第2章邏輯函數及其簡化

2.1邏輯代數基礎2.2邏輯函數的簡化

退出第二章邏輯函數及其簡化2.1邏輯代數基礎2.1.1邏輯代數的基本概念2.1.2邏輯代數的公式、定理和規(guī)則2.1.3邏輯函數的表達式

退出.2.1.4邏輯函數的表示方法及互換.事物往往存在兩種對立的狀態(tài)，在邏輯代數中可以抽象地表示為0和1，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。

邏輯代數是按一定的邏輯關系進行運算的代數，是分析和設計數字電路的數學工具。在邏輯代數，只有０和１兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運算，還有與或、與非、與或非、異或幾種導出邏輯運算。

邏輯代數中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0和1稱為邏輯常量，并不表示數量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。

邏輯是指事物的因果關系，或者說條件和結果的關系，這些因果關系可以用邏輯運算來表示，也就是用邏輯代數來描述。2.1.1基本邏輯運算1、與邏輯（與運算）

與邏輯的定義：僅當決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達式為：開關A，B串聯(lián)控制燈泡YＹ＝ＡＢＣ…兩個開關必須同時接通，燈才亮。邏輯表達式為：Ｙ＝ＡＢA、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈不亮。A接通、B斷開，燈不亮。A、B都接通，燈亮。這種把所有可能的條件組合及其對應結果一一列出來的表格叫做真值表。將開關接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關系：功能表實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號：Ｙ＝ＡＢ真值表邏輯符號2、或邏輯（或運算）

或邏輯的定義：當決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，…)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達式為：

開關A，B并聯(lián)控制燈泡YＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…兩個開關只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達式為：Ｙ＝Ａ+ＢA、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈亮。A接通、B斷開，燈亮。A、B都接通，燈亮。實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：Y=A+B真值表功能表邏輯符號3、非邏輯（非運算）

非邏輯指的是邏輯的否定。當決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達式為：Ｙ＝Ａ開關A控制燈泡Y實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號：Y=AA斷開，燈亮。A接通，燈滅。真值表功能表邏輯符號4、常用的邏輯運算（1）與非運算：邏輯表達式為：（2）或非運算：邏輯表達式為：（3）異或運算：邏輯表達式為：（4）與或非運算：邏輯表達式為：5、邏輯函數及其相等概念（1）邏輯表達式：由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構成的式子。在邏輯表達式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運算符的叫做原變量，有非運算符的叫做反變量。

（2）邏輯函數：如果對應于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數。記為

注意：與普通代數不同的是，在邏輯代數中，不管是變量還是函數，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數量的含義。（3）邏輯函數相等的概念：設有兩個邏輯函數

它們的變量都是A、B、C、…，如果對應于變量A、B、C、…的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是相等的，記為Y1=Y2。若兩個邏輯函數相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個函數的真值表完全相同，則這兩個函數一定相等。證明等式：2.1.2邏輯代數的公式、定理和規(guī)則1、邏輯代數的公式和定理（1）常量之間的關系（2）基本公式（3）基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)證明：（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補率A+A=10-1率A·1=1互補率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1

例如，已知等式，用函數Y=AC代替等式中的A，根據代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：2、邏輯代數運算的基本規(guī)則

（1）代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。

（2）反演規(guī)則：如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數Y的反函數Y（或稱補函數）。例如：

（3）對偶規(guī)則：如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數表達式Y＇，Y＇稱為函Y的對偶函數。例如：

對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數相等，則它們的對偶函數也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數目減少一半。例如：

注意：在運用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運算的優(yōu)先順序進行：先算括號，接著與運算，然后或運算，最后非運算，否則容易出錯。2.1.7邏輯函數的表達式

一個邏輯函數的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非-與非表達式、或非-或非表達式、與或非表達式5種表示形式。

一種形式的函數表達式相應于一種邏輯電路。盡管一個邏輯函數表達式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。1、邏輯函數的最小項及其性質

（1）最小項：如果一個函數的某個乘積項包含了函數的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數的一個標準積項，通常稱為最小項。

3個變量A、B、C可組成8個最小項：

（2）最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數，則與這個二進制數相對應的十進制數，就是這個最小項的下標i。

3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：（3）最小項的性質：①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項的和必為1。ABCABC②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。2、邏輯函數的最小項表達式

任何一個邏輯函數都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標準與或表達式，也稱為最小項表達式。對于不是最小項表達式的與或表達式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來配項展開成最小項表達式。如果列出了函數的真值表，則只要將函數值為1的那些最小項相加，便是函數的最小項表達式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm1＝ABC

將真值表中函數值為0的那些最小項相加，便可得到反函數的最小項表達式。CBACBACBACBAmmmmmY+++==+++=?)5,3,2,1(5321本節(jié)小結

邏輯代數是分析和設計數字電路的重要工具。利用邏輯代數，可以把實際邏輯問題抽象為邏輯函數來描述，并且可以用邏輯運算的方法，解決邏輯電路的分析和設計問題。與、或、非是3種基本邏輯關系，也是3種基本邏輯運算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運算復合而成的4種常用邏輯運算。邏輯代數的公式和定理是推演、變換及化簡邏輯函數的依據。邏輯函數的表示方法及互換1、真值表

真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對應的函數值所構成的表格。

真值表列寫方法：每一個變量均有0、1兩種取值，n個變量共有2n種不同的取值，將這2n種不同的取值按順序（一般按二進制遞增規(guī)律）排列起來，同時在相應位置上填入函數的值，便可得到邏輯函數的真值表。

例如：當A=B=1、或則B=C=1時，函數Y=1；否則Y=0。一、邏輯函數的表示方法2、邏輯表達式

邏輯表達式：是由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構成的式子。函數的標準與或表達式的列寫方法：將函數的真值表中那些使函數值為1的最小項相加，便得到函數的標準與或表達式。3、卡諾圖

卡諾圖：是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構成的圖形。

邏輯函數卡諾圖的填寫方法：在那些使函數值為1的變量取值組合所對應的小方格內填入1，其余的方格內填入0，便得到該函數的卡諾圖。4、邏輯圖

邏輯圖：是由表示邏輯運算的邏輯符號所構成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＢＣ５、波形圖

波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對應的輸出函數值的高、低電平所構成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＣＹ００００００１００１０００１１１１０００１０１０１１０１１１１１００００Ｙ二、邏輯函數表示方法之間的轉換1、由真值表到邏輯圖的轉換真值表邏輯表達式或卡諾圖11最簡與或表達式化簡2

或2&畫邏輯圖3&&≥1ABCA最簡與或表達式&CBBAACABACYACBBAACY&&&ABCABAC若用與非門實現(xiàn)，將最簡與或表達式變換乘最簡與非-與非表達式32、由邏輯圖到真值表的轉換邏輯圖邏輯表達式11最簡與或表達式化簡2&A≥1CBBAACY≥1≥12從輸入到輸出逐級寫出最簡與或表達式3真值表3本節(jié)小結

①邏輯函數可用真值表、邏輯表達式、卡諾圖、邏輯圖和波形圖5種方式表示，它們各具特點，但本質相通，可以互相轉換。②對于一個具體的邏輯函數，究竟采用哪種表示方式應視實際需要而定。③在使用時應充分利用每一種表示方式的優(yōu)點。由于由真值表到邏輯圖和由邏輯圖到真值表的轉換，直接涉及到數字電路的分析和設計問題，因此顯得更為重要。2.2邏輯函數的簡化2.2.1邏輯函數的最簡表達式2.2.2邏輯函數的公式化簡法2.2.3邏輯函數的圖形化簡法2.2.4含任意項的邏輯函數的化簡退出

邏輯函數化簡的意義：邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)它的電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠。邏輯函數的最簡表達式最簡與或表達式

乘積項最少、并且每個乘積項中的變量也最少的與或表達式。2.2.1邏輯函數的公式化簡法1、并項法

邏輯函數的公式化簡法就是運用邏輯代數的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。

若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。運用摩根定律運用分配律運用分配律2、吸收法

如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。運用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。（2）3、消去法利用公式Ａ＋AB＝Ａ＋Ｂ，消去多余的變量。

如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。4、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。例：化簡函數解：①先求出Y的對偶函數Y＇，并對其進行化簡。

②求Y＇的對偶函數，便得Ｙ的最簡或與表達式。2.2.2邏輯函數的圖形化簡法1、卡諾圖的構成

邏輯函數的圖形化簡法是將邏輯函數用卡諾圖來表示，利用卡諾圖來化簡邏輯函數。

將邏輯函數真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構成的圖形就是卡諾圖。

卡諾圖的特點是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項）。2、邏輯函數在卡諾圖中的表示

（1）邏輯函數是以真值表或者以最小項表達式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數的最小項相對應的方格內填入1，其余的方格內填入0。m1m3m4m6m7m11m14m15

（2）邏輯函數以一般的邏輯表達式給出：先將函數變換為與或表達式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應的方格內填入1，其余的方格內填入0。變換為與或表達式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子3、卡諾圖的性質

（1）任何兩個（21個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。（2）任何4個（22個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。BＤＢＤＢＤＢＤ

（3）任何8個（23個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。2iＢ

小結：相鄰最小項的數目必須為個才能合并為一項，并消去個變量。包含的最小項數目越多，即由這些最小項所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數的基本原理。Ｄii用卡諾圖簡化邏輯函數把為1的小方格按合并最小項的規(guī)則，分組化成若干個包圍圈，畫圈的原則：1）圈內相鄰最小項為1的個數必須為2個；2）每個圈中為1的最小項可以多次被圈，每個圈內至少有一個未被圈過的為1的最小項；3)卡諾圖中為1的最小項必須圈完；為保證與項最少，所畫的圈數必須最少，每個圈也盡可能大。i4、圖形法化簡的基本步驟邏輯表達式或真值表卡諾圖11合并最小項①圈越大越好，但每個圈中標１的方格數目必須為

個。②同一個方格可同時畫在幾個圈內，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個標１的方格。最簡與或表達式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項2233將代表每個圈的乘積項相加兩點說明：

①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達式各不相同，哪個是最簡的，要經過比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡

②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達式都是最簡形式。即一個函數的最簡與或表達式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ

含任意項的邏輯函數的化簡任意項：函數可以任意取值（可以為0，也可以為1）或不會出現(xiàn)的變量取值所對應的最小項稱為任意項，也叫做約束項或無關項。1、含任意項的邏輯函數