∵，直線y=kx+1與雙曲線交于A?B兩點(diǎn)，∴x1+x2=2，，∴，∴k且∵線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，∴x1+x2=2，∴，∴，∴k，∵，∴k，故答案為：．14．（2023下·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)可得，從而可求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】設(shè)，，則，由點(diǎn)差法得．∵，∴，，∴，又，∴，∴漸近線方程為.故選：A．考點(diǎn)二由弦中點(diǎn)求弦長(zhǎng)15．（2023上·河北·高二校聯(lián)考期中）已知P是圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為Q，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若A，B是E上兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，利用，得出的坐標(biāo)，在利用P在圓C：上，即可求出M的軌跡方程.（2）利用點(diǎn)差法求出直線AB，再聯(lián)立直線和橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)镻在圓C上，所以，故E的方程為．（2）設(shè)，，若A，B是E上兩點(diǎn)，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，則直線AB的方程為．聯(lián)立方程組，整理得，其中，則，，．16．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的弦的中點(diǎn)為，則弦的長(zhǎng)為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用中點(diǎn)弦的“平方差法”求得弦的斜率，得出的直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，可得，又因?yàn)樵跈E圓上，可得，兩式相減可得，可得，即直線的斜率為，所以弦的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，由弦長(zhǎng)公式，可得.故選：A.17．（2023下·上海長(zhǎng)寧·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€與過(guò)焦點(diǎn)的一條直線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則弦的長(zhǎng)【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)，聯(lián)立拋物線及韋達(dá)定理，結(jié)合弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)求參數(shù)，最后應(yīng)用弦長(zhǎng)公式求即可.【詳解】由題意拋物線焦點(diǎn)，且直線斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立拋物線得，，故，，所以，即，則.故答案為：18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求出雙曲線方程，然后聯(lián)立直線和雙曲線方程表示出，然后判斷出直線和雙曲線一定交于兩支后進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題知，解得，即雙曲線的方程為：.直線的斜率若不存在，則垂直于軸，由于雙曲線頂點(diǎn)為，斜率不存在的直線和雙曲線有交點(diǎn)，則兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)相等且均大于，與點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1矛盾；直線的斜率也不會(huì)為，否則根據(jù)對(duì)稱性可知，的橫坐標(biāo)為，矛盾.故直線斜率存在且非零.設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得到，由.設(shè)，由題意，，即，的縱坐標(biāo)為，即.根據(jù)雙曲線的范圍可知，若直線和雙曲線交于同一支，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)均大于或小于，與的橫坐標(biāo)為矛盾，故直線和雙曲線交于兩支.由，得到，顯然滿足判別式條件：.由，于是故答案為：19．（2023上·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中校考期末）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系以及韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，所以該直線的斜率不等于0，所以可假設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，所以所以，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以，所以，故選：B.20．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）若A，B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)，則的最大值為．【答案】6【分析】設(shè)，，AB中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得到直線AB的斜率，再利用中垂線求得，然后利用拋物線的定義，由求解.【詳解】解：設(shè)，，AB中點(diǎn)，設(shè)斜率為k，則，相減得：，∵，即，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)滿足在拋物線內(nèi)部，∴的最大值為6，故答案為：6．考點(diǎn)三求圓錐曲線的方程問(wèn)題21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為．【答案】【分析】求出及其表達(dá)式，求出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和的值，即可求出橢圓的方程.【詳解】由題意，在橢圓中，一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的方程為,∴，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,弦中點(diǎn)為∵直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，，∴即∴.∴，解得：∴橢圓的方程為：，故答案為：.故答案為：.22．（2023上·廣東廣州·高二廣州市育才中學(xué)?？计谥校┤魴E圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則這個(gè)橢圓的方程為.【答案】【分析】設(shè)橢圓的方程為，聯(lián)立方程組，得到，根據(jù)題意，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，可得，則，可設(shè)橢圓的方程為，設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)為，因?yàn)橄嘟凰孟业闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，聯(lián)立方程組，整理得，易得，則，可得，解得，所以橢圓的方程為.故答案為：.23．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易知橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)出直線方程并與橢圓聯(lián)立，再由韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)即可求得，可得橢圓方程為.【詳解】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，且直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，消去并整理得，設(shè)，則，又，所以可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．24．（2023上·山西太原·高二山西大附中?？计谥校┮阎獧E圓E：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若且，則E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“點(diǎn)差法”以及中點(diǎn)弦即可求解．【詳解】如圖所示：因?yàn)闄E圓E的右焦點(diǎn)為，所以，不妨設(shè)，由題意等價(jià)于是的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在橢圓E上面，所以，進(jìn)一步有，即，所以直線的斜率可以表示為，又、在直線上，所以直線的斜率為，從而，所以解得，即E的方程為.故選：D.25．（2023上·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獧E圓方程為，其右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓與，兩點(diǎn)．若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算，設(shè)，，代入橢圓方程相減得到，解得答案.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，設(shè)，，則，，相減得到：，即，，又，，解得，，橢圓的方程為.故選：C.26．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)橢圓C；的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則，兩式作差得所以若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，同理，所以O(shè)，P，Q三點(diǎn)共線，即，所以，又過(guò)點(diǎn)，即橢圓的焦點(diǎn)，所以解得，所以C的方程為故選：C27．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程．【答案】【分析】設(shè)雙曲線的方程為，利用點(diǎn)差法求出的關(guān)系，再結(jié)合，求出，即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，由直線與其相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得的中點(diǎn)為，則，由且，兩式相減得，則，即，所以，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．28．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線C：存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的拋物線方程為.【答案】（答案不唯一）【分析】拋物線存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則該點(diǎn)在拋物線開口內(nèi)，列式求解即可.【詳解】拋物線存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則該點(diǎn)在拋物線開口內(nèi)，即當(dāng)時(shí)，.可取，則滿足條件的拋物線方程為.故答案為：（答案不唯一）考點(diǎn)四求圓錐曲線的離心率問(wèn)題29．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)為下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題.【詳解】由題意，設(shè)橢圓方程為，有，，設(shè)，，的中點(diǎn)為，，．，．由，．兩式相減得，即，，可得：，，化為：，解得，，．故選：A．30．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可知：的中點(diǎn)即為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)直線：，可得，設(shè)的中點(diǎn)為，連接OM，則，，因?yàn)?，則，即為弦的中點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)?，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.31．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中點(diǎn)弦點(diǎn)差法可得弦中點(diǎn)和直線斜率得，進(jìn)而可得.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，，直線的斜率.由，得，得，所以，故橢圓的離心率.故選：B.32．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為．【答案】/【分析】設(shè)，求出的斜率，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，在根據(jù)題意求出之間的關(guān)系即可得解.【詳解】，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為，所以，則，由直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，得，兩式相減得，即，所以，即，所以，則，所以，所以離心率.故答案為：.33．（2023上·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是．【答案】【分析】先利用點(diǎn)差法應(yīng)用弦中點(diǎn)，再求橢圓離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其中，將兩點(diǎn)代入橢圓可得，兩式作差可得，即，又中點(diǎn)坐標(biāo)是，所以，所以，令，則，所以，所以，故答案為：34．（2023上·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的特征可求得，并得到中點(diǎn)坐標(biāo)；利用點(diǎn)差法可構(gòu)造等式求得，根據(jù)橢圓離心率可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱，，又中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；設(shè)，，則，兩式作差得：，即，；又，，，解得：，橢圓的離心率.故選：A.35．（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)，代入雙曲線方程后做差，整理，可得關(guān)系，再利用消去即可求得離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則有，兩式做差后整理得，由已知，，又，，得故選：B36．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，（不重合），的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的垂直平分線的方程，即可求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，最后利用離心率公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橹本€，所以，由題可知的垂直平分線的方程為，將與聯(lián)立可得，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)，，則，且，，兩式作差可得，即，所以，則雙曲線的離心率為．故選：D37．（2023下·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習(xí)）直線不與軸重合，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.若，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用可求得離心率.【詳解】設(shè)，，，則，兩式相減得，即，所以，因?yàn)槭谴怪逼椒志€，有，所以，即，化簡(jiǎn)得，∵，∴.故答案為：38．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】．【分析】設(shè)，，根據(jù)題意利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；由點(diǎn)差法可得，進(jìn)而，結(jié)合離心率的概念即可求解.【詳解】設(shè)，，則，所以，得.將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得，兩式相減，得，有，所以，由，得，即，由，得，即，解得，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故答案為：.考點(diǎn)五弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題39．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）直線被橢圓所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立方程組，求出弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線方程，即可求出縱坐標(biāo).【詳解】設(shè)弦為,,由，消去y得，即.，，所以弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，代入直線方程中，得.所以弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：A.40．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【分析】求出直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立求解即得.【詳解】直線l的方程為，由消去y得，顯然，即直線與橢圓相交，設(shè)交點(diǎn)，則，于是線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：41．【多選】（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則（

）A．的周長(zhǎng)為20 B．的面積為C．線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 D．線段的長(zhǎng)度為【答案】ACD【分析】利用橢圓的定義判斷A；聯(lián)立直線與橢圓方程，求出弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)及弦長(zhǎng)判斷CD；求出面積判斷B作答.【詳解】依題意，直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以的周長(zhǎng)，A正確；由消去y得：，設(shè)，則，，因此線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，C正確；線段的長(zhǎng)度為，D正確；點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，B錯(cuò)誤.故選：ACD42．（2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰O(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、C：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于D：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)差法得到，然后逐個(gè)分析判斷，考查計(jì)算能力，屬于較難題.43．（2023上·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線：對(duì)稱，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，利用點(diǎn)差法求得，聯(lián)立方程即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：直線：的斜率為，可知直線的斜率，設(shè)，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，，因?yàn)锳，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，則，兩式相減整理得，即，解得，即直線，聯(lián)立方程，解得，可知線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.考點(diǎn)六求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題44．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求所有斜率為1的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)的軌跡．【答案】點(diǎn)的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分【分析】設(shè)直線被橢圓所截得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為、，線段中點(diǎn)為．聯(lián)立直線與橢圓方程，由求出的取值范圍，再列出韋達(dá)定理得到，消去參數(shù)，即可得到軌跡方程.【詳解】

如圖，設(shè)直線被橢圓所截得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為、，線段中點(diǎn)為．聯(lián)立直線方程和橢圓方程得方程組，消去，并整理得．當(dāng)判別式，即時(shí)，上述方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與橢圓的相交線段存在．因?yàn)椋?，從而，這就是中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（其中）．消去得，，由，及，可得，點(diǎn)的軌跡方程為，，即點(diǎn)的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分．45．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求過(guò)定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（或）.【分析】可設(shè)直線的方程為，且設(shè)該直線被雙曲線截得的弦AB對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)判別式與韋達(dá)定理可得，再消元求解即可.【詳解】因?yàn)樵撝本€的斜率不存在時(shí)與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，且設(shè)該直線被雙曲線截得的弦AB對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為，，.由得.則，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為（或）.46．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】/【分析】設(shè)斜率為直線方程為，聯(lián)立方程組，寫出韋達(dá)定理，然后求出線段的中點(diǎn)為的參數(shù)方程，消參后得到的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合方法分析即可.【詳解】設(shè)斜率為直線方程為：，代入橢圓中，消元整理得：，線段的中點(diǎn)為，設(shè)，則，所以，，所以，消去得：，所以線段的中點(diǎn)為的軌跡方程為：，如圖所示：的軌跡即為線段，由或，所以，所以的軌跡長(zhǎng)度為：，故答案為：.47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【分析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)差法得出軌跡方程，利用點(diǎn)M在橢圓內(nèi)即可得出取值范圍.【詳解】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．由題意知，則，∴點(diǎn)的軌跡方程為．又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴，解得：，故答案為：.考點(diǎn)七曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題48．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：，若橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法得到，結(jié)合得到，聯(lián)立得到，點(diǎn)M應(yīng)在橢圓C的內(nèi)部，得到不等式，求出m的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓C上關(guān)于直線l：對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，是線段PQ的中點(diǎn)，則，兩式相減，得.∵，，∴.∵，∴，故，聯(lián)立，解得，∴.∵點(diǎn)M應(yīng)在橢圓C的內(nèi)部，∴，解得.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.49．（2023上·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓，若橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法結(jié)合條件可得點(diǎn)，根據(jù)在橢圓內(nèi)部，進(jìn)而即得．【詳解】橢圓，即：，設(shè)橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，中點(diǎn)為，則，，所以，∴，∴，代入直線方程得，即，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，∴，解得，即的取值范圍是．故選：A．50．（2023上·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的焦距為，左右焦點(diǎn)分別為、，圓與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若，試問(wèn)E上是否存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，直線PQ的方程為．【分析】（1）由橢圓定義知為兩圓半徑之和，由點(diǎn)差法可得，求出，從而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線PQ的方程為，根據(jù)中點(diǎn)在直線上求得值，注意檢驗(yàn)直線PQ與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)閳A與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上，所以，，設(shè)，，的中點(diǎn)，，①－②，，，則橢圓E的方程：；（2）假設(shè)存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，設(shè)直線PQ的方程為，，，PQ中點(diǎn)，，，，，即，由N在l上，，此時(shí)，故存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，直線PQ的方程為．51．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)，，，，直線的方程是，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)得，的中點(diǎn)是，，利用判別式大于0，韋達(dá)定理結(jié)合的中點(diǎn)在直線上，轉(zhuǎn)化求解的范圍即可．【詳解】解：依題意，雙曲線上兩點(diǎn)，，，，若點(diǎn)A、B關(guān)于直線對(duì)稱，則設(shè)直線的方程是，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)得：，則，且，解得，且又，設(shè)的中點(diǎn)是，，所以，．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，實(shí)數(shù)的取值范圍為：故答案為：.52．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，可設(shè)拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線得到的橫坐標(biāo)，再結(jié)合在拋物線內(nèi)，即得解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線，存在點(diǎn)關(guān)于它對(duì)稱，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為，且的中點(diǎn)為，則，而，，所以，則①②得：，，，中點(diǎn)在直線上，，于是，中點(diǎn)在拋物線區(qū)域內(nèi)，，即，解得：，綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系中的弦中點(diǎn)問(wèn)題，以及點(diǎn)差法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用點(diǎn)差法求直線的斜率，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化和分類討論思想，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.53．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)在圓上，則的值是.【答案】【分析】將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求得的值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，，，線段的中點(diǎn)，，由，得（判別式△，，，，點(diǎn)，在圓上，則，故.故答案為：考點(diǎn)八弦中點(diǎn)存在性問(wèn)題54．（2023上·江蘇南通·高二啟東中學(xué)?？计谥校┰冖匐x心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②半長(zhǎng)軸的平方與半焦距之比等于常數(shù)，且焦距為這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的直線存在，求出的方程；若問(wèn)題中的直線不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題：已知曲線：的焦點(diǎn)在軸上，______，是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)？注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析【分析】選條件：可得曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，根據(jù)條件求出雙曲線方程，根據(jù)直線的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時(shí)易得直線方程，驗(yàn)證是否滿足題意即可；斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達(dá)定理驗(yàn)證是否滿足題意；選條件：可得曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，根據(jù)條件求出橢圓方程，根據(jù)直線的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時(shí)易得