材料力學(xué)知識要點

第一章

緒論

一、基本概念：

強度：構(gòu)件抵抗破環(huán)的能力

1.構(gòu)件應(yīng)滿足的三個要求：剛度：構(gòu)件抵抗變形的能力

穩(wěn)定性：構(gòu)件保持原有平衡的能力

連續(xù)性假設(shè)：固體物質(zhì)不留空隙的空滿固體所占的空間

2.變形固體的三個基本假設(shè)均勻性假設(shè)：固體內(nèi)各處有相同的力學(xué)性能

各向同性假設(shè)：在任一方向，固體的力學(xué)性能都相同

注：各向同性材料：金屬等各向異性材料：木材，膠合材料，復(fù)合材料

3,兩個限制條件：線彈性：材料變形處于線彈性階段。？

小變形：變形及變形引起的位移，都遠小于物體的最小尺寸

4,原始尺寸原理：小變形條件下，常用變形前構(gòu)件的尺寸代替變形后的構(gòu)件尺寸來計算，

即不考慮變形帶來的影響。（?處例外：壓桿穩(wěn)定）

5,圣維南原理：如用與外力系靜力等效的合力來代替原力系，則除在原力系作用區(qū)域內(nèi)有

明顯，差別外，在離外力作用區(qū)域略遠處，這種代替帶來的誤差很小，可以不計。

6,材力中的力：

表面力集中力分布載荷

作用方式：體積力

外力

按種類分

內(nèi)力：在外力作用下，構(gòu)件因反抗或阻止變形而產(chǎn)生于物體內(nèi)部的相互作用力

按作用方式分靜載荷

交變載荷

動載荷

沖擊載荷

1,截（?。河眉傧竺姘褬?gòu)件分成兩部分

7,研究內(nèi)力的基本方法--截面法2,代（替）：用內(nèi)力代替截去的部分的作用

3,平（衡方程）：列靜力平衡方程，求解未知內(nèi)力

8,應(yīng)力--內(nèi)力的集度（任一應(yīng)力應(yīng)指明兩個要素：哪一點，哪個方向上）

（1）平均應(yīng)力

定義：單位面積上的內(nèi)力

-F-

定義式：Pm="J（注意：Pm是一個矢量，有方向）

（2）應(yīng)力

定義：平均應(yīng)力的極限

一dF

定義式：Pm='?Af0）

單位：MPa,

矢量性：是矢量，有大小，方向。

正應(yīng)力：

定義：應(yīng)力方垂直于截面的分量（△尸垂直于截面的分量在截面上的應(yīng)力）

定義式：（7=—（JA->0）

dA

切應(yīng)力：

定義：應(yīng)力》平行于截面的分量（,平行于截面的分量△尺在截面上的應(yīng)力）

定義式：7=貯34-0）

dA

9,變形與應(yīng)變

變形：在外力作用下，構(gòu)件尺寸、形狀發(fā)生變化的現(xiàn)象。

（在外力作用下，構(gòu)件內(nèi)部任意兩點之間相對線位移或兩正交線段的相對角位移）

應(yīng)變：變形的量度，量綱為1。

尺寸變化：線應(yīng)變一￡（某一點沿某一方向的線度變化）

￡=—（dx—>0）

dx

形狀改變：切應(yīng)變一/（原正交線段變形后的角度改變）

7=（：-/"加州）（加一。,瓦.0）（注意：結(jié)果為弧度制）

10,桿件變形:

（四種）基本變形：拉伸與壓縮變形，剪切變形，扭轉(zhuǎn)變形，彎曲變形。

組合變形：同時發(fā)生幾種基本變形的變形

10,材料力學(xué)的特點,

任務(wù)：在滿足強度，剛度，穩(wěn)定性的前提下，為設(shè)計安全經(jīng)濟的構(gòu)件提供理論基礎(chǔ)與

計算方法；

基本手段：實驗

理論分析

二、重要計算：

1,應(yīng)力應(yīng)變公式

第二章拉伸與壓縮

一、基本概念

1,軸向拉伸（壓縮）

構(gòu)件：等截面直桿

軸向拉壓外力：外力合力作用與桿件周線上

A1

變形：縱向應(yīng)變一￡=桿件沿軸線伸長或縮短。

橫向變形一一￡，=竺Ab：桿件截面的變大或縮?。╞—邊長半徑等線度量）

b

平面假設(shè)：原來的橫截面變形后，仍然為平面且仍然垂直于軸線，

2,軸力

定義：與桿件軸線重合的內(nèi)力的合力

軸力FN正負規(guī)定：拉正壓負（在計算結(jié)果中注明是拉里還是壓力）（正應(yīng)力規(guī)定亦然）

分布規(guī)律：等截面直桿上，正應(yīng)力在整個截面上均勻分布

軸力圖：反映各橫截面處軸力沿桿件軸線方向變化規(guī)律

截面上的應(yīng)力：

橫截面：＜7=—

斜截面：（Ja-O-COS*-aCCmax=。=0

(J__b

2=—sin2a(7max=70=~,)

2452

（3）,圖片：低碳鋼拉伸壓縮力學(xué)性質(zhì):

普通彈性材料（例如低碳鋼）在拉伸實驗中會經(jīng)歷4個階段：彈性形變、屈服階段、強化階

段、局部屈服階段。

彈性形變：即材料所受拉力在彈性極限之內(nèi)，拉力與材料伸長成正比（胡克定律）。當(dāng)外力

撤去之后，材料會恢復(fù)原來的長度。

屈服階段：在外部拉力超過彈性極限之后，材料失去抵抗外力的能力而“屈服”，即在此情況

下外力無顯著變化材料依然會伸長。當(dāng)外力撤去后，材料無法回到原來的長度。

強化階段:材料在內(nèi)部晶體重新排列后重新獲得抵抗拉伸的能力,但此時的形變?yōu)樗苄孕巫?

外力撤去后無法回到原來的長度。

破壞階段：材料在過度受力后開始在薄弱部位出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象，抵抗拉伸能力急劇下降，直至

斷裂。

鋼材在常溫或在結(jié)晶溫度以下的加工，能顯著提高強度和硬度，降低塑性和沖擊韌性，

稱為冷作硬化。（把鋼材加熱后控制在再結(jié)晶溫度以上進行軋制加工的工藝稱為熱軋。

而在再結(jié)晶溫度以下，包括常溫下進行扎制加工的工藝稱為冷軋。鋼材熱軋具有良好

的塑性，容易成型，成型后鋼材沒有內(nèi)應(yīng)力，便于下面工序加工。。鋼材冷軋具有冷

加工硬化的特性。由于冷軋具有較好的機械性能，很多直接使用的鋼材都使用冷軋鋼材。）

低碳鋼試件拉伸時的"Y曲線

低碳鋼壓縮:

認為低碳鋼的抗拉性能與抗壓性能是相同的。屈服階段以后，試件會越壓越扁，先是壓成鼓

形，最后變成餅狀，故得不到壓縮時的抗壓強度

鑄鐵拉伸

ll_1A_A

兩個塑性指標(biāo)伸長率：5=J—xioo%斷面收縮率：<p=Hxio必

1A

塑性材料-：5>5%，如鋼材、銅、鋁等

脆性材料：8<5%,如鑄鐵、混凝土、石料等

彈性模量：E=-

E

（4）,幾個相關(guān)概念：

5）.2：工程上規(guī)定，無明顯屈服階段的塑性材料，將產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變所對應(yīng)的應(yīng)力作

為屈服指標(biāo)，稱為名義屈服極限，記作a02。

卸載定律：當(dāng)試樣加載到屈服極限后逐漸卸除拉力，則在卸載過程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)

律變化。

冷作硬化：加載到彈塑性變形？后卸載后，短期內(nèi)再次加載時，材料出現(xiàn)的比例極限提高，

而塑性變形、伸長率減小的現(xiàn)象。

應(yīng)力應(yīng)變（9-左）圖

（5）拉壓超靜定問題：未知數(shù)＞可用靜力平衡方程數(shù)（無法用靜力平衡方程求解的問題）

求解步驟：1,判斷種類，未知數(shù)個數(shù)，平衡方程數(shù)目；

2,列出可用的靜力平衡方程：

3.列出變形協(xié)調(diào)方程：（以切線代替弧線）

4.列出物理方程：胡可定律

裝配應(yīng)力/溫度應(yīng)力：超靜定結(jié)構(gòu)中，由于加工誤差/溫度變化引起的應(yīng)力。

（6）,能量關(guān)系

定義:彈性固體在外力作用下因變形而儲存的能量

應(yīng)變能：

計算公式：

應(yīng)變能密度:單位體積內(nèi)的應(yīng)變能.

能量方法：卡氏定理

（7）,應(yīng)力集中：

定義:因構(gòu)件外形突然發(fā)生變化而引起的局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象

應(yīng)力集中系數(shù)：變化規(guī)律:尺寸變化越急劇，越尖銳，開孔越小,應(yīng)力集中就越嚴重.

不同材料對應(yīng)力集中的反應(yīng)：塑性材料:有屈服，使得各處應(yīng)力在發(fā)生屈服后趨于一致

脆性材料:沒有屈服，應(yīng)力集中處應(yīng)力一直最大，直至破環(huán)

二，重要計算

強度條件：

許用應(yīng)力：塑性材料：同=上

n

脆性材料：舊=8

n

拉壓胡克定律B=E￡

FNI

△1=——

EA

（EA——桿件抗拉、壓剛度條件：比例極限內(nèi)）

第三章剪切擠壓

一，基本概念：

1,剪切特點：受力特點：構(gòu)件某一截面兩側(cè)，有等大，反向，且作用線相互平行的外力作用

變形特點：構(gòu)件沿兩平行力的剪切面發(fā)生相對轉(zhuǎn)動

2,內(nèi)力應(yīng)力

剪力：剪切面上的內(nèi)力，與剪切面平行.

（平均）切應(yīng)力：T=—（認為切應(yīng)力在剪切面上均勻分布）

A

切應(yīng)力互等定律：在構(gòu)件內(nèi)部的單元體上，切應(yīng)力成對出現(xiàn)，大小相等，

3,剪切胡克定律三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系

剪切胡克定律：T=GyG--切變模量，切應(yīng)力在剪切比例極限以內(nèi).

材料三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系：G=—（三者不獨立）

2（1+H）

4,剪切能量:

剪切應(yīng)變能:

5,擠壓

擠壓:構(gòu)件局部面積承受壓力作用.

F

平均擠壓應(yīng)力：Obs=—（假設(shè)擠壓應(yīng)力在有效面積上均勻分布）

Abs

Abs平面接觸：Ab，=S

柱面接觸：Abs=O'h

純剪切：

二，重要計算：

1,剪切強度條件：T=—<[T]

A

2,擠壓強度條件：Qbs=—<[obs]

Abs

3,薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力：

Me

T=W5

其中：--圓管平均半徑3--壁厚Me-—外力偶矩

第四章扭轉(zhuǎn)

一，基本概念

I,扭轉(zhuǎn)

構(gòu)件特征：等截面直桿

受力特征：兩個不同的截面上有一對等大，反向的扭矩

扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)：等直圓軸變形前為平面的橫截面變形后仍然為平面，而且大小，形狀

不變，半徑仍為直線，相鄰兩橫截面間距也不發(fā)生變化

變形特征：桿件各橫截面發(fā)生繞桿軸的相對轉(zhuǎn)動

2,扭矩扭矩圖

扭矩定義：矢量方向沿軸線的內(nèi)力偶矩

正負規(guī)定：外正內(nèi)負

扭矩圖：

3,切應(yīng)力分布規(guī)律：

圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的大小與該點到圓心的距離成正比，方向與該點的半徑方向垂直

公式：Tp=—

Ip

4,圓軸扭轉(zhuǎn)變形：

二，重要計算

1,圓軸最大切應(yīng)力：

*=曳IP極慣性矩

Ip

T

T=——Wp截面抗扭系數(shù)

WP

2,扭轉(zhuǎn)角

相距1的兩截面間的相對扭轉(zhuǎn)角：（p=—（計算結(jié)果為弧度制）

GIp

T1

單位長度扭轉(zhuǎn)角：＜p'=————（單位：著）

GIp71/m

3,圓軸的截面圖形的幾何性質(zhì)：

坨=孚?（1-￡）a=l-內(nèi)外半徑比

32D

W等（7）

第五章彎曲內(nèi)力

基本概念：

1.幾種約束方式及其特點:

約束

軸力FN剪力Fs扭矩T彎矩M

方式

較支座M=O（錢

上無集中

力偶作

用）

固定較支M=0

座

可動較支

座

固定端

2,平面彎曲（對稱彎曲？）

簡支梁

構(gòu)件：梁-一以彎曲為主要變形的桿件懸臂梁

外伸梁

受力特點：外力偶矩M,剪力FS的作用面與梁的形心主慣性平面重合

變形特征：彎曲后，桿件軸線變成在外力作用面內(nèi)的光滑、平坦曲線

分類：純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩的總用（（JWO,t=o）

橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩，又有剪力（OHO，THO）

3,彎曲內(nèi)力：表格形式

4,疊加原理：小變形時，F(xiàn)S（X）M（x）與外載荷成線性齊次關(guān)系，可以疊加。但強度計算

一般不疊加，因為他可能造成極值的湮沒。一般疊加多用于剛度計算，圖乘法中。

二，重要計算

1,q(x)、F(x)、M(x)、之間的關(guān)系

(1),微分關(guān)系：

(2),積分關(guān)系：

集中力作用處：

集中力偶作用處:

2,M(x),F(x)的計算：

(1),一般彎矩的計算：

I,M=['q(x)(b-x)dx

d2M(X)

II,q(x)積分兩次，并結(jié)合邊界條件:=q(x)

dx2

(2)分布載荷按三角形分布時力矩的計算:

M(x)=±gq(x>x1⑵x

X?-------X

3

其他計算技巧;

第六章彎曲應(yīng)力

一，基本概念：

1.中性層，中性軸：

中性層：梁彎曲變形時，其內(nèi)部存在的一長度不變的纖維層，稱為中性層。(既不伸長，也

不縮短，故應(yīng)力為零，是梁的拉壓分界面)

中性軸：中性層與橫截面的交線。

2,純彎曲的變形假設(shè)：(1),平面假設(shè)：橫截面積變形后仍為平面。

(2),縱向線段間沒有正應(yīng)力。

1_M

pElz

圖：X,Y,Z的分布

3,純彎曲

(1)幾何關(guān)系：縱向線段的應(yīng)變與其到中性層的距離成正比：

￡=?y--該點到中性層的距離P--

P

(2)物理關(guān)系：任一縱向線段的正應(yīng)力與其到中性層的距離成正比。

o=Es=E—

P

(3)靜力關(guān)系：

FN=[crdA=0

JA

Mz=M=jyodA

(4)正應(yīng)力的計算：

M-y

o=----

Iz

Iz…-慣性矩，y—該點到中性層的距離

條件：1,彎曲平面假設(shè)，

II,各層之間無擠壓，

III,線彈性，

IV,拉壓彈性模量一致；

V,純彎曲，

VI,1>5,1一一梁的跨度。

h

4,(橫力彎曲)彎曲切應(yīng)力

假設(shè)：(1),切應(yīng)力方向都平行于剪力Fs,(2.),t沿寬度方向均勻分部。

Fs-S；

計算公式：=T

Iz-b

5,等強度梁：

6,提高梁彎曲強度的措施：

(1),合理布置載荷，降低|M|max;

(2),優(yōu)化截面形狀，適當(dāng)增大W。

二，重要計算:

1,彎曲正應(yīng)力的強度條件：

|M|max

=

Gmax=-----w--------WOmax（E（Ec?拉壓一致）

2,幾種常見截面的最大切應(yīng)力：

3Fs

（1）,矩形（高的中點處）：Tmax=—-—切應(yīng)力沿著高度成拋物線變化。

，A

4

（2）,圓形（垂直于FS的直徑上）：Tmax=-

A

（3）,工字梁：腹板幾乎承擔(dān)了全部的剪力，而腹板上的切應(yīng)力近乎均勻分布,

Fs

Tmaxa——（翼緣上的切應(yīng)力近似為0）

bh

3,常見幾何圖形的截面性質(zhì):

圖形備注

IzlyWzIpWP

正方形

矩形

L=g

12

圓形（環(huán)）

相關(guān)的幾個公式:

Ip=ly+L

第七章彎曲變形

?,基本概念：

1,

撓曲線：彎曲變形后梁的軸線，稱為撓曲線。

撓度：梁的軸線上某點在彎曲平面上發(fā)生的線位移，即為w、y。

撓曲線方程：W=f（x）.

截面轉(zhuǎn)角：彎曲后梁的橫截面相對于原來位置轉(zhuǎn)過的角度，記為。。

正負規(guī)定：

2,平面彎曲的變形：小變形情況下，梁的任意兩截面繞各自的中性軸做相對轉(zhuǎn)動，梁的軸

線變?yōu)槠矫媲€，變形程度一撓曲線的曲率來亮度。

純彎曲時:_L_竺

pH

1_M（x）

橫力彎曲時:

P（x）臼

3,撓曲線近似微分方程（歐拉-伯努利方程）

d2w_M（x）

（小變形條件下成立）

dx7-EI

4,疊加原理：

各載荷同時作用下任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角等于各個載荷單獨作用時該截面的撓度、轉(zhuǎn)角

的代數(shù)和。

條件:材料線彈性、小變形：

5,求解超靜定梁--變形比較法：

（1）,選擇靜定基：建立相當(dāng)系統(tǒng)；

（2）,變形比較法：列出變形協(xié)調(diào)方程；

（3）,綜合物理方程、變形協(xié)調(diào)方程，聯(lián)立求解。

二，重要計算:

1,積分法求梁的轉(zhuǎn)角與撓度（最基本的方法）:

膿）=竽M口X+C

dxJEI

w（x）=j（j嚕%x+C）+D

（1）,積分常數(shù)c、D由邊界條件、連續(xù)性條件確定，用w（o）、e（o）,w（i）、e（i）比較方

便；

（2）,M（x）不是光滑連續(xù)函數(shù)時，應(yīng)用上式分段積分，而且每多一段就多兩個常數(shù)。

（3）,梁的兩個剛度條件:

|0|max<[0]

|w|max<[w]

用變形比較法求解超靜定問題:

第八章應(yīng)力分析應(yīng)變分析

一.基本概念：

1,一點的應(yīng)力狀態(tài)：

點：圍繞研究位置處所取出的微小正六邊體，即單元體。

一點的應(yīng)力狀態(tài)：

主應(yīng)力：

主平面：

主單元體：

2,應(yīng)力狀態(tài)的分類：

簡單應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中只有一個不為0。

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中有兩個不為0。如薄壁容器器壁上的一點

空間應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力都不為0。如兩物體擠壓時的接觸點。

3,平面應(yīng)力狀態(tài)：

(1),平面應(yīng)力狀態(tài)受力圖示：取應(yīng)力為0的方向為Z軸，且使5、6在z、x方向。

正負規(guī)定：外法線與X軸的夾角--a:由X軸.外法線n的角度為正。

T--:使單元體發(fā)生順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正。(將應(yīng)力“看成”力)

6---:拉正壓負。

圖:

(2),解析法：原平面轉(zhuǎn)過a后的應(yīng)力狀態(tài):

Ox+byOx—Gy_._

Oa=-------------+----------------cos2a-T-sin2a

22

—QTy

Ta=------------sin2a4-T-cos2a

2

注：I,Ta=-Ta+90°

II,Oa、Oa+90°是轉(zhuǎn)過a后的兩個正應(yīng)力。

（3）,求最大/小主應(yīng)力面及其方位:

、2

Cx+by+Qx—Oy2

O+Txy

2

tan2a（）=--------

CTx-CTy

實際上還有一個0應(yīng)力面，bmax、bmin可能比0大或者小，故此處的6nax、bmin不一定

是該點的最大/小正應(yīng)力。

（4）,最大/小切應(yīng)力及其方位：

=±U+森

V\/7

-o\—51

tan2al=----------=-----------

2?Txytan2ao

（5）,圖解法（莫爾圖--簡單，直觀）

圖：

4,空間應(yīng)力狀態(tài)：

最大/小正應(yīng)力：CTmax=O'1>Q2>Q3—C5"min

最大切應(yīng)力（一點的最大切應(yīng)力）：（tmax平行了6方向，與6、6作用面成45°角）

3—03

Tinax=T13=---（注意區(qū)分平面最大切應(yīng)力和一點的最大切應(yīng)力）

5,復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度（應(yīng)變比能）

三向應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變：（3+02+03）=9?

CTm=§(6+6+6)

體積改變比能:

畸變能密度:

二，重要計算:

1,平面應(yīng)力計算（兩種手段）:

2,廣義胡克定律：

Qx—U-(Oy+6)]

-U-(oz+Cx)]Yyz=-

G

5-u-(ax+5)]

2(1+M)

（注：T不決定e,o■不決定y）

第九章強度理論

一，基本概念:

1,四種經(jīng)典強度理論:

表格：

注：

(1)脆性材料，通常以斷裂形式失效，宜用第-、二強度理論，統(tǒng)稱為第一類強度

理論(脆性斷裂破壞理論)；

(2)塑性材料，通常以屈服形式失效，宜用第三、四強度理論，統(tǒng)稱為第一類強度

理論(屈服失效理論)；

(3)無論何種材料，在三向拉應(yīng)力相近時，都以斷裂形式失效，應(yīng)用最大拉應(yīng)力理論；

(4)無論何種材料?，在三向壓應(yīng)力相近時，都可以引起塑性變形，應(yīng)用最大拉應(yīng)力理論;

二，重要計算:

(1),Qr.3=Ver2+4T2<[a]

5.4=Vn2+3T2<[a]

222

(2)對于圓軸的彎扭組合：(此時有：M=Mx+My)

Gr,3=—A/M2+T2<[cr]

w

Or,3=—A/M2+0.75T2<[c>]

w

第十章組合變形

綜合性，總結(jié)性強，

疊加法的關(guān)鍵：1,分解2,疊加

一，基本概念：

1,組合變形：構(gòu)件在外力作用下，同時發(fā)生兩種或兩種以上的變形。

2,疊加原理：在線彈性，小變形條件下，組合變形構(gòu)件的力學(xué)響應(yīng)（內(nèi)力、應(yīng)力、變形）

可以分成各個載荷單獨作用下相應(yīng)力學(xué)響應(yīng)的疊加，而且與各個載荷的加載秩序無關(guān)。

注：疊加方式是靈活的，可以各個力順次疊加，也可以幾個力系內(nèi)部先疊加后在總體疊加。

線彈性的意義：內(nèi)力，應(yīng)力，變形等力學(xué)響應(yīng)和外力成線性關(guān)系。

線彈性材料，載荷在彈性范圍內(nèi)滿足胡可定律=力學(xué)響應(yīng)同外力成線性關(guān)系。

小變形：（1）,保證能按初始形狀或尺寸進行分解；

（2）,保證與加載秩序無關(guān)。

全部限制條件：服從胡可定律，小變形，細長桿，所求應(yīng)力點遠離外力作用點。

3,組合變形的強度計算：

（1）,將外力分解為若干個基本變形條件下的靜力等效系：

（2）,計算各個基本變形條件下對應(yīng)外力單獨作用時的力學(xué)響應(yīng)，畫出內(nèi)力圖。

（3）,將各基本變形下的同類應(yīng)力進行代數(shù)疊加，確定危險點的位置及應(yīng)力狀態(tài)。

（4）,由危險點的應(yīng)力狀態(tài)及材料力學(xué)性能，選擇合適的強度理論進行計算。

二，重要計算：

1,斜彎曲：（兩個相互垂直的平面上的平面彎曲的組合）

典型例子：

MvM?

應(yīng)力計算：ax=--z±—-y

lyIz

re.fi,iMymax,Mzmax1

強度條件：bmax=——±-------------<O

WyW

特點：

（1）,構(gòu)件軸線為一條空間曲線，不是外力作用面內(nèi)的平面曲線

（2）,危險截面上My、Mz未必同時達到最大值；

（3）,危險點在距中性軸的最遠處；

（4）,中性軸一般不垂直與外力作用線，或中性軸未必和彎矩矢量M重合;

2,軸向拉（壓）彎曲組合:

FNMyMzFNMr-1

Cmax——-------1-----------1--------——--------1-------S(7

AWyWzAWLJ

特例……偏心拉壓：

FN

將偏向載荷向截面形心等效，得軸力FN,My=F-ZF,MZ=F-YF,計算對應(yīng)的=F

A

.畫出各內(nèi)力圖進行代數(shù)疊加。

Wz

3,圓軸的彎扭組合（彎曲…扭轉(zhuǎn)組合）

應(yīng)力計算：=丁=JMJ+MJ

T

仃=一（對于圓軸，任一直徑都是形心主慣性矩，故有：M2=My2+Mz2

Wp

22

強度校核：b,3='VM+T<[a]

w

ar,=±VM^0.75.r<[c]

4,圓軸的拉壓彎扭組合（拉伸壓縮與彎曲扭轉(zhuǎn)的組合）:

強度校核：=張］

4

對圓軸：W=W=W=-Wn=—（1-a

z丫2P32'

5,一般條件下的第三、四強度理論：

第三強度理論：兩個

第四強度理論：

第十一章壓桿穩(wěn)定

一，基本概念：

1,穩(wěn)定：中心受壓直桿處于直線平衡狀態(tài)，受側(cè)向干擾后變?yōu)閺澢胶鉅顟B(tài)，干擾撤除后,

壓桿能恢復(fù)直線平衡狀態(tài)，稱壓桿的平衡是穩(wěn)定的。

失穩(wěn)（屈曲）：干擾撤除后，壓桿不能回恢復(fù)直線平衡形式，而繼續(xù)處于彎曲平衡狀態(tài)。

簡言之，經(jīng)得起干擾的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)，否則稱為不穩(wěn)定平衡，桿件可能會失穩(wěn)。

2,臨界載荷（臨界壓力）一Fer:使壓桿失穩(wěn)的最小載荷。

Fer

臨界應(yīng)力bcr=T：

A

3,柔度及壓桿穩(wěn)定的分類：

柔度（長細比）-一九：全面反應(yīng)壓桿長度1、約束方式R、截面性質(zhì)i,對Fer的影響。

4,臨界應(yīng)力總圖：將三種桿型的臨界應(yīng)力用一條曲線標(biāo)示的bcr一九曲線。

圖:

5,提高壓桿穩(wěn)承載能力的措施：

（1）,對中長桿，細長桿，盡量減小桿件柔度（相同情況下柔度的的桿件先失穩(wěn)）:

減小1,

增加中間支座（約束），加強兩端的約束，

合理設(shè)計截面形狀，增大i。

（2）,對粗短桿，應(yīng)選用屈服強度大的材料。

二，重要計算:

第十二章能量方法

一，基本概念：

1,（彈性）應(yīng)變能：外力作用在彈性固體上，固體因變形而儲存的能量。

2,功能原理：（彈性）固體在外力作用下發(fā)生彈性形變，引起力的作用點沿力的方向的位移。

外力在相應(yīng)位移上所做的功等于固體儲存的應(yīng)變能。即有：

公式

（1）,忽略了其他形式的能量損耗，

（2）,基于能量守恒，與材料的特性無關(guān)，

（3）,未必是緩慢加載的；

（4）,當(dāng)產(chǎn)生的塑性變形時，應(yīng)變能只有一部分可以轉(zhuǎn)化成功，在線彈性階段則是全部

可逆的。

一個特例：當(dāng)外力從0開始加載，而且始終在線彈性的范圍內(nèi)時:

5=W=%3

2

式中：

3,桿件基本變形時的應(yīng)變能：

(1),軸向拉壓時的應(yīng)變能：

(2),扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能：

(3)平面彎曲時的應(yīng)變能：

4,卡氏定律：(清華版)

(1),卡氏第一定律：彈性體在外力Fi,...,Fn,...的作用下，相應(yīng)點i有沿力作用方

向的獨立位移且其應(yīng)變能是n個獨立位移的函數(shù)Vs=Vs(Ai,...A?...)測彈性體

應(yīng)變能Vs對任一位移A的偏導(dǎo)數(shù)等于i點沿A方向的力Fi,即有：

「av

Fi=---s

5Ai

(2)彈性體在相互獨立的外力Fi,...,R,…的作用下，相應(yīng)點i有沿力作用方向的獨

立位移…，彈性體的虛應(yīng)變能V：可表示為n個獨立外力的函數(shù),即：

Vs*=Vs*(Fi,...Fi,...)

則虛應(yīng)變能對任一外力Fi的偏導(dǎo)數(shù)等于該點沿Fi方向的位移Ai,即：

Aav*

Ai=----

SFi

注：卡氏第一、二定律可用于非線彈性材料；

此處應(yīng)變能表示成獨立位移的函數(shù)，虛應(yīng)變能表示成獨立外力的函數(shù)，即Fi,Fj(A,4)之

間不相互依賴；

對于線彈性體，卡式卡氏定律變?yōu)椋?/p>

對于線彈性體，有丫=丫*,此時卡氏第二定律變?yōu)椋?/p>

Ai=—(Ai為正，方向與F-一致)

SFi

另：線彈性構(gòu)件的應(yīng)變能對任一外力Fi的一次偏微商，等于Fi的作用點沿作用線方向

A的位移，

這就是最常用的卡氏定律的形式。

此時應(yīng)變能可寫成：Vs=Zn;1EA（克拉貝隆原理）

i=I2

注：（1）,條件：符合疊加原理的線彈性材料，小變形情況；

實際使用中，只需求出Fi的相關(guān)能量，不必求出無關(guān)的Fj的部分（偏導(dǎo)與其無關(guān)）;

所求位移處沒有外力作用，可以施加一個和所求位移&同向的虛載荷Fo,求完偏導(dǎo)后再令

Fi為0即可得3i；

（2）,Vs與加載順序無關(guān)，僅與載荷終值有關(guān)；

（3）,A為結(jié)構(gòu)終值位移，變形不能疊加：

5,虛功原理：虛位移中，外力所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上的虛位移；

簡言之，外力虛功等于桿件的虛應(yīng)變能。

虛功原理與材料性能無關(guān)，可用與線彈性，非線彈性材料。

6,單位載荷法：（即莫爾積分，虛功原理的特例）

令單位載荷為虛載荷，他在給定載荷截面上產(chǎn)生的內(nèi)力分別為品（x）,R（x）,M（x）,f（x）,

可得單位載荷法的基本方程：

12={M（x）d（0）+jT（x）d（（p）+^（x）d（Al）+廬（x）d仇）

此式基于虛功原理，不受材料性質(zhì)約束。

特別的，當(dāng)結(jié)構(gòu)為線彈性時，欲求i點的位移矢量，可在i點加載一與A同向的單位載荷

F=l,則：

Ai=V「M（x）而⑻dx+V（T（X）.?。╔L**y卜FN（X）.取+ynFs（x￡|（x）dx

單位載荷法求解步驟：

（1）,計算真實載荷作用下各構(gòu)件的內(nèi)力分量；

（2）,根據(jù)所求位移施加對應(yīng)的單位載荷，并計算單位載荷作用下的個處內(nèi)力分量；

（3）建立方程，對全結(jié)構(gòu)積分，求和。

而（x）,?。▁）K（x）,&（X）為單位力引起的內(nèi)力分量。與卡氏定律中的對應(yīng)量一致：

向X）=3而（X）3

''雨'，SFi

7,圖形互乘法：（莫爾積分的簡化計算方法）

對等直桿，如果M(x),而(x)中有一個為線性，則莫爾積分可以簡化為:

完整式：

「LWFNFNCLWT?TClWmyMyclWmzMZC

Ai=>-------+>------+〉------—+>---------

乙EA人dp人EI、△Elz

Wmz,Wmy,WT,WFN：響應(yīng)內(nèi)力分量的內(nèi)力圖面積

Mzc,Myc,Tc,FNc：內(nèi)力圖形心處對應(yīng)的單位力產(chǎn)生的內(nèi)力數(shù)值。(對于拐，要區(qū)分：)

(1),內(nèi)力圖盡量分解為若干簡單載荷，以便確定面積，形心；

(2),條件：等直桿，可至少有一個為線性階梯桿應(yīng)分段求解；

(3),圖剩是可逆的，即：這一方法有事可以簡化計算；

(4),同類內(nèi)力相剩，要注意區(qū)分各個方向的同類內(nèi)力分量。

7,互等定律：

功的互等定律：第一組力在第二組里引起位移上做的功，等于第二組力在第一組力引起的位

移上做的功，即：

位移互等定律：在功的互等定律中，如果B=F2(兩組力相等)，則有:

S12=521

條件：線彈性，小變形(形狀任意)

F—廣義力，3--廣義位移；

位移互等定律中，只要求Fl,F2數(shù)值相等；

不要求其量綱相同，而&2,也只是要求數(shù)值相等。

二，重要計算:

1,桿件應(yīng)變能的一般公式:

[iM

Vsx+1誓MS署"熱X

*h2GIp

其中剪力應(yīng)變能較小，?？梢院雎圆挥嫛?/p>

2,線彈性體結(jié)構(gòu)的卡氏定律：

3,線彈性結(jié)構(gòu)的單位載荷法：

4,圖剩法：完整形式：

5,幾種圖形的圖乘：

圖形

第十三章超靜定系統(tǒng)的能量法

一，基本概念：

1,超靜定結(jié)構(gòu)，超靜定系統(tǒng)：

定義：用靜力平衡方程無法確定全部約束力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)。

超外力超靜定：超靜定結(jié)構(gòu)外部約束不能由靜力平衡方程全部確定

靜（結(jié)構(gòu)存在多余的約束反力，但內(nèi)部沒有多余約束）

定分類：內(nèi)力超靜定：超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)部約束對應(yīng)的內(nèi)力不能由靜力平衡方程全部確定

系（結(jié)構(gòu)約束反力個數(shù)不超過獨立平衡方程數(shù)，但結(jié)構(gòu)內(nèi)部有多余約束）

統(tǒng)混合超靜定：內(nèi)外超靜定系統(tǒng)兼而有之

超靜定次數(shù)k：k=內(nèi)約束個數(shù)+外約束個數(shù)-獨立平衡方程

特點：1.剛度大，變形小

2.內(nèi)力分配和構(gòu)件剛度有關(guān)

3.溫度變化，加工誤差都會出現(xiàn)內(nèi)力

2,幾何不變結(jié)構(gòu)（運動不變結(jié)構(gòu)）：只有變形引起的位移，沒有剛體位移的結(jié)構(gòu)。

靜定結(jié)構(gòu)：全部約束反力與內(nèi)力都可有靜力平衡條件求得。

注：“多余約束”是指在靜定結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上增加的約束，對于維持幾何不變性是多余的，

但它可以提高結(jié)構(gòu)剛度，或降低應(yīng)力水平，不是真正意義上的多余。

3,常用超靜定次數(shù)的確定：

內(nèi)力超靜定：平面結(jié)構(gòu)：單個封閉框架是3次內(nèi)力超靜定

空間結(jié)構(gòu)：單個封閉框架為6次超靜定

外力超靜定：確定全部約束個數(shù)，在將結(jié)構(gòu)視為一個整體，確定系統(tǒng)的獨立平衡方程個數(shù),

超過3個約束反力的平面結(jié)構(gòu)就是超靜定結(jié)構(gòu)。

幾個特定結(jié)構(gòu)：

（1）,桁（h6ng）架：直桿用較連接，載荷只作用于節(jié)點的桿系。（此時桿件只承受軸向拉壓）

超靜定次數(shù)：k=m—2n+3

m—桁架結(jié)構(gòu)的桿件數(shù)

n---桁架節(jié)點數(shù)。

中間較：當(dāng)中間較連接n個桿件時，系統(tǒng)增加n-1個M=0平衡方程。

（2）,剛架：由若干個桿件端點剛性連接在一起組成的框架，可承受結(jié)點力，也可承受

非結(jié)點力。

一個閉合剛架是3次超靜定結(jié)構(gòu)，用一截面切開一個切開，使其變?yōu)槌o定結(jié)構(gòu)，可出現(xiàn)內(nèi)

力FN,M,FS。大型平面結(jié)構(gòu)，每增加一個閉合框架，結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)就增加3次，平面受

力閉合圓環(huán)與之類似。

注:超靜定次數(shù)由由結(jié)構(gòu)，受力狀況唯一確定（k=內(nèi)約束個數(shù)+外約束個數(shù)-獨立平衡方程），

至于用對稱（反對稱）降階，甚至可以化為靜定結(jié)構(gòu)，則只是簡化手段，與超靜定次數(shù)無關(guān)。

4,靜定基：解除超靜定結(jié)構(gòu)多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)，（其選擇有多樣性，解題時應(yīng)該選

取最簡化的，但必須滿足幾何不變、靜定兩個條件）

相當(dāng)系統(tǒng)：在對應(yīng)靜定基上加外載荷以及多余約束力的系統(tǒng)。

二，重要計算：

1,超靜定系統(tǒng)的求解方法：

力法（柔度法）：以多余約束為基本未知量，將構(gòu)件的變形，位移表示為未知力函數(shù)，由變

形協(xié)調(diào)方程作為補充方程求解未知約束力的方法。

位移法（剛度法）：以結(jié)點位移為基本未知量，。。。。。

力法解題步驟：

（1）.判斷靜定情況：1,是否是超靜定，2外力、內(nèi)力、混合超靜定3,超靜定次數(shù)

（2）,選擇靜定基，建立相當(dāng)系統(tǒng)

（3）,求變形協(xié)調(diào)方程（簡單系統(tǒng)用變形比較法，復(fù)雜系統(tǒng)用正則方程）

（4）,求解補充方程，得出全部未知力。

2,力法的正則方程：

1,對n次超靜定系統(tǒng)：

8nXi+§12X2H--------1-SinXn=Ai

621X1+822X24-----F&aXn=A2

SnlXl+8112X2+…+SraiXn=An

Xi--第i處約束的約束力

5ij--柔度系數(shù)）（次=8，位移互等），由莫爾積分（曲桿）或圖剩法確定（等直桿），

注意：1,條件：線彈性，小變形；

2,A未必為零。

3,外力超靜定中對應(yīng)與絕對（線，角位移），內(nèi)力超靜定中對應(yīng)于相對移動，轉(zhuǎn)動。

3,對稱與反對稱的利用（用于降階）：

結(jié)構(gòu)對稱：平面結(jié)構(gòu)的尺寸，形狀，材料?，約束條件都對稱于某一軸或某幾軸。

對稱情況對稱量非對稱量

結(jié)構(gòu)對稱所有物理量關(guān)對稱面上

于對稱軸對稱所有非對

外力對稱稱物理量

為零。

。=0,R=：0

T=0,T=0

結(jié)構(gòu)對稱所有物理量關(guān)對稱面上對稱物

于對稱軸反對理量為零。

外力反對稱稱

△y=O,0A/B=0

M=0,FN=0

c=0

對稱的構(gòu)造：平面對稱結(jié)構(gòu)承受不規(guī)則載荷，可以將其化為對稱載荷與非對稱載荷的疊加作

用。

第十四章動載荷

一，基本概念：

1,動載荷：隨時間有明顯變化的載荷（材料內(nèi)部有不可忽略的加速度）

2,兩類加速問題

加速問題：線加速：

角加速：

利用動靜法（達朗貝爾方法）求解

3,沖擊問題：受外力作用時間很短，加速變化劇烈。

基本依據(jù)--能量守恒：

T+V=VS（動能+勢能=應(yīng)變能）

實際的沖擊過程中，材料力學(xué)性能發(fā)生了很大的變化，簡化分析中做如下假設(shè):

（1）,線彈性；

（2）,沖擊物質(zhì)量不計；

（3）,沖擊物視為剛體：

（4）,熱，聲，振動等形式的能量不計；

4,動荷因數(shù)：

K_耳_5_&

01--------...

E5,

5,提高構(gòu)件抗沖擊能力的措施：

（1）,在不增加靜應(yīng)力5t的前提下，增加靜位移AM（如增加緩沖物，降低彈性模量）

（2）,改變沖擊構(gòu)件尺寸以收到降低動應(yīng)力（盡量使沖擊構(gòu)件接近等截面等）

（3）

二，重要計算

1,加速問題：

（1）,勻加速a提升構(gòu)件：Kd=1+-

g

（2）,勻角加速度（飛輪制動）:

2

（3）,薄圓環(huán)勻角加速旋轉(zhuǎn)：od=pv

2,沖擊問題：

（1）,動荷因數(shù)法：條件：沖擊前收沖擊構(gòu)件無應(yīng)力、應(yīng)變，未儲存能量;

沖擊前后受沖擊系統(tǒng)沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)上的變化；

沖擊方式動荷因數(shù)計算公式備注

（W-沖擊物重量）

沖擊前瞬間

12T

動能為T