高中數(shù)學人教A版選修2-1測評3-2第2課時利用向量證明空間中的垂直關系

第三章空間向量與立體幾何3.2立體幾何中的向量方法第2課時利用向量證明空間中的垂直關系課后篇鞏固提升基礎鞏固1.若直線l的方向向量為a=(1,2,3),平面α的法向量為n=(3,6,9),則()A.l?α B.l∥αC.l⊥α D.l與α相交解析∵直線l的方向向量為a=(1,2,3),平面α的法向量為n=(3,6,9),∴a=13n,∴a∥n,∴l(xiāng)⊥α.故選C答案C2.已知平面α的法向量為a=(1,2,2),平面β的法向量為b=(2,4,k),若α⊥β,則k=()A.4 B.4 C.5 D.5解析∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=282k=0.∴k=5.答案D3.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面解析建立分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸的空間直角坐標系(圖略),不妨設正方體的棱長為1,則DA1=(1,0,1),AC=(1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,EF=13,13,13,∴EF·DA1=0,EF·AC=0,∴EF⊥A∴BD1=3EF,即EF與BD1答案B4.在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,則以下等式中可能不成立的是()A.PA·AB=0 B.PCC.PC·AB=0 D.PA解析∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又∵AC⊥BD,∴PC⊥BD.故選項B正確,選項A和D顯然成立.故選C.答案C5.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分別是平面α,β,γ的法向量,則α,β,γ三個平面中互相垂直的有對.

解析∵a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0,∴a,b,c中任意兩個都不垂直,即α,β,γ中任意兩個都不垂直.答案06.已知AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),BP=(x1,y,3),若AB⊥BC,且BP⊥平面ABC,則BP=解析∵AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),AB⊥則AB·BC=82z=0,解得z=4,∴BC=∵BP⊥平面ABC,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以,BP⊥AB,BP⊥BC.則BP·AB故BP=答案337.如圖所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于.

解析以A為原點,建立如圖所示坐標系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),設Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,z),QD=(1,ax,0).由PQ·QD=0,得1+x(ax)=0,即x2ax+1=0.當Δ=a24=0,即a=2時,點Q答案28.在棱長為a的正方體OABCO1A1B1C1中,E,F分別是AB,BC上的動點,且AE=BF,求證:A1F⊥C1E.證明以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(a,0,a),C1(0,a,a).設AE=BF=x,則E(a,x,0),F(ax,a,0).所以A1F=(x,a,a),C1E=(a,xa因為A1F·C1E=(x,a,a)·(a,xa,a)=ax+axa2+a2=0,所以A1F⊥C9.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點.求證:CD⊥平面PAE.證明如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設PA=h,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知CD=(4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).∵CD·AE=8+8+0=0,CD∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.10.如圖所示,△ABC是一個正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求證:平面DEA⊥平面ECA.證明建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz,不妨設CA=2,則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(3,1,2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,1).分別設平面ECA與平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則n解得y即3x2不妨取n1=(1,3,0),n2=(3,1,2),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.能力提升1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,若E為A1C1的中點,則直線CE垂直于()A.BD B.AC C.A1D D.A1A解析以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系Dxyz,如圖所示,設正方體的棱長為1,則C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E12所以CE=12,-12,1,AC=(1,1,0),BD=(1,因為CE·BD=0,CE·ACCE·A1D=32≠0,所以CE⊥BD.故選A.答案A2.如圖所示,四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若點E,F分別為PB,AD中點,則直線EF與平面PBC的位置關系是.

解析以D為原點,DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略),則E12,12,12,F12,0,0,∴EF=0,12,12,平面PBC的一個法向量n=(0,1,1),∵EF=12n,∴EF∥n,∴答案垂直3.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,點E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,則AE=.

解析建立如圖所示的坐標系,則B1(0,0,3a),D2a2,2a2,設點E的坐標為(2a,0,z),則CE=(2a,2a,z),B1E=(2a,0,z3a),B1D=2a2,2a故要使CE⊥平面B1DE,則需CE⊥B1E,即CE·B1E=0,故2a2+z23答案a或2a4.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱BC的中點,試在棱CC1上求一點P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,P(0,1,a),則A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0,C1(0,1,1),A1B1=(0,1,0),A1設平面A1B1P的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),則n令z1=1,得x1=a1,∴n1=(a1,0,1).設平面C1DE的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),則n令y2=1,得x2=2,z2=1,∴n2=(2,1,1).∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴2(a1)+0+(1)=0,∴a=12故P0,1,12.即P5.如圖,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1.求證:(1)BC1⊥AB1;(2)BC1∥平面CA1D.證明如圖,以C1點為原點,C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設AC=BC=BB1=2,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)因為BC1=(0,2,2),AB1所以BC1·AB1=因此BC1⊥AB1,故(2)由于CA1=(2,0,2),CD若設BC1=xCA則得2x+即BC1=CA12CD,所以BC1,CA6.如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD(1)求證:CD⊥平面PAC;(2)側(cè)棱PA上是否存在點E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出點E的位置并證明,若不存在,請說明理由.解因為∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,所以AB,AD,AP兩兩垂直.分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設AD=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)證明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(1,1,0),可得AP·CD=0,AC·CD=0,所以AP⊥CD,又因為AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(