第三章,復(fù)變函數(shù)的積分(1)

第三章復(fù)變函數(shù)的積分1§2.1復(fù)變函數(shù)積分的概念§2.2Cauchy-Goursat基本定理§2.3基本定理的推廣-復(fù)合閉路定理§2.4原函數(shù)與不定積分§2.5柯西積分公式§2.6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)§2.7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念21積分的定義2積分存在條件及計(jì)算方法3積分的性質(zhì)31積分的定義曲線的方向設(shè)C為平面上給定的一條光滑（或按段光滑）曲線，如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向（或正向），那么就把C理解為帶有方向的曲線，稱為有向曲線。設(shè)曲線C的兩個(gè)端點(diǎn)為A與B，若把從A到B的方向作為C的正向那么B到A的方向就是C的負(fù)向，記作CˉAB4簡(jiǎn)單閉曲線的方向

簡(jiǎn)單閉曲線的正方向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí)，鄰近P點(diǎn)的曲線內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方。與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向。5有向曲線，

定義

C是區(qū)域D內(nèi)以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的一條光滑的設(shè)是定義在區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù).在C上依次取分點(diǎn)把曲線C分割為n個(gè)小段.D6在每個(gè)小弧段上任取一點(diǎn)做和數(shù)其中，令7如果分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限增多，并且極限存在,則稱該極限值為函數(shù)沿曲線C的積分,并記作即如果C是閉曲線，經(jīng)常記作當(dāng)C是實(shí)軸上的區(qū)間方向從a到b,并且為實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)積分就是定積分.2積分存在的條件及計(jì)算方法8并且區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則存在，定理1

設(shè)C是光滑(或可求長(zhǎng))的有向曲線，如果在包含C的9設(shè)，則證明

u,v連續(xù)取極限

u,v連續(xù)取極限10積分公式從形式上可以看成11定理2

設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程給出：是起點(diǎn),是終點(diǎn)，在包含C的區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則12證明13

如果C是由C1,C2,…,Cn年等光滑曲線段依次相互連接所組成的按段光滑曲線，那么定義

如無(wú)特別說(shuō)明，今后我們討論的積分總是假定被積函數(shù)是連續(xù)的，曲線是按段光滑的。14例1計(jì)算,其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段.15解積分路徑的參數(shù)方程為例2

計(jì)算積分(n是整數(shù)),其中C是圓周:的正向.16重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無(wú)關(guān).17(1)從原點(diǎn)到1+i的直線段；(3)

拋物線y=x2上從原點(diǎn)到1+i的弧段；(2)從原點(diǎn)沿x軸到1,再?gòu)?到1+i的折線.y=x例3

計(jì)算積分其中C為18注意1

從例3看到,積分

相同的路徑進(jìn)行時(shí)積分值不同,

而由例一知，積分值與路徑無(wú)關(guān)。是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系?注意2

一般不能將函數(shù)f(z)在以z1為起點(diǎn),以z2為終點(diǎn)的曲線C上的積分記成因?yàn)榉e分值可能與積分路徑有關(guān),所以記沿著三條不19(k是復(fù)常數(shù));3積分的性質(zhì)(4)設(shè)曲線C的長(zhǎng)度為L(zhǎng),函數(shù)f(z)在C上滿足則估值不等式20其中,是與兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)度.根據(jù)積分定義，令即得性質(zhì)(4).事實(shí)上,21例4

設(shè)C為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段,試求積分絕對(duì)值的一個(gè)上界.§2柯西-古薩(CAUCHY-GOURSAT)基本定理2223柯西-古薩基本定理

設(shè)f(z)是單連通區(qū)域B上說(shuō)明:該定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ).的解析函數(shù)，那么函數(shù)f(z)沿B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零：24證明根據(jù)由Green公式因?yàn)閒(z)解析,所以u(píng)(x,y)和v(x,y)在B內(nèi)可微,且其中C取正向.

設(shè)以及在光滑或按段光滑的閉曲線C圍成的閉區(qū)域B連續(xù),則25

回顧其中C取正向.

設(shè)以及在光滑或按段光滑的閉曲線C圍成的閉區(qū)域B連續(xù),則26注意1

定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線.(柯西積分定理)

注意3

定理中B是單連通區(qū)域的假設(shè)不可缺少.注意2

若曲線C是區(qū)域B的邊界,函函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析,在閉區(qū)域上連參見(jiàn)例2續(xù),則27解因?yàn)楹瘮?shù)補(bǔ)例計(jì)算積分在上解析,所以根據(jù)Cauchy-Goursat基本定理,有§3基本定理的推廣—復(fù)合閉路定理2829

閉路變形原理

解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在其解析區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.30

在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)考慮兩條簡(jiǎn)單閉曲線

C、C′，其中C′包含在C的內(nèi)部，D1為兩條曲線所圍的區(qū)域,并且兩條曲線都取正向D31D==32D33D34閉路變形原理解決的問(wèn)題35定理

(復(fù)合閉路定理)

設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，是在C內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于D，如果f(z)在D內(nèi)解析，那么這里C及Ck均取正向，Γ為由C及Ck（k=1,2,…,n）所組成的復(fù)合閉路（其方向是：C按逆時(shí)針進(jìn)行，其余按順時(shí)針進(jìn)行）。36復(fù)合閉路定理的證明37解

顯然函數(shù)

例

計(jì)算積分其中G為包含圓周在內(nèi)的任意分段光滑正向簡(jiǎn)單閉曲線.在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)0和1,并且G包含了這兩個(gè)奇點(diǎn).38在G內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1和C2,使得C1只包含奇點(diǎn)0,C2

只包含奇點(diǎn)1.根據(jù),3940解顯然C1和C2圍成一補(bǔ)例計(jì)算積分其中G由正向圓周和負(fù)向圓周組成.個(gè)圓環(huán)域.函數(shù)在此圓環(huán)域及其邊界上解析,并且圓環(huán)域的邊界構(gòu)成復(fù)合閉路,所以根據(jù),41補(bǔ)例

求積分其中G為含z0的解因?yàn)閦0在閉曲線G的內(nèi)部,任意分段光滑的Jordan曲線,n為整數(shù).故可取充分小的正數(shù)r

,使得圓周含在G的內(nèi)部.可得再利用根據(jù),42故這一結(jié)果很重要.與進(jìn)行比較.§4原函數(shù)與不定積分

431原函數(shù)的概念44注設(shè)F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的原函數(shù),則(常數(shù)).定義設(shè)f(z)是定義在區(qū)域B上的復(fù)變函數(shù),若存在B上的解析函數(shù)使得在B內(nèi)成立，則稱是f(z)在區(qū)域B上的原函數(shù).

45那么它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),一般表達(dá)式為根據(jù)以上討論可知:證明設(shè)F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的根據(jù)第44頁(yè)例3可知,為常數(shù).原函數(shù),于是如果F(z)是f(z)在區(qū)域D上的一個(gè)原函數(shù)，(其中C是任意復(fù)常數(shù)).46定理一設(shè)f(z)是單連通區(qū)域B上的解析函數(shù),z0是B內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),C是B內(nèi)以z0為起點(diǎn),z為終點(diǎn)的分段光滑曲線,則積分只依賴于z0與z,而與路徑C無(wú)關(guān).47設(shè)C1與C2都是以B內(nèi)以z0為起點(diǎn),z為終點(diǎn)的分段光滑曲線,又不妨設(shè)C1與C2都是簡(jiǎn)單曲線.

如果C1與C2除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外,再?zèng)]有其他重點(diǎn),則是Jordan曲線,根據(jù)Cauchy定理有48

如果C1與C2除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外,還有其他重點(diǎn),在D內(nèi)再做一條以z0為起點(diǎn),z為終點(diǎn),除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外,與C1與C2沒(méi)有其他重點(diǎn)的分段光滑曲線則由已證明的情形,49如果f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析,則f(z)在以z0為起點(diǎn),z為終點(diǎn)的B內(nèi)的分段光滑曲線C上積分,積分值與積分路徑無(wú)關(guān)，即可記為于是確定了B內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)50B51定理二設(shè)f(z)是單連通區(qū)域B上的解析函數(shù),z0和z是B內(nèi)的點(diǎn),則是f(z)在B上的原函數(shù).即52證明因?yàn)閦是B內(nèi)的任意一點(diǎn),以z為中心作一個(gè)含于B內(nèi)的圓域K，其邊界記為Γ.取充分小使在K內(nèi)于是53因?yàn)楹瘮?shù)f(z)在B內(nèi)連續(xù),所以

e>0,存在d>0,使得當(dāng)|

-z|<d

時(shí),有從而當(dāng)|

z|<d時(shí),利用又54于是即與微積分學(xué)中對(duì)變上限積分求導(dǎo)定理相同.55定理三設(shè)f(z)是單連通區(qū)域B上的解析函數(shù),F(z)是f(z)在D上的原函數(shù),z0和z1是B內(nèi)的兩點(diǎn),則證明因?yàn)橐彩莊(z)在B上的原函數(shù),其中C為常數(shù),根據(jù)柯西-古薩基本定理易見(jiàn)Newton-Leibniz公式56說(shuō)明:與微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.如果沒(méi)有D是單連通區(qū)域的假設(shè)，那么一般是一個(gè)多值函數(shù).有了上述定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用57例1：求積分的值。例2：試沿區(qū)域內(nèi)的圓弧計(jì)算積分的值。§5柯西積分公式

58595.1問(wèn)題的提出設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B上解析,z0是B內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),則在z0

不解析.所以一般其沿圍繞z0的閉曲線的積分不等于零。當(dāng)r>0充分小時(shí),根據(jù)閉路變形原理知,如果C是含z0在其內(nèi)部區(qū)域的簡(jiǎn)單閉曲線60因?yàn)閒(z)在z0連續(xù),故上函數(shù)f(z)的值將隨著r的減小而接近因此,隨著r的減小,應(yīng)該有而接近于CAUCHY積分公式61Cauchy積分公式定理設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),z0是D內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),C是D內(nèi)任意一條含z0在內(nèi)部區(qū)域的正向簡(jiǎn)單閉曲線,則62取R>0充分小,使得R<d,并且正向圓周證明

f(z)在z0連續(xù),則

e>0,存在d>0,使得當(dāng)時(shí),K：在C的內(nèi)部,則63的值與R無(wú)關(guān),所以由e的任意性,可知根據(jù)實(shí)際上根據(jù)閉路變形原理,積分64關(guān)于Cauchy積分公式的說(shuō)明:可見(jiàn),函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值可用它在邊界上（這是解析函數(shù)的一個(gè)重要特征）(1)從Cauchy積分公式的值通過(guò)積分來(lái)表示.65

這表明了Cauchy積分公式不但提供了計(jì)算(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(2)如果曲線C上的點(diǎn)用z表示,C內(nèi)部的點(diǎn)用z表示,則Cauchy積分公式表示為某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.66

如果C是圓周，那么柯西積分公式成為即解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值67例：求下列積分（沿圓周正向的值）§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

68CAUCHY積分公式69Cauchy積分公式定理設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),z0是D內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),C是D內(nèi)任意一條含z0在內(nèi)部區(qū)域的正向簡(jiǎn)單閉曲線,則70高階導(dǎo)數(shù)公式定理：解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的

n階導(dǎo)數(shù)為其中C為在函數(shù)f(z)解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，而且它的內(nèi)部全含于D。高階導(dǎo)數(shù)公式71證明首先考慮n=1的情形.因?yàn)閦0在C的內(nèi)部,故當(dāng)|

z|適當(dāng)小時(shí),z0+

z也在C的內(nèi)部.所以應(yīng)用于是

可知72因?yàn)閒(z)在C上解析,所以在C上連續(xù),故有界.73于是存在M>0,使得|f(z)|

M.又因?yàn)閦0是C內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),所以存在R>0,使在C的內(nèi)部區(qū)域.因此當(dāng)z在C上時(shí),取則所以其中L是曲線C的弧長(zhǎng).74利用類似的方法可求得因此,當(dāng)時(shí),從而證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).

再利用數(shù)學(xué)歸納法，便有75高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:

不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.例1

求下列積分的值，其中C為正向圓周：76例2：設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)連續(xù)，且對(duì)于B內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線C都有，證明:f(z)在B內(nèi)解析。Morera（莫累拉）定理77證明：在B內(nèi)取定一點(diǎn)z0,z為B內(nèi)任意一點(diǎn)。因?yàn)閷?duì)于B內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線C都有所以積分的值與連接z0與z的路線無(wú)關(guān)。于是它定義了一個(gè)單值函數(shù)與81頁(yè)定理二的證明方法類似可以證明F(z)的導(dǎo)數(shù)存在，即其是一個(gè)解析函數(shù)，再由高階導(dǎo)數(shù)定理知其導(dǎo)數(shù)也解析，即f(z)解析?！?解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

78調(diào)和函數(shù)的概念79如果二元函數(shù)j(x,y)在區(qū)域D內(nèi)存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足二階偏微分方程(Laplace方程)則稱j(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).工程中的許多問(wèn)題,如平面上的穩(wěn)定溫度場(chǎng)、靜電場(chǎng)和穩(wěn)定流場(chǎng)等都滿足Laplace方程.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系80

定理設(shè)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則u(x,y)和v(x,y)都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).注：區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。定義：如果u(x,y)和v(x,y)都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù),且u(x,y)+iv(x,y)是D內(nèi)的解析函數(shù),則稱v(x,y)是u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).81由于解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù),因此u(x,y)和證明因?yàn)閒(z)在D內(nèi)解析,所以滿足Cauchy-Riemann條件v(x,y)存在各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).將分別對(duì)x和y求導(dǎo)，則82當(dāng)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)次序可以交換.因此，即u(x,y)是調(diào)和函數(shù).同理可證v(x,y)也是調(diào)和函數(shù).83如果任給區(qū)域D內(nèi)兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u(x,y)和v(x,y),那么u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)是否為解析函數(shù)?考慮和不一定

84若v是u的調(diào)和函數(shù)，u是否也是v的調(diào)和函數(shù)呢？不是！85現(xiàn)在提出如下問(wèn)題：

或者已知調(diào)和函數(shù)v(x,y)時(shí)，是否存在調(diào)和函數(shù)u(x,y)，使得f(z)=u＋iv

是D內(nèi)的解析函數(shù)?

已知u(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，是否存在u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)，使得函數(shù)f(z)=u＋iv是D上的解析函數(shù)?回答是肯定的，以下用舉例的方法加以說(shuō)明.86解因?yàn)樵谌矫鎯?nèi)例1證明是全平面內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，并求其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)和由它們構(gòu)成的解析函數(shù)解析函數(shù).故為調(diào)和函數(shù).于是87由則又因?yàn)樗?其中C為任意實(shí)常數(shù)).求u的共軛調(diào)和函數(shù)v.88于是得解析函數(shù)令那么函數(shù)可以化為其中C為任意實(shí)常數(shù).偏積分法89求以u(píng)為實(shí)部的解析函數(shù)的另一方法.不定積分法因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，故仍為解析函數(shù)。已知u

已知v

90例2

已知調(diào)和函數(shù)是解析函數(shù)f(z)的虛部,且f(0)=0,求f(z)的表達(dá)式.解：因?yàn)?1由可知因此整理得：積分得92解因?yàn)橐约八云e分法93又因?yàn)橐约八怨蕪亩?C是實(shí)常數(shù)),94由得因此952.Cauchy-Goursat積分定理3.復(fù)合閉路定理

4.Cauchy積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式本章的重點(diǎn)1.復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算5.由已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)96GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31)自學(xué)而成的英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.出色地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到電磁理論和其他數(shù)學(xué)物理問(wèn)題.1928年出版了出版了小冊(cè)子《數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用》,其中有著名的Green公式.40歲進(jìn)入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí),1839年聘為劍橋大學(xué)教授.他的工作培育了數(shù)學(xué)物理學(xué)者的劍橋?qū)W派,其中包括G.