平面向量知識(shí)點(diǎn)和重點(diǎn)題型總結(jié)

PAGE1-平面向量的概念及線性運(yùn)算【2013年高考會(huì)這樣考】1．考查平面向量的線性運(yùn)算．2．考查平面向量的幾何意義及其共線條件．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講的復(fù)習(xí)，一是要重視基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)平面向量的基本概念，加減運(yùn)算等要熟練掌握，二是要掌握好向量的線性運(yùn)算，搞清這些運(yùn)算法則和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則的區(qū)別．基礎(chǔ)梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.(2)運(yùn)算律：設(shè)λ，μ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．兩個(gè)防范(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)．(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合．雙基自測(cè)1．(人教A版教材習(xí)題改編)D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()．A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))2．判斷下列四個(gè)命題：①若a∥b，則a＝b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|a|＝|b|，則a∥b；④若a＝b，則|a|＝|b|.正確的個(gè)數(shù)是()．A．1B．2C．3D．43．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()．A.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))B.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))C.eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))D.eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))4．(2011·四川)如圖，正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()．A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))5．設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則λ考向一平面向量的概念【例1】?下列命題中正確的是()．A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【訓(xùn)練1】給出下列命題：①若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；②若a＝b，b＝c，則a＝c；③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；④若a與b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．其中正確命題的序號(hào)是________．考向二平面向量的線性運(yùn)算【例2】?如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則()．A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0【訓(xùn)練2】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若點(diǎn)D滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()．A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c考向三共線向量定理及其應(yīng)用【例3】?設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【訓(xùn)練3】(2011·蘭州模擬)已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是()．A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1【示例1】?(2012·泰安十校聯(lián)考)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是()．A．若a與b共線，則a⊙b＝0B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ)C．對(duì)任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2【示例2】?(2011·山東)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A