2022屆舊高考數(shù)學(xué)（理）開學(xué)摸底測試卷1

2022屆舊高考數(shù)學(xué)(理)開學(xué)摸底測試卷1

一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

x+2

1.若集合A=x]——”0卜B={X|X2-X-2<0},則=

Ix—1

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

2.若虛數(shù)Z滿足z(l+i)=|z|2,則2=

A.1-zB.1+iD.-1+/

x2y2

3.已知命題〃：VAe(1,2),方程=1都表示雙曲線；9：拋物線y=4/的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,())；

2-kk-\

下列判斷正確的是

A.夕是假命題B.夕是真命題

C.p/\(—?7)是真命題D.(-、p)Aq是真命題

4.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是

A./(%)=x3+3x2B."x)=2'+2T

C.f(x)=xsinxD.

3-x

5.2'*,b=6,c=iog3,a,b,c

已知。=2則的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

6.在正方體44GB中，異面直線A片與BD的夾角為

7171

A.—cD.

2-7-6

7.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分

為陽爻“”和陰爻“-------工如圖就是一重卦.如果某重卦中有3個(gè)陽爻，3個(gè)陰爻，則它

可以組成種重卦.

A.6B.15C.20D.1

TT

8.將函數(shù)，(x)=sin(3x+w)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖

象向右平移機(jī)(根〉())個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(?的圖象.若g(x)為奇函數(shù)，則相的最小值為

A兀717[

A.—B.-C.-D.-

18963

9.在圓V+y2=4內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線x+y—2啦=0的距離小于1的概率為

11「\Ec16

AD.-----C.-----L).—1---

-134萬34乃34乃

10.已知函數(shù)/(X)=%/心-((〃?+1)%2-尤有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

A.(--,0)B.(-1,--1)C.(-O0,--l)D.(-1,+00)

eee

11.已知O為橢圓。的中心，尸為。的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)/在。外，MO=3OF,經(jīng)過M的直線/與C的

一個(gè)交點(diǎn)為N,AMN/是有一個(gè)內(nèi)角為120°的等腰三角形，則C的離心率為

A白R(shí)百rH1D6+1

A.----D.------C.VJ—1U.-------------

434

12.已知函數(shù)7*)=/一工，g(x)=b+1③°.若關(guān)于x的方程g(f(x))-m=0有四個(gè)不同的解，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合為()

(0,竽B.錚)

A.D.(0,1)

二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知雙曲線C:與-5=1(。＞0力＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為"，居，過鳥的直線/交C的右支于A,B

ab

兩點(diǎn)，且福?通=0,12|荏|=5|福則C的離心率為.

14.已知向量々=(2,3),b=,且?與@+6垂直,則機(jī)=.

15.在A48C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知5=2，a=2,b=&,則A4BC的面

3

積為一.

2x+y-3?0

16.將滿足卜.0的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的主觀圖面積為.

y...一1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,4=1,&+生+…也+%=〃(〃.⑵,neN\

12n-\n

(1)求數(shù)列｛〃,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若q,ak,S—成等比數(shù)列，kwN",求,+=+……的值.

S\$2Sp

18.某工廠的工人生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40〃2m的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，從該廠的1000件

零件中抽出50件，測得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm):

25.41x825.42x625.40x425.38x11

25.39x825.44x125.43x725.37x5

這里用.XX”表示有"件尺寸為xwwn的零件.

(1)求這50件零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)元；

(2)設(shè)這50件零件內(nèi)徑尺寸的方差為S2,試估計(jì)該廠1000件零件中其內(nèi)徑尺寸在叵-s,5+s)內(nèi)的

件數(shù).

參考數(shù)據(jù)：取"證=2.04.

19.如圖，在正三棱柱A8C-AgG中，AC=2A4,=4,E,尸分別是BC,4耳的中點(diǎn).

(I)求證：所//平面4CGA；

(II)求二面角A-研-C的余弦值.

20.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M(a,4)在C上，尸|=4.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)F的直線/與C交于A,B兩點(diǎn),若/與圓”:(x—廳+丁二；相切，求A4O3的面積.

21.已知函數(shù)/(x)=a/nr+^~~--x.其中a..O.

x

(1)討論函數(shù)f(x)的極值；

(2)設(shè)機(jī)eZ,當(dāng)a=l時(shí)，若不等式/。)<加-(》-2)6”對(duì)任意*€(0,1］恒成立，求加最小值.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選修

4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.以直角坐標(biāo)坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以龍軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長

x=m+,cosa

度單位，已知曲線G的極坐標(biāo)方程為P=4cos〃，曲線C,的參數(shù)方程為\(r為參數(shù)o?r<萬)，

［y=rsina

射線e=s，e=e+生,。=9-至分別與曲線G交于極點(diǎn)o外的三點(diǎn)A,B,C.

44

l、*|OB|+|OC|的估

(1)米-----------的值；

\OA\

(2)當(dāng)°時(shí)，B,C兩點(diǎn)在曲線C,上，求機(jī)與&的值.

12

23.已知函數(shù)/(x)=|x-a|+|x+力|(a>0,*>0).

(1)若a=l,b=\,求不等式/(x\,5的解集；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的最小值為〃?，當(dāng)!+工=1時(shí)，求m的取值范圍.

ah

2022屆舊高考數(shù)學(xué)（理）開學(xué)摸底測試卷1

一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.若集合A={x|?!”0卜B={X}X2-X-2<Q},則=

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

【參考答案】C

【題目解析】?.?集合4=卜|三領(lǐng)?={x|-2x<l],

B={x\x2-x-2<0}={x\-1<x<2},

/1QB={X|-1<%<1)=(-1,1).

故選c.

2.若虛數(shù)z滿足z(l+i)=|z/，則2=

A.1—zB.l+iC.—1—iD.—1+i

【參考答案】A

【題目解析】設(shè)z=〃+/?i,a,bwR,

則由z(l+0=|z|2,得(a+bi)(l+i)=|a+標(biāo)『=/+%2,

即。-6+(4+"=4?+/，

a=1

所以解得

b=-l

所以z=1—i.

故選A.

3.已知命題p:VZe（1,2）,方程二一一工=1都表示雙曲線；q：拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）；

2kk1

下列判斷正確的是

A.〃是假命題B.g是真命題

c.p/\（r）是真命題D.（「〃）△鄉(xiāng)是真命題

【參考答案】c

【題目解析】方程六-￡=1表示雙曲線，則有(2-幻儀-1)>0,解得

故命題尸:VZe(1,2),方程工——匚=1都表示雙曲線為真命題；

2-kk-\

拋物線y=4X2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—),

16

故命題q：拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)是假命題；

所以F為真，-p為假，

則pA(-1?)為真，(r?)Aq為假，

故選C.

4.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是

A./(x)=x3+3x2B.f(x)=2*+2T

3+x

C./(x)=xsinxD.f(x)=In-----

3-x

【參考答案】D

【題目解析】對(duì)于A,?."(—1)=2,f(1)=4.(1),

函數(shù)不是奇函數(shù)；

對(duì)于B,函數(shù)定義域?yàn)镽，f(-x)=2T+2-i)=2*+2T=f(x),

.?.函數(shù)為偶函數(shù)；

對(duì)于C,函數(shù)定義域?yàn)镽,/(-x)=-xsin(-x)=xsinx=/(x),

函數(shù)為偶函數(shù)；

對(duì)于。，由±>0,得—3<x<3,函數(shù)定義域?yàn)?—3,3),

3-x

而/(-%)=加=加(|^尸=芋士=-/(X),

3+x3-x3-x

/.函數(shù)為奇函數(shù).

故選D.

5.已知。=2"，b=6,c=log23,則b,c的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.h>c>a

【參考答案】C

【題目解析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，

a=2^>3,l<b=g<2,1<c=log23<2,

'設(shè)b=C=log?20,c=log23,

由于函數(shù)加=log2f為增函數(shù)，

由于y=2#的值接近于4,

所以a>b>c.

故選：C.

6.在正方體ABC?！?月￡。中，異面直線AB|與BD的夾角為

71C冗C71r,

A.一B.一C.一D.

234

【參考答案】B

【題目解析】在正方體ABCD-A4GA中，DR〃BB\,且,

所以四邊形B4RZ）為平行四邊形，所以BD//BQ,,

所以異面直線A耳與3。夾角等于乙4耳?；蚱溲a(bǔ)角，

連接4R，因?yàn)椤?片R為正三角形，

jr

所以NABQ=-,

所以異面直線4月與比>夾角為王.

3

7.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分

為陽爻“------”和陰爻“--------”，如圖就是一重卦.如果某重卦中有3個(gè)陽爻，3個(gè)陰爻，則它

可以組成種重卦.

A.6B.15C.20D.1

【參考答案】C

【題目解析】每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，某重卦中有3個(gè)陽爻，3個(gè)陰爻，則有C；=20

種.

故選C.

8.將函數(shù)f(x)=sin(3x+7-T)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖

象向右平移機(jī)(m>0)個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若g(x)為奇函數(shù)，則加的最小值為

717171

A.—B.-C.-D.-

18963

【參考答案】D

【題目解析】將函數(shù)/(x)=sin(3x+C)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變)，得到

6

.A71.

y=sin(-x+),

2To

再將所得到的圖象向右平移〃?(〃?〉0)個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象由，

即g(x)=sin[1(x-ff?)+^]=singx+^-y).

因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以5-'=女萬，keZ.

62

解得m=--2k7t.

3

因?yàn)閙>0,所以當(dāng)％=0時(shí)，機(jī)的最小值為王.

3

故選D.

9.在圓f+y2=4內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線x+y-2及=0的距離小于1的概率為

A1D11c1Gn\6

A.-B.------C.-----D.—I---

334〃34乃34萬

【參考答案】C

【題目解析】由點(diǎn)到直線的距離公式得原點(diǎn)O到直線x+y-20=0的距離為乜g=2,

V2

故至U直線x+y-2&=0距離為1的點(diǎn)在直線x+y+c=0上，

則］￡華?=1,c=-&或c=-3應(yīng)(舍去)；

滿足圓/+y2=4內(nèi)到直線X+y-&=0的距離小于1的點(diǎn)位于兩直線之間的弓形內(nèi),

由于圓的半徑為2,AAOB=—,AB=26;

3

=xx2,2

S弓形^~f-；x24xl=?一,.

44同

故概率尸=逗=^——走.

5Kl4乃34zr

故選C.

1,

10.已知函數(shù)J(X)=%/收一5(〃2+1)%2-%有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”2的取值范圍為

A.(--,0)B.C.(-00,1-1)D.(-1,+00)

eee

【參考答案】B

【題目解析】由f(x)=xlnx-^(m+l)x2-x,

x

得f\)=欣一+l)x，X>0.

要使/(%)=功優(yōu)-；(加+1*2-X有兩個(gè)極值點(diǎn)，

只需((的=柩-(優(yōu)+i)x=o有兩個(gè)變號(hào)根，即〃2+1=蛆有兩個(gè)變號(hào)根.

X

/、live/八、，/、\-lnx

令A(yù)g(x)=—,(X>0),則niIg，(x)=——)

XX

由<(不)=0得元=e,易知當(dāng)xw(O,e)時(shí)，^(x)>0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)不￡(6,母)時(shí)，g\x)<0,此時(shí)g(X)單調(diào)遞減.

所以g（x）“*=g（e）=]，

e

j_

而g（1）=-6<0,lim—=lim—=0,

gXT+OOXXT+OC]

故選B.

11.己知。為橢圓。的中心，尸為。的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C外，MO^3OF,經(jīng)過“的直線/與C的

一個(gè)交點(diǎn)為N,△MNF是有一個(gè)內(nèi)角為120。的等腰三角形，則C的離心率為

指D.”

A.——RD.----c.G-i

43

【參考答案】B

(題目解析】不妨設(shè)F(c,O),MO=3OF,則M(-3c,0),

易知^MNF中只能ZMNF=120°.

AM7V廠是有一個(gè)內(nèi)角為120。的等腰三角形，則N(-C,±2?C),

42

2-C4.2

將N代入橢圓方程得到r二+3k=1，即e2+*h=l,

a~b~3(1-e-)

解得eJ；或八3(舍去),

故6=正，

3

故選B.

12.已知函數(shù)f(x)=*-Lg(x)=.5X+l'蒼’°.若關(guān)于X的方程g(/(x))-〃?=o有四個(gè)不同的解，則

2[(x-l)/nx,x>0

實(shí)數(shù)加的取值集合為()

A.(0萼)B.(華,1)C.[與]D.(0,1)

22[2J

【參考答案】A

【題目解析】解：設(shè)f=/(x)，方程g(f(x))—〃?=0有四個(gè)不同的解，

.”=/3)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=e*—g為增函數(shù)，則當(dāng)天,0時(shí)，Z=/(x)為減函數(shù)，

tin=/(0)=e°--=—,即f..2,

Him?/、，222

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=(x-\)lnx,貝I」g\x)=Inx+—(x-V)=Inx--+1,

XX

另g<x)=O,解得x=i,

所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，((x)<0,g(x)為減函數(shù)，

當(dāng)xw(l,+8)時(shí)，g，(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

由圖可知，當(dāng)機(jī)￡(0,當(dāng))時(shí)，y=g?),/…g的圖像與y=〃2圖像有2個(gè)交點(diǎn),

作出1=f(x)的圖像,如下：

此時(shí)y=4與y=G分別與y-f(x)有2個(gè)交，即g(/(x))-〃2=0有4個(gè)不同的解，

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(0,掾)，

故選A.

二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知雙曲線C:「-多■=1(“>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為六，F(xiàn),,過F,的直線/交C的右支于A,B

ab

兩點(diǎn)，且通?福=0,12|而|=5|麗則C的離心率為.

【參考答案】七一

【題目解析】可設(shè)|g|=12f,f>0,

由12|而|=5|福|,可得|AB|=5f,

由雙曲線的定義可得|AgHAFt\-2a=nt-2a,

|陰HAB\-\AF2\=5t-（nt-2a）=2a-lt,

由雙曲線的定義可得I|=||+2a=4a-7f,

在直角AA%中，可得|B￡|==13/=4a—7/,

在直角AAG瑪中，可得|4耳『+|A巴『JK巴

即為(￡a)2+qq)2=4c2,即0=與〃，

可得e=￡=亙.

a5

故參考答案為：號(hào).

14.已知向量5=(2,3),b=(-l,/w),且值與d+h垂直，貝ljm=.

【參考答案】-u

3

【題目解析】???向量3=(2,3),6=(-1,㈤，

/.a+b=(1,3+加)，

萬與5+6垂直,...2+3(3+"0=0,解得〃?=一日.

故參考答案為：一11.

3

15.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為Q,b,c,已知3=工，a=2,b=6，則AABC的面

3

積為—.

【參考答案】—

2

14+r12-3

【題目解析】由余弦定理可得，~

24c

解可得，c=l,

所以A43c的面積S=1“csinB=Lx2xlx^=^.

2222

向

故參考答案為：—

2

2x+y—3?0

16.將滿足卜..0的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的主觀圖面積為一.

y...一1

【參考答案】8

2x+y—3?0

【題目解析】將滿足x.O的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體

y…一1

是圓錐，

圓錐的底面半徑為：2,高為4,

幾何體的主視圖圖是等腰三角形,

面積為：-x4x4=8.

2

故參考答案為：8.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,4=1,3+&+…-+%=〃（〃..2）,〃eN*.

12n-\n

（i）求數(shù)列m,j的通項(xiàng)公式；

+

（2）若q,ak,Si成等比數(shù)列，keN*,求不+三十...~—的值.

72

【參考答案】（1）4=〃；（2）—.

37

【題目解析】解：（1）數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，4=1,4+a+…也+%=〃（〃..2）,①,

12n-1n

當(dāng)兒.2時(shí)，幺+&+…也②，

12n-\

①-②得：%=1,

n

所以4=〃（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），

故?

（2）由于《,="，所以5“=駕磔，

故九="『，

由于4，%,S-成等比數(shù)列，

所以公=（立2）（A-±3）,

2

解得&=6或-1（負(fù)值舍去），

12jI1、

—=-----=2（------）,

S〃n（n4-1）n鹿+1

所以LL-L……+_L=2X（1-+」+..J」）=2X（1」）2

S\S2sk2S\S2S3622336373737

18.某工廠的工人生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40〃〃〃的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，從該廠的1000件

零件中抽出50件，測得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：，WM):

25.41x825.42x625.40x425.38x11

25.39x825.44x125.43x725.37x5

這里用.Rx〃表示有〃件尺寸為xmm的零件.

(1)求這50件零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)元；

(2)設(shè)這50件零件內(nèi)徑尺寸的方差為試估計(jì)該廠1000件零件中其內(nèi)徑尺寸在b-s,無+s)內(nèi)的

件數(shù).

參考數(shù)據(jù)：取"猿=2.04.

【參考答案】(案25.40；(2)740.

【題目解析】(1)計(jì)算這50個(gè)零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)為：

x=^x(25.41x8+25.42x6+25.40x4+25.38x11+25.39x8+25.44x1+25.43x7+25.37x5)=25.40;

(2)計(jì)算這50件零件內(nèi)徑尺寸的方差為：

?=—x[0.012x8+0.022x6+x4+(-0.02)2xll+(-0.01)2x8+0.042x1+0.032x7+(-O.O3)2x5]

所以s=」-x2.04=0.0204,

100

所以(jf-s,x+5)=(25.3796,25.4204),

計(jì)算這50個(gè)零件內(nèi)徑尺寸在(元-s,丁+s)內(nèi)的件數(shù)是8+6+4+11+8=37,

37

估計(jì)該廠1000件零件中其內(nèi)徑尺寸在叵-s,工+s)內(nèi)的件數(shù)為1000x^=740.

19.如圖，在正三棱柱A8C-A4G中，AC=2A4,=4,E,尸分別是8C,4片的中點(diǎn).

(I)求證：EF//平面ACGA；

(II)求二面角A-E尸-C的余弦值.

C

H

【參考答案】（I）證明見解答；（II）運(yùn).

35

【題目解析】（I）證明：如圖，取4G的中點(diǎn)G,連接EG，F(xiàn)G,

因?yàn)槭謩e是5C,4g的中點(diǎn)，

所以EG//CG，"G//AG，

又EGp|FG=G,CC,Q4C,=C,,

所以平面EFG//平面ACGA，

又防u平面EFG,

所以EF//平面ACC.A,.

（II）由題意，以A為原點(diǎn)，垂直與AE的直線為x軸，AE為），軸，A4為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示，

則A(0,0,0),￡(0,20,0),F(1,G，2),C(-2,20,0),

所以A￡?=(O,26,0),EF=(\,-V3,2),CE=(2,0,0),

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為慶=(X],%,Z1),

[in-AE=2\[?>y=0$,

則1x,取陽=2,則比=(2,0,-1),

in-EF=%一\73^4-2z,=0

設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為后=(工2,%，z2),

_.[rh'CE=2x>=0口,/—

則一2l，取當(dāng)=2,則為=(0,2,6)，

[tn-EF=x2-J3y2+2z2=0

_m-fi-GV105

所以cos<m，n〉一_____—_______

IwIIMI舊乂幣35

由圖象可得二面角A-EF-C的平面角為銳角,

所以二面角A*-。的余弦值為縹.

z

20.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)用(a,4)在C上，|M用=4.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)尸的直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，若/與圓”:(x-l)2+y2=L相切，求AAOB的面積.

【參考答案】(1)y2=8x；(2)16.

【題目解析】(1)拋物線C：V=2.(p>0)的焦點(diǎn)為0),準(zhǔn)線方程為x=-5,

點(diǎn)M(a,4)在C上，|M加=4,可得〃+'=4,2M=16,

2

解得p=4,則C的方程為y2=8x；

(2)由(1)可得尸(2,0),設(shè)直線/的方程為y=&(x—2),

圓”:(x—l)2+y2=J_的圓心半徑為I,

42

/與圓4:(x—1)2+丁=」相切，可得乍竺=］，

■4ViTF2

解得』已

3

則直線/的方程為y=±￥(x-2),

聯(lián)立拋物線方程y?=8x；可得f_28x+4=0,

設(shè)A(玉，％),B(X2,y2),則百+工2=28,

可得|+4=28+4=32,

苧

又0到直線A8的距離為d=T==l,

Fl

則A4BO的面積為,x1x32=16.

2

21.已知函數(shù)=+---x,其中a.O.

x

(1)討論函數(shù)/(X)的極值；

(2)設(shè)用wZ,當(dāng)。=1時(shí)，若不等式/'(x)<m-(尢-2)，對(duì)任意xw(O,1]恒成立，求用最小值.

【參考答案】(1)當(dāng)即1時(shí)，f(x)的極小值為/(1)=〃-2,無極大值,當(dāng)1<。<2時(shí)，/(x)的極小

值為/(a—l)=H〃(a—l)+2—a,極大值為/(1)=61-2；(2)-3.

【題目解析】(1)/(%)的定義域?yàn)?0,+oo),

“、〃，a-\x2-ar+-1(x-l)[x-(tz-l)l

/W=一1———=------o-----=---------2------，

XXX"X

①當(dāng)。一L,o,即“,1時(shí)，當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，fXx)>0,則函數(shù)/(X)在(L+OO)上單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡(O,1)時(shí)，r(x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，/(x)有極小值為/(1)=。一2,無極大值；

②當(dāng)Ova—Ivl,即lvav2時(shí)，當(dāng)了￡(0,。一1),(1,m)時(shí)，尸(幻<0,則函數(shù)/(%)在(O,a—1),(l,+oo)

上單調(diào)遞減，

當(dāng)三￡(以一1,1)時(shí),r(x)>0,則函數(shù)/(%)在(a-1,1)上單調(diào)遞增,

則/。)的極小值為/3—1)=。勿3—1)+2—。，極大值為/(1)=a—2.

綜上所述：當(dāng)心1時(shí)，/&)的極小值為/(1)=67-2,無極大值，

當(dāng)lvav2時(shí)，/(x)的極小值為/(。-1)=々妨3-1)+2-a,極大值為/'(1)=a-2;

(2)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=lnx-x,

由/(x)<m-(x-2)ex,可得加〉/以一工+(工一2)，,

設(shè)h(x)=lnx-x^(x-2)ex,xe(O,l),則〃(x)=(x-l)(ev-4),

x

當(dāng)0<用,1時(shí)，x-L,O，

設(shè)w(x)=,則u\x)=ex+[,

Xx~

.?.〃。)在(0,1]上單調(diào)遞增，

又〃(1)=e—1>O,〃(一)=—2<0,

2

二存在為e(』，1],使得"(毛)=0,=—,

當(dāng)天￡(0,%)時(shí)，u(x)<0,h\x)>0,

當(dāng)工￡(/，1]時(shí)，u{x)>0,h\x\,0,

函數(shù)〃(幻在(0,小)上單調(diào)遞增，在(不，1］上單調(diào)遞減，

12

得〃(x)皿=5-2)?