陜西省銅川市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省銅川市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榛?，所?故選：C.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗充分性：若，則；必要性：若則，則，得，或，故不滿足必要性綜上“”是“”充分不必要條件，故選：A.3.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為寸，下底面半徑為寸，高為寸，因?yàn)榉e水深寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（）A. B.3 C.或3 D.1.或〖答案〗B〖解析〗設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，顯然，所以，解得或（舍去）.故選：B.5.函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除；當(dāng)時(shí)，，即，因此，故排除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除；又，所以排除A.故選：D.6.過直線l：上一點(diǎn)P作圓M：的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，則四邊形MAPB的面積最小值是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗圓M：的圓心到直線l：的距離，故的最小值是3，又因?yàn)椋瑒t，故的面積的最小值是，故四邊形MAPB的面積的最小值是.故選：D.7.構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國教育一直以來努力的方向，銅川市第一中學(xué)積極響應(yīng)黨的號(hào)召，開展各項(xiàng)有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動(dòng).如圖所示的是該校高三（1）、（2）班兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德智體美勞的評(píng)價(jià)得分對照圖（得分越高，說明該項(xiàng)教育越好），則下列結(jié)論正確的是（）①高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為1.②除體育外，高三（1）班的各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分均高于高三（2）班對應(yīng)的得分.③高三（1）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高.④各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分中，這兩個(gè)班的體育得分相差最大.A.②③ B.②④ C.①③ D.①④〖答案〗C〖解析〗對于①，高三（2）班德智體美勞各項(xiàng)得分依次為9.5，9，9.5，9，8.5，所以極差為，正確；對于②，兩班的德育分相等，錯(cuò)誤；對于③，高三（1）班的平均數(shù)為，高三（2）班的平均數(shù)為，故正確；對于④，兩班的體育分相差，而兩班的勞育得分相差，錯(cuò)誤，故選：C.8.北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍?鄧清明?張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足關(guān)系式：.若某人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與此人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為，且，得，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)約為，將其代入中，得，故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，故選:C.9.已知函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心是，點(diǎn)在的圖象上，下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.直線是圖象的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞減 D.是奇函數(shù)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以.又，所以.因?yàn)閳D象的一個(gè)對稱中心是，所以，，則，.又，所以，則，A正確.，則直線不是圖象的一條對稱軸，B不正確.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，C正確.，是奇函數(shù)，D正確.故選：B.10.在中，是邊上的點(diǎn)，滿足，在線段上（不含端點(diǎn)），且，則的最小值為（）A. B. C. D.8〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭沁吷系狞c(diǎn)，滿足，則，所以，，因?yàn)樵诰€段上（不含端點(diǎn)），則存在實(shí)數(shù)，使得，所以，，又因?yàn)椋?、不共線，則，故，因?yàn)?，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.11.古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為②若，則③存在點(diǎn)，使得④的最小值為A.①③ B.②④ C.②③ D.①④〖答案〗D〖解析〗對于①：由，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故①正確；對于②：由定義可知，由余弦定理可得：，整理得，則，故②錯(cuò)誤；對于③：設(shè)，，，由于，，則不存在點(diǎn)，使得，故③錯(cuò)誤；對于④：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故④正確；故選：D12.設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)a使得恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，所以，令，由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個(gè)在直線上方，一個(gè)在直下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，由，得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，沒有最小值，由，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無最小值，不合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以即，所以，即m的取值范圍為．故選：A．二、填空題13.定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為1，那么這個(gè)數(shù)列的前2024項(xiàng)和______.〖答案〗1012〖解析〗由等和數(shù)列概念可得，，，，，所以.故〖答案〗為：1012.14.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為__________．〖答案〗14〖解析〗根據(jù)題意畫出滿足約束條件的可行域如下圖中著色部分所示：將目標(biāo)函數(shù)變形可得，若取得最大值，即直線在軸上的截距取得最小值，將平移到過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)有最大值為.故〖答案〗為：.15.2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．〖答案〗〖解析〗由題可知在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得即．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)為，則即為與的交點(diǎn)，，解得，所以．故〖答案〗為：.16.已知圓錐的外接球半徑為2，則該圓錐的最大體積為_______.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的高為，底面圓的半徑為，則，即，所以該圓錐的體積為，設(shè)函數(shù)，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，令，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.即圓錐的最大體積為.故〖答案〗為：.三、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足________.（1）求；（2）求邊c的最小值.請從下列條件：①；②；③中選一個(gè)條件補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問題.解：（1）選①，由得，解得或（舍去），因?yàn)?，所?選②，由余弦定理得，則，所以，所以，因?yàn)?，所?選③，由得，所以.所以，因?yàn)?，所?（2）由余弦定理得，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以.所以c的最小值為.18.2021年，黨中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，也就是我們現(xiàn)在所稱的“雙減”政策.某地為了檢測雙減的落實(shí)情況，從某高中選了6名同學(xué)，檢測課外學(xué)習(xí)時(shí)長（單位：分鐘），相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.學(xué)生序號(hào)123456學(xué)習(xí)時(shí)長/分220180210220200230（1）若從被抽中的6名同學(xué)中隨機(jī)抽出2名，則抽出的2名同學(xué)課外學(xué)習(xí)時(shí)長都不小于210分鐘的概率；（2）下表是某班統(tǒng)計(jì)了本班同學(xué)2022年1-7月份的人均月課外勞動(dòng)時(shí)間（單位：小時(shí)），并建立了人均月課外勞動(dòng)時(shí)間關(guān)于月份的線性回歸方程，與的原始數(shù)據(jù)如下表所示：月份1234567人均月勞動(dòng)時(shí)間89121922由于某些原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知.（i）求，的值；（ii）求該班6月份人均月勞動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的殘差值（殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測值之差）.附：，，.解：（1）用表示從被抽中的6名同學(xué)中隨機(jī)抽出2名同學(xué)的序號(hào)分別為和，則基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，將“抽出2名同學(xué)的課外學(xué)習(xí)時(shí)長都不小于210分鐘”記為事件，由已知，序號(hào)為1，3，4，6的同學(xué)課外學(xué)習(xí)時(shí)長都不小于210分鐘，∴事件中基本事件有，，，，，，共6個(gè)，∴；（2）（i）由表知，，∴，∴，即，①∵回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，∴，即，②由①②，得，，③∵，∴，④由③④，得，.（ii）∵線性回歸方程為，∴當(dāng)時(shí)，預(yù)測值，此時(shí)殘差為.19.如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，，，，平面平面，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：，，平面平面，且交線為，平面，平面，平面，.連接，，如圖，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的菱形，，所以為等邊三角形.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，因?yàn)?，所以，又由?）知，又，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，，又由，，，平面，平面，所以平面，且，，所以，即，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）因?yàn)?，所?所以橢圓的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）存在定點(diǎn)，使.理由如下：由（1）知，，則點(diǎn).設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使成立.當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線右焦點(diǎn)的直線即軸與交于長軸兩端點(diǎn)，若，則，或.當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，.由消去并整理，得，則.因?yàn)椋?，所以，?所以，即，恒成立，即對，恒成立，則，即.又點(diǎn)滿足條件.綜上所述，故存在定點(diǎn)，使.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，令，若為極大值點(diǎn)，證明：.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，且當(dāng)；又當(dāng)；故當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，故，且，所以，，又在單調(diào)遞減，所以.選考題【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程；（2