天津市河西區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1天津市河西區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷參考公式：·球的體積公式，其中表示球的半徑.一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，，，則.故選：D.2.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，所以：若，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，當(dāng)時(shí)，，故排除A，只有C滿足條件.故選：C4.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動(dòng)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗(yàn)區(qū)種植了某農(nóng)作物.為了解該品種農(nóng)作物長(zhǎng)勢(shì)，在實(shí)驗(yàn)區(qū)隨機(jī)選取了100株該農(nóng)作物苗，經(jīng)測(cè)量，其高度（單位：cm）均在區(qū)間內(nèi)，按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”.則所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.80〖答案〗C〖解析〗高度不低于16cm的頻率為，所以“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為.故選：C.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則是中的（）A.第30項(xiàng) B.第36項(xiàng) C.第48項(xiàng) D.第60項(xiàng)〖答案〗B〖解析〗設(shè)公差為，則，解得，所以，則，令，則，所以是中的第36項(xiàng).故選：B.6.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，因?yàn)?，所以，即，而，所?故選：B.7.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正三棱柱容器，所有棱長(zhǎng)都為，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)，測(cè)得水深為，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)球的半徑為R，球的截面圓的半徑為r，即為正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，則，解得，由球的截面性質(zhì)得：，解得，所以球的體積為，故選：D8.將函數(shù)（）的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)）的一個(gè)極值點(diǎn)是，且在上單調(diào)遞增，則ω的值為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得：，又函數(shù)）的一個(gè)極值點(diǎn)是，即是函數(shù)一條對(duì)稱(chēng)軸，所以，則（），函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的周期，解得，則，，故選：A.9.已知雙曲線（，），是雙曲線半焦距，則當(dāng)取得最小值時(shí)，雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)等號(hào)成立，則，得.故選：B第Ⅱ卷二、填空題10.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=____．〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為：11.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)___________.〖答案〗40〖解析〗依題意，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令可得.故常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：4012.已知拋物線的焦點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗，因?yàn)橐渣c(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)，所以直線與直線垂直，則，解得.故〖答案〗為：.13.某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于_________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪為A，若該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)回答正確，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)；有相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故〖答案〗為0.128.法二：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪為A，若該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)回答正確，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)，由此分兩類(lèi)，第一個(gè)答錯(cuò)與第一個(gè)答對(duì)；有相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.12814.在中，，，，，，且，則_________；的值為_(kāi)___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，，所?又，在中，，，所以，,即，解得或（舍去），故的值為：.又,,，故的值為：.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，則的最小值是______；若關(guān)于x的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗2〖解析〗根據(jù)與大小關(guān)系（比較與大小的推理見(jiàn)后附）,可知，設(shè)，注意到曲線與曲線恰好交于點(diǎn)，顯然，,作出的大致圖象如圖，可得的最小值是1，從而的最小值是2．由，得．設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，，直線過(guò)定點(diǎn)，則，解得，從而．由圖象可知，若關(guān)于x的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，則，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故〖答案〗為：2；附：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．三、解答題16.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由余弦定理，因?yàn)?，，所以，整理得，所?（2）由（1）可知，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，又，所以，整理得，所以，解?（3）由（2）可知，所以所以17.如圖所示的幾何體中，平面，，，，為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn).（1）求證：//平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.（3）求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，故，，又，即AE，AB，AD兩兩垂直.以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AE，AB，AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，中點(diǎn)，又，即，于是得，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，因此，，即，平面，而平面，所以平面.（2）解：由（1）知，，則點(diǎn)F到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離是.（3）解：由（1）知，平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為，依題意，，所以，平面與平面所成角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作不平行于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，若，求直線的方程.解：（1）由題意，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，所以，即，①又因?yàn)殡x心率，②聯(lián)立①②，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，，，由（1）可知，，，由題意可設(shè)直線，則，；聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標(biāo)；由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)．若，即，，所以，整理得，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得，所以直線方程：或.19.設(shè)等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和；（2）如果數(shù)列對(duì)任意的，均滿足，則稱(chēng)為“速增數(shù)列”.（?。┡袛鄶?shù)列是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；（ⅱ）若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)的最大值.解：（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，有，解得，所以.（2）（?。?shù)列是“速增數(shù)列”，理由如下：由，則，，，故，所以數(shù)列是“速增數(shù)列”.（ⅱ）數(shù)列為“速增數(shù)列”，，，，任意項(xiàng)，時(shí)，.即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)k的最大值為63.20.已知函數(shù).（1）若，求圖象在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.（1）解：因?yàn)?，所以?/p>