數(shù)字信號處理-時域離散隨機信號處理課件：時頻分析

時頻分析5.1引言

5.2短時傅里葉變換

5.3維格納變換(WD)5.4時域離散信號的維格納變換

5.5時頻分布的統(tǒng)一表示式

5.6時頻分析在編隊目標(biāo)架次檢測中的應(yīng)用

5.1引

言

傳統(tǒng)的信號分析與處理的數(shù)學(xué)工具是傅里葉變換，它的正變換和逆變換分別用下面兩式表示：

(5.1.1)(5.1.2)式中ω是一個連續(xù)變量,限制了用計算機在頻域進(jìn)行分析與處理，而離散傅里葉變換(DFT)將頻域離散化,使之借助計算機可以在時域也可以在頻域?qū)π盘栠M(jìn)行分析與處理。由于傅里葉變換物理概念清晰,同時也是正交變換,因此長期以來科技界及各工程領(lǐng)域廣泛使用傅里葉變換和離散傅里葉變換。

X(ejω)稱為信號x(n)的頻譜，它表示了信號在頻域的分布規(guī)律。也可以用下面公式表示:（5.1.3）

e(ω)稱為信號x(n)的能量譜，它僅包含信號的幅度信息。但對于能量無限信號，如周期信號、平穩(wěn)隨機信號等，傅里葉變換不存在，可以用功率譜密度（簡稱功率譜）P(ejω)表示:（5.1.4）

式中rxx(m)是x(n)的自相關(guān)函數(shù)。頻譜、能量譜以及功率譜都是信號變換到頻域的一種表示方法，對于頻譜不隨時間變化的確定性信號以及平穩(wěn)隨機信號都可以用它們進(jìn)行分析和處理。5.2短時傅里葉變換

5.2.1短時傅里葉變換的定義及其物理解釋

1.短時傅里葉變換的定義短時傅里葉變換的定義有兩種形式,下面分別敘述。

(1)定義一:(5.2.1)

式中w(n)是一個窗函數(shù)，其作用是取出x(n)在n時刻附近的一小段信號進(jìn)行傅里葉變換，當(dāng)n變化時，窗函數(shù)隨n移動，從而得到信號頻譜隨時間n變化的規(guī)律。此時的傅里葉變換是一個二維域(n,ω)的函數(shù)。窗函數(shù)沿時間軸移動情況如圖5.2.1所示。圖

5.2.1窗函數(shù)的移動

令n′=n-m

將n′代入定義一中,再將n′用m代替,可得到第二種定義形式。

(2)定義二：

2.短時傅里葉變換的物理解釋

對以上STFT的定義形式，從傅里葉變換和線性濾波兩個角度，可以有兩種不同的物理解釋。

(1)由傅里葉變換角度解釋。按照(5.2.1)式，STFT可以看作n是參變量，x(m)w(n-m)對m的傅里葉變換，因此它是（n,ω）的函數(shù)。因為STFT是x(m)w(n-m)的傅里葉變換，可以用x(m)和w(n-m)分別的傅里葉變換的卷積表示。設(shè)：那么

如果再將θ改換成-θ，

得到

(5.2.3)上式是STFT定義的一種頻域表示形式。這里如果x(n)是時變信號，式中用了它的傅里葉變換，是不合適的，但可以理解為信號在時間窗外變?yōu)?以后，取信號的傅里葉變換;或者說是時間窗內(nèi)的信號傅里葉變換的平滑形式。（2）

由線性濾波角度解釋。將定義一重寫如下：

上式表明,短時傅里葉變換可以看成x(n)e-jωn與w(n)的線性卷積，如將w(n)看成一個低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，短時傅里葉變換則可用圖5.2.2表示。圖5.2.2表明,首先將信號x(n)調(diào)制到-ω，然后通過低通濾波器w(n)，其輸出就是短時傅里葉變換。實質(zhì)上是將x(n)在ω附近的頻譜搬移到零頻處，作為短時傅里葉變換。為使其頻率分辨率高，希望w(n)是一個低通窄帶濾波器，帶外衰減愈大愈好。

利用定義二可以得到線性濾波的另一種物理解釋，

將定義二重寫如下:公式中求和號部分可看成w(n)ejωn與x(n)的線性卷積，因此上式可以寫成式中w(n)是低通濾波器，w(n)ejωn就是以ω為中心的帶通濾波器。按照上式，STFT就是信號首先通過帶通濾波器，選出以ω為中心的頻譜，再乘以exp(-jωn)，將選出的頻譜搬移到零頻處。

短時傅里葉變換如按照定義二的物理解釋，則可用圖

5.2.3表示。

圖5.2.2定義一的物理解釋圖

5.2.3定義二的物理解釋

5.2.2短時傅里葉變換的性質(zhì)短時傅里葉變換是建立在一般傅里葉變換基礎(chǔ)上的一種變換，因此它具有許多和傅里葉變換相似的性質(zhì)。

1.線性性質(zhì)

設(shè)

z(n)=c·x(n)+d·y(n),c,d

為常數(shù),則

(5.2.4)2.頻移性質(zhì)——調(diào)制特性設(shè) ,則

(5.2.5)3.時移特性設(shè)x(n)=y(n-n0),則

(5.2.6)證明

以上說明STFT具有頻移不變性，但不具有時移不變性，相差一個相位因子。

4.共軛對稱性

當(dāng)信號是實信號時,短時傅里葉變換和一般傅里葉變換一樣具有共軛對稱性,即

(5.2.7)因此,其實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。

5.由短時傅里葉變換恢復(fù)信號由定義(5.2.1)式得到短時傅里葉變換的反變換為

設(shè)n=m,則

(5.2.8)

只要w(0)≠0,可以由STFTX(n,ω)準(zhǔn)確地恢復(fù)信號x(n)。

5.2.3短時傅里葉變換的時間、頻率分辨率由定義可知，STFT實際分析的是信號的局部譜，局部譜的特性決定于該局部內(nèi)的信號，也決定于窗函數(shù)的形狀和長度。為了了解窗函數(shù)的影響，假設(shè)窗函數(shù)取兩種極端情況。第一種極端情況是取w(n)=1，

-∞<n<∞,此時

這種情況下，STFT退化為信號的傅里葉變換，沒有任何時間分辨率，卻有最好的頻域分辨率。第二種極端情況是取w(n)=δ(n)，

此時

STFT退化為信號，有理想的時間分辨率，但不提供任何頻率分辨率。

短時傅里葉變換由于使用了一個可移動的時間窗函數(shù)，使其具有一定的時間分辨率。顯然,短時傅里葉變換的時間分辨率取決于窗函數(shù)w(n)的長度。為了提高信號的時間分辨率,希望w(n)的長度愈短愈好。但頻域分辨率取決于w(n)窗函數(shù)的頻域函數(shù)寬度，也就是低通濾波器w(n)的帶寬或者說帶通濾波器w(n)ejωn的帶寬，為了提高頻域分辨率，希望盡量加寬w(n)窗口寬度，這樣必然又會降低時域分辨率。因此,

STFT的時間分辨率和頻率分辨率不能同時任意提高。這種時域分辨率和頻域分辨率相互制約的性質(zhì)，也正反映了已為理論所證明了的“不確定原理”：（5.2.9）

式中Δt表示信號有效持續(xù)時間，Δf表示信號的有效帶寬。上面公式說明,對于窗函數(shù)，它的時間寬度和在頻率域的寬度不能同時任意小,也就是說,頻域分辨率和時域分辨率不能同時任意小。但可以選擇合適的窗函數(shù)，使Δt和Δf都比較小,其乘積接近于1/(4π)。窗函數(shù)的形式有很多,可以證明從有效時寬和有效頻寬乘積為最小的意義上講，高斯波形信號是最好的，但是它在時間軸和頻率軸上是無限擴(kuò)張的，因此它并不是一種最好的波形。我們知道，不可能存在既是帶限又是時限的信號波形，實際應(yīng)用中采用放松條件，研究在有限時寬的情況下，使頻率有效帶寬為最小的波形是什么，或者研究在有限帶寬情況下，使時寬最小的波形是什么，這部分內(nèi)容可參考文獻(xiàn)［8］、［2］。5.2.4短時傅里葉變換的實現(xiàn)

1.短時傅里葉變換的時域、頻域采樣

我們已經(jīng)知道,短時傅里葉變換是低通濾波器w(n)的輸出，假設(shè)其有效帶寬為Δ，對應(yīng)的模擬濾波器的有效帶寬為B,式中fs是x(n)的采樣頻率，那么對應(yīng)該模擬濾波器的時域采樣頻率應(yīng)是帶寬的兩倍(2B)以上,最小采樣頻率為2B即是最小再次采樣率。上式表明該采樣率是信號采樣率fs的P倍,也就是說,二次采樣間隔最大為1/P，即窗口每次移動的最大間隔是1/P。例如:窗函數(shù)選用哈明窗,長度為L,帶寬近似為4π/L，設(shè):fs=10kHz,L=100,則

即最大采樣間隔為25，n的取值為0,25,50,75,…。以上計算的再次采樣率是最小采樣率，采樣間隔是最大采樣間隔。對于頻率域采樣，假設(shè)在周期2π中采樣M點，為不發(fā)生時域混疊，

要求M≥L。

2.用FFT計算STFT假設(shè)在頻率域等間隔采樣M點，

k=0,1,2,3,…,M-1k=0,1,2,3,…,M-1按照定義一，有

（5.2.10）

令m=l+n，

上式變?yōu)?/p>

（5.2.11）

上式的求和區(qū)間是(-∞,∞)，可以按照長度為M的區(qū)間進(jìn)行劃分。一個個區(qū)間計算后，

再求和，這樣上式變成為

（5.2.12）

令l=m+rM,同時考慮到 ，得到(5.2.13)

式中

(5.2.14)m=0,1,2,3,…,M-1在(5.2.13)式中，對任何固定n

值，求和項可以用M點的FFT進(jìn)行計算，其中信號用（5.2.14）式計算。根據(jù)（5.2.13）式和(5.2.14)式,由x(n)計算STFT的過程如圖5.2.4所示。圖

5.2.4用FFT計算短時傅里葉變換3.用濾波器組法實現(xiàn)短時傅里葉變換假設(shè)在頻率域采樣M點,采樣點的頻率為

k=0,1,2,3,…,M-1將ωk代入定義(5.2.2)式中，得到

令

(5.2.15)則

(5.2.16)令

(5.2.17)則

(5.2.18)這樣對應(yīng)M個采樣點頻率,形成M個通道。(5.2.15)式即是每個通道的帶通濾波器的單位取樣響應(yīng),(5.2.17)式即是每個帶通濾波器的輸出,（5.2.18）式表示每個通道的STFT輸出。

圖

5.2.5

STFT一個通道的原理框圖

4.短時傅里葉變換的綜合

由短時傅里葉變換恢復(fù)時域信號稱為綜合。下面先推導(dǎo)短時傅里葉變換M個通道的等效傳輸函數(shù)。將M個帶通濾波器的輸出相加，輸出用y(n)表示,從x(n)到y(tǒng)(n)等效單位取樣響應(yīng)用h(n)表示,(5.2.19)(5.2.20)式中

等效傳輸函數(shù)用H(ejω)表示，即是上式的傅里葉變換。

(5.12.21)式中

(5.12.22)y(n)=x(n)*h(n)(5.2.23)(5.2.24)(5.2.23)式表示等效傳輸函數(shù)是M個帶通濾波器傳輸函數(shù)的疊加。下面證明公式：

M≥L

(5.2.25)證明

對于一定的ω，令ω=ωθ,ωk’=ωθ-ωk帶入上式左邊，得到上式最右邊求和號是頻域信號 的IDFT，即w(-n)。

另外,我們知道頻域采樣，使時域以采樣點數(shù)M為周期進(jìn)行周期性延拓，

因此

n=0,1,2,3,…,M-1這里M≥L

保證不出現(xiàn)時域混疊,令n=0,r=0,帶入上式，最后得到

(證畢)將上式代入(5.2.23)式,得到

H(ejω)=Mw(0),h(n)=F-1T［H(ejω)］=Mw(0)δ(n)

y(n)=x(n)*h(n)=Mw(0)x(n)(5.2.26)(5.2.26)式說明當(dāng)M≥L時,用短時傅里葉變換可以恢復(fù)原時域信號,恢復(fù)的可能性與窗函數(shù)的形狀無關(guān)。但是窗函數(shù)的形狀會影響其時間與頻率分辨率。由(5.2.18)式得到

(5.2.27)按照(5.2.19)式，

有

(5.2.28)上式表明，由STFT恢復(fù)原信號，也就是將每一路的STFT輸出乘以exp(jωkn)，然后進(jìn)行相加得到時域信號y(n)。下面將x(n)的短時傅里葉分析和y(n)信號的恢復(fù)畫在一起，如圖5.2.6所示。圖

5.2.6STFT分析與綜合的原理圖

我們知道,STFT的輸出的帶寬決定于低通濾波器的帶寬，其帶寬一般比輸入信號的帶寬小得多，如果輸入信號的采樣率滿足采樣定理，那么在STFT的輸出完全可以降低采樣率，對STFT的輸出進(jìn)行二次采樣，減少數(shù)據(jù)量，即運算量。為此,在信號STFT輸出端加一個抽取器，信號綜合時，再進(jìn)行插值，以恢復(fù)原來的采樣率。這樣,采用濾波器組實現(xiàn)STFT分析與綜合的原理框圖如圖5.2.7所示,圖中(a)與(b)分別對應(yīng)定義一和定義二。二次采樣率用輸入信號的帶寬與低通濾波器的帶寬之比進(jìn)行計算，設(shè)輸入信號帶寬用Δx表示，低通濾波器的帶寬用Δω表示，圖中的L用下式計算：

(5.2.29)

上面我們研究了STFT的計算方法，這里主要的問題是計算的有效性和時間窗的選擇。為了提高STFT計算的有效性，一些學(xué)者研究了遞歸算法，給出了矩形滑動窗遞推算法和矩形擴(kuò)展窗遞推算法（矩形窗的寬度作為遞歸形式進(jìn)行擴(kuò)展）;為了避免矩形窗帶來的截斷效應(yīng)，又給出哈明（Hamming）窗和漢寧（Hanning）窗的改進(jìn)遞歸算法，這樣又增加了計算的復(fù)雜性。文獻(xiàn)［3］給出了一種新的遞歸算法，它采用了全極點的滑動窗，它不僅克服了采用矩形窗帶來的截斷效應(yīng)，還比用哈明窗和漢寧窗的計算量和存儲量少得多。這方面內(nèi)容請參考文獻(xiàn)［2］、［3］。

圖

5.2.7用濾波器組實現(xiàn)STFT的一個通道

5.3維格納變換(WD)5.3.1WD的定義

確定性時間連續(xù)信號的WD定義如下:(5.3.1)定義表明這種變換是把過去某一時間信號乘上未來某一時間信號，再對兩個信號時間差τ求傅里葉變換得到。

令

(5.3.2)將rxx(t,τ)稱為瞬時自相關(guān)函數(shù)，那么WD就是信號瞬時自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。x(t)在頻率域的WD分布定義如下:(5.3.3)對于兩個連續(xù)時間信號x(t)與y(t),互WD定義為

(5.3.4)同樣,它們在頻率域的互WD定義如下:(5.3.5)式中,X(Ω)是x(t)的傅里葉變換;Y(Ω)是y(t)的傅里葉變換。(5.3.1)、（5.3.4）式是在時域的定義形式，(5.3.3)、（5.3.5）式是在頻域的定義形式?？梢宰C明,時域和頻域的定義形式有下面關(guān)系：(5.3.6)(5.3.7)5.3.2WD的性質(zhì)

1.WD的實數(shù)性和對稱性

(1)WD是t和Ω的實函數(shù)。

證明

對(5.3.1）式的兩邊取共軛,得到

令τ′=-τ,則

因此

(5.3.8)(2)如果x(t)是實信號，則WD是頻率的偶函數(shù)。

即

(5.3.9)證明

將定義中的Ω換成-Ω,得到

因此

(3)對于互WD,則具有如下性質(zhì):(5.3.10)

2.邊緣積分特性

(1)在固定時刻t，WD沿全頻率軸的積分等于在t時刻信號的瞬時功率Px(t)(也稱時間邊緣特性)，即（5.3.11）

證明

由定義(5.3.1)式,得到

令

那么

令t1=t2=t,τ=0,則得到

(2)在固定頻率Ω,WD沿全時間軸的積分等于該頻率的能量密度Px(Ω)(也稱頻率邊緣特性)，即(5.3.12)證明

由定義(5.3.3)式，得到

令

,那么

代入上式，

得到

令Ω1=Ω2=Ω,因此

(3)WD分布在整個（t，Ω）平面上,對t，Ω的雙重積分等于信號的總能量E，即

(5.3.13)利用(5.3.11)式和(5.3.12)式,可以推出

(5.3.14)

用以上性質(zhì)可對WD進(jìn)行能量化解釋,時間邊緣特性為信號的瞬時功率,頻率邊緣特性為信號的能譜密度,總能量E將Px(t)和Px(Ω)聯(lián)系起來,因此WD是一種能量化的時頻表示,但不能把WD解釋為在時間—頻率上每一點的時頻能量密度,因為WD有時可能是負(fù)的,且由不確定原理不允許在某個特定的時間—頻率處有能量這一概念。

3.WD的運算性質(zhì)

(1)時移與頻移的不變性。將x(t)時移τ，相應(yīng)的其WD分布也時移τ，用公式表示如下:

如果x(t)=y(t-τ)，那么（5.3.15）

x(t)用調(diào)制，其WD分布也頻移Ω0，用公式表示如下:

如果 ,那么（5.3.16）

(2)兩信號的時域卷積等于兩信號分別的WD在時間軸上的卷積，即:

如果y(t)=x(t)*h(t),則

（5.3.17）

(3)如果兩信號的相乘，它們的傅里葉變換服從卷積關(guān)系，則和它們對應(yīng)的WD在頻率軸上也服從卷積關(guān)系，用公式表示如下:

如果y(t)=x(t)h(t),則

如果x(t)表示信號，h(t)表示窗函數(shù)，此性質(zhì)表明信號加窗處理時，只影響頻率分辨率，不影響時間分辨率。（5.3.18）

(4)兩信號相加,設(shè)z(t)=x(t)+y(t),則

式中第三項稱為交叉(干擾)項，

其性質(zhì)意義在后面介紹。

（5.3.19）

4.WD的時限性和帶限性——區(qū)域性信號的維格納分布的時寬與頻寬，與信號本身的時寬與頻寬相同，即:若x(t)限制在t1≤t≤t2中，則它的WD分布也限制在同一時間域中；若x(t)的傅里葉變換X(jΩ)限制在Ω1≤Ω≤Ω2中，則它的WD分布也限制在同一頻率域中，用公式表示如下：如果

則

（5.3.20）

如果

則

（5.3.21）

利用該性質(zhì)，又可以得到下面結(jié)論：（1）

因果信號x(t)的WD也是因果的，即:若

t≥0t<0則

（5.3.22）

（2）解析信號z(t)的傅里葉變換限制在頻率的正半軸，解析信號z(t)的WD也限制在Ω≥0的上半平面，

即

（5.3.23）

5.可逆性

由定義得到

令

則

代入上式，

得到

令t2=0,再將t1用t代替，得到

上式說明,信號可以由其WD分布進(jìn)行重建，僅僅缺少初相位信息。

(5.3.24)

5.3.3常用信號的WD舉例 例

5.3.1求其WD。

解

下面確定對τ的積分限：

因此

|t|<T

|t|>T

(5.3.25)

上式表明WD在時間軸上限制在-T～T之間，在頻率軸上是sinx/x形式，最大值在（T,0）處。

波形圖如圖5.3.1所示。

圖

5.3.1例

5.3.1圖

例5.3.2 ,求其WD。解

該例題的信號是一個復(fù)正弦信號，可以看作平穩(wěn)隨機信號，其WD分布與時間無關(guān)，對任意時間都是一個在Ω=Ω0處的δ函數(shù)，

如圖

5.3.2所示。

(5.3.26)圖

5.3.2例

5.3.2圖

例5.3.3

已知x(t)=Acos(Ω0t),求其WD。

解按照例5.3.2和(5.3.19)式，推導(dǎo)如下:上面結(jié)果中的第一項表示信號，第二項即是交叉干擾項。交叉干擾項將在后面介紹。x(t)的WD如圖

5.3.3所示。

圖

5.3.3例

5.3.3圖

例5.3.4

已知 ,求其WD。解

(5.3.28)

x(t)是一個線性調(diào)頻信號，其WD清楚地表示出功率譜隨時間線性變化的性質(zhì)。WD如圖

5.3.4所示。

圖

5.3.4例

5.3.4圖

例5.3.5

已知 ,求互WD。

解

(5.3.29)例5.3.6已知高斯信號,求其WD。解

上式表明，

高斯信號的WD在時間上和頻率上有相同的波形。

(5.3.30)5.3.4關(guān)于二次時頻分布中的交叉(干擾)項前面曾說過WD是在時間、頻率二維域中的能量分布函數(shù)，必然是信號的二次型，或者說是一種雙線性變換。這里雙線性變換指的是x(t+τ/2)x*(t-τ/2)的傅里葉變換。這樣就使能量分布函數(shù)不服從線性疊加原理。我們知道,短時傅里葉變換是一種線性變換，它可以表示信號頻譜隨時間變化的規(guī)律。如果取它的模的平方，則可以粗略表示信號在時間、頻率二維域中的能量分布。一般把短時傅里葉變換模的平方稱為譜圖。譜圖是一種能量分布函數(shù)，也不服從線性疊加原理，兩個信號之和的譜圖并不等于它們分別的譜圖的和，還存在第三項即交叉項。下面推導(dǎo)說明。假設(shè)信號x(t)譜圖用SPECx(t,Ω)表示,（5.3.31）

設(shè)

式中,a,b為實常數(shù)。

式中

(5.3.32)(5.3.32)式表明,兩信號相加的譜圖并不等于兩個信號的譜圖之和，其譜圖包括三部分，第一部分和第二部分分別是兩個信號的譜圖，第三部分即是交叉項。交叉項的最大幅度是兩個信號譜圖幅度乘積的兩倍，而且交叉項幅度受到一個余弦函數(shù)的調(diào)制，其相位變化服從兩個譜圖相位差的變化規(guī)律。如果兩個信號自身的譜圖沒有重疊部分，則第三部分為零，即沒有交叉項，

這是譜圖的優(yōu)點。

事實上,任何二次時頻分布都不服從線性疊加原理，而服從二次疊加原理。下面介紹二次疊加原理。信號x(t)的二次時頻分布用Tx(t,Ω)表示，設(shè)

（5.3.33）

則

（5.3.34）

式中：和分別稱為x1(t)和x2(t)的自時譜;和 分別稱為x1(t)對x2(t)和x2(t)對x1(t)的互時譜。這種互時譜形成了二次時頻分布的交叉項。

下面再分析WD中的交叉項，

將(5.3.33)式帶入信號的雙線性變換中，

得到

(5.3.35)式中，第一、二項形成自時譜，第三、四項則形成互時譜，即交叉項。對照(5.3.34)式，WD服從二次疊加原理。對于有N個分量的信號，

二次疊加原理用下式表示：

設(shè)

,則

（5.3.36）

k≠l

例5.3.7已知 ,式中c1,c2為實數(shù)，求其WD。解

(5.3.37)

該例表明，兩個復(fù)單頻信號頻譜不重疊（Ω1≠Ω2）時，它的時頻分布除了自時譜以外，仍有交叉項;交叉項處在兩個信號頻率連線的中點，幅度受到兩信號頻率差值的余弦波調(diào)制，不能保證時頻分布是非負(fù)函數(shù)，其最大幅度是兩信號幅度乘積的4π倍。

例5.3.3是一個高頻實信號，由于分成了兩個復(fù)指數(shù)信號，即存在負(fù)頻率分量，在零頻率處形成交叉干擾項。因解析信號沒有負(fù)頻率分量，先將實信號轉(zhuǎn)變成解析信號，再進(jìn)行WD分析，可消除這種頻譜正負(fù)部分之間的交叉干擾項。下面對解析信號作簡單介紹。假設(shè)x(t)是實的連續(xù)時間信號，用z(t)表示對應(yīng)的解析信號。

z(t)定義為

（5.3.38）

式中是x(t)的Hilbert變換，或者說是x(t)通過一個Hilbert變換器形成的。Hilbert變換器的傳輸函數(shù)為(5.3.39)或者

H(jΩ)=-jsgn(Ω)(5.3.40)式中

(5.3.41)Hilbert變換器的單位沖激響應(yīng)為

(5.3.42)x(t)通過Hilbert變換器后，其輸出為

(5.3.43)這樣解析信號z(t)和x(t)之間的關(guān)系為

(5.3.44)將上式進(jìn)行傅里葉變換，

得到

Z(jΩ)=X(jΩ)+jH(jΩ)X(jΩ)=X(jΩ)［1+jH(jΩ)］

(5.3.45)將（5.3.39）式帶入上式，

得到

(5.3.46)上式表明,解析信號的頻譜只分布在正頻率范圍，是由實信號頻譜的正的部分乘以2構(gòu)成的;負(fù)頻率部分為0。

用上式可以求解析信號。例如ejΩt，其頻譜是在Ω處的δ函數(shù)，如果Ω是負(fù)的，那么也就沒有正頻率存在，因此它的解析信號為

Ω<0Ω>0例

5.3.8

求

f0≠0的解析信號。

解觀察（5.3.39）式，它的Hilbert變換當(dāng)Ω>0時，需將信號的相位變化-90°，幅度不變，因此 ,那么，x(t)的解析信號為

或者由

取其正頻率部分的兩倍，得到的解析信號和上式一樣。

5.4時域離散信號的維格納變換

5.4.1時域離散信號的WD定義

1.Classen提出的定義

按照連續(xù)時間信號維格納變換定義（5.3.1）式，可以引申出Classen提出的時域離散信號的WD定義:（5.4.1）

令k′=2k，

得到

（5.4.2）

注意式中的ω是數(shù)字頻率，但頻域的重復(fù)周期不是2π，而是π。因此下面公式成立:

（5.4.3）

對應(yīng)的頻域定義為

（5.4.4）

Classen提出的定義應(yīng)用較廣，保持了連續(xù)時間信號WD定義中有關(guān)時間上的一些特性，但頻域上的一些特性被破壞了，

例如,時間域的邊緣特性為

（5.4.5）

它不同于連續(xù)時間信號WD在時間上的積分等于信號在某一頻率的能量密度((5.3.12)式)。

2.Peyrin提出的定義將（5.4.1）式中的系數(shù)2去掉，

寫成下式:(5.4.6)令:n+m′/2=k,n-m′/2=n′-k,則k=(n′+m′)/2,這樣(5.4.6)式變成

令:n+m′/2=k,n-m′/2=n′-k,則k=(n′+m′)/2,這樣(5.4.6)式變成

(5.4.7)上式就是Piyrin提出的定義。它與Classen提出的定義相比，下面關(guān)系式成立:（5.4.8）

式中,上標(biāo)c代表Classen;上標(biāo)p代表Peyrin。該式表明等式左面的點只是等式右邊時間變量為偶數(shù)點的結(jié)果。因此,Peyrin提出的定義中包含有更多的信息，其中時間變量為奇數(shù)點的信息是Classen定義中缺少的。Peyrin提出的定義還有其它性質(zhì)和優(yōu)點，請參考文獻(xiàn)［2］。

5.4.2利用FFT計算維格納分布維格納分布的計算量很大，目前各種快速算法還不能從根本上解決實時處理的問題。下面介紹用FFT計算維格納分布的方法。如果用離散哈特萊變換（DHT）計算，計算的復(fù)雜性可由三倍復(fù)FFT減少到三倍實FFT的計算量，這部分內(nèi)容可參考文獻(xiàn)［2］。

離散時間信號的WD為

(5.4.9)

為用FFT進(jìn)行計算，需對信號進(jìn)行加窗處理，并且將頻率域離散化。假設(shè)窗函數(shù)用w(l)表示，它的時寬為2L-1。且當(dāng)|l|≥L時，

w(l)=0。加窗后的WD為

(5.4.10)

WDx(n,ω)的頻域周期是π，若在一個周期內(nèi)采樣N點(N=2L-1)，采樣間隔為Δω=π/N，為便于計算，再在尾部加個

0，使N=2L，令

(5.4.11)由于FFT的計算域是正的（l=0,1,…,N-1)，重新排列序列如下:l=0,1,…,L-1l=L,…,2L-1(5.4.12)最后得到

(5.4.13)上式就是用FFT計算WD的公式。

5.5時頻分布的統(tǒng)一表示式5.5.1模糊函數(shù)及其和WD之間的關(guān)系模糊函數(shù)也是一種常用的時頻表示，它廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、水聲等領(lǐng)域。本節(jié)主要介紹它的定義及其和WD之間的關(guān)系。

WD分布是對信號的雙線性變換x(t+τ/2)x*(t-τ/2)關(guān)于τ作傅里葉變換，如果對該雙線性變換關(guān)于時間t作傅里葉變換，則得到模糊函數(shù)的定義，公式為（5.5.1）

另外，對應(yīng)WD的頻率域定義（5.3.3）式，模糊函數(shù)在頻率域的定義是

（5.5.2）

而且

（5.5.3）

式中,X(f)是x(t)的傅里葉變換;t為時間，τ為時延;f為頻率;θ為頻偏。為分析模糊函數(shù)和WD之間的關(guān)系，定義:（5.5.4）

（5.5.5）

rx(t,τ)稱為瞬時自相關(guān)函數(shù)，Rx(f,θ)稱為瞬間頻自相關(guān)函數(shù)。這樣,WD是瞬時自相關(guān)函數(shù)關(guān)于τ的傅里葉變換，模糊函數(shù)是瞬時自相關(guān)函數(shù)關(guān)于時間t的傅里葉變換。按照定義，模糊函數(shù)和WD還可以表示成以下各式：

（5.5.6）

（5.5.7）

（5.5.8）

（5.5.9）

按照定義，可以證明模糊函數(shù)具有以下性質(zhì):

（1）

時移性。令x(t)=y(t-t0),則

（5.5.10）

(2)頻移性。令

,則

（5.5.11）

(3)濾波。令

（5.5.12）

則

（5.5.13）

(4)調(diào)制。令y(t)=x(t)m(t),則

(5.5.14)下面推導(dǎo)信號的WD和模糊函數(shù)之間的關(guān)系。

將(5.5.6)式重寫如下:(5.5.15)對上式進(jìn)行傅里葉反變換，得到瞬時自相關(guān)函數(shù)和WD之間的關(guān)系:(5.5.16)再對上式t作傅里葉變換，得到模糊函數(shù)和WD之間的關(guān)系:（5.5.17）

按照(5.5.8)式，還可以得到下式:（5.5.18）

(5.5.17)式和(5.5.18)式表明了WD和模糊函數(shù)之間存在如公式那樣的二維傅氏變換關(guān)系。另外,還可以推導(dǎo)出瞬時自相關(guān)和瞬間頻自相關(guān)之間的關(guān)系，如下式:(5.5.19)(5.5.20)

總結(jié)以上，(5.5.6)式～(5.5.9)式和(5.5.17)式～(5.5.20)式，將rx(t,τ)、WDx(t,f)、Rx(θ,τ)以及Ax(θ,τ)聯(lián)系起來，如圖5.5.1所示。圖中 表示將τ映射為f的傅氏變換，反過來,則表示由f映射為τ的傅氏反變換，其它類似。圖5.5.1rx(t,τ)、WDx(t,f)、Rx(θ,f)、Ax(θ,τ)之間的關(guān)系

這四個函數(shù)有四個變量，即時間變量t、時間延遲τ、頻率f、頻偏θ，共形成了四個域，即：（1）時頻域(t,f)，對應(yīng)WDx(t,f);

（2）瞬時相關(guān)域（t,τ），對應(yīng)rx(t,τ);

（3）譜相關(guān)域（θ,f），對應(yīng)Rx(f,θ);

（4）模糊域（θ,τ），對應(yīng)Ax(τ,θ)。WDx(t,f)和Ax(τ,θ)是信號的兩個不同的時頻表示，按照上述分析，還應(yīng)注意它們下面的兩個不同點：（1）WD是能量化的時頻表示，存在時間邊緣特性Px(t)和頻率邊緣特性Px(Ω)，公式重寫如下:(5.5.21)(5.5.22)Px(t)稱為信號的瞬時功率，Px(f)稱為信號的能譜密度，信號的總能量為

(5.5.23)模糊函數(shù)是相關(guān)化的時頻表示，將模糊函數(shù)的定義重寫如下:(5.5.24)(5.5.25)在(5.5.24)式中,令θ=0,得到時間相關(guān)化邊緣特性rx(τ),(5.5.26)在(5.5.25)式中,令τ=0,得到頻率相關(guān)化邊緣特性Rx(θ),rx(τ)稱為瞬時相關(guān),Rx(θ)稱為譜相關(guān)，因此模糊函數(shù)將瞬時相關(guān)和譜相關(guān)兩個概念綜合在一起。

（2）WD滿足時頻移不變性質(zhì)，即滿足（5.3.15）式和(5.3.16)式,或者用下式表示:如果 ,則

(5.5.28)而模糊函數(shù)滿足相關(guān)化移不變性質(zhì),用公式表示如下:

如果 ,則

(5.5.29)相關(guān)化移不變性質(zhì)來源于瞬時相關(guān)和譜相關(guān)移位性質(zhì)得到的術(shù)語,用公式表示如下:如果 ,則

(5.5.30)總結(jié)起來,WD和模糊函數(shù)是信號的兩種不同的時頻表示,性質(zhì)不同,相互關(guān)系是(5.5.17)、(5.5.18)式表示的二維傅氏變換對。這兩種時頻表示的一些對偶關(guān)系如表5.5.1所示。

表

5.5.1WD和模糊函數(shù)的一些對偶關(guān)系

5.5.2Cohen類時頻分布

維格納分布和模糊函數(shù)是實際中比較常用的兩種時頻分析,此外還有許多種時頻分析,盡管它們的形式和性質(zhì)不盡相同,但彼此常有一定的聯(lián)系和共同點,因此可用一個統(tǒng)一的表達(dá)式表示出來,這就是L.Cohen提出的廣義雙線性時頻表示,公式為

(5.5.31)式中φ(θ,τ)表示核函數(shù)。采用不同的核函數(shù)可以得到不同的時頻分布，時頻分布的各種性質(zhì)要求,則反映在對核函數(shù)的約束條件上。把滿足（5.5.31）式的時頻分布，統(tǒng)稱為Cohen類時頻分布。

WD時頻分布是Cohen類時頻分布中最基本的時頻分布。下面證明當(dāng)核函數(shù)φ(θ,τ)=1時，

Cohen類時頻分布將轉(zhuǎn)換成WD。

將φ(θ,τ)=1帶入（5.5.31）式,得到

下面介紹時頻分布的性質(zhì)對核函數(shù)要求的約束條件：（1）如要求Cx(t,Ω)=C*x(t,Ω)，即要求時頻分布是實的，充要條件是要求核函數(shù)滿足下式:

（2）

如要求時頻分布具有時間邊緣特性和頻率邊緣特性，

即若要求：

則要求：

φ(θ,0)=1若要求

則要求：

（3）

如要求:

則要求：

（4）

如要求時移不變和頻移不變，

即若要求：

則要求φ(θ,τ)獨立于t和f。

（5）

如能抑制Cx(t,f)的交叉項，則要求φ(θ,τ)為低通濾波。

（6）如Cx(t,f)具有時間支持特性，即當(dāng)|t|>ta時，x（t）=0，Cx(t,f)=0,則要求:

（7）如Cx(t,f)具有頻率支持特性，即當(dāng)|f|>fc時,X(f)=0,Cx(t,f)=0,則要求:|θ|<2|fc|

下面介紹Cohen類時頻分布的四種表示形式。

(1)二維濾波的維格納分布。如果對核函數(shù)φ(θ,τ)作二維傅里葉變換,得到

(5.5.32)Φ(t,f)稱為時頻域核函數(shù),φ(θ,τ)稱為模糊域核函數(shù)。由上式得到

(5.5.33)又由WD的定義得到

(5.5.34)將(5.5.33)式和(5.5.34)式帶入(5.5.31)式,得到

(5.5.35)上式就是維格納分布與時頻域核函數(shù)Φ(t,f)的二維褶積,也稱為廣義維格納分布,因此Cx(t,f)類時頻分布可以理解為二維濾波的維格納分布。(2)廣義模糊函數(shù)M(θ,τ)的M(-θ,τ)的二維傅里葉變換。

(5.5.36)

式中

(5.5.37)將上式帶入(5.5.31)式,得到(5.5.36)式。M（θ,τ）稱為廣義模糊函數(shù),它是由模糊域核函數(shù)φ(θ,τ)對Ax(θ,τ)加權(quán)所得的模糊函數(shù)。因此,(5.5.36)式可理解為廣義模糊函數(shù)M(θ，τ)的M(-θ,τ)的二維傅里葉變換。

(3)廣義自相關(guān)函數(shù)對時延τ的一維傅里葉變換。

(5.5.38)式中

(5.5.39)rx′(t,τ)稱為廣義自相關(guān)函數(shù),而

(5.5.40)ψ(t,τ)稱為瞬時相關(guān)域的核函數(shù)。

由(5.4.40)式得到

(5.5.41)(5.5.39)式和(5.5.41)式表明廣義自相關(guān)函數(shù)為信號的瞬時自相關(guān)函數(shù)rx(t,τ)與瞬時相關(guān)域的核函數(shù)ψ(t,τ)對t的褶積,因此(5.5.38)式可以理解為廣義自相關(guān)函數(shù)rx′(t,τ)對時延τ的一維傅氏變換。

將（5.5.39）式帶入(5.5.38)式,得到

(5.5.42)(4)廣義譜相關(guān)函數(shù)的對θ的一維傅里葉變換。

式中

(5.5.43)(5.5.44)Rx′(θ,f)稱為廣義譜相關(guān)函數(shù),而

(5.5.45)Ψ(θ,f)稱為譜相關(guān)域的核函數(shù),由上式得到

(5.5.46)譜相關(guān)函數(shù)Rx(θ,ξ)為

(5.5.47)因此

(5.5.48)

上面四種等價的表示形式可歸納為對維格納分布、模糊函數(shù)，瞬時相關(guān)函數(shù)和瞬間頻相關(guān)函數(shù)的四種表示形式。它們是

(5.5.49)(5.5.50)(5.5.51)(5.5.52)四種核函數(shù)之間的關(guān)系為

(5.5.53)(5.5.54)(5.5.55)四種核函數(shù)之間的關(guān)系如圖5.5.3所示。

圖

5.5.2Cx(t,f)在(t,τ)、

(θ,f)、

(θ,τ)及(t,f)域之間的關(guān)系

圖

5.5.3四種核函數(shù)之間的關(guān)系

WD是能量化的時頻表示，而模糊函數(shù)是相關(guān)化的時頻表示，相應(yīng)的前者是時頻域（t，f），后者是模糊域（θ,τ）。相應(yīng)的可以將Cohen類時頻分布分成兩類時頻表示，即能量化時頻表示和相關(guān)化時頻表示。能量化時頻表示將瞬時功率和譜能量密度兩種概念綜合在一起，能量化的解釋用邊緣特性(5.5.21)式和(5.5.22)式表示，它的原始公式是(5.5.31)式，(5.5.49)～(5.5.52)式是它的四種等價形式。能量化時頻表示簡稱CE類(下標(biāo)E表示能量化)。相關(guān)化時頻表示將瞬時相關(guān)和相關(guān)綜合在一起，并用相關(guān)化邊緣特性描述(即(5.5.26)、(5.5.27)式)，相關(guān)化時頻表示簡稱Cc類(下標(biāo)c表示相關(guān)化)。CE類時頻表示Cx(t,f)中任何一種等價形式的對偶相關(guān)化時頻表示Pdual,x(θ,τ)均有下面公式：

(5.5.56)CE類和Cc類的傅氏變換關(guān)系用圖

5.5.4表示。

圖

5.5.4CE類和Cc類的傅氏變換關(guān)系

5.5.3廣義雙線性時頻分布舉例

1.指數(shù)分布（ED）這種廣義雙線性時頻分布的核函數(shù)是指數(shù)形式的，因此稱為指數(shù)分布。又因為是由Choi

Williams提出的，也稱Choi

Williams分布（CWD）。這種分布對含有多個頻率分量的信號，可以有效地抑制交叉項，并保持時頻分布的一些期望特性，是一種常用的廣義雙線性時頻分布，下面作簡單介紹。

指數(shù)分布在（θ,τ）域的核函數(shù)為

(5.5.57)在(t,τ)域的核函數(shù)為

(5.5.58)式中σ>0，是尺度因子。將上式帶入（5.5.38）、(5.5.39)式中,得到它的時頻分布Ex(t,f)為

(5.5.59)下面說明按照核函數(shù)的約束條件,這種時頻分布具有的性質(zhì)。(1)按照(5.5.57)式,核函數(shù)滿足下式:因此該時頻分布是實值的。

（2）

按照(5.5.57)式,核函數(shù)滿足下列式:因此指數(shù)分布具有邊緣特性和能量特性，

即

（3）信號的時移或頻移在指數(shù)分布中產(chǎn)生相應(yīng)的時移或頻移，這是因為所有的CE類廣義時頻分布均有這種性質(zhì)。

（4）指數(shù)分布對時間t的一階矩和對頻率的一階矩分別等于群延遲T（Ω）和瞬時頻率Ω（t）特性。這是因為核函數(shù)滿足

（5）指數(shù)分布可以有效地抑制多頻率成分信號的交叉項。假設(shè)信號是一個多頻率信號，用下式表示:(5.5.60)可以推出它的廣義模糊函數(shù)用下式表示:(5.5.61)上式中第一項是廣義自模糊函數(shù)項，第二項是廣義互模糊函數(shù)項，

它們分別用下式表示：l≠m(5.5.62)(5.5.63)廣義自模糊函數(shù)主要集中在原點附近,而廣義互模糊函數(shù)或者說交叉項則離開原點一段距離。這樣,如果要突出廣義自模糊函數(shù)項，并且抑制廣義互模糊函數(shù)項，則要求核函數(shù)在（θ,τ）平面的原點附近有較大的加權(quán)值，對交叉項的加權(quán)值盡可能小，從而達(dá)到抑制交叉項的目的。指數(shù)分布的核函數(shù)則具備這種性質(zhì)，因此它可以有效地抑制交叉項。假設(shè)兩頻率信號如下式所示：

(5.5.64)該信號的指數(shù)分布為

(5.5.64)式中加權(quán)值

(5.5.65)上面兩式表明交叉項的幅度由WEIGHT控制,當(dāng)Ω=(Ω1+Ω2)/2時,交叉項的幅度與成反比,另外,它以距離［Ω-(Ω1+Ω2)/2］2式指數(shù)地衰減。

2.廣義指數(shù)分布（GED）與巴特沃斯分布（BUD）

1)廣義指數(shù)分布廣義指數(shù)分布的核函數(shù)為

（5.5.66）

式中,N、M為正的冪次;θ1和τ1分別是正的頻率和時間尺度常數(shù)。下面說明該核函數(shù)具有低通特性。

先分析下面低通濾波函數(shù)θM(x)的特性:（5.5.67）

該函數(shù)的濾波特性如圖5.5.5所示。此圖表明,當(dāng)x1一定時,隨M的增大,通帶變得愈平坦,過渡帶愈窄。當(dāng)M→∞時,變成在x=x1

處截止的理想低通濾波器。

圖

5.5.5θM(x)的濾波特性

令 ,則

(5.5.68)這種情況下,廣義指數(shù)核函數(shù)變成一維低通濾波函數(shù)θM(x),當(dāng)N=M=1時, ,x=τθ,上式變?yōu)?5.5.69)即θ1(x)是指數(shù)分布的核函數(shù)。此時,核函數(shù)具有最差的低通特性。當(dāng)M加大時，濾波性能變好。因此說,廣義指數(shù)分布是可以改善時頻分布性能的一種分布，通過改善,使其自項失真小，

交叉項衰減大。

2）巴特沃斯分布巴特沃斯分布的核函數(shù)定義為

N,M,θ1,τ1>0(5.5.70)上式表明,該核函數(shù)具有可變的、平坦的通帶及窄的過渡帶的低通特性。當(dāng) ,

上式變成

(5.5.71)上式即是濾波器中的最大平坦平方幅度的巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù),當(dāng)M加大時，它趨近于理想低通濾波器。因此，這種分布也可以改善指數(shù)分布的時頻分布的性能。除了上面介紹的廣義雙線性時頻分布以外，常用的還有平滑偽維格納分布（SPWD）、錐形（Cone）核分布（CKD）、降低干擾項分布（RID）、貝塞爾（Bessel）分布（BD）等等。

5.6時頻分析在編隊目標(biāo)架次檢測中的應(yīng)用

5.6.1編隊飛機目標(biāo)多普勒特性分析本節(jié)我們分析編隊飛機目標(biāo)的多普勒頻率特性，從而探討在多普勒域?qū)崿F(xiàn)多目標(biāo)分辨的可能性。眾所周知，雷達(dá)目標(biāo)回波的多普勒頻率fd取決于雷達(dá)工作波長λ、目標(biāo)運動速度v以及目標(biāo)飛行方向與雷達(dá)視線的夾角φ，

即

(5.6.1)

圖5.6.1顯示了兩架飛機編隊情況。假設(shè)編隊飛行時，兩架飛機的速度相同，則它們回波的多普勒頻率的差別就取決于它們各自與雷達(dá)視線夾角的不同，

即

(5.6.2)φ1與φ2的差別是由兩飛機的間距d和目標(biāo)距雷達(dá)的距離R所決定的。一般有R>>d,

因此，φ1與φ2的差別是很小的，進(jìn)一步化簡，

有

(5.6.3)圖5.6.1兩架飛機編隊情況式中，利用了當(dāng)R>>d

時，sin(φ1-φ2)≈φ1-φ2≈(d/R)sinφ,其中φ=(φ1+φ2)/2是平均的雷達(dá)視線與飛行方向的夾角。由(5.6.3)式可以看出，