2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)（七省新高考01）數(shù)學(xué)（七省新高考01）（全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（七省新高考）數(shù)學(xué)·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】先求出復(fù)數(shù)，再求.【詳解】∵，∴.故選：A2．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接解一元二次不等式得集合，解一元一次不等式的集合，從而可得并集.【詳解】因為，解得或，所以或，又，所以或．故選：B.3．“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要而不充分條件C．充分而不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合充分必要條件的定義即得.【詳解】若，則方程表示焦點在軸上的橢圓；反之，若方程表示焦點在軸上的橢圓，則；所以“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的充要條件.故選：A.4．某校高三年級有500人，一次數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布．估計該校高三年級本次考試學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的有（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，．A．75人 B．77人 C．79人 D．81人【答案】C【分析】，，由概率計算人數(shù)即可.【詳解】，，，因為，所以，所以數(shù)學(xué)成績在分以上的人數(shù)約為人.故選：C．5．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，河岸線所在直線方程為，若將軍從點處出發(fā)，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得關(guān)于直線的對稱點，根據(jù)點和圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，圓的圓心為，半徑，所以“將軍飲馬”的最短路程為.故選：D6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】復(fù)合函數(shù)利用“同增異減”求解函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而得到集合的包含關(guān)系，求出的取值范圍.【詳解】令，則.由在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減.所以.所以，解得.故選：D.7．如圖，在棱長為2的正方體中，，，，，均為所在棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．棱上一定存在點，使得B．設(shè)點在平面內(nèi)，且平面，則與平面所成角的余弦值的最大值為C．過點，，作正方體的截面，則截面面積為D．三棱錐的外接球的體積為【答案】C【分析】對于A，建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積判定即可；對于B，先確定M的位置，由空間中的線面關(guān)系計算即可；對于C，由平面的性質(zhì)確定截面圖象，計算正六邊形的面積即可；對于D，確定球心及球半徑計算即可.【詳解】

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，對于A項，可設(shè)，而，∴，令，故A錯誤；如圖所示，取中點T、S，連接，易證面面，則M在線段ST上，連接，由正方體特征可知與平面所成角為,且，顯然越大越大，，故B錯誤；

如圖所示，取中點Y，順次連接EPGSFY，易知面EPGSFY為該截面，且是正六邊形，

如圖，設(shè)正六邊形的中心為O，連接OS、OG、OP、OE、OY、OF，則將正六邊形分割為六個正三角形，故，故C正確；

對于D項，易證為等腰直角三角形，則其外接圓圓心為EH的中點Z，過Z作ZN⊥面EPH，交面于N，則N為的中心，三棱錐F-EPH的外接球球心Q在直線ZN上，設(shè)球半徑為，，則，故.故選：C8．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則A．B．C．D．【答案】B【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．【詳解】令，，，，恒成立，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，．令，，，，恒成立，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，．綜上可得：，故選：B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知一組樣本數(shù)據(jù)，其中（，2，…，15），由這組數(shù)據(jù)得到另一組新的樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同C．，，…，樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為D．將兩組數(shù)據(jù)合成一個樣本容量為30的新的樣本數(shù)據(jù)，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5【答案】AC【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)加減一個數(shù)以及乘以一個數(shù)時，平均數(shù)以及方差的性質(zhì)可判斷ABD；根據(jù)百分位數(shù)的計算可判斷C；【詳解】由題意可得：，∵，則，，故A正確，B錯誤；由于求第30百分位數(shù)：15×0.3=4.5，故為第5個數(shù)，的排列為：，因此，第30百分位數(shù)為，C正確；將兩組數(shù)據(jù)合成一個樣本容量為30的新的樣本數(shù)據(jù)，新樣本的平均數(shù)為，D錯誤，故選：AC．10．若函數(shù)（，，）的圖象如圖，且，，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為5B．函數(shù)的對稱軸為，C．函數(shù)在內(nèi)沒有單調(diào)性D．若將的圖象向左平移（）個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為1【答案】BD【分析】根據(jù)給定的函數(shù)及圖象，結(jié)合“五點法”作圖，求出函數(shù)的解析式，再逐項分析、計算判斷作答.【詳解】觀察圖象知，，而，解得，又，則，因為，由“五點法”作圖知，，解得，于是，對于A，函數(shù)的周期，A錯誤；對于B，由，得，函數(shù)圖象的對稱軸為，B正確；對于C，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，C錯誤；對于D，將的圖象向左平移（）個單位長度，得到函數(shù)的圖象，依題意，，解得，因此，D正確.故選：BD11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為2 B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】BC【分析】根據(jù)給定的信息，推理論證周期性、對稱性判斷AB；借助變量替換的方法，結(jié)合偶函數(shù)的定義及對稱性意義判斷CD作答.【詳解】依題意，上的函數(shù)，，則，函數(shù)的周期為4，A錯誤；因為函數(shù)是偶函數(shù)，則，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且，即，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，B正確；由得，則函數(shù)為偶函數(shù)，C正確；由得，由得，因此，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，D錯誤.故選：BC12．已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，過點的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線交于，和，，過點分別作，的垂線，垂足分別為，，則（

）A．四邊形面積的最大值為2B．四邊形周長的最大值為C．為定值D．四邊形面積的最小值為32【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的方程，確定四邊形形狀，利用勾股定理及均值不等式計算判斷A，B；設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出弦長即可計算推理判斷C，D作答.【詳解】依題意，，解得，即拋物線：，焦點，準(zhǔn)線方程為：，直線，與坐標(biāo)軸不垂直，因為，，則四邊形為矩形，有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，即四邊形面積的最大值為2，A正確；因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此四邊形周長的最大值為，B正確；

設(shè)直線方程為：，，由消去y得：，則，，同理，因此，C錯誤；四邊形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以四邊形面積的最小值為32，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．已知向量是單位向量，且與垂直，與的夾角為135°，則．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積定義與運算律求解．【詳解】由題意，∴，故答案為：．14．已知正四棱臺中，，，則其體積為.【答案】【分析】作出正四棱臺的直觀圖，過點作交于點，過點作交于點，利用勾股定理求出棱臺的高，最后根據(jù)棱臺的體積公式計算可得.【詳解】如圖正四棱臺中，則，，過點作交于點，過點作交于點，則，又，所以，即正四棱臺的高，所以棱臺的體積.故答案為：15．試寫出曲線與曲線的一條公切線方程.【答案】或（寫出一個即可）【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，根據(jù)切線斜率相等，建立等式，解出即可.【詳解】設(shè)公切線與曲線切于點，與曲線切于點.由，得.由，得.令，即，則，且，即，化為，所以，解得或.當(dāng)時，，，此時切線的方程為，即.當(dāng)時，，，此時切線的方程為，即.綜上可知，切線的方程為或，寫出任意一個即可.故答案為：或，寫出任意一個即可.16．已知各項都不為0的數(shù)列的前項和滿足，其中，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對一切，恒有成立，則能取到的最大整數(shù)是.【答案】【分析】根據(jù)題意推得，利用等差數(shù)列的通項公式，求得的通項公式為，得到，令，結(jié)合，求得最小時為，根據(jù)恒成立，求得，即可求解.【詳解】因為，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，因為數(shù)列的各項都不為0，所以，因為，所以，數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以；數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，故數(shù)列的通項公式為，可得，所以，令，，，則，所以隨著的增大而增大，即在處取最小值，，又因為對一切，恒有成立，所以，解得，故能取到的最大整數(shù)是.故答案為：.三、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，．(1)求cosB；(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面積為，求a．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得，再利用可得答案；（1）利用可得由余弦定理得，再由a，c可看作一元二次方程的兩不等實根可得答案.(1)因為，由正弦定理得，因為，所以，所以，可得.(2)，∵，可得在△ABC中，由余弦定理得，∴，，，∴a，c可看作一元二次方程的兩不等實根，∵∴.18．設(shè)同時滿足條件：①；②，是常數(shù)）的無窮數(shù)列叫做數(shù)列，已知數(shù)列的前項和滿足為常數(shù)，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；并證明數(shù)列為數(shù)列．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】(1)根據(jù)關(guān)系，結(jié)合條件求數(shù)列的通項公式；(2)根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求的值；根據(jù)數(shù)列的定義證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，，．當(dāng)時，，整理得，又，所以，即數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，，，所以，，，由數(shù)列是等比數(shù)列，則，故，解得，再將代入式，得．因為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故滿足要求；由于，滿足條件①；又由于，故存在滿足條件②．故數(shù)列為數(shù)列．19．四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，平面平面．(1)證明：；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點在線段上且滿足，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由題設(shè)可得，利用面面垂直的性質(zhì)可得面，再由線面垂直的性質(zhì)證；（2）若為中點，連接，首先求證，兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點坐標(biāo)并令且，根據(jù)線面角及向量夾角的坐標(biāo)表示求參數(shù)m，進而可得，再求面、面的法向量，應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)運算求二面角余弦值.（1）由題設(shè)，△為等邊三角形，則，又四邊形為梯形，，則，在△中，，即，面面，面面，面，則面，又面，故.（2）若為中點，，則，面面，面面，面，則面，連接，則，且面，故，綜上，，兩兩垂直，構(gòu)建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，若且，則，而面的一個法向量為，，所以，可得，故，所以，，，若是面的一個法向量，則，取，若是面的一個法向量，則，取，所以，由圖知：銳二面角的余弦值.20．擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國古代傳統(tǒng)民間酒宴上的助興游戲，屬于酒令的一種，又稱“擊鼓催花”，在唐代時就已出現(xiàn)．杜牧《羊欄浦夜陪宴會》詩句中有“球來香袖依稀暖，酒凸觥心泛艷光”，可以得知唐代酒宴上擊鼓傳花助興的情景．游戲規(guī)則為：鼓響時，開始傳花(或一小物件)，鼓響時眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時花在誰手中(或其序位前)，誰就上臺表演節(jié)目(多是唱歌、跳舞、說笑話：或回答問題、猜謎、按紙條規(guī)定行事等)．某單位組織團建活動，9人一組，共9組，玩擊鼓傳花，組號（前五組）與組內(nèi)女性人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如表：x12345y22344若女性人數(shù)與組號(組號變量依次為1，2，3，4，5，…)具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)請求出女性人數(shù)關(guān)于組號的回歸直線方程；（參考公式，）(2)從前5組中隨機抽取3組，若3組中女性人數(shù)不低于3人的有組，求的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）利用已知條件求解回歸直線方程的系數(shù),然后求解回歸直線方程（2）由題可知的所有可能取值為,求出概率得到的分布列,然后求解期望即可.(1)解：由題可得．，則所以(2)解：由題可知的所有可能取值為，，，，，，則X的分布列為∴．21．已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個公共點.(1)求雙曲線的方程(2)設(shè)雙曲線的左頂點為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點，求證：的垂心