2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)試題答案解析

2019年高考全國I卷文數(shù)試題解析

1.設(shè)z，則z=

1+21

A.2B.73C.V2D.1

【答案】c

先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算(分母實(shí)數(shù)化)，求得z,再求回.

(3-/)(l-2z)17

【解析】因?yàn)閦=1二1,所LJZ——I

1+2，(l+2z)(l-2z)55'

iz|=J(y+(—62=血，故選c.

2.已知集合U={11,5,}2,,33,4=,5{,26,7}3,6,A7=}，{則2,38,n4C°A

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.

(1,6,7}

【答案】c

先求名人,再求Be心A.

【解析】由已知得G；A={1，6,7},所以3門。4={6,7},故選C.

3.已知。=1。8202。=2°-2,，=0.203,則

A.a<b<cB.a<c<hC.c<a<hD.

h<c<a

【答案】B

運(yùn)用中間量0比較〃，c,運(yùn)用中間量1匕闡人，。

3

【解析】?=log20.2<log2l=0,匕=20-2>2°=1,0<0.2°<0.2°=1,則

0<c<l,a<c<Z?.故選B.

4.古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是叵【

2

（叵口?0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯"便是如此.此外，最美人體

2

的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是正匚.若某人滿足上述兩個黃金分割

2

比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解.

【解析】設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為xcm,肚臍至腿根的長為ycm,則

生=今士土=正二！，得xH42.07cv?,yH5.15c7?.又其腿長為105cm,頭頂至脖子

xy+1052

下端的長度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm.故

選B.

ciny4-X

5.函數(shù)立）=--------7在［TT,TT］的圖像大致為

COSX+X-

【答案】D

先判斷函數(shù)的奇偶性，得.”X）是奇函數(shù)，排除A,再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正

確答案.

、sin(-％)+(—x)-sinx-x”、，

【解析】由/(-九)=—1(；=----r=-/W,得fM是奇函數(shù),其圖象關(guān)

cos(-x)+(-X)cosx+x

1+工

TTo4+n

于原點(diǎn)對稱,又/(彳)=—二=——>1，f⑺=-—7>0.故選D.

2(工)2兀--1+7T

6.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1,2，…，1000,從這些新

生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn)，若46號學(xué)生被抽到，則下面4

名學(xué)生中被抽到的是

A.8號學(xué)生B.200號學(xué)生C.616號學(xué)生D.815號

學(xué)生

【答案】C

等差數(shù)列的性質(zhì).滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).使用統(tǒng)計思想，逐個選項(xiàng)判斷得出答案.

【解析】解析：由已知將1000名學(xué)生分成100個組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46

號學(xué)生被抽到，

所以第一組抽到6號，且每組抽到的學(xué)生號構(gòu)成等差數(shù)列｛公差d=10,

所以％,=6+10〃（〃eN*）,

若8=6+10〃，則〃=(，不合題意；若200=6+10〃，則“=19.4,不合題意；

若616=6+10〃，則〃=61,符合題意；若815=6+10〃,則〃=80.9,不合題意.故選

C.

7,tan255°=

A.-2-V3B.-2+6C.2-73D.2+6

【答案】D

本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式

計算求解.題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.

tan255°=tan(l80°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=

1+也

tan45°+tan30。T=2+Q

1-tan45tan3073

1----

3

【遷移】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運(yùn)算求解能

力.

8.已知非零向量a,6滿足同=20|,且（a-b）_L6則a與6的夾角為

【答案】B

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)

學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角

公式即可計算出向量夾角.

【解析】因?yàn)?一份工人，所以（。一份力=。力一/=0,所以。為=〃，所以

。05夕=片1=裳5=〈，所以。與。的夾角為g，故選B.

\ci\t\b\2\b\~23

9.如圖是求2+1的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

11

A.A=B.A—2H—C.A-D.

2+AA1+2A

>4=1+—

2A

【答案】A

本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認(rèn)真分析式子結(jié)構(gòu)特

征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇.

【解析】執(zhí)行第1次，A=1?=1<2是，因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計算;71=丁二,k=k+\=2,

22+A

]

循環(huán)，執(zhí)行第2次，攵=2W2,是，因?yàn)榈诙螒?yīng)該計算2+I=丁二，左=左+1=3,

2+1-2+A

2

循環(huán)，執(zhí)行第3次，k=2￡2，否，輸出，故循環(huán)體為A=丁二,故選A.

2+A

【遷移】秒殺速解認(rèn)真觀察計算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知循環(huán)體為A=八.

2+A

22

10.雙曲線<2x--3v=1（4〉0/>0）的一條漸近線的傾斜角為130。，則C的離心率為

ab~

A.2sin40°B.2cos40°C.---D.

sin50°

1

cos50°

【答案】D

【解析】

分析】

由雙曲線漸近線定義可得--=tan130。，.?.一=tan50°，再利用e=￡=求雙曲

ciaa

線的離心率.

bb

【解析】由已知可得一一=12930°,，一=12150。，

aa1

/sin250°+cos25001

=Vl+tan250°

fS^vcos250°cos50°

故選D.

【遷移】對于雙曲線：2=l(a>0,Z?>0),有e'=；對于橢圓

〃ba

防止記混.

11.A/8C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin/-Ain8=4csinC,cosA=

「則1=

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

利用余弦定理推論得出a,b,c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.

【解析】解析：由已知及正弦定理可得〃一匕2=4cz,由余弦定理推論可得

.229

b~+CC2C2

-413C1b3ALA

--=cosA=一,—=—9—=—x4=6iffi&SA.

42bc2bc42b4c2

【遷移】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用.

12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為￡（-1,0），鳥（1,0）,過月的直線與C交于4,8兩點(diǎn).若

IAq=2|F2B\,IAB|=|BF\,則。的方程為

2222

八X1D工1

A.---Fy2=IB.---F-?-=1C,工+匕=1D.

23243

【答案】B

【解析】

分析】

由已知可設(shè)優(yōu)叫=〃,則|然|=2〃,忸耳|=|鉆|=3〃，得|做|=2"，在△前3中求得

cos4A6=；,再在△人耳耳中，由余弦定理得〃=走，從而可求解.

32

【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)內(nèi)邳=〃,則|伍|=2〃,忸耳|=|明=3〃,由橢圓的

定義有2a=忸用+忸閭=4〃,r.|M|=2a-|A周=2〃.在△然8中，由余弦定理推論

4?2+9/?2-9n21

得COSNF；AB=M十""=！.在中，由余弦定理得

2-2/1-3n3

4/?2+4M2-2-2/2-2/I--=4，解彳導(dǎo)〃=@.

32

22

2a=4〃=2>/3,a=A/3,b2=a1—c1=3—1=2,/.所求橢圓方程為—十―1,

32

故選B.

法二:由已知可設(shè)后卸二〃,則|伍|=2〃,忸￡|=|AB|=3〃,由橢圓的定義有

2a=\BF]\+\BF2\=4n,:.\AFl\=2a-\AF2\=2n.在△?!耳巴和△電工中，由余弦定理得

22

4/?+4-2.2〃.2?cosZAF2F}=4n,

，又N44耳，/8回耳互補(bǔ),

22

n4-4-2?n-2?cosZBF2F1=9n

22

/.cosAAF2F}+cosZBF2F1=0，兩式消去cosNA瑪耳，cosN5瑪耳Jf3n+6=lln,

解得n-2a=4n=2>/3，.二a=\/3,h2=cr—c2=3—1=2,.,.所求橢圓方程為

2

【遷移】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，

很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(/+x)e'在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

【答案】3x-y=0.

本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得

切線方程

【解析】解析：V=3(2x+l)e，+3(/+x)e*=3(/+3x+l)e-

所以，左=>'L0=3

所以，曲線y=3，+x)e'在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x-y=0.

【遷移】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計

算錯誤.求導(dǎo)要"慢"，計算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求.

3

14.fiS為等比數(shù)列｛為｝的前77項(xiàng)和.若q=1，S3=[,則*=

【答案】

O

本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比4的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計算得到

54.題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.

【解析】解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為4，由已知

31

S3=4+%q+=1+q+q~=—,即q~+4--=0

解得q=_g

4(1"J-，5

所以S4

>q8

【遷移】準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及幕的乘方運(yùn)算、繁分式分式

計算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算

3

S4=Si+a4=S3+?^=|+（-1）=|,避免繁分式計算.

37r

15.函數(shù)/（X）=sin（2x+弓）-3cosX的最小值為

【答案】-4.

本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于

cos8?cosC=!的二次函數(shù)，從而得解.

4

【解析】

34

f(x)=sin(2x+—)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1

?3、217

=-2(cosXd—)H----.

48

?.?一1WCOSXWl,當(dāng)COSX=1時，/min(X)=-4,

故函數(shù)/(x)的最小值為T.

【遷移】解答本題過程中,部分考生易忽視-1<cosx<l的限制，而簡單應(yīng)用二)欠函數(shù)

的性質(zhì)，出現(xiàn)運(yùn)算錯誤.

16.已知P為平面Z8C外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)?至！|/力)兩邊ZC,8。的距離均

為百，那么P到平面/8C的距離為.

【答案】V2

本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到P在底面上的射影，使用線面

垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定理解決.

【解析】作PRPE分別垂直于,p。工平面ABC,連CO,

知C"皿C"PO,PDC\OD=P,

\CD人平面,QDu平面PDO,

：.CD±OD

■■■PD=PE=y/3,PC=2.sinZPCE=sinZPCD=—,

2

;.NPCB=NPCA=6(f,

：.PO±CO,CO為ZACB平分線,

ZOCD=45°OD^CD^1,OC=6,又PC=2,

p

【遷移】畫圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問題即很難

解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解

題事半功倍.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（一）必考題：60分。

17.某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的

服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(RN

0.0500.0100.001

k)

k3.8416.63510.828

43

【答案】(1)Mg；

(2)能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

(1)從題中所給的2x2列聯(lián)表中讀出相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算

出相應(yīng)的頻率，即估計得出的概率值；

(2)利用公式求得觀測值與臨界值比較,得到能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服

務(wù)的評價有差異.

【解析】(1)由題中表格可知，50名男顧客對商場服務(wù)滿意的有40人，

404

所以男顧客對商場服務(wù)滿意率估計為=-,

50名女顧客對商場滿意的有30人，

303

所以女顧客對商場服務(wù)滿意率估計為/^=—=-,

2

(2)由列聯(lián)表可知K=100(40X20-30X10)2=吧。4.762>3,841,

70x30x50x5021

所以能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

【遷移】該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計的知識，涉及到的知識點(diǎn)有利用頻率來估計概率，利

用列聯(lián)表計算K?的值，獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于簡單題目.

18.記S為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知￡=-右.

(1)若電=4,求｛a〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若出>0,求使得的"的取值范圍.

【答案】(1)%=-2〃+10；

(2)1V〃410(〃GN").

(1)首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于4和。的方程組，求得4

和。的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意有%=0,根據(jù)4>0,可知d<0,根據(jù)S.>an,得到關(guān)于〃的不等式，

從而求得結(jié)果.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為q，公差為。，

除+”d——(q+46?)

根據(jù)題意有2

4+2d=4

4=8

解答，』2,所以3+57-〃+"

所以等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=-2〃+10;

(2)由條件S9=-%,得9%=—％，即％=°,

因?yàn)槊纭?，所以d<0，并且有%=%+4"=0，所以有％=-44,

2

由Sn>an得叫+〃(丁)J>a,+(n-l)J,整理得(n-9〃)d>(2n-l0)d,

2

因?yàn)閐<0,所以有〃2一9〃42〃-10,&Pn-lln+10<0,

解得1W〃W1O,

所以〃的取值范圍是：l<n<10(ne^*)

【遷移】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列

的求和公式，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.

19.如圖，直四棱柱力8。-48GQ的底面是菱形，Z4=4,AB=2,仄60°，;例,

/V分別是BC,BBi,4?。的中點(diǎn).

(1)證明：例Ml平面C1DE-,

(2)求點(diǎn)C到平面G0F的距離.

【答案】(1)見解析；

(2)"

17

(1)利用三角形中位線和可證得ME〃N￡)，證得四邊形MNDE為平行四邊形,

進(jìn)而證得MN//DE,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意求得三棱錐G-CDE的體積，再求出AC.DE的面積，利用VCi_CDE=Vc_CiDE

求得點(diǎn)C到平面CQE的距離，得到結(jié)果.

【解析】(1)連接ME,Bg

'-M,E分別為8g,6c中點(diǎn)為羽由。的中位線

ME//B￡且ME=；B[C

又N為4。中點(diǎn)，且AQ〃B|CND//B}C且ND=gB,C

MEHND四邊形MNDE為平行四邊形

:.MN"DE,又肱V(Z平面GOE,DEI平面0OE

.?.腦7//平面。0后

(2)在菱形ABC。中，E為中點(diǎn)，所以DELBC,

根據(jù)題意有。E=0,Ci￡=Vi7,

因?yàn)槔庵鶠橹崩庵杂?。EJ?平面BCC#,

所以。,所以Sgg島后,

設(shè)點(diǎn)C到平面C0E的距離為d,

根據(jù)題意有％-CDE=Z-CQ￡，則有g(shù)xgx6xVT7xd=(xgxlx百X4,

解得〃=4曰=里4J1上7

V1717

所以點(diǎn)C到平面C}DE的距離為生叵

17

【遷移】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面

的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋

找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是文科生常考的內(nèi)容.

20.已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,1(x)為〃x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：％x)在區(qū)間(0,7T)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若旌［0,TT］時,f(x)>ax,求a的取值范圍.

【答案】(1)見解析；

(2)ae(e,O］.

(1)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后,設(shè)為g(x)進(jìn)行再次求導(dǎo),可判斷出當(dāng)x西膏斑寸，g'(x)>。,

當(dāng)時，g'(x)<0，從而得到g(x)單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)

所處的位置，證得結(jié)論；(2)構(gòu)造函數(shù)〃(x)=,f(x)一公,通過二次求導(dǎo)可判斷出

"On=〃'⑺=-2-”,“(x)a="(￡)=芋-。；分別在-2,-2<a<0,

77—277—2/\

0<。<一5一和。2一萬一的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷〃(x)單調(diào)性，從而確定

〃(%)>。恒成立時〃的取值范圍.

【解析】(1)/'(X)=2cosx-cosx+xsinx-l=cosx+xsinx-l

令g(x)=cosx+xsinx—l,則g'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

當(dāng)xe(0①時，令g'(x)=0,解得：x=|

二當(dāng)x西費(fèi)享時，g'(x)>。；當(dāng)時，g'(x)<0

\g(x)在］。，'］上單調(diào)遞增；在［、，乃］上單調(diào)遞減

又g(O)=l-l=O,=f-1>0，g(%)=TT=-2

P

當(dāng)

即X-

?

2干g(x)>0,此時g(x無零點(diǎn),即尸(x)無零點(diǎn)

,?抬圖,8⑺<°.,?現(xiàn)右停1),使得g($)=。

又g(x)在上單調(diào)遞減.”=%為8"),即廣(力在仁，乃)上唯一零點(diǎn)

綜上所述：:3在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點(diǎn)

(2)若尤e［0,句時,f(x)>ax,即/(x)一公20恒成立

令/z(x)=/'(x)-or=2sinx-xcosx-(a+l)x

貝=cosx+xsinx-l-〃，/z"(x)=xcosx=g'(x)

由(1)可知，〃'(x)在(0仁)上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

且/⑼=一。,"圖，〃'⑺=-2一4

.,."(%="(乃)=-2—a,圖

①當(dāng)aW—2時，〃'(6訕=〃'(不)=一2—。",即〃'(x)20在［0,句上恒成立

.?/(X)在［0,句上單調(diào)遞增

\/z(x)?、(0)0,&p/(x)-ax>o,此時/(X)之以恒成立

②當(dāng)一2＜aW0時，/r（o）＞o,J＞0,〃'S）＜0

，叫€仁,乃），使得〃（毛）=0

.?/（x）在［0,不）上單調(diào)遞增，在（/句上單調(diào)遞減

又〃（0）=0,〃（?）=2sin?-;rcos萬一（。+1）萬=一〃乃之0

???〃（司之。在［。，句上恒成立,即〃X）NQX恒成立

③當(dāng)0＜a＜一時,〃'（0）＜0，嗚卜__“＞（）

.?與々€（0,1^,使得"（々）=°

.?/（X）在［0,/）上單調(diào)遞減，在12,5上單調(diào)遞增

.,.%?0,%2）時，/7（》）＜〃（。）=。，可知/（x）2儂不儂立

④當(dāng)/歲時，"㈤皿二"仁卜學(xué)一。、。

???Mx）在（0,3上單調(diào)遞減\〃（x）＜〃（0）=0

可知〃x）2ar不恒成立

綜上所述：a?Yo,0］

【遷移】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.

對于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變

成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到

最值.

21.已知點(diǎn)，，8關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對稱,\AB\=4,0例過點(diǎn)Z,6且與直線x+2=0相切.

(1)若，在直線x+股。上，求。例的半徑.

(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動時，|例4|-|例川為定值？并說明理由.

【答案】(1)2或6;

(2)見解析.

(1)設(shè)A?,T),B(一⑼,根據(jù)|AB|=4,可知=&；由圓的性質(zhì)可知圓心M必在

直線戶》上，可設(shè)圓心；利用圓心到x+2=0的距離為半徑和==「構(gòu)

造方程，從而解出「；(2)當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)方程為：丁=依，由圓的性質(zhì)可

知圓心M必在直線.丫=-!》上；假設(shè)圓心坐標(biāo)，利用圓心到x+2=0的距離為半徑和

k

r=\MA\=加『+|叫2構(gòu)造方程，解出乂坐標(biāo)，可知M軌跡為拋物線；利用拋物線

定義可知產(chǎn)（1,0）為拋物線焦點(diǎn)，且定值為1；當(dāng)直線AB斜率不存在時，求解出M坐標(biāo),

驗(yàn)證此時P（l,0）依然滿足定值，從而可得到結(jié)論.

【解析】（1）?.?A在直線咚上.??設(shè)A（f,T）,則

r

又|朋=4.?⑻2=16,解得：卜|=3

?：QM過點(diǎn)A,8:?圓心M必在直線？=*上

設(shè)M（a,a）,圓的半徑為「

?.?0M與x+2=0相切.”=卜+2|

又|M4|=|M@=r,即（a—及『+n+血）2=,

.,.（4-血）+（4+0）=（4+2）2,解得：4=0或。=4

當(dāng)。=。時，〃=2；當(dāng)。=4時，r=6

???。加的半徑為：2或6

（2）存在定點(diǎn)尸（1,0）,使得〔MAI-IM=1

說明如下：

vA,B關(guān)于原點(diǎn)對稱且|AB|=4

二直線A8必為過原點(diǎn)。的直線，且|。4|=2

①當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)AB方程為：y="

則QM的圓心M必在直線y=一7x上

k

設(shè)加）,G）M的半徑為廣

?.?0V與x+2=0相切：.r=\-km+2\

又廠==,J\OAf+\OMf=y/4+k2m2+m2

/.|-^m+2|="+攵2M+M,整理可得：〃?2=-4km

即加點(diǎn)軌跡方程為：步=4x,準(zhǔn)線方程為：x=-1,焦點(diǎn)F（1,O）

???|M4|=r,即拋物線上點(diǎn)到x=—2的距離月+1

二當(dāng)P與F重合，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）時，|加4|一|網(wǎng)=1

②當(dāng)直線AB斜率不存在時，則直線AB方程為：x=0

\M在x軸上，設(shè)M（〃,0）

:.\n+2\=yJn2+4，解得：〃=0,即M（0,0）

若P(L。)，貝“,卜|心|=2-1=1

綜上所述，存在定點(diǎn)P(LO)，使得|M4HMp|為定值.

【遷移】本題考查圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點(diǎn)定值類問題.解決本定點(diǎn)定值問

題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)得到動點(diǎn)所滿足的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義得到定

值，進(jìn)而驗(yàn)證定值符合所有情況，使得問題得解.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，

則按所做的第一題計分。

224選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

'1-/

x-1+產(chǎn)，

在直角坐標(biāo)系X。/中，曲線C的參數(shù)方程為｛七’"為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。

4r

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

20cose+Gpsine+l1=0.

(1)求。和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求。上的點(diǎn)到/距離的最小值.

2

【答案】(1)C:x2+-^-=l,xe(-