奧數(shù)題型與解題思路21~40講

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁21、數(shù)字和與最大最小問題【數(shù)字求和】例1100個延續(xù)天然數(shù)的和是8450，取其中第1個，第3個，第5個，………，第99個（所有第奇數(shù)個），再把這50個數(shù)相加，和是______。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：第50、51兩個數(shù)的平均數(shù)是8450÷100=84.5，所以，第50個數(shù)是84。則100個延續(xù)天然數(shù)是：35，36，37，………，133，134。上面的一列數(shù)分離取第1、3、5、……、99個數(shù)得：35，37，39，……131，133。則這50個數(shù)的和是：例2把1至100的一百個天然數(shù)所有寫出來，所用到的所有數(shù)碼的和是_____。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析；可把1至100這一百個天然數(shù)分組，得（1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……29），……，（90、91、92、……99），（100）。容易發(fā)現(xiàn)前面10組中，每組的個位數(shù)字之和為45。而第一組十位上是0，第二組十位上是1，第三組十位上是2，……第十組十位上是9，所以全體十位上的數(shù)字和是（l+2+3+……+9）×10=450。故所有數(shù)碼的和是45×10+450+l=901。續(xù)若干個數(shù)字之和是1992，那么a=____。（北京市第八屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以a=6。例4有四個數(shù)，每次選取其中三個數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另外一個數(shù)，用這種主意計(jì)算了四次，分離得到四個數(shù)：86，92，100，106。那么，本來四個數(shù)的平均數(shù)是（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：每次所選的三個數(shù)，計(jì)算其平均數(shù)，實(shí)際上就是計(jì)算這三個數(shù)中本來四個數(shù)的平均數(shù)為（86+92+100+106）÷2=192?！咀畲髷?shù)與最小數(shù)】例1三個不同的最簡真分?jǐn)?shù)的分子都是質(zhì)數(shù)，分母都是小于20的合數(shù)，要使這三個分?jǐn)?shù)的和盡可能大,這三個分?jǐn)?shù)是（全國第四屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）。講析：20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19要使三個分?jǐn)?shù)盡量大，必須使每個分子盡量大而分母盡量小。且三個真例2將1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)分成三組，分離計(jì)算各組數(shù)的和。已知這三個和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。問：最小的和是多少？（全國第三屆“華杯賽”決賽口試試題）講析；因?yàn)?+2+3+……+8=36，又知三組數(shù)的和各不相同，而且最大的例3把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分離填入□中（每個質(zhì)數(shù)只用一次）：使A是整數(shù)。A最大是多少？（第五屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：要使A最大，必須使分母盡量小，而分子盡量大。分母分離取2、3、5時，A都不能為整數(shù)。當(dāng)分母取7時，例4一組互不相同的天然數(shù)，其中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是25。除1之外、這組數(shù)中的任一個數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個數(shù)之和。問：這組數(shù)之和的最大值是多少？當(dāng)這組數(shù)之和有最小值時，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說明和是最小值的理由。（全國第四屆“華杯賽”決賽第一試試題）析：看見天然數(shù)1、2、3、4、5、……、25這25個數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們除1之外，每個數(shù)都能用其中某一個數(shù)的2倍，或者某兩個數(shù)之和表示。因此，這組數(shù)之和的最大值是1+2+3+……+25=325。下面考慮數(shù)組中各數(shù)之和的最小值。1和25是必取的，25不能表示成一個數(shù)的2倍，而表示成兩個數(shù)之和的形式，共有12種。我們?nèi)蓚€加數(shù)中含有盡可能大的公約數(shù)的一組數(shù)（20+5）或者（10+15）。當(dāng)取1、5、20、25時，還需取2、3、10三個；當(dāng)取1、10、15、25時，還需取2、3、5。經(jīng)比較這兩組數(shù)，可知當(dāng)取1、2、3、4、5、10、15、25時，和最小是61。22、數(shù)字串問題【找邏輯填數(shù)】例1找邏輯填數(shù)（杭州市上城區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）（1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：數(shù)列填數(shù)問題，關(guān)鍵是要找出邏輯；即找出數(shù)與數(shù)之間有什么聯(lián)系。第（1）小題各數(shù)的羅列邏輯是:第1、3、5、……（奇數(shù)）個數(shù)分離別是4和2。第（2）小題粗看起來，各數(shù)之間好似沒有什么聯(lián)系。于是，運(yùn)用分?jǐn)?shù)得到了例2右表中每豎行的三個數(shù)都是按照一定的邏輯羅列的。按照這個邏輯在空格中填上合適的數(shù)。（1994年天津市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：按照題意，可找出每豎行的三個數(shù)之間的關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)每豎行中的第三個數(shù)，是由前兩數(shù)相乘再加上1得來的。所以空格中應(yīng)填33?！緮?shù)列的有關(guān)問題】數(shù)是幾分之幾？（第一屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：經(jīng)看見發(fā)現(xiàn)，分母是1、2、3、4、5……的分?jǐn)?shù)個數(shù)，分離是1、3、5、7、9……。所以，分母分離為1、2、3……9的分?jǐn)?shù)共例2有一串?dāng)?shù)：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…這個數(shù)列的第1993個數(shù)是______（首屆《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：把這串?dāng)?shù)按每三個數(shù)分為一組，則每組第一個數(shù)都是1，第二、三個數(shù)是從1993開始，依次減1羅列。而1993÷3=664余1，可知第1993個數(shù)是1。例3已知小數(shù)0.111213……9899的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字，是由天然數(shù)1—99依次羅列而成的。則小數(shù)點(diǎn)后面第88位上的數(shù)字是______。（1988年上海市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：將原小數(shù)的小數(shù)部分分成A、B兩組：A中有9個數(shù)字，B中有180個數(shù)字，從10到49共有80個數(shù)字。所以，第88位上是4。例4看見右面的數(shù)表（橫排為行，豎排為列）；幾行，自左向右的第幾列。（全國第三屆“華杯賽”決賽試題）講析：第一行每個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和為2，第二行每個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和為3，第三行每個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和為4，……即每行各數(shù)的分子與分母之和等于行數(shù)加1。例5如圖5.4，除了每行兩端的數(shù)之外，其余每個數(shù)都是與它相連的上一行的兩個數(shù)的平均數(shù)，那么第100行各數(shù)之和是_______。（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：可試探著計(jì)算每行中各數(shù)之和。第一、二、三、四行每行的各數(shù)之和分離是6、8、10、12，從而得出，每行的數(shù)字之和，是行數(shù)的2倍加4。故第100行各數(shù)之和為100×2＋4=204.例6伸出你的左手，從大拇指開始，如圖5.5所示的那樣數(shù)數(shù)：l、2、3……。問：數(shù)到1991時，會落在哪個手指上？（全國第三屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：除1之外，從2開始每8個數(shù)為一組，每組第一個數(shù)都是從食指開始到拇指結(jié)束?！撸?991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6個數(shù)又從食指開始數(shù)，會到中指結(jié)束。例7如圖5.6，天然數(shù)按從小到大的順序排成螺旋形。在“2”處拐第一個彎，在“3”處拐第二個彎……問拐第二十個彎處是哪個數(shù)？（全國第一屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：寫出拐彎處的數(shù)，然后按每兩個數(shù)分為一組：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），……。將會發(fā)現(xiàn)，每組數(shù)中依次相差1、2、3、4、5、……。每組的第二個數(shù)與后一組的第二個數(shù)依次相差2、3、4、5、……。從而可推出，拐第二十個彎處的數(shù)是111。例8天然數(shù)按圖5.7順次羅列。數(shù)字3排在第二行第一列。問：1993排在第幾行第幾列？（全國第四屆“華杯賽”復(fù)賽試題）講析：看見每斜行數(shù)的羅列邏輯，每斜行數(shù)的個數(shù)及方向。每一斜行數(shù)的個數(shù)分離是1、2、3、4、5、……，奇數(shù)斜行中的數(shù)由下向上羅列，偶數(shù)斜行中的數(shù)由上向下羅列。斜行，該斜行的數(shù)是由下向上羅列的，且第63行第1列是1954。因?yàn)閺?954開始，每增強(qiáng)1時，行數(shù)就減少1，而列數(shù)就增強(qiáng)1。所以1993的列數(shù)、行數(shù)分離是：1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）23、數(shù)陣圖【方陣】例1將天然數(shù)1至9，分離填在圖5.17的方格中，使得每行、每列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都相等。（長沙地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：中間一格所填的數(shù)，在計(jì)算時共算了4次，所以可先填中間一格的數(shù)。（l+2+3+……+9）÷3=15，則符合要求的每三數(shù)之和為15。顯然，中間一數(shù)填“5”。再將其它數(shù)字順次填入，然后作對角線交換，再通過旋轉(zhuǎn)（如圖5.18），便得解答如下。例2從1至13這十三個數(shù)中挑出十二個數(shù)，填到圖5.19的小方格中，使每一橫行四個數(shù)之和相等，使每一豎列三個數(shù)之和又相等。（“新苗杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：據(jù)題意，所選的十二個數(shù)之和必須既能被3整除，又能被4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三個數(shù)之和為91，91除以12，商7余7，因此，應(yīng)去掉7。每列為（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六個奇數(shù)，它們的分布如圖5.20所示。三個奇數(shù)和為21的有兩種：21=1＋9+11=3＋5+13。經(jīng)檢驗(yàn)，三個奇數(shù)為3、5、13的不合要求，故不難得出答案，如圖5.21所示。例3十個延續(xù)天然數(shù)中，9是第三大的數(shù)，把這十個數(shù)填到圖5.22的十個方格中，每格填一個，要求圖中三個2×2的正方形中四數(shù)之和相等。那么，這個和數(shù)的最小值是______。（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：不難得出十個數(shù)為:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它們的和是65。在三個2×2的正方形中，中間兩個小正方形分離重復(fù)了兩次。設(shè)中間兩個小正方形分離填上a和b，則（65＋a＋b）之和必須是3的倍數(shù)。所以，（a＋b）之和至少是7。故，和數(shù)的最小值是24?！酒渌麛?shù)陣】例1如圖5.23，橫、豎各12個方格，每個方格都有一個數(shù)。已知橫行上隨意三個相鄰數(shù)之和為20，豎列上隨意三個相鄰數(shù)之和為21。圖中已填入3、5、8和“×”四個數(shù)，那么“×”代表的數(shù)是______。（1994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：可先看豎格。因?yàn)槊肯噜徣駭?shù)字和為21，所以每隔兩格必浮上重復(fù)數(shù)字。從而容易推出，豎格各數(shù)從上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。同理可推導(dǎo)出橫格各數(shù)，其中“×”=5。例2如圖5.24，有五個圓，它們相交后互相分成九個區(qū)域，現(xiàn)在兩個區(qū)域里已經(jīng)分離填上數(shù)字10、6，請?jiān)诹硗馄邆€區(qū)域里分離填進(jìn)2、3、4、5、6、7、9七個數(shù)字，使每個圓內(nèi)的數(shù)之和都是15。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：可把圖中要填的數(shù)，分離用a、b、c、d、e、f、g代替。（如圖5.25）顯然a=5，g=9。則有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。經(jīng)適當(dāng)實(shí)驗(yàn)，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。例3如圖5.26，將六個圓圈中分離填上六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等。那么，這六個質(zhì)數(shù)的積是______。（全國第一屆“華杯賽”決賽試題）講析：最上面的小三角形與中間的小三角形，都有兩個共同的頂點(diǎn)，且每個小三角形頂點(diǎn)上三數(shù)之和相等。所以，最上邊圓圈內(nèi)數(shù)字與最下面中間圓圈內(nèi)數(shù)字相等。同樣，左下角與右邊中間的數(shù)相等，右下角與左邊中間數(shù)相等。20÷2=10，10＝2+3+5。所以，六個質(zhì)數(shù)積為2×2×3×3×5×5=900。例4在圖5.27的七個○中各填上一個數(shù)，要求每條直線上的三個數(shù)中，中間一個數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)。現(xiàn)已填好兩個數(shù)，那么X=_______。（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：如圖5.28，可將圓圈內(nèi)所填各數(shù)分離用a、b、c、d代替。則d=15。由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。所以，b=13+2=15。進(jìn)而容易算出，x=19。例5圖5.29中8個頂點(diǎn)處標(biāo)注的數(shù)字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一個數(shù)都等于相鄰三個頂點(diǎn)（全國第三屆“華杯賽”復(fù)賽試題）講析：將外層的四個數(shù)，分離用含其它字母的式子表示，得即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=024、數(shù)的組成【數(shù)字組數(shù)】例1用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，倘若每個數(shù)字都要用到，并且只能用一次，那么這九個數(shù)字最多能組成______個質(zhì)數(shù)。（1990年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：天然數(shù)1至9這九個數(shù)字中，2、3、5、7本身就是質(zhì)數(shù)。于是只剩下1、4、6、8、9五個數(shù)字，它們可組成一個兩位質(zhì)數(shù)和一個三位質(zhì)數(shù)：41和689。所以，最多能組成六個質(zhì)數(shù)。例2用0、1、2、……9這十個數(shù)字組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是一個奇數(shù)，并且盡可能的大。那么，這五個兩位數(shù)的和是______。（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：組成的五個兩位數(shù)，要求和盡可能大，則必須使每個數(shù)盡可能大。所以它們的十位上分離是9、8、7、6、5，個位上分離是0、1、2、3、4。但要求五個兩位數(shù)和為奇數(shù)，而1+2+3+4=10為偶數(shù)，所以應(yīng)將4與5交換，使和為：（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。351即本題答案。例3一個三位數(shù)，倘若它的每一個數(shù)字都不超過另一個三位數(shù)對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，那么就稱它被另一個三位數(shù)“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉），但240和223互不被吃掉?，F(xiàn)請你設(shè)計(jì)出6個三位數(shù)，它們當(dāng)中任何一個數(shù)不被其它5個數(shù)吃掉，并且它們的百位上數(shù)字只允許取1、2；十位上數(shù)字只允許取1、2、3；個位上數(shù)字只允許取1、2、3、4。這6個三位數(shù)是_______。（第五屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：六個三位數(shù)中，任取兩個數(shù)a和b，則同數(shù)位上的數(shù)字中，a中至少有一個數(shù)字大于b，而b中至少有一個數(shù)字大于a。當(dāng)百位上為1時，十位上可從1開始依次增強(qiáng)1，而個位上從4開始依次減少1。即：114，123，132。當(dāng)百位上為2時，十位上從1開始依次增強(qiáng)1而個位上只能從3開始依次減少1。即：213，222，231。經(jīng)檢驗(yàn)，這六個數(shù)符合要求。例4將1、1、2、2、3、3、4、4這八個數(shù)字排成一個八位數(shù)，使得兩個1之間有一個數(shù)字；兩個2之間有兩個數(shù)字；兩個3之間有三個數(shù)字；兩個4之間有四個數(shù)字。那么這樣的八位數(shù)中的一個是______。（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：兩個4之間有四個數(shù)字，則在兩個4之間必有一個數(shù)字重復(fù)，而又要求兩個1之間有一個數(shù)，于是可推知，這個重復(fù)數(shù)字必然是1，即412134或421314。然后可添上另一個2和3。經(jīng)調(diào)試，得23421314，此數(shù)即為所答?！緱l件數(shù)字問題】例1某商品的編號是一個三位數(shù)，現(xiàn)有五個三位數(shù)：874，765，123，364，925。其中每一個數(shù)與商品編號，恰好在同一位上有一個相同的數(shù)字，那么這個三位數(shù)是_______（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：將五個數(shù)按百位、十位、個位上的數(shù)字分組比較，可發(fā)現(xiàn)：百位上五個數(shù)字都不同；十位上有兩個2和兩個6；個位上有兩個4和兩個5。故所求的數(shù)的個位數(shù)字一定是4或5，百位上一定是2或6。經(jīng)看見比較，可知724符合要求。例2給一本書編頁碼，共用了1500個數(shù)字，其中數(shù)字“3”共用了_______個（首屆《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)）》邀請賽試題）講析：可先求出1500個數(shù)字可編多少頁。從第一頁到第9頁，共用去9個數(shù)字；從第10頁到第99頁，共用去2×90=180（個）數(shù)字；余下的數(shù)字可編（1500-189）÷3=437（頁）所以，這本書共有536頁。l至99頁，共用20個“3”，從100至199頁共用20個“3”，從200至299頁共用20個“3”，從300至399頁共用去120個“3”，從400至499頁共用去20個“3”，從500到536頁共用去11個“3”。所以，共用去211個數(shù)字3。例3在三位數(shù)中，數(shù)字和是5的倍數(shù)的數(shù)共有_______個。（全國第四屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：可把三位數(shù)100至999共900個數(shù)，從100起，每10個數(shù)分為一組，得（100，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、999）共分成了90組，而每組中有且惟獨(dú)兩個數(shù)的數(shù)字和是5的倍數(shù)，所以一共有2×90=180（個）。例4有四個數(shù)，取其中的每兩個數(shù)相加，可以得到六個和。這六個和中最小的四個數(shù)是83、87、92、94，緣故數(shù)中最小的是______。（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：設(shè)原四個數(shù)從小到大為a、b、c、d，則有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。而對于和為92和94時，或者是b+c=92，或者是b+c=94。當(dāng)b+c=92時，因c比b大4，可得b=45，進(jìn)而可求得a=38。當(dāng)b+c=94時，因c比b大4，可得b=44，進(jìn)而可求得a=39。所以，原四數(shù)中最小的數(shù)是38或39。abcd=______（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：原四位數(shù)增強(qiáng)8倍后得新的四位數(shù)，也就是原四位數(shù)乘以9，得新四位數(shù)（如圖5.29）。從而可知，a一定為1，否則積不能得四位數(shù)。則例6有兩個兩位數(shù)，它們的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和是11。這兩個數(shù)的積的十位數(shù)字絕對不會是哪兩個數(shù)字？（1990年《小學(xué)生報》小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：由題意可知，兩個數(shù)的十位上為（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而個上則可以是0至9的隨意一個數(shù)字。倘若分離去求這兩個數(shù)的積，那是很棘手的。設(shè)這兩個數(shù)的個位數(shù)字是c，十位數(shù)字分離為a、b，則a+b=11，兩數(shù)分離為（10a+c)，（10b+c）。字。能是6、8。例7期的記法是用6個數(shù)字，前兩個數(shù)字表示年份，中間兩個數(shù)字表示月份，后兩個數(shù)字表示日（如1976年4月5日記為760405）。第二屆小學(xué)“祖杯賽”的比賽日期記為921129。這個數(shù)恰好左右對稱。因此這樣的日期是“吉祥日”。問：從87年9月1日到93年6月30日，共有_______個吉祥日。（第二屆“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：一個六位數(shù)從中間分開，要求左右對稱，則在表示月份的兩個數(shù)中，惟獨(dú)11月份。而且“年份”的個位數(shù)字只能是0、1、2。所以是共有3個吉祥日：901109、911119、921129。25、數(shù)的整除性邏輯【能被2或5整除的數(shù)的特征】（見小學(xué)數(shù)學(xué)課本，此處略）【能被3或9整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3和9整除時，這個數(shù)便能被3或9整除。例如，1248621各位上的數(shù)字之和是1+2+4+8+6+2+1=243｜24，則3｜1248621。又如，372681各位上的數(shù)字之和是3+7+2+6+8+1=279｜27，則9｜372681?！灸鼙?或25整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末兩位數(shù)能被4或25整除時，這個數(shù)便能被4或25整除。例如，173824的末兩位數(shù)為24，4｜24，則4｜173824。43586775的末兩位數(shù)為75，25｜75，則25｜43586775?！灸鼙?或125整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字為0，或者末三位數(shù)能被8或125整除時，這個數(shù)便能被8或125整除。例如，32178000的末三位數(shù)字為0，則這個數(shù)能被8整除，也能夠被125整除。3569824的末三位數(shù)為824，8｜824，則8｜3569824。214813750的末三位數(shù)為750，125｜750，則125｜214813750?！灸鼙?、11、13整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字所表示的數(shù)，與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差（大減小的差）能被7、11、13整除時，這個數(shù)就能被7、11、13整除。例如，75523的末三位數(shù)為523，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是75，523-75=448，448÷7=64，即7｜448，則7｜75523。又如，1095874的末三位數(shù)為874，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13｜221，則13｜1095874。再如，868967的末三位數(shù)為967，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是868，967-868=99，99÷11=9，即11｜99，則11｜868967。此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣講述：一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)位上數(shù)字之和，與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除時，則這個數(shù)便能被11整除。例如，4239235的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為4+3+2+5=14，偶數(shù)位上數(shù)字之和為2+9+3=14，二者之差為14-14=0，0÷11=0，即11｜0，則11｜4239235。26、數(shù)的公理、定理或性質(zhì)【小數(shù)性質(zhì)】小數(shù)的性質(zhì)有以下兩條：（1）在小數(shù)的末尾添上或者去掉幾個零，小數(shù)的大小不變。（2）把小數(shù)點(diǎn)向右移動n位，小數(shù)就擴(kuò)大10n倍；把小數(shù)點(diǎn)向左移動n位，小數(shù)就縮小10n倍?！痉?jǐn)?shù)基本性質(zhì)】一個分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者都除以同一不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。即【去九數(shù)的性質(zhì)】用9去除一個數(shù)，求出商后余下的數(shù)，叫做這個數(shù)的“去九數(shù)”，或者叫做“9余數(shù)”。求一個數(shù)的“去九數(shù)”，普通不必去除，只要把該數(shù)的各位數(shù)字加起來，再減去9的倍數(shù)，就得到該數(shù)的“去九數(shù)”。（求法見本書第一部分“（四）法則、主意”“2．運(yùn)算法則或主意”中的“棄九驗(yàn)算法”詞條。）去九數(shù)有兩條重要的性質(zhì)：（1）幾個加數(shù)的和的去九數(shù)，等于各個加數(shù)的去九數(shù)的和的去九數(shù)。（2）幾個因數(shù)的積的去九數(shù)，等于各個因數(shù)的去九數(shù)的積的去九數(shù)。這兩條重要性質(zhì)，是用“棄九驗(yàn)算法”驗(yàn)算加、減、乘、除法的根據(jù)?！咎烊粩?shù)平方的性質(zhì)】（1）奇數(shù)平方的性質(zhì)。任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。為什么有這一性質(zhì)呢？這是因?yàn)槠鏀?shù)都可以表示為2k+1的形式，k為整數(shù)。而（2k+1）2=4k2+4k+1=4k（k+1）+1k與k+1又是延續(xù)整數(shù)，其中必有一個是偶數(shù)，故4k（k+1）是8的倍數(shù)，能被8整除，所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）2能被8除余1，也就是任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。例如，272=729729÷8=91……1（2）偶數(shù)平方的性質(zhì)。任何一個偶數(shù)的平方，都是4的倍數(shù)。這是因?yàn)榕紨?shù)可以用2k（k為整數(shù)）表示，而（2k）2＝4k2顯然，4k2是4的倍數(shù)，即偶數(shù)的平方為4的倍數(shù)。例如，2162=4665646656÷4=11664即4|46656【整數(shù)運(yùn)算奇偶性】整數(shù)運(yùn)算的奇偶性有以下四條：（1）兩個偶數(shù)的和或差是偶數(shù)；兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。（2）一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。（3）兩個奇數(shù)之積為奇數(shù)；兩個偶數(shù)之積為偶數(shù)。（4）一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之積為偶數(shù)。由第（4）條性質(zhì)，還可以推廣到:若干個整數(shù)相乘，只要其中有一個整數(shù)是偶數(shù)，那么它們的積就是個偶數(shù)?！九紨?shù)運(yùn)算性質(zhì)】偶數(shù)運(yùn)算性質(zhì)有：（1）若干個偶數(shù)的和或者差是偶數(shù)。（2）若干個偶數(shù)的積是偶數(shù)。例如，四個偶數(shù)38、126、672和1174的和，是偶數(shù)2010；用偶數(shù)相減的算式3756-128-294-1350的差，也是偶數(shù)1984。【奇數(shù)運(yùn)算性質(zhì)】奇數(shù)運(yùn)算性質(zhì)有：（1）奇數(shù)個奇數(shù)的和（差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（差）是偶數(shù)。（2）若干個奇數(shù)的積是奇數(shù)。27、數(shù)的大小概念【比較分?jǐn)?shù)大小】用常規(guī)主意比較分?jǐn)?shù)大小，偶爾候速度很慢。采用下述主意，往往可大大提高解題的速度。（1）交錯相乘。把要比較大小的兩個分?jǐn)?shù)的分子分母交錯相乘，然后2×5＝10，3×3=9，3×8=24，5×5=25，之所以能這樣比較，是因?yàn)樗鼈兺ǚ謺r，公分母是分母的乘積。這時，分?jǐn)?shù)的大小就只取決于分子的大小了。（2）用“1”比較。當(dāng)兩個分?jǐn)?shù)都臨近1，又不容易決定它們的大?。?）化相同分子。把分子不同的分?jǐn)?shù)化成同分子分?jǐn)?shù)比較大小。偶爾序羅列起來：（5）兩分?jǐn)?shù)相除。用兩個分?jǐn)?shù)相除，看它們的商是大于1還是小于1，往往能迅速地找出它們的大小關(guān)系。因?yàn)檫@樣做，省略了通分的過程，所以顯然，將它們反過來相除，也是可以的：【巧比兩數(shù)大小】若甲、乙兩數(shù)間的關(guān)系未直接給出，比較它們的大小，有一定難度。這時，可按下面的主意去做：（1）先看分子是1的情況。例如下題：第一種主意是直觀比較。先畫線段圖（圖4.4）：由對線段圖的直觀比較可知，乙數(shù)大于甲數(shù)。數(shù)?？芍?）再看分子不是1的情況。例如下題：它同樣也可以用四種主意比較大小。比喻用直觀比較主意，可畫線段圖如下（圖4.5）：由圖可知，甲數(shù)大于乙數(shù)。用統(tǒng)一分子的主意，也可比較它們的大小。因?yàn)橛脠D表示就是圖4.6：這就是說，把甲數(shù)分為9份，乙數(shù)分為8份，它們的6份相等。所以，它們每一份也相等。而甲數(shù)有9份，乙數(shù)惟獨(dú)8份，故甲數(shù)大于乙數(shù)。去，即可知道甲數(shù)大于乙數(shù)。倘若用轉(zhuǎn)化關(guān)系式比較。由題意可知按照一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)，可得28、數(shù)的大小比較【分?jǐn)?shù)、小數(shù)大小比較】（全國第二屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：這兩個分?jǐn)?shù)倘若按通分的主意比較大小，計(jì)算將異常復(fù)雜。于是可采用比較其倒數(shù)的主意去解答。倒數(shù)大的數(shù)反而較小。個數(shù)是______。（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：將給出的六個數(shù)分離寫成小數(shù)，并且都寫出小數(shù)點(diǎn)后面前四位數(shù)，則把這六個數(shù)按從大到小羅列是：【算式值的大小比較】例1設(shè)A=9876543×3456789；B=9876544×3456788。試比較A與B的大小。（1990年《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：可將A、B兩式中的第一個因數(shù)和第二個因數(shù)分離舉行比較。這時，只要把兩式中某一部分變成相同的數(shù)，再比較不同的數(shù)的大小，這兩個算式的大小便能較容易地看出來了。于是可得A=9876543×（3456788＋1）=9876543×3456788＋9876543；B=（9876543＋1）×3456788=9876543×3456788＋3456788；所以，A＞B。例2在下面四個算式中，最大的得數(shù)是算式______。（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：倘若直接把四個算式的值計(jì)算出來，顯然是很棘手的，我們不妨運(yùn)用化簡繁分?jǐn)?shù)的主意，比較每式中相同位置上的數(shù)的大小。比較上面四個算式的結(jié)果，可得出最大的得數(shù)是算式（3）。例3圖5.1中有兩個紅色的正方形和兩個藍(lán)色正方形，它們的面積問：紅色的兩個正方形面積大還是藍(lán)色的兩個正方形面積大？（全國第四屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：方形放入大正方形中去的主意，來比較它們的大?。ㄈ鐖D5.2）。所以，兩個藍(lán)色正方形的面積比兩個紅色正方形的面積大。29、實(shí)踐與實(shí)際操作【最短路線】例1一只螞蟻要從A處出發(fā)，經(jīng)粘合在一塊木板上的正方體（如圖5.74）的表面爬到B處。請你在圖上畫出最短的路線（看得見的畫實(shí)線，看不見的畫虛線），有幾條就畫幾條。（1990年“新苗杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：可將正方體的幾個面，按正視位置的前面—上面展開，前面—右面展開，左面—后面展開，左邊—上面展開，其展開圖都是由兩個正方形面組成的長方形（如圖5.75所示）。按照兩點(diǎn)之間直線段最短的原理，故最短路線為每個長方形對角線，它們共有四條，如圖5.76所示。例2請你在圖5.77（3）、（4）、（5）上畫出三種與圖（2）不一樣的設(shè)計(jì)圖，使它們折起來后，都成為圖（1）所示的長方形盒子（粗線和各棱交于棱的中點(diǎn)）。（第四屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：解題的關(guān)鍵，是要分清實(shí)線與虛線，然后思量它們是按什么方式展開的。不難想象，其答案如圖（3）、（4）、（5）所示?！厩蟹謭D形】例1請將圖5.78分成面積相等，形狀相同，且每一塊中都含有“數(shù)學(xué)比賽”字樣的四塊圖形。（“新苗杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：從條件看，所分成的每一塊圖中，必須有四個小正方形，且惟獨(dú)五種（如圖5.79）。按照圖中漢字的詳細(xì)位置，可發(fā)現(xiàn)圖5.79中圖（1）、圖（2）顯然不合，圖（3）、圖（4）也不能分成。于是只剩下圖（5）。進(jìn)一步搜索，便可得到答案。答案如圖5.80所示。例2在一張正方形紙上畫兩個三角形，最多可以把這個正方形分成________塊，畫三個三角形，最多可以把這個正方形分成________塊；畫四個三角形，最多可以把這個正方形分成_________塊。（1990年無錫市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：可先找出邏輯。在正方形紙上，畫一個三角形，依次畫三條邊時，增強(qiáng)了（1＋1＋1）塊，最多可把它分成4塊；畫二個三角形，依次畫三條邊時，增強(qiáng)了（3＋3＋3）塊，共13塊；畫三個三角形，依次畫三條邊時，增強(qiáng)了（5＋5＋5）塊，共28塊，如圖5.81所示。由此推得，畫四個三角形，可增強(qiáng)（7＋7＋7）塊，最多，共49塊?！酒春蠄D形】例1圖5.82是由圖5.83中的六塊圖形拼合而成的，其中圖①放在中間一列的某一格。請?jiān)趫D5.82中找出這六個圖形，并畫出來。（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽試題）講析：可先決定圖①的位置。因?yàn)閳D①在中間的一列的某一格，當(dāng)圖①放在A、B、C處時，經(jīng)實(shí)驗(yàn)，與其它五圖不能拼成圖5.82。當(dāng)圖①放在D處時，這六幅圖可以拼成圖5.82。拼法如圖5.84所示。例27塊正方體積木堆在桌上。從東、南、西、北四個方向看去，所看到的一面都惟獨(dú)5個正方形，而且看到的圖案是一樣的。（如圖5.85）。那么從上面看下去，看到的圖形可能是什么樣的？請?jiān)趫D5.86中準(zhǔn)確的圖形下面打“√”，錯誤的圖形下面打“×”。（《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽第五屆試題）講析：上面的七幅圖都是鳥瞰圖。在看每幅圖是否準(zhǔn)確時，關(guān)鍵是想象出將另兩塊積木，放在這五塊中哪兩塊的上面，然后分離從東西南北四個方向去看，得出的圖形是否與圖5.85相吻合。經(jīng)實(shí)驗(yàn)，得出的答案如圖5.86所示，即按從左往右，從上至下的位置，依次為√、√、×、√、×、√、√。省工省時問題例1某車隊(duì)有4輛汽車，擔(dān)負(fù)A、B、C、D、E、F六個分廠的運(yùn)輸任)N/?+O#T-~5U5^+s5w

（圖5.97所標(biāo)出的數(shù)是各分廠所需裝卸工人數(shù)）。若各分廠自派裝卸工，則共需33人。若讓一部分人跟車裝卸，在需要裝卸工人數(shù)較多的分廠再配備一個或幾個裝卸工，那么如何安頓才干既保證各分廠所需工人數(shù)，又使裝卸工人數(shù)最少？

（1990年《小學(xué)生報》小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）

講析：可從需要工人數(shù)最少的E分廠著手。假定每輛車上配備3人，則需在D、C、B、A、F五處分離派1、5、2、3、4人，共需27人。*Z3d,m7Q6s.H/[

若每車配備4人，則需在C、B、A、F四處分離派4、1、2、3人，共需26人。#u;t%t'S4n)d,Y1`*d

若每車配備5人，則需在C、A、F三處分離派3、1、2人，共需26人。

所以，上面的第二、三種計(jì)劃均可，人數(shù)為26人。&W

D4p4u.a)}4k"E)w"e3c

例2少先隊(duì)員在植樹中，每人植樹2棵。倘若一個人挖一個樹坑需要25分鐘，運(yùn)樹苗一趟（最多可運(yùn)4棵）需要20分鐘，提一桶水（可澆4棵樹）需要10分鐘，栽好一棵樹需要10分鐘，現(xiàn)在以兩個人為一個小組舉行合作，那么，完成植樹任務(wù)所需的最短時光是______分鐘。

（福州市鼓樓區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）

講析：可將甲、乙兩人同時開始勞動的囫圇過程安頓，用圖5.98來表示出來。5g1d;d)y1x-?-o,O6J由圖可知，完成任務(wù)所需的最短時光，是85分鐘。0h2Q*h0`

D4A,g1I$A

例3若干箱同樣的貨物總重19.5噸，只知每箱分量不超過353千克。今有載分量為1.5噸的汽車，至少需要______輛，才干保證把這些貨物一次所有運(yùn)走。（箱子不能拆開）/x-|$m+~!p%p

（北京市第七屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）

講析：關(guān)鍵是要理解“至少幾輛車，才干保證一次運(yùn)走”的含義。也就是說，在最大奢侈車位的情況下，最少要幾輛車。

∵這堆貨物箱數(shù)至少有：2v%\-b'{6B"s:A)e

19500÷353≈55.2≈56（箱）；;l-\0^8b:z8V7`

一輛汽車每次最多能裝的箱數(shù)：

1500÷353≈4.2≈4（箱）。

∴一次所有運(yùn)走所有貨物，至少需要汽車56÷4=14（輛）。8u'~3l+b

q

Z4o

例4如圖5.99，一條馬路（粗線）兩側(cè)有7個工廠（01、02、……、07），通過小路（細(xì)線）分離與馬路相連于A、B、C、D、E、F點(diǎn)?，F(xiàn)在要設(shè)置一個車站，使各工廠（沿小路和馬路走）的距離總和越小越好。這個車站應(yīng)設(shè)在一______點(diǎn)。

（1992年福州市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）7E6x

u*~.C"E*a/]6x講析：從各工廠到車站，總是先走小路，小路的總長不變，所以問題可轉(zhuǎn)化為：“在一條馬路上的A、B、C、D、E、F處各有一個工廠，D處有兩個工廠。要在馬路上設(shè)一個站，使各廠到車站的距離總和最小（如圖5.100）。;D&Q6|9Y;d#?#m顯然，車站應(yīng)設(shè)在盡量靠七個廠的中間部位。

倘若車站設(shè)在D處，則各廠到D總長是：6K5j7X-P4W;e

（DA＋DF）＋（DB＋DE）＋DC=AF＋BE＋DC；

倘若車站設(shè)在C處，則各廠到C總長是

（CA＋CF）＋（BC＋CE）＋2·DC＝AF＋BE＋2·DC。9k

\6h1z4k!f2G

k

比較上面兩個式子得：當(dāng)車站設(shè)在D處時，七廠到車站的距離總和最小。8S.E2z0~2`+P0o.P;_#@

【費(fèi)用最少問題】

例1在一條馬路上每隔100千米有一個倉庫（如圖5.101），共有五個倉庫。一號倉庫存有10噸貨物，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其余兩個倉庫是空的。現(xiàn)在想把所有的貨物擴(kuò)散存放在一個倉庫里，倘若每噸貨物運(yùn)輸1千米需要0.5元的運(yùn)費(fèi)，那么最少要花多少運(yùn)費(fèi)才行？$I/}5S%x8H:a.^%e-p8B

（全國第一屆“華杯賽”復(fù)賽試題）

講析：這類問題思量時，要盡量使運(yùn)這些貨物的噸千米數(shù)的和最小。處理的主意是：“小往大處靠”。/K*m9?-G2R6E

因?yàn)榈谖鍌€倉庫有40噸，比第一、二倉庫貨物的總和還多。所以，盡量把第五個倉庫的貨不動或者動得最近。

當(dāng)存放站設(shè)在第四倉庫時，一、二、五倉庫貨物運(yùn)輸?shù)膰嵡讛?shù)為：

10×300＋20×200＋40×100=11000；

當(dāng)存放站設(shè)在第五倉庫時，一、二倉庫貨物運(yùn)輸?shù)膰嵡讛?shù)為：

10×400+20×300=10000。

所以，存放點(diǎn)應(yīng)設(shè)在第五號倉庫，運(yùn)費(fèi)最少。運(yùn)費(fèi)是0.5×10000=5000（元）。

例2有十個村，坐落在從縣城出發(fā)的一條馬路上（如圖（5.102，單位：千米），要安裝水管，從縣城送自來水到各村，可用粗細(xì)兩種水管，粗管充足供養(yǎng)所有各村用水，細(xì)管只能供一個村用水，粗管每千米要用8千元，細(xì)管每千米要用2千元。把粗管細(xì)管適當(dāng)搭配，互相銜接，可降低工程總費(fèi)用。按最節(jié)約的主意，費(fèi)用應(yīng)是多少？7?&Z5D/i4i8S6]

（全國第一屆“華杯賽”決賽第二試試題）$J

y;M+Q'I,~*Y5b1{講析：因?yàn)榇止苊壳椎馁M(fèi)用是細(xì)管的4倍，所以應(yīng)該在需要安裝四根或四根以上水管的地段，都應(yīng)安裝粗管。因此，惟獨(dú)到最后三個村安裝細(xì)管，費(fèi)用才最省。

不難求出，最少費(fèi)用為414000元。"S#k0f

`:Z4X.n1o-N%[30、容斥原理問題例1在1至1000的天然數(shù)中，不能被5或7整除的數(shù)有______個。（莫斯科市第四屆小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：能被5整除的數(shù)共有1000÷5=200（個）；能被7整除的數(shù)共有1000÷7=142（個）……6（個）；同時能被5和7整除的數(shù)共有1000÷35=28（個）……20（個）。所以，能被5或7整除的數(shù)一共有（即重復(fù)了的共有）：200＋142—28=314（個）；不能被5或7整除的數(shù)一共有1000—314=686（個）。例2某個班的全體學(xué)生舉行短跑、游泳、籃球三個項(xiàng)目的測試，有4名學(xué)生在這三個項(xiàng)目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項(xiàng)目達(dá)到了優(yōu)秀。這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表：求這個班的學(xué)生人數(shù)。（全國第三屆“華杯賽”復(fù)賽試題）講析：如圖5.90，圖中三個圓圈分離表示短跑、游泳和籃球達(dá)到優(yōu)秀級的學(xué)生人數(shù)。惟獨(dú)籃球一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的有15—6—5+2=6（人）；惟獨(dú)游泳一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的有18—6—6+2=8（人）；惟獨(dú)短跑一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的有17—6—5＋2=8（人）。獲得兩項(xiàng)或者三項(xiàng)優(yōu)秀的有6＋6+5—2×2=13（人）。另有4人一項(xiàng)都沒獲優(yōu)秀。所以，這個班學(xué)生人數(shù)是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。31、奇數(shù)偶數(shù)與奇偶性分析【奇數(shù)和偶數(shù)】例1用l、2、3、4、5這五個數(shù)兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積。問乘積中是偶數(shù)多還是奇數(shù)多？（全國第二屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：倘若兩個整數(shù)的積是奇數(shù)，那么這兩個整數(shù)都必須是奇數(shù)。在這五個數(shù)中，惟獨(dú)三個奇數(shù)，兩兩相乘可以得到3個不同的奇數(shù)積。而偶數(shù)積共有7個。所以，乘積中是偶數(shù)的多。例2有兩組數(shù)，甲組：1、3、5、7、9……、23；乙組：2、4、6、8、10、……24，從甲組隨意選一個數(shù)與乙組隨意選出一個數(shù)相加，能得到______個不同的和。（《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：甲組有12個奇數(shù)，乙組有12個偶數(shù)。甲組中隨意一個數(shù)與乙組中隨意一個數(shù)相加的和，必為奇數(shù)，其中最大是47，最小是3。從3到47不同的奇數(shù)共有23個。所以，能得到23個不同的和。本題中，我們不能認(rèn)為12個奇數(shù)與12個偶數(shù)隨意搭配相加，會得到12×12=144（個）不同的和。因?yàn)槠渲杏袩o數(shù)是相同的。【奇偶性分析】例1某班學(xué)生參加小學(xué)的數(shù)學(xué)比賽。試題共50道。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一道給3分，不答給1分，答錯倒扣1分。請你說明：該班學(xué)生得分總和一定是偶數(shù)。（全國第三屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：倘若50道題都答對，共可得150分，是一個偶數(shù)。每答錯一道題，就要相差4分，不管答錯多少道題，4的倍數(shù)總是偶數(shù)。150減偶數(shù)，差依然是一個偶數(shù)。同理，每不答一道題，就相差2分，不管有多少道題不答，2的倍數(shù)總是偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)之和為偶數(shù)。所以，全班每個學(xué)生的分?jǐn)?shù)都是偶數(shù)。則全班學(xué)生的得分之和也一定是個偶數(shù)。例25只杯子杯口一致朝上。規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)4只杯子，經(jīng)過若干次后，能否使杯口所有朝下？（美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克通訊賽試題）講析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必須翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次。要想5只杯口一致朝上的杯子，杯口一致朝下，則翻動的總次數(shù)也一定是奇數(shù)次才干辦得到?，F(xiàn)在每次只翻轉(zhuǎn)4只杯子，無論翻多少回，總次數(shù)一定是偶數(shù)。所以，不能使杯口所有朝下。例3某班共有25個學(xué)生。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個學(xué)生都坐到與他相鄰的座位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽預(yù)賽試題）講析：如圖5.44，為了方便，我們將每一格用A或B表示，也就是與A相鄰的用B表示，與B相鄰的用A表示。要想使每位學(xué)生都坐到相鄰座位上去，也就是說坐A座位的學(xué)生都要坐到B座位上去，而坐B座位上的學(xué)生都要坐到A座位上去。但是，A座位共13個，而B座位共12個，所以，不管怎樣坐，要想坐A座位的學(xué)生都坐到B座位上去，是辦不到的。例4線段AB的兩個端點(diǎn)，一個標(biāo)以紅色，一個標(biāo)以藍(lán)色。在線段中間插入1991個分點(diǎn)，每個分點(diǎn)隨意標(biāo)上紅色或藍(lán)色。這樣分得1992條不重疊的小線段，倘若把兩端點(diǎn)色彩不同的小線段叫做標(biāo)準(zhǔn)線段，那么標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？（1992年長沙市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽預(yù)選賽試題）講析：每插入一個點(diǎn)，無論其色彩怎樣，其非標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)增強(qiáng)0條或2條，所以插入1991個點(diǎn)后，非標(biāo)準(zhǔn)線段增強(qiáng)總數(shù)是一個偶數(shù)。又原非標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)為1，是一個奇數(shù)，故最后得到的非標(biāo)準(zhǔn)線段必為奇數(shù)。非標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)+標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)=1992條。所以，標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)是奇數(shù)。32、其他定理或性質(zhì)【算術(shù)基本定理】隨意一個大于1的整數(shù)，都能表示成若干個質(zhì)數(shù)的乘積，倘若不計(jì)質(zhì)因數(shù)的順序，則這個分解式是唯一的。即隨意一個大于1的整數(shù)a=[p1×p2×p3×……×pn（p1≤p2≤p3≤……≤pn）其中p1、p2、p3、…、np都質(zhì)數(shù)；并且若a=q1×q2×q3×…qm（q1≤q2≤q3≤…≤qm）其中q1、q2、q3、…、qm都是質(zhì)數(shù)。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，…，n）當(dāng)這個整數(shù)是質(zhì)數(shù)時是符合定理的特例。上述定理，叫做“算術(shù)基本定理”?！痉匠掏庾冃味ɡ怼糠匠痰耐庾冃?，有下列兩個基本定理：定理一方程兩邊同時加上（或同時減去）同一個數(shù)或整式，所得的方程與原方程同解。按照這一同解定理，可把方程中某一項(xiàng)改變符號后，從方程的一邊移到另一邊。這種變形叫做移項(xiàng)。例如，解方程3x=2x+5。解移項(xiàng)，得3x-2x=5合并同類項(xiàng)，得x=5。定理二方程兩邊同時乘以（或除以）同一個不是零的數(shù)，所得的方程與原方程同解。是同解的?！疽还P畫的性質(zhì)】為控制“一筆畫”的性質(zhì)，先推薦“一筆畫”的有關(guān)概念。圖──用若干條線（不一定是直線段）把一些點(diǎn)銜接起來的圖形，如圖1.7。這些點(diǎn)叫圖的頂點(diǎn)，如A、B、C、D；這些線叫圖的邊，如AB、AC、AD等。點(diǎn)的次--每個點(diǎn)上所銜接的線的條數(shù)，叫做這個點(diǎn)的“次”。如圖1.7中，A點(diǎn)有五條線與它相連，B點(diǎn)有三條線與它相連，則A點(diǎn)的次為5；B點(diǎn)有三條線與它相連，則B點(diǎn)的次為3。奇點(diǎn)--點(diǎn)的次數(shù)為奇數(shù)，則這個點(diǎn)為“奇點(diǎn)”。如圖1.7中的A、B、C、D點(diǎn)，所有都是奇點(diǎn)。偶點(diǎn)--點(diǎn)的次數(shù)為偶數(shù)，則這個點(diǎn)叫做“偶點(diǎn)”。如圖1.8中的B點(diǎn)（4次）、D點(diǎn)（2次），都是偶點(diǎn)。一筆畫問題--在圖1.8中，能否從A點(diǎn)（或其他點(diǎn)）出發(fā)，不重復(fù)任一邊（點(diǎn)可隨意經(jīng)過若干次）而一筆畫出全圖的問題，叫做“一筆畫問題”（也稱“七橋問題”，見本書第九部分“七橋問題”詞條）。能一筆畫的圖形，具有下面兩條性質(zhì)：（1）若一個圖形中，奇點(diǎn)的個數(shù)不大于2，則這個圖形必能一筆畫成，否則就不能畫成。例如圖1.7中，奇點(diǎn)有A、B、C、D四個，它無論從哪一點(diǎn)出發(fā)，都是不可能一筆畫成的。而圖1.8中，奇點(diǎn)惟獨(dú)A、C兩個，它是可以一筆畫成的。其畫法可如圖1.9所示：從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)1到C，經(jīng)2到D，經(jīng)3到B，經(jīng)4到A，又經(jīng)5到B，再經(jīng)6到A，然后經(jīng)7到C，完成全圖。顯然，此圖的畫法并不止于這一種，這只是多種畫法中的一種畫法。（2）若一個圖中沒有奇點(diǎn)，那么始點(diǎn)和盡頭必須重合；若一個圖中有兩個奇點(diǎn)，則這兩個奇點(diǎn)必是起點(diǎn)和盡頭。例如圖1.10中，點(diǎn)A、B、C均為偶點(diǎn)，沒有奇點(diǎn)。若從A點(diǎn)出發(fā)，按圖外箭頭所指的方向，經(jīng)①、②、③、④、⑤，便又回到了A點(diǎn)。這樣，A點(diǎn)便既是始點(diǎn)又是盡頭。而圖1.8中有A、C兩個奇點(diǎn)，按性質(zhì)（1）中的畫法，可從A點(diǎn)出發(fā)，到C點(diǎn)結(jié)束，A是始點(diǎn)，C是盡頭。圖1.9（也可以從C點(diǎn)出發(fā)，到A點(diǎn)結(jié)束，C為始點(diǎn)，A為盡頭。）平移變換【平移線段】有些幾何問題，通過線段的上、下、左、右平移以后，能使問題很快地得到準(zhǔn)確的解答。例如，下面的兩個圖形（圖4.17和圖4.18）的周長是否相等？單憑眼睛看見，似乎圖4.18的周長比圖4.17的要長一些。但把有關(guān)線段平移以后，圖4.18就變成了圖4.19，其中的線段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一個正方形。于是，不難發(fā)現(xiàn)兩圖周長是相等的?！酒揭瓶瞻谆蜿幱安糠帧坑行┣箨幱安糠只蚩瞻撞糠置娣e的幾何題，采用平移空白部分或平移陰影部分的主意，往往能化難為易，很快使問題求得解答。例如，計(jì)算圖4.20中陰影部分的面積。圓面積”，然后相加，得囫圇陰影部分的面積。這顯然是很費(fèi)時費(fèi)力的。但仔細(xì)看見一下就會發(fā)現(xiàn)，圖4.20左半左上部的空白部分，與右半左上部的陰影部分大小一樣，只需將右半左上部的陰影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有的陰影部分便構(gòu)成一個正方形了（如圖4.21）。所以，陰影部分的面積很快就可求得為5×5=25。又如，一塊長30米，寬24米的草地，中間有兩條寬2米的走道，把草地分為四塊，求草地的面積（如圖4.22）。這只要把丙向甲平移靠攏，把丁向乙平移靠攏，題目也就很快能解答出來了。（詳細(xì)解法略）33、平面圖形的計(jì)算【周長的計(jì)算】例1有9個同樣大小的小長方形，拼成一個大長方形（如圖5.54）的面積是45厘米2，求這個大長方形的周長。（第四屆《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》邀請賽決賽試題）講析：設(shè)每個小長方形的長是a厘米，寬是b厘米。于是有a×b=45÷9＝5；又有：4a=5b。可求得b=2，a=2.5。所以大長方形的周長為6a＋7b=29（厘米）。例2圖5.55中圖（1）和圖（2）是兩個形狀、大小徹低相同的大長方形，在每個大長方形內(nèi)放入四個如圖（3）所示的小長方形，斜線區(qū)域是空下來的地方，已知大長方形的長比寬多6厘米，問：圖（1），圖（2）中畫斜線的區(qū)域的周長哪個大？大多少？（全國第四屆“華杯賽”決賽試題）講析：圖5.55（1）中畫斜線區(qū)域的周長恰好等于大長方形的周長，圖5.55（2）中畫斜線區(qū)域的周長顯然比大長方形周長小。二者相差2·AB。從圖5.55（2）的豎直方向看，AB＝a－CD圖5.55（2）中大長方形的長是a＋2b，寬是2b＋CD，所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）故：圖5.55（1）中畫斜線區(qū)域的周長比圖5.55（2）中畫斜線區(qū)域的周長大，大12厘米?！久娣e的計(jì)算】例1如圖5.56，長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，那么三角形ABC的面積是______。（北京市第十屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：連結(jié)AE（如圖5.57），則三角形AEC的面積是16÷2-4=4。因?yàn)椤鰽CF與△AEC等高，且面積相等。所以，CF=CE。同理，△ABE的面積是16÷2-3=5，則BD∶BE=3∶5。即BE=從而，△ABC的面積是16-（3＋4+2.5）=6.5。例2如圖5．58，在等邊三角形ABC中，AF=3FB，F(xiàn)H垂直于BC，已知陰影部分的面積為1平方厘米，這個等邊三角形的面積是多少平方厘米？（1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：如圖5.59，銜接△ABC各邊中點(diǎn)，則△ABC被分成了大小相等的四個小三角形。在△DBG中，再銜接各邊中點(diǎn)，得出將△DBG又分成了四個很小的三角形。經(jīng)看見，容易得出△ABC的面積為（1×2）×4×4=32（平方厘米）。例3三條邊長分離為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如圖5.60（1），將它的短直角邊對折到斜邊上去與斜邊相重合如圖5.60（2）。那么，圖5.60（2）中陰影部分（即未被蓋住部分）的面積是______平方厘米。（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第一試試題）講析：如圖5.60（2），設(shè)EC等于a厘米，那么DE也為a厘米。△ABC的面積等于△ABE的面積加上△AEC的面積。例4如圖5.61，ABCD是一個梯形，已知三角形ABD的面積是12平方厘米，三角形AOD的面積比三角形BOC的面積少12平方厘米，那么梯形ABCD的面積是______平方厘米。（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：可設(shè)△AOD的面積為S1。則，△BOC的面積為S1＋12。于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）=24（平方厘米）。所以，梯形ABCD的面積是24+12=36（平方厘米）。例5梯形ABCD被兩條對角線分成了四個三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形ABCD的面積。（小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克通訊賽決賽試題）講析：三角形S1和S2都是等高三角形，它們的面積比為2∶6=1∶3；則：DO∶OB=1∶3?！鰽DB和△ADC是同底等高三角形，所以，S1=S3=2厘米2。三角形S4和S3也是等高三角形，其底邊之比為1∶3，所以S4∶S3=1∶所以，梯形ABCD的面積為例6正方形邊長為20厘米（如圖5.63），已知DD′=EE′，CE=6厘米。則陰影部分三角形的面積最大值是______平方厘米。（?？谑行W(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：E′點(diǎn)在BE段滑動，D′點(diǎn)在DC段滑動。設(shè)DD′長a厘米。D′C=20-a，E′C=a＋6。又因?yàn)镈′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。運(yùn)用等周長的長方形面積最大原理，兩個數(shù)的和一定（等于26），要把這個和分成兩個數(shù)，使這兩個數(shù)的積最大，則當(dāng)20-a=a＋6=13時，即a=7=84.5（平方厘米）。例7圖5.64是一個正方形，圖中所標(biāo)數(shù)字的單位是厘米。問：陰影部分的面積是多少平方厘米？（全國第四屆“華杯賽”決賽試題）講析：如圖5.65，銜接AC，所分成的四個小三角形分離用S1、S2、S3、S4表示。容易看出S2和S3是關(guān)于OC為對稱軸的對稱圖形。所以S2=S3。從而不難得出S1、S2、S3、S4四個小三角形面積相等，即每個小三角例8一個正方形（如圖5.66），被分成四個長方形，它們的面積在圖中標(biāo)出（單位：平方米）。圖中陰影部分是一個正方形。那么，它的面積是______。（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：可將四個長方形分離用A、B、C、D表示（如圖5.67），陰影部分是B中的一部分。大正方形的面積為1平方米，所以它的邊長為1米。因?yàn)殚L方形C和D的寬相等，所以它們長的比等于面積比。于是得C的米。例9把大的正三角形每邊8等分，組成圖5.68所示的三角形網(wǎng)。倘若每個小三角形面積是1，那么圖中粗線圍成的三角形面積是______。（1988年北京市奧林匹克邀請賽試題）講析：普通地，關(guān)于格點(diǎn)多邊形的面積，有下面的公式：這里，格子面積等于小正方形或平行四邊形面積，也就是小三角形面積的2倍。題中，格子面積為1×2=2，內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為12，邊上格點(diǎn)數(shù)為4。所以，粗線圍成的面積是34、判斷題的解答【用篩去（消倍）法判斷】一個數(shù)能否被3整除，本來是不太難的問題。但當(dāng)一個數(shù)比較大時，用各數(shù)位上的數(shù)相加，速度很慢，而且容易浮上口算錯誤。若用“篩去（消倍）法”來判斷，情況就大不一樣了。例如（1）判斷76935能否被3整除。先直接篩去能被3整除的6、9、3，剩下的7與5，和為3的倍數(shù)，所以3|76935（3能整除76935，或76935能被3整除）。（2）判斷3165493能否被3整除。先直接篩去3的倍數(shù)3、6、9、能整除3165493，或3165493不能被3整除。）【能否被7整除】一個數(shù)能否被7整除，只要把這個數(shù)的末位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去這個末位數(shù)字的2倍，倘若這時能看出所得的差能被7整除，則本來的數(shù)就能被7整除，否則就不能被7整除；若是仍看不出來，就要繼續(xù)上述過程，直到能清晰作出判斷為止。例如，判斷133能否被7整除：因?yàn)椴顢?shù)7能被7整除，所以7|133。這是什么緣故呢？請看下面的算式：133×2＝（13×10＋3）×2＝13×20＋3×2=13×（21-1）+3×2=13×21－13＋3×2=13×7×3-（13-3×2）顯然，13×7×3中有約數(shù)7，它能被7整除，故只要檢驗(yàn)后面的（13-3×2）能否被7整除就可以了。（原理可見第一部分的整除性定理）倘若要判斷的數(shù)的位數(shù)無數(shù)，那么，將這種做法向來舉行下去就是。例如，判斷62433能否被7整除：∵7|42，∴7|62433這樣的判定主意可稱作“割尾法”。一個數(shù)能否被11、13、17和19整除，也可用割尾法去判斷?！灸芊癖?1整除】判斷一個數(shù)能否被11整除，可以采用割尾法、奇偶位差法及分節(jié)求和法。（1）割尾法。一個數(shù)能否被11整除，只要把它的末尾數(shù)字截去，從余下的數(shù)里減去這個末位數(shù)，看所得的差能否被11整除。差能整除的，本來的數(shù)就能整除；差不能整除的，本來的數(shù)就不能整除。如一次所得的差還看不出能否被11整除，就繼續(xù)上述過程，直到能作出判斷為止。例如，判斷2629能否被11整除：因?yàn)?1｜22，所以11｜2629。之所以能這么判斷，緣故在于2629=2620+9=262×10+9=262×（11-1）+9=262×11-262+9=262×11-（262-9）在262×11中有因數(shù)11，所以只要看（262-9）的差能否被11整除，就可判斷本來的2629能否被11整除。而（262-9）的差是253，253=250+3=25×10+3=25×（11-1）+3=25×11-25+3=25×11-（25-3）同樣，只要看（25-3）能否被11整除，就會知道253能否被11整除。進(jìn)而便可知2629能否被11整除了。（2）奇偶位差法。判斷一個數(shù)能否被11整除，可先分離求出此數(shù)的奇位數(shù)字之和及偶位數(shù)字之和，再求這兩個和的差數(shù)，若這個差能被11整除，則本來的那個數(shù)就能被11整除；否則，本來的數(shù)就不能被11整除。例如，判斷823724能否被11整除：∵它的奇位數(shù)字之和為4+7+2=13（數(shù)位數(shù)，從右邊個位開始往左數(shù)），它的偶位數(shù)字的和為2+3+8=13兩個和的差數(shù)是13-13=0（兩數(shù)不等時用大數(shù)減小數(shù)）而11｜0∴11｜823724之所以能這樣判斷，是因?yàn)?23，724=8×100，000+2×10，000+3×1，000+7×100+2×10+4=8×（100，001-1）+2×（9，999+1）+3×（1，001-1）+7×（99+1）+2×（11-1）+4=8×100，001+2×9，999+3×1，001+7×99+2×11+[（2+7+4）-（8+3+2）]顯然，在前幾項(xiàng)中，因數(shù)100，001、9，999、1，001、99、11都是11的倍數(shù)，故只需檢驗(yàn)[（2+7+4）-（8+3+2）]能否被11整除，就可以作出判斷了。（3）分節(jié)求和法。把一個天然數(shù)從右向左每兩位截為一節(jié)，然后把這些節(jié)加起來。若所得的和能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除；否則，這個數(shù)就不能被11整除。在這一情況下，倘若仍不能作出判斷，那就繼續(xù)上述過程，直到清晰地作出判斷為止。例如，判斷762421能否被11整除：這一判斷主意的理由，可見下面的算式：762421=76×10000+24×100+21=76×（9999+1）+24×（99+1）+21=76×9999+76+24×99+24+21=76×9999+24×99+（76+24+21）在前兩項(xiàng)中，因數(shù)9999和9都能被11整除，所以只需要檢驗(yàn)后面的（76+24+21）能否被11整除了。能整除的原數(shù)就能被11整除；不能整除的原數(shù)，就不能被11整除。【能否被13整除】一個數(shù)能否被13整除，可采用“割尾法”判斷：截去末位數(shù)字，余下的數(shù)加上末位數(shù)的4倍。所得的和是13的倍數(shù)，則這個數(shù)就能被13整除，否則，就不能被13整除。要是割尾一次仍不能作出判斷，那就繼續(xù)割尾，直到能作出判斷為止。例如，判斷364能否被13整除：∵13｜52，∴13｜364。這一判斷的理由，可由下式看出：364×4=（36×10+4）×4=36×40+4×4=36×（39+1）+4×4=36×39+36+4×4=36×13×3+（36+4×4）前面的36×13×3中，有約數(shù)13，所以作出判斷時，只需要檢驗(yàn)（36+4×4）是否能被13整除了。【能否被17整除】一個數(shù)能否被17整除，同樣可用“割尾法”作巧妙而迅速地判斷。不過，詳細(xì)地做法有所不同。例如，判斷731能否被17整除，判斷主意如下：∵17｜68，∴17｜731。這樣做的理由，可見下面的算式推導(dǎo)：731×5=（73×10+1）×5=73×50+1×5=73×（51-1）+1×5=73×51-73+1×5=73×17×3-（73-1×5）因?yàn)榍懊娴?3×17×3有約數(shù)17，故只需檢驗(yàn)（73-1×5）能否被17整除，就知道“731×5”能否被17整除。知道“731×5”能否被17整除，也就是知道731能否被17整除了（按照整除性定理）。若是“割尾”一次仍不能作出判斷，那就依法繼續(xù)割尾下去，直到能作出判斷為止。例如，判斷279191能否被17整除，可以作如下割尾判斷：∵17｜17，∴17｜279191【能否被19整除】一個數(shù)能否被19整除，也是可用“割尾法”作巧妙判斷的，詳細(xì)做法如判斷475能否被19整除：∵19｜57，∴19｜475。其中的道理，可見下面的算式推導(dǎo)：475×2=（47×10+5）×2=47×20+5×2=47×（19+1）+5×2=47×19+（47+5×2）最后算式中的47×19有約數(shù)19，故只需要檢驗(yàn)（47+5×2）能否被19整除，就知道“475×2”及“475”能否被19整除了。倘若一次“割尾”仍不能作出判斷，那就繼續(xù)“割尾”下去，直至能作出判斷為止。例如，判斷14785能否被19整除：羅列與組合【有條件羅列組合】例1用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字能夠組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。（哈爾濱市第七屆小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：用這十個數(shù)字羅列成一個不重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)時，百位上不能為0，故共有9種不同的取法。因?yàn)榘傥簧弦讶∽咭粋€數(shù)字，所以十位上只剩下9個數(shù)字了，故十位上有9種取法。同理，百位上和個位上各取走一個數(shù)字，所以還剩下8個數(shù)字，供個位上取。所以，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648（個）。例2甲、乙、丙、丁四個學(xué)生排成一排，從左到右數(shù)，倘若甲不排在第一個位置上，乙不排在第二個位置上，丙不排在第三個位置上，丁不排在第四個位置上，那么不同的排法共有______種。（1994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：因每個人都不排在本來的位置上，所以，當(dāng)乙排在第一位時，其他幾人的排法共有3種；同理，當(dāng)丙、丁排在第一位時，其他幾人的排法也各有3種。因此，一共有9種排法。例3有一種用六位數(shù)表示日期的主意，如890817表示1989年8月17日，也就是從左到右第一、二位數(shù)表示年，第三、四位數(shù)表示月，第五、六位數(shù)表示日。倘若用這種主意表示1991年的日期，那么全年中六個數(shù)字都不相同的日期共有______天。（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：第一、二位數(shù)字顯然只能取9和1，于是第三位只能取0。第五位數(shù)字只能取0、1、2或3，而0和1已取走，當(dāng)取3時，第六位上只能取0和1，顯然不可。因此，第五位上只能取2。于是，第四位上只能取3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取3、4、5、6、7、8，且第四、六位上數(shù)字不能取同。所以，一共有6×5=30（種）?！经h(huán)形羅列】例1編號為1、2、3、4的四把椅子，擺成一個圓圈?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人去坐，規(guī)定甲、乙兩人必須坐在相鄰座位上，一共有多少種坐法？（長沙市奧林匹克代表隊(duì)集訓(xùn)試題）講析：如圖5.87，四把椅子排成一個圓圈。當(dāng)甲坐在①號位時，乙只能坐在②或④號位上，則共有4種排法；同理，當(dāng)甲分離坐在②、③、④號位上時，各有4種排法。所以，一共有16種羅列法。例2從1至9這九個數(shù)字中挑出六個不同的數(shù)填在圖5.88的六個圓圈中，使隨意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)，那么最多能找出______種不同的挑法來。（挑出的數(shù)字相同，而羅列次序不同的都只算一種）（北京市第九屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽試題）講析：在1至9這九個天然數(shù)中，奇數(shù)有1、3、5、7、9五個，偶數(shù)有2、4、6、8四個。要使羅列之后，每相鄰兩個數(shù)字之和為質(zhì)數(shù)，則必須奇數(shù)與偶數(shù)間隔羅列，也就是每次取3個奇數(shù)和3個偶數(shù)。從五個奇數(shù)中，取3個數(shù)共有10種主意；從四個偶數(shù)中，取3個數(shù)共有4種主意。但并不是每一種3個奇數(shù)和3個偶數(shù)都可以排成符合要求的羅列。經(jīng)檢驗(yàn)，共有26種排法。35、邏輯思路“邏輯思路”，主要是指遵循邏輯的四大基本邏輯來分析推理的思路。【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“倘若甲，那么甲”。它的基本內(nèi)容是，在同一思維過程中，同一個概念或同一個思想對象，必須保持前后一致性，亦即保持決定性。這是邏輯推理的一條重要思維邏輯。運(yùn)用這一邏輯來解題，我們把它叫同一律思路。例1某公安人員需查清甲、乙、丙三人誰先進(jìn)辦公室，三人口供如下：甲：丙第二個進(jìn)去，乙第三個進(jìn)去。乙：甲第三個進(jìn)去，丙第一個進(jìn)去。丙：甲第一個進(jìn)去，乙第三個進(jìn)去。三人口供每人僅對一半，畢竟誰第一個進(jìn)辦公室？分析（用同一律思路推理）；這一類問題具有非此即彼的特點(diǎn)。比如甲是否是第一個進(jìn)辦公室惟獨(dú)兩種可能：是或非。我們用1表示“是”，0表示“非”，則可把口供列表處理。（1）若甲第一，則根據(jù)丙的口供見左表，這個表與甲的口供僅對一半相矛盾；（2）若甲非第一，則根據(jù)丙的口供，乙第三個進(jìn)去，舉行列表處理如右表，與“三人口供僅對一半”相符。從而可以判定，丙最先進(jìn)入辦公室。這個問題也可以不列表而用同一律推理。甲的話第一句對，第二句錯，則丙第二，乙不是第三，又不是第二，天然乙第一，甲第二，這個結(jié)論與丙說的話“半對半錯”不符。因此，有甲的第一句錯，第二句對。即乙第三個進(jìn)去，丙不是第二個，天然是第一個。這個結(jié)論與乙的話“半對半錯”相符：甲不是第三，丙是第一。并且這個結(jié)論與丙的話“半對半錯”也相符：甲不是第一，乙是第三。在囫圇思維過程中，我們對三人的話“半對半錯”舉行了一一驗(yàn)證，直到都符合題目給定的條件為止。例2先前一個國家里住著兩種居民，一個叫寶寶族，他們永遠(yuǎn)說真話；另一個叫毛毛族，他們永遠(yuǎn)說假話。一個外地人來到這個國家，碰見三位居民，他問第一個人：“請問你是哪個民族的人？”“匹茲烏圖。”那個人回答。外地人聽不懂，就問其他兩個人：“他說的是什么意思？”第二個人回答：“他說他是寶寶族的?！钡谌齻€人回答：“他說他是毛毛族的?！闭垎?，第一個人說的話是什么意思？第二個人和第三個人各屬于哪個民族？分析（用同一律思路思量）：倘若第一個人是寶寶族的，他說真話，那么他說的是“我是寶寶族的”。倘若這個人是毛毛族的，他說假話，他說的還是“我是寶寶族的”。這就是說，第一個人不管是什么民族的，那句話的意思都是：“我是寶寶族的”。按照這一推理，那么第二個人回答“他說他是寶寶族的”這句話是真的，而從條件可知，說真話的是寶寶族人，因此可以判斷第二個人是寶寶族人。不管第一個人是什么民族的，按照前面推理已知他說的話是“我是寶寶族的”，而第三個人回答“他說他是毛毛族的”顯然是錯的，而說假話的是毛毛族人，因此