第3章 勾股定理小結(jié)與思考 蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課件

勾股定理及其應(yīng)用（2）【典型例題】

例1

如圖，已知：在Rt△ABC中，兩直角邊AC、BC的長(zhǎng)分別為6和8，現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)．

解：如圖，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得AB=10．由折疊性質(zhì)可得AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90°，則BE=4，∠BED=90°．設(shè)DC=DE=x，則BD=8-x．在Rt△BDE中，由勾股定理得x2+42=(8-x)2，解得x=3．即CD=3．

變式1已知：如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC、BC的長(zhǎng)分別為6和8，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與A重合，折痕為DE，求CD的長(zhǎng)．解：如圖，設(shè)CD=x，

則由折疊性質(zhì)可得AD=BD=8-x．在Rt△ACD中，由勾股定理得x2+62=(8-x)2，解得x=．即CD=．

變式2已知：如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC、BC的長(zhǎng)分別為6和8，現(xiàn)將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)F重合，折痕為DE，求CD的長(zhǎng)．解：設(shè)CD=x，

由折疊的性質(zhì)可得DF=AD=6-x．∵F是BC的中點(diǎn)，∴CF=4．在Rt△CDF中，x2+42=(6-x)

2，解得x=．即CD=．

【題后小結(jié)】

在直角三角形中：1、如果“已知a，b或a，c或b，c，求c或b或a”問(wèn)題，就可以直接“運(yùn)用勾股定理計(jì)算”求出第三邊；2、如果“已知a，c±b或b，c±a，求b和c”問(wèn)題，我們可以通過(guò)“設(shè)未知數(shù)，運(yùn)用勾股定理列方程”來(lái)解決．

【典型例題】

例2

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=10，將長(zhǎng)方形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，求CE的長(zhǎng)．

解：∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，∴AD=BC=10，CD=AB=8，∠B=∠C=90°．由折疊性質(zhì)得：AF=AD=10，EF=DE．Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2=102-82=36，∴BF=6，CF=10-6=4．設(shè)CE=x，則EF=ED=8-x．在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，即(8-x)2=42+x2．解得：x=3．即CE=3

．

變式1如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=10，將長(zhǎng)方形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D′，求重疊部分△AEC的面積．解：如圖，由題意得∠1=∠2=∠3，所以EA=EC．設(shè)EA=EC=x，則BE=10-x．在Rt△ABE中，有(10-x)2+82=x2，解得x=．所以△AEC的面積為．

變式2如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=10，將長(zhǎng)方形沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求DF的長(zhǎng)．解：設(shè)AE=x，由折疊性質(zhì)可知EC=x，BE=10-x．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+(10-x)2=x2，解得：x=．由折疊可知∠1=∠2．∵AD∥BC，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3，即AE=AF=．故DF=10-=．

變式3如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=10，將長(zhǎng)方形沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的中點(diǎn)E處，求AM的長(zhǎng)．解一：如圖，連接ME．由折疊性質(zhì)可知MF=MA，EF=AB=8．∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=4．∴在Rt△EFM中，有MF2+EF2=ME2，在Rt△DEM中，有MD2+DE2=ME2，∴MF2+EF2=MD2+DE2．設(shè)AM=x，則DM=10-x，∴x2+82=(10-x)2+42．解得x=，即AM=．

變式3如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=10，將長(zhǎng)方形沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的中點(diǎn)E處，求AM的長(zhǎng)．解二：如圖，連接MB、ME．由折疊性質(zhì)可知MB=ME．∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=4．∴在Rt△ABM中，有AM2+AB2=BM2，在Rt△DEM中，有DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．設(shè)AM=x，則DM=10-x，∴x2+82=(10-x)2+42．解得x=，即AM=．

【題后小結(jié)】解決這類折疊問(wèn)題，首先抓住折疊變換是全等變換，折疊前后的對(duì)應(yīng)邊（角）大小不變；然后結(jié)合其他題設(shè)進(jìn)行推理和轉(zhuǎn)化；最后把所有條件集中到一個(gè)直角三角形中，用勾股定理列方程解得．

【典型例題】

例3

如圖，在銳角△ABC中，已知：AB=13，BC=14，AC=15．求△ABC的面積．解：過(guò)點(diǎn)A作BC的高，交BC于點(diǎn)D，如圖，設(shè)BD=x．則在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=132-x2；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=152-(14-x)2．∴132-x2=152-(14-x)2，解得x=5．∴AD2=132-52=144，∴AD=12．故S△ABC=BC×AD=×14×12=84．變式1

如圖，在鈍角△ABC中，已知：BC=9，AB=10，AC=17．求△ABC的面積．解一：過(guò)點(diǎn)B作AC的高，交CA于點(diǎn)D，如圖2，設(shè)AD=x．則在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理有：BD2=102-x2；在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理有：BD2=92-(17-x)2．∴102-x2=92-(17-x)2，解得x=．∴BD=．故S△ABC=AC×BD=×17×=36．變式1

如圖，在鈍角△ABC中，已知：BC=9，AB=10，AC=17．求△ABC的面積．解二：過(guò)點(diǎn)A作BC的高，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖1，

設(shè)BD=x，則CD=x+9．在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=102-x2；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=172-(x+9)2．∴102-x2=172-(x+9)2，解得x=6．∴AD=8．故S△ABC=BC×AD=×9×8=36．

變式2如圖，在△ABC中，若AC=4，AB=5，BC=6，AD為高，AE為中線．求DE的長(zhǎng)．解：設(shè)DE=x，則BD=3+x，CD=3-x．在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=52-(3+x)2；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=42-(3-x)2．∴52-(3+x)2=42-(3-x)2．

解得x=