（人教A版2019必修第一冊）高一數(shù)學《考點題型 技巧》精講與精練高分突破 4.1 指數(shù)【附答案解析】

高一數(shù)學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)【考點梳理】重難點考點n次方根與分數(shù)指數(shù)冪考點一n次方根、n次根式1．a(chǎn)的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a(chǎn)的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)a∈Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．考點二根式的性質(zhì)1.eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．2．(eq\r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．3.eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))．4.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．考點三分數(shù)指數(shù)冪的意義分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義考點四有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．重難點考點無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)考點五無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．考點六二實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)1．a(chǎn)ras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．【題型歸納】題型一：利用根式的性質(zhì)化簡或求值1．（2020·江蘇南京市第二十九中學）回答下列問題.（1）正數(shù)，滿足，求的值.（2）若，求的值.2．（2023·上海高一專題練習）已知，求的值.3．（2023·上海高一專題練習）求下列各式的值.（1）； （2）；（3）； （4）.題型二：根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化4．（2023·上海高一專題練習）將下列根式化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式：（1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）.5．（2020·上海高一專題練習）把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪：（1）； （2）；（3）； （4）.6．（2023·全國高一）化簡（1） （2）題型三：運用指數(shù)冪運算公式化簡求值7．（2023·全國高一課時練習（理））計算下列各式：（1）；` （2）．8．（2019·長沙市南雅中學高一月考）計算：（1）；（2）.9．（2023·昭通市昭陽區(qū)第二中學）化簡求值：（1）；題型四：分數(shù)指數(shù)冪運算的綜合應(yīng)用10．（2023·江西高安中學高一月考）計算：（1）； （2）已知：，求的值．11．（2023·全國高一課時練習（理））對于正整數(shù)a，b，c(a≤b≤c)和非零實數(shù)x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．12．（2023·全國高一課時練習（理））（1）設(shè)a＞0，化簡：；（2）若x＋x＝，求的值．【雙基達標】一、單選題13．（2020·南京航空航天大學附屬高級中學高一月考）已知，則下列運算中正確的是（）A． B．C． D．14．（2023·四川眉山市·仁壽一中高一開學考試）已知，，化簡得（）A． B． C． D．15．（2020·上海市第三女子中學高一期中）設(shè)，下列計算中正確的是（）A． B． C． D．16．（2022·全國高三專題練習（文））下列關(guān)系式中，根式與分數(shù)指數(shù)冪互化正確的是（）A． B．C． D．17．（2023·安徽省安慶九一六學校高二月考（文））設(shè)，都是正整數(shù)，且，若，則不正確的是（）A． B．C． D．18．（2023·全國高一課時練習）設(shè)a>0，b>0，化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．-3a19．（2023·全國高一單元測試）若，，則的值為（）A．7 B．10 C．12 D．3420．（2023·全國）下列關(guān)系式中，根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y(tǒng)（y＜0）C．xy＝（x＞0，y＞0） D．x＝－（x≠0）21．（2023·全國）下列式子中，錯誤的是（）A． B．C． D．【高分突破】一：單選題22．（2023·全國高一課時練習）若代數(shù)式有意義，則（）A． B． C． D．23．（2020·江蘇南京·高一月考）設(shè)是非零實數(shù)，已知，則（）A． B． C．2 D．324．（2023·上海高一專題練習）若，則化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．25．（2023·全國高三專題練習（文））已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．26．（2022·全國高三專題練習）已知，則（）A．120 B．210 C．336 D．50427．（2023·江蘇）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一本數(shù)學專著，內(nèi)有中國特色的十四種算法它最早記錄中國古代關(guān)于大數(shù)的記法：“黃帝為法，數(shù)有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，億?兆?京?垓?秭?壤?溝?澗?正?載.三等者，謂上?中?下也，其下數(shù)者，十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也.中數(shù)者，萬萬變之，若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京.上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也.從億至載，終于大衍.下數(shù)淺短，計事則不盡，上數(shù)宏闊，世不可用.故其傳業(yè)，唯以中數(shù)耳.”我們現(xiàn)在用的是中數(shù)之法：萬萬為億，萬億為兆，萬兆為京，……，即萬，億，兆，京，……，地球的質(zhì)量大約是5.965秭千克，5.965秭的位數(shù)是（）A．21 B．20 C．25 D．2428．（2022·浙江高三專題練習）化簡(a>0，b>0)的結(jié)果是（）A． B． C． D．29．（2023·全國）化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．30．（2023·全國）下列等式中，不可能成立的是（）A． B．C． D．二、多選題31．（2023·全國高一課時練習）若，，則下列四個式子中有意義的是（）A． B．C． D．32．（2023·全國高一專題練習）下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A． B．C． D．33．（2020·江蘇金沙中學高一月考）下列運算（化簡）中正確的有（）．A． B．C． D．34．（2022·江蘇高三專題練習）（多選題）下列計算正確的是（）A． B．C． D．已知，則三、填空題35．（2023·上海高一單元測試）__________．36．（2020·上海市進才中學高一期中）若，，化簡=________.37．（2023·全國高三專題練習）已知則的值為__________．38．（2023·全國高一課時練習（理））計算：________.39．（2023·全國高一課時練習（理））若a＝2，b＞0，則的值為________．40．（2023·全國高一專題練習）已知a∈R，n∈N*，給出四個式子：①；②；③；④，其中沒有意義的是________.(只填式子的序號即可)41．（2023·上海高一專題練習）下列關(guān)系式中，根式與有理數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是________（只填序號）.①②③④四、解答題42．（2023·全國）（1）計算×+80.25×（2）已知＝3，求的值．43．（2020·江西鷹潭一中高一月考）（1）計算：；（2）化簡：.44．（2020·江蘇高一月考）（1）計算：；（2）已知，求．45．（2020·廣東省黃岡中學廣州學校高一月考）已知，求下列各式的值：（1）； （2）； （3）； （4）.46．（2020·廣西崇左高中高一月考）(1)計算：；(2)化簡(，).47．（2020·南寧市銀海三美學校高一月考）（1）計算：；（2）化簡：；（3）已知，，求的值.48．（2020·南京外國語學校高一月考）（1）化簡：（a＞0，b＞0）；（2）先化簡，再求值．已知，，求的值．【答案詳解】1．（1）；（2）.【詳解】（1）由可得，即，則或，由，為正數(shù)，可得，則.（2）.2．【詳解】解:因為，所以，所以原式.3．（1）-2；（2）；（3）π-3；（4）.解：（1）=-2；（2）；（3）=|3-π|=π-3；（4）原式=，當x≥y時，原式=x-y+y-x=0；當x<y時，原式=y-x+y-x=2（y-x）.所以原式=4．（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）原式====.（2）原式======.（3）原式===.5．（1）；（2）；（3）；（4）.【詳解】（1）=；（2）；（3）；（4）==.6．（1）；（2）4【詳解】（1）由題知，原式；（2）原式7．（1）6y；（2）x2y.解：（1）；（2）.8．（1）100；（2）.【詳解】（1）（2）9．（1）；（2）（1）.10．（1）；（2）．【詳解】（1），.（2）由，平方得，即，平方得，即，所以原式=．11．a(chǎn)＝2，b＝5，c＝7.解：∵ax＝70ω，且x，ω為非零實數(shù)，∴.同理，可得．.∴，，即，又＝＋＋，a，b，c為正整數(shù)，∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.12．（1）；（2）.解：（1）原式＝＝a.（2）若x＋x＝，則x＋x－1＝4，x2＋x－2＝14，故＝＝.13．B解：A選項：，∴，又，∴，∴，故A錯誤；B選項：，∴，故B正確；C選項：，，，，，故C錯誤；D選項：，故D錯誤，故選：B.14．B由題意：，故選：B15．D【詳解】解：，A錯；，B錯；，C錯；，D正確.故選：D.16．D【詳解】對于A，由有意義可知，而當時，無意義，故A錯誤；對于B，當時，，而無意義，故B錯誤；對于C，，故C錯誤．對于D，．故D正確．故選：D.17．C【詳解】因為，都是正整數(shù)，且，若，則：A.，故正確；B.，故正確；C.，故錯誤；D.任意非零數(shù)的0次冪都是1，故正確.故選：C18．D【詳解】因為，，所以.故選：D.19．C【詳解】因為，，所以，故選：C20．C【詳解】對于A，－＝－x，故A錯誤；對于B，當y＜0時，＞0，y＜0，故B錯誤；對于C，xy＝（x＞0，y＞0），故C正確；對于D，x＝（x≠0），故D錯誤.故選：C21．C【詳解】對于A，原式，A正確；對于B，原式，B正確；對于C，原式,C錯誤；對于D，原式，D正確.故選：C.22．B【詳解】由有意義，得解得．所以所以．故選：B．23．A因為，所以，所以，，所以，，，故選：A24．B【詳解】因為，所以，所以.故選:B.25．C【詳解】，所以，，因為、均為正數(shù)，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.26．C【詳解】，得，解得：，所以.故選：C27．C由題意相鄰記數(shù)單位后面的比前面的多4位．1兆＝，13位數(shù)，因此1京是17位?1垓是21位?1秭是25位，5.965秭也是25位數(shù)．故選：C．28．B【詳解】故選：B29．C【詳解】由分數(shù)指數(shù)冪的運算法則可得：原式.故選:C.30．D【詳解】對于A：左邊，右邊，左邊右邊，故A正確；對于B：左邊，右邊，左邊右邊，故B正確；對于C：左邊，右邊，左邊右邊，故C正確；對于D：若，則左邊，右邊,故D錯誤.故選：D31．AC【詳解】A選項中，為偶數(shù)，則恒成立，A中式子有意義；B選項中，，無意義；C選項中，為恒大于或等于0的數(shù)，有意義；D選項中，當時，式子無意義．故選：AC．32．CD【詳解】對于A：，故A錯；對于B：，故B錯；對于C：；故C正確，對于D：，故D正確.故選：CD.33．ABD【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：ABD34．BC【詳解】A.，故錯誤；B.，故正確；C.，故正確；D.因為，所以，則，故錯誤；故選：BC35．2【詳解】，故答案為：236．【詳解】因為，，所以.故答案為：.37．【詳解】因為所以，∴，∴，故答案為：．38．【詳解】原式答案：.39．【詳解】原式，故答案為：.40．③【詳解】①中，(－2)2n>0，∴有意義；②中，根指數(shù)為5，∴有意義；③中，(－3)2n＋1<0，∴沒有意義；④中，根指數(shù)為9，∴有意義.故答案為：③41．③【詳解】對于①，，故①錯誤；對于②，當y<0時，，故②錯誤；對于③，，故③正確；對