講七章靜定桁架組合結(jié)構(gòu)及對稱性利用

結(jié)構(gòu)力學(xué)

StructuralMechanics孟昭博聊城大學(xué)建筑工程學(xué)院7.5超靜定桁架及組合結(jié)構(gòu)以受軸力為主，因此計算位移系數(shù)時一般只計算軸力項。須注意：一般δii要考慮作為多余約束被切斷桿的軸力項。一、超靜定桁架超靜定桁架中各桿的最后軸力則可按下式計算：llFPFP基本體系例1：求圖示超靜定桁架各桿軸力。各桿EA=常數(shù)。解：(1)基本體系(2)力法方程

11X1+

1P=0X1X1(3)系數(shù)與自由項的計算①計算計算②計算系數(shù)和自由項計算(4)求解力法方程(5)計算各桿軸力計算若選取圖示基本結(jié)構(gòu)，力法方程相同嗎？X1X1

11X1+

1P=-llFP1X1=1X1=1111100011返回00000-FPFPFP0.604FP-0.854FP-0.396FP-0.396FP0.560FPFP-0.396FP二、超靜定組合結(jié)構(gòu)力法方程的系數(shù)和自由項表達(dá)式為：各桿內(nèi)力的疊加公式為：用力法計算時，一般可將鏈桿作為多余約束切斷而得到其靜定的基本體系。計算系數(shù)和自由項時，對鏈桿應(yīng)考慮軸向變形的影響；對梁式桿一般只考慮彎曲變形的影響，而忽略其剪切變形和軸向變形的影響。

基本體系例2：計算圖示超靜定組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。橫梁I=1×10-4m4，鏈桿A=1×10-3m2，E=常數(shù)，q=10kN/m。解：(1)基本體系(2)力法方程

11X1+

1P=0(3)系數(shù)與自由項計算①計算計算②計算系數(shù)和自由項計算(4)求解力法方程(5)計算各桿內(nèi)力計算4m2m4mAA2AIIqqX1并作出(6)討論：鏈桿的支承對橫梁的影響討論q

X1=1-1111/2

X1=124m2m4mAA2AIIq00080&+50.2+50.2-44.99.815.4&&A→∞時20+55.9+55.9-501.5m11.3返回1.76m

橫梁由于下部鏈桿的支承，彎矩大為減小。

隨A

，

11

，X1

，梁的負(fù)彎矩值而正彎矩值

；

當(dāng)A→∞時，X1→5ql/8，梁的M圖與兩跨連續(xù)梁M圖相同。

當(dāng)A→0時，X1→0，梁的M圖與簡支梁M圖相同；

1、結(jié)構(gòu)和荷載的對稱性

力法簡化分析的思路----使力法方程組降階結(jié)構(gòu)對稱性的利用彈性中心法(1)結(jié)構(gòu)的對稱性對稱結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足兩個方面的條件：

結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況對某一軸對稱；

桿件截面尺寸和材料性質(zhì)也對此軸對稱。（剛度對稱）EI1EI2EI2對稱軸EI1EI1EI2EI2對稱軸對稱軸llEIEI對稱軸7.6結(jié)構(gòu)對稱性的利用1、結(jié)構(gòu)和荷載的對稱性(2)荷載的對稱性

對稱荷載------繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載作用點重合、等值、同向。FP1qFP2FP2

反對稱荷載---繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載作用點重合、等值、反向。qFPFPq

任何荷載都可以分解為對稱荷載與反對稱荷載的組合。qFPFP/2q/2=q/2FP/2對稱荷載+q/2q/2反對稱荷載FP/2FP/2FP2FP12、結(jié)構(gòu)對稱性的利用(1)選取對稱的基本結(jié)構(gòu)(任意荷載，僅用于力法)

要點：選取對稱的基本結(jié)構(gòu)，使對稱處對稱多余未知力與反對稱多余未知力之間的副系數(shù)等于零，從而使力法方程組降階，以簡化計算。

分析：FP2FP1X2X2X3X1

11X1+

12X2+

13X3+

1P=0

21X1+

22X2+

23X3+

2P=0

31X1+

32X2+

33X3+

3P=0X2=1X2=1X1=1X3=1(1)選取對稱的基本結(jié)構(gòu)(任意荷載，僅用于力法)

分析：

11X1+

12X2+

13X3+

1P=0

21X1+

22X2+

23X3+

2P=0

31X1+

32X2+

33X3+

3P=0X2=1X2=1X1=1X3=1

11X1+

12X2+

1P=0

21X1+

22X2+

2P=0

33X3+

3P=0力法方程組降階

如果荷載對稱，MP對稱，

3P=0

如果荷載反對稱，MP反對稱，

1P=

2P=0

X3=0；

X1=X2=0。2、結(jié)構(gòu)對稱性的利用

對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，內(nèi)力和變形是對稱的，因此在對稱的基本體系中，反對稱未知力等于零，只需計算對稱未知力。

對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，內(nèi)力和變形是反對稱的，因此在對稱的基本體系中，對稱未知力等于零，只需計算反對稱未知力。(1)選取對稱的基本結(jié)構(gòu)(任意荷載，僅用于力法)ll/2l/2lFPFPX1X2X1'X2'X1'X2'在一般荷載作用下，若基本結(jié)構(gòu)對稱處多余未知力既非對稱也非反對稱，可將其進(jìn)行分解為對稱和反對稱的兩組廣義未知力，從而使力法方程組解偶為兩組，一組只包含對稱未知力，另一組只包含反對稱未知力。

11X1+

12X2+

1P=0

21X1+

22X2+

2P=02、結(jié)構(gòu)對稱性的利用(2)取半邊結(jié)構(gòu)計算(對稱或反對稱荷載，適用各種計算方法)①對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，內(nèi)力、變形和位移是對稱的。EIEIEIFPFPC位于對稱軸上的截面的位移

CH=0，

C=0；FPFPFNCFNCFQCMC內(nèi)力FQC=0。FPFPCFPCFPFPCMC=0

C0FPC奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下半邊結(jié)構(gòu)取法：將對稱軸上的截面設(shè)置成定向支座，鉸結(jié)點設(shè)置成與對稱軸垂直的支桿。2、結(jié)構(gòu)對稱性的利用(2)取半邊結(jié)構(gòu)計算(對稱或反對稱荷載，適用各種計算方法)①對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，內(nèi)力、變形和位移是對稱的。EIEIEIFPFPC位于對稱軸上的截面的位移

CH=0，

C=0；FPFPFNCFNCFQCMC內(nèi)力FQC=0。FPFPCFPC

CV=0FPFPCFPFPCFPC

偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下半邊結(jié)構(gòu)取法：將對稱軸上的剛結(jié)點、組合結(jié)點化成固定端，鉸結(jié)點化成固定鉸支座。

2、結(jié)構(gòu)對稱性的利用(2)取半邊結(jié)構(gòu)計算(對稱或反對稱荷載，適用各種計算方法)②對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，內(nèi)力、變形和位移是反對稱的。EIEIEIFPFPCA、位于對稱軸上的截面的位移

CV=0；FPFPFNCFNCFQCMC內(nèi)力MC=0、FNC=0。

奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)在反對荷載作用下半邊結(jié)構(gòu)取法：將對稱軸上的截面設(shè)置成設(shè)置成一根與對稱軸重合的支桿。FPFPCFPC2、結(jié)構(gòu)對稱性的利用(2)取半邊結(jié)構(gòu)計算(對稱或反對稱荷載，適用各種計算方法)②對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，內(nèi)力、變形和位移是反對稱的。EIEIEIFPFPCA、位于對稱軸上的截面的位移

CV=0；FPFPFNCFNCFQCMC內(nèi)力MC=0、FNC=0。

偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下半邊結(jié)構(gòu)取法：將中柱剛度折半，結(jié)點形式不變。FPFPCEI分析FPCFPFPCEIFPC2、結(jié)構(gòu)對稱性的利用偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其等代結(jié)構(gòu)的選法FPFPCEIFPFPCEI/2EI/2FPFPEI/2EI/2

由于荷載是反對稱的，故C截面只有剪力FQC。這對剪力只能使對稱軸兩側(cè)的兩根立柱產(chǎn)生大小相等、性質(zhì)相反的軸力，而原結(jié)構(gòu)中間柱是這兩根柱的疊加，故這對剪力對原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形無任何影響。FQCFQCFPEI/2半邊結(jié)構(gòu)返回◆無彎矩狀態(tài)的判定

在不考慮軸向變形的前提下，超靜定結(jié)構(gòu)在結(jié)點集中力作用下，有時無彎矩、無剪力，只產(chǎn)生軸力。常見的無彎矩狀態(tài)有以下三種：

(1)一對等值、反向的集中力沿一直桿軸線作用，只有該桿有軸力。-FPM=0(2)一集中力沿一柱軸線作用，只有該柱有軸力。FPFPFP-FPM=0(3)無結(jié)點線位移的結(jié)構(gòu)受結(jié)點集中力作用，只有軸力。FPM=0FPMP=0◆利用對稱性進(jìn)行結(jié)構(gòu)計算要點(1)選取半邊結(jié)構(gòu)；(2)對半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算，繪制彎矩圖；(3)利用對稱性或反對稱性作原結(jié)構(gòu)彎矩圖；(4)一般荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載。例3：繪制圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。46kN/m6m6m2EI6mEIEIEIEI23kN/m6m6mEIEIEI103.519881135198103.58113581396207M圖：kN·m例4：作出圖示剛架的彎矩圖。各桿EI=常數(shù)。l/2l/2l/2l/2l/2l/2FPFPFPFPl/2l/2FPFPl/2l/2FPl/2l/2FPl/8FPl/8FPl/4FPFPFPFPFPl/8FPl/8例5：繪制圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。解：(1)取1/4結(jié)構(gòu)l/2l/2l/2FPEI=常數(shù)FPl/2l/2l/4l/2FP/2(2)計算1/4結(jié)構(gòu)①基本體系FP/2FP/2X1FP/2基本體系1/4結(jié)構(gòu)②力法方程

11X1+

1P=0③計算系數(shù)自由項X1=11FP/2FPl/4例5：繪制圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。解：(1)取1/4結(jié)構(gòu)l/2l/2l/2FPEI=常數(shù)FPl/2l/2FP/2(2)計算1/4結(jié)構(gòu)①基本體系FP/2②力法方程

11X1+

1P=0③計算系數(shù)自由項X1=11FP/2FPl/4④求解力法方程⑤作M圖l/2l/2l/2FPl/6FPl/12M圖(3)作原結(jié)構(gòu)M圖例6：作圖示剛架在水平荷載作用下的彎矩圖。解：(1)荷載分解為對稱與反對稱荷載lhEI1EI1EI2FPFP/2FP/2FP/2FP/2對稱荷載反對稱荷載(2)對稱荷載作用下內(nèi)力分析：-FP/2M=0(3)反對稱荷載作用下內(nèi)力分析：FP/2FP/2X1

11X1+

1P=0FP/2X1=1l/2l/2FPh/2例6：作圖示剛架在水平荷載作用下的彎矩圖。FP/2X1=1l/2l/2FPh/2k很小弱梁強(qiáng)柱→0k很大強(qiáng)梁弱柱→∞k=3荷載作用下，內(nèi)力只與各桿的剛度比值有關(guān)，而與各桿的剛度絕對值無關(guān)。內(nèi)力分布與各桿剛度大小有關(guān)，剛度大者，內(nèi)力也大。例7：試?yán)脤ΨQ性計算圖示剛架，并繪彎矩圖。aaaaFPFPEI=常數(shù)EAFP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2M=0FP/2FP/2對稱荷載反對稱荷載EA/200FP/2FP/2X1

11X1+

1P=0X1=1