微積分-不定積分

微積分--不定積分2024-01-24不定積分基本概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)不定積分幾種特殊類(lèi)型不定積分求解技巧contents目錄01不定積分基本概念與性質(zhì)不定積分定義及幾何意義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，如果存在可導(dǎo)函數(shù)$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$對(duì)任意$xinI$都成立，則稱(chēng)$F(x)$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于任意常數(shù)$C$，函數(shù)族$F(x)+C$也是$f(x)$的原函數(shù)。稱(chēng)$intf(x)dx=F(x)+C$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的不定積分，其中$int$為積分號(hào)，$dx$為被積表達(dá)式，$f(x)$為被積函數(shù)，$F(x)+C$為積分結(jié)果。不定積分定義不定積分的幾何意義是求曲線$y=f(x)$與直線$x=a,x=b(a<b)$及$x$軸所圍成的圖形面積。當(dāng)$f(x)geq0$時(shí)，面積在$x$軸上方；當(dāng)$f(x)leq0$時(shí)，面積在$x$軸下方。幾何意義如果函數(shù)$F(x)$是另一個(gè)函數(shù)$f(x)$的原函數(shù)，則稱(chēng)$F(x)$為$f(x)$的反導(dǎo)數(shù)。反導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系是互逆的，即如果$F'(x)=f(x)$，則$intf(x)dx=F(x)+C$。原函數(shù)與反導(dǎo)數(shù)的定義原函數(shù)具有唯一性，即一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)；而反導(dǎo)數(shù)則不具有唯一性，因?yàn)槌?shù)項(xiàng)在求導(dǎo)過(guò)程中會(huì)消失。因此，在求解不定積分時(shí)，需要加上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)以表示所有可能的原函數(shù)。原函數(shù)與反導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)與反導(dǎo)數(shù)關(guān)系$int[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1intf_1(x)dx+k_2intf_2(x)dx$，其中$k_1,k_2$為常數(shù)。線性性質(zhì)$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$，其中$a<c<b$。積分區(qū)間可加性若在區(qū)間$[a,b]$上，有$f(x)leqg(x)$，則$int_a^bf(x)dxleqint_a^bg(x)dx$。積分不等式性質(zhì)010203不定積分基本性質(zhì)基本初等函數(shù)的積分公式01包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的基本積分公式。分部積分法02當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)不同類(lèi)型函數(shù)的乘積時(shí)，可以使用分部積分法進(jìn)行求解。具體步驟包括選擇合適的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)和積分，然后利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算。換元積分法03當(dāng)被積函數(shù)含有根號(hào)或復(fù)雜表達(dá)式時(shí)，可以使用換元法進(jìn)行求解。具體步驟包括選擇合適的變量進(jìn)行代換，將原積分轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式進(jìn)行計(jì)算。積分表及常用公式02換元積分法觀察被積函數(shù)，尋找可湊微分的部分通過(guò)湊微分，將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于積分的函數(shù)與另一個(gè)函數(shù)的乘積對(duì)新函數(shù)進(jìn)行積分，得到原函數(shù)的不定積分第一類(lèi)換元法（湊微分法）第二類(lèi)換元法（變量代換法）01設(shè)定新的變量，將原變量用新變量表示02通過(guò)變量代換，將原不定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量的不定積分對(duì)新變量進(jìn)行積分，再將結(jié)果代回原變量，得到原函數(shù)的不定積分03010203對(duì)于含有根號(hào)或三角函數(shù)的不定積分，可采用三角函數(shù)代換或根式代換通過(guò)代換，將原不定積分轉(zhuǎn)化為易于積分的函數(shù)形式對(duì)新函數(shù)進(jìn)行積分，再將結(jié)果代回原變量，得到原函數(shù)的不定積分三角函數(shù)代換與根式代換復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)代換01對(duì)于復(fù)合函數(shù)或反函數(shù)形式的不定積分，可采用復(fù)合函數(shù)代換或反函數(shù)代換02通過(guò)代換，將原不定積分轉(zhuǎn)化為易于積分的函數(shù)形式03對(duì)新函數(shù)進(jìn)行積分，再將結(jié)果代回原變量，得到原函數(shù)的不定積分03分部積分法分部積分公式∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx適用條件當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)不同類(lèi)型函數(shù)的乘積時(shí)，可以嘗試使用分部積分法。分部積分公式及適用條件對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)相乘時(shí)應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)相乘的不定積分，可以通過(guò)分部積分法轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的單獨(dú)積分。例如，∫xlnxdx=1/2x^2lnx-1/4x^2+C三角函數(shù)與冪函數(shù)相乘的不定積分，可以通過(guò)分部積分法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的單獨(dú)積分或冪函數(shù)的單獨(dú)積分。例如，∫xcosxdx=xsinx+cosx+C三角函數(shù)與冪函數(shù)相乘時(shí)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)相乘的不定積分，可以通過(guò)分部積分法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的單獨(dú)積分或冪函數(shù)的單獨(dú)積分。例如，∫xe^xdx=xe^x-e^x+C指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)相乘時(shí)應(yīng)用04有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)不定積分VS一個(gè)有理函數(shù)可以唯一地表示為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和，其中真分式的分母不能分解為更簡(jiǎn)單的因式。求法首先通過(guò)觀察或長(zhǎng)除法將有理函數(shù)化為多項(xiàng)式與真分式之和，然后對(duì)真分式進(jìn)行部分分式分解，最后對(duì)每一部分進(jìn)行不定積分。有理函數(shù)分解定理有理函數(shù)分解定理及求法當(dāng)分母為一次或二次多項(xiàng)式時(shí)，可將分子設(shè)為常數(shù)或一次多項(xiàng)式，通過(guò)比較系數(shù)求解。當(dāng)分母為高于二次的多項(xiàng)式時(shí)，可設(shè)分子為與分母次數(shù)低一次的多項(xiàng)式，通過(guò)比較系數(shù)求解。分子多項(xiàng)式法待定系數(shù)法真分式分解為部分分式方法萬(wàn)能代換法利用三角函數(shù)的萬(wàn)能公式將三角函數(shù)有理式化為有理函數(shù)進(jìn)行求解。要點(diǎn)一要點(diǎn)二輔助角法通過(guò)引入輔助角將三角函數(shù)有理式化為簡(jiǎn)單的三角函數(shù)形式進(jìn)行求解。三角函數(shù)有理式求不定積分方法換元法通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將無(wú)理根式化為有理函數(shù)進(jìn)行求解。分部積分法利用分部積分公式將無(wú)理根式與另一函數(shù)相乘的積分化為兩個(gè)較簡(jiǎn)單的積分進(jìn)行求解。某些無(wú)理根式求不定積分方法05幾種特殊類(lèi)型不定積分求解技巧變量替換法通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將抽象函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的不定積分。分部積分法利用乘積的微分公式，將抽象函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)化為更易于求解的形式。微分方程法通過(guò)建立和求解微分方程，求得抽象函數(shù)的不定積分。含抽象函數(shù)不定積分求解方法03共軛復(fù)數(shù)法通過(guò)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，將復(fù)數(shù)函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)化為實(shí)函數(shù)的不定積分。01歐拉公式利用歐拉公式將復(fù)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，進(jìn)而求解不定積分。02復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的變量替換在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，簡(jiǎn)化不定積分的求解過(guò)程。利用歐拉公式求解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不定積分參數(shù)方程的變量替換在參數(shù)方程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，使得不定積分的求解更為簡(jiǎn)便。利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程當(dāng)參數(shù)方程具有對(duì)稱(chēng)性時(shí)，可以利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化曲線下面積的計(jì)算過(guò)程。參數(shù)方程與不定積分的關(guān)系通過(guò)參數(shù)方程表示曲線，將曲線下面積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為不定積分的求解。參數(shù)方程表示曲線下面積