(3.3)-第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析-2

第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析22.5序列的Z變換Z變換及其收斂域的定義幾種序列的Z變換及其收斂域逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理利用Z變換求解差分方程利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性32.5.1Z變換及其收斂域的定義

序列x(n)的Z變換定義雙邊Z變換單邊Z變換

因果序列的Z變換:因果序列的單邊Z變換與雙邊Z變換相同Z平面:Z變換定義式中z所在的復(fù)平面z是一個(gè)連續(xù)復(fù)變量，具有實(shí)部和虛部

變量z的極坐標(biāo)形式

|z|=1為單位圓：

4Z變換的收斂域根據(jù)級(jí)數(shù)理論，式(2.1)收斂的充分必要條件是滿足絕對(duì)可和條件，即收斂域:對(duì)于給定的任意序列x(n)，使其Z變換收斂的所有z值的集合組成的區(qū)域。

根據(jù)羅朗級(jí)數(shù)性質(zhì)，收斂域一般是某個(gè)環(huán)域

收斂半徑Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞收斂域以原點(diǎn)為中心，Rx-和Rx+為半徑的環(huán)域

5

序列Z變換與序列傅里葉變換關(guān)系

單位園上的Z變換就是序列的傅里葉變換，但z的收斂域必須包含單位圓。

對(duì)比傅里葉變換定義式：

得到：6例:求序列的Z變換

例2.5.3求序列的Z變換。

解：序列x(n)是因果序列，根據(jù)Z變換的定義

分析收斂性：X(z)是無(wú)窮項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。X(z)可用封閉形式，即解析函數(shù)形式表示為

當(dāng)|z|≤a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)|z|＞|a|時(shí)級(jí)數(shù)收斂。7例:求序列的Z變換

例2.5.4求序列的Z變換。

解：序列x(n)是一個(gè)左序列,

X(z)存在要求82.5.2序列特性對(duì)收斂域的影響結(jié)論：Z變換相同，收斂域不同，對(duì)應(yīng)的序列也不同。序列的X(z)與其收斂域是一個(gè)不可分離的整體，求Z變換就要包含其收斂域。對(duì)比例2.5.3和例2.5.4結(jié)果：9有限長(zhǎng)序列

有限長(zhǎng)序列只在有限區(qū)間n1≤n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零：Z變換

收斂域與n1、n2取值情況有關(guān)：

10例：求有限長(zhǎng)序列的Z變換例2.5.2求序列的Z變換及收斂域。

討論：X(z)有一個(gè)z=1的極點(diǎn)，但也有一個(gè)z=1的零點(diǎn)，所以零極點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上收斂

。收斂域?yàn)?＜|z|≤+∞。

解：根據(jù)Z變換的定義

11右邊序列

右邊序列只在有限區(qū)間n≥n1

內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零Z變換

上式中第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，收斂域?yàn)椋诙?xiàng)為因果序列，收斂域?yàn)椋灿惺諗坑驗(yàn)椤?2左邊序列

左邊序列只在有限區(qū)間n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零Z變換

如果，z=0點(diǎn)收斂，但z=∞點(diǎn)不收斂，收斂域?yàn)?/p>

如果，收斂域?yàn)?3雙邊序列

雙邊序列指n從-∞到+∞都具有非零的有限值，可看成左邊序列和右邊序列之和Z變換

討論：X1(z)收斂域?yàn)閨z|＜Rx+；X2(z)收斂域?yàn)镽x-＜|z|。雙邊序列Z變換的收斂域是二者的公共部分。如果滿足Rx-<Rx+

，則X(z)的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域，即Rx-＜|z|＜Rx+

；如果滿足Rx-≥Rx+，則X(z)無(wú)收斂域。

14例：求雙邊序列的Z變換例2.5.5己知序列，a為實(shí)數(shù)，求其Z變換及其收斂域。

解：上式第一項(xiàng)收斂域?yàn)椋?/p>

上式第一項(xiàng)收斂域?yàn)椋喝绻绻麩o(wú)公共收斂域，不存在當(dāng)時(shí)，x(n)和的圖形如右圖所示152.5.3逆Z變換

逆Z變換:

由X(z)及其收斂域求序列x(n)的變換求逆Z變換的方法:圍線積分法(留數(shù)定理)部分分式展開(kāi)法冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)16序列的Z變換逆Z變換用留數(shù)定理求逆Z變換c是X(z)收斂域中一條包圍原點(diǎn)的逆時(shí)針的閉合曲線用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn-1圖2.5.3圍線積分路徑17如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有1、如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有2、如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有式中,Res［F(z),zk］表示被積函數(shù)F(z)在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。逆Z變換對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N－1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒(méi)有多階極點(diǎn)，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和。18

如果F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上的極點(diǎn)分成兩部分：一部分c是內(nèi)極點(diǎn)，設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有N2個(gè)，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：成立的條件:F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。成立的條件是N－M－n+1≥2因此要求n<N－Mc圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn)，而c圓外沒(méi)有多階極點(diǎn)，則逆Z變換的計(jì)算可以按該式，改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和，最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。

19【例2.5.6】

已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z變換x(n)。

解

分析F(z)的極點(diǎn)：

1、n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z1=a；

2、n<0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有2個(gè)極點(diǎn)：z1=a,z2=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。所以，應(yīng)當(dāng)分段計(jì)算x(n)

n≥0時(shí)，20n<0時(shí)，z=0是n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)。采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查n≤N-M-1是否滿足?？梢圆捎昧魯?shù)輔助定理求解，改求圓外極點(diǎn)留數(shù)，但對(duì)于F(z)，該例題中圓外沒(méi)有極點(diǎn)。故n<0,x(n)=0。最后得到該例題的原序列為x(n)=anu(n)

事實(shí)上，該例題由于收斂域是|z|>a，根據(jù)前面分析的序列特性對(duì)收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n<0部分一定為零，無(wú)需再求。本例如此求解是為了證明留數(shù)輔助定理法的正確性。21【例2.5.7】已知,求其逆變換x(n)。解該例題沒(méi)有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，這樣收斂域有三種選法，它們是（1）|z|>|a－1|，對(duì)應(yīng)的

x(n)是因果序列（2）|z|<|a|，對(duì)應(yīng)的

x(n)是左序列（3）|a|<|z|<|a－1|，對(duì)應(yīng)的

x(n)是雙邊序列122下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。（1）收斂域?yàn)閨z|>|a－1|:

這種情況的原序列是因果的右序列，無(wú)須求n<0時(shí)的x(n)。當(dāng)n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(an－a-n)u(n)。23（2）收斂域?yàn)閨z|<|a|:這種情況原序列是左序列，無(wú)須計(jì)算n≥0情況。實(shí)際上，當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n<0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。

n<0時(shí),最后將x(n)表示成封閉式：

x(n)=(a-n－an)u(－n－1)24（3）收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a－1|:這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時(shí)，c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a,x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n

最后將x(n)表示為

即x(n)=a|n|

25部分分式展開(kāi)法

對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的X(z)，常用部分分式展開(kāi)法求逆Z變換。方法：將有理分式X(z)，展開(kāi)成簡(jiǎn)單常用的部分分式之和，求各簡(jiǎn)單分式的逆Z變換，再相加

得到x(n)。假設(shè)有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成如下部分分式:26部分分式展開(kāi)法

觀察上式，/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)等于系數(shù)，在極點(diǎn)的留數(shù)就是系數(shù)。求出系數(shù)后，查表2.5.1可求得序列x(n)2728最后得到的原序列為：292.5.4Z變換的性質(zhì)和定理

１．線性：滿足疊加原理

Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)，R-＜|z|＜R+

(2.20)

例2.12求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的Z變換。由于出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消，收斂域增大了。由于x(n)是n≥0的有限長(zhǎng)序列，收斂域是除|z|=0之外的全部z平面。

30Z變換性質(zhì)２．序列的移位：證明３．乘以指數(shù)序列

：證明31Z變換性質(zhì)４．序列的線性加權(quán)（乘以n的ZT）

：證明

5．復(fù)共軛序列的ZT設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+則ZT［x*(n)］=X*(z*)

Rx－<|z|<Rx+

32Z變換性質(zhì)－－初值定理

６．初值定理：若x(n)是因果序列，即x(n)=0，n＜0，則證明：x(n)是因果序列，有

顯然

若x(n)是逆因果序列，即x(n)=0，n＞0，有

33Z變換性質(zhì)－－終值定理

７．終值定理：若x(n)是因果序列，且X(z)的全部極點(diǎn)，除在z=1處可以有一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則

證明：由移位性質(zhì)可得

x(n)是因果序列，則有

34Z變換性質(zhì)８．時(shí)域卷積定理

：W(z)=Z[x(n)*y(n)]=X(z)·Y(z)，R-＜|z|＜R+

證明交換求和次序，并代入m=n-k得35

【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|<1,網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解

y(n)=h(n)*x(n)

（1）直接求解線性卷積

36

（2）Z變換法由收斂域判定y(n)=0

n<0n≥0時(shí)，

將y(n)表示為：

37

9．復(fù)卷積定理

如果ZT［x(n)］=X(z)

Rx－<|z|<Rx+

ZT［y(n)］=Y(z)

Ry－<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)則（2.5.24）W(z)的收斂域?yàn)?/p>

Rx－Ry－<|z|<Rx+Ry+

(2.5.25)（2.5.24）式中υ平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)閆變換性質(zhì)38證明

由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到：

因此

39【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］，0＜a＜1。

解

W(z)的收斂域?yàn)閨a|<|z|≤∞；被積函數(shù)υ平面上的收斂域?yàn)閙ax(|a|,0)<|υ|<min(|a－1|,|z|)，υ平面上極點(diǎn)：a、a－1，c內(nèi)極點(diǎn)：z=a。令則：40

10．帕斯維爾（Parseval）定理

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Rx－Ry－<1,Rx+Ry+>1那么（2.5.27）υ平面上，c所在的收斂域?yàn)槔脧?fù)卷積定理可以證明上面的重要的帕斯維爾定理Z變換性質(zhì)412.5.5利用Z變換求解差分方程

N階線性常系數(shù)差分方程

x(n)是系統(tǒng)的輸入序列y(