第2章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化

2.1邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.2邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化

退出第二章邏輯函數(shù)及其簡(jiǎn)化2.1邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1.1邏輯代數(shù)的基本概念2.1.2邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則2.1.3邏輯函數(shù)的表達(dá)式

退出.2.1.4邏輯函數(shù)的表示方法及互換.事物往往存在兩種對(duì)立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為0和1，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。

邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)，是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)，只有０和１兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算，還有與或、與非、與或非、異或幾種導(dǎo)出邏輯運(yùn)算。

邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫(xiě)字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0和1稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。

邏輯是指事物的因果關(guān)系，或者說(shuō)條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯運(yùn)算來(lái)表示，也就是用邏輯代數(shù)來(lái)描述。2.1.1基本邏輯運(yùn)算1、與邏輯（與運(yùn)算）

與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時(shí)，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：開(kāi)關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡YＹ＝ＡＢＣ…兩個(gè)開(kāi)關(guān)必須同時(shí)接通，燈才亮。邏輯表達(dá)式為：Ｙ＝ＡＢA、B都斷開(kāi)，燈不亮。A斷開(kāi)、B接通，燈不亮。A接通、B斷開(kāi)，燈不亮。A、B都接通，燈亮。這種把所有可能的條件組合及其對(duì)應(yīng)結(jié)果一一列出來(lái)的表格叫做真值表。將開(kāi)關(guān)接通記作1，斷開(kāi)記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚?lái)描述與邏輯關(guān)系：功能表實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門(mén)。與門(mén)的邏輯符號(hào)：Ｙ＝ＡＢ真值表邏輯符號(hào)2、或邏輯（或運(yùn)算）

或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，…)中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：

開(kāi)關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡YＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…兩個(gè)開(kāi)關(guān)只要有一個(gè)接通，燈就會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：Ｙ＝Ａ+ＢA、B都斷開(kāi)，燈不亮。A斷開(kāi)、B接通，燈亮。A接通、B斷開(kāi)，燈亮。A、B都接通，燈亮。實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門(mén)。或門(mén)的邏輯符號(hào)：Y=A+B真值表功能表邏輯符號(hào)3、非邏輯（非運(yùn)算）

非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時(shí)，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：Ｙ＝Ａ開(kāi)關(guān)A控制燈泡Y實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門(mén)。非門(mén)的邏輯符號(hào)：Y=AA斷開(kāi)，燈亮。A接通，燈滅。真值表功能表邏輯符號(hào)4、常用的邏輯運(yùn)算（1）與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：（2）或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：（3）異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：（4）與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：5、邏輯函數(shù)及其相等概念（1）邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來(lái)所構(gòu)成的式子。在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒(méi)有非運(yùn)算符的叫做原變量，有非運(yùn)算符的叫做反變量。

（2）邏輯函數(shù)：如果對(duì)應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。記為

注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒(méi)有數(shù)量的含義。（3）邏輯函數(shù)相等的概念：設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)

它們的變量都是A、B、C、…，如果對(duì)應(yīng)于變量A、B、C、…的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是相等的，記為Y1=Y2。若兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個(gè)函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個(gè)函數(shù)一定相等。證明等式：2.1.2邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則1、邏輯代數(shù)的公式和定理（1）常量之間的關(guān)系（2）基本公式（3）基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)證明：（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率A+A=10-1率A·1=1互補(bǔ)率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1

例如，已知等式，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：2、邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則

（1）代入規(guī)則：任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。

（2）反演規(guī)則：如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。例如：

（3）對(duì)偶規(guī)則：如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)＇，Y＇稱為函Y的對(duì)偶函數(shù)。例如：

對(duì)偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)也相等。利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：

注意：在運(yùn)用反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則時(shí)，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號(hào)，接著與運(yùn)算，然后或運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯(cuò)。2.1.7邏輯函數(shù)的表達(dá)式

一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。

一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。1、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì)

（1）最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。

3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：

（2）最小項(xiàng)的表示方法：通常用符號(hào)mi來(lái)表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。

3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：（3）最小項(xiàng)的性質(zhì)：①任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項(xiàng)的和必為1。ABCABC②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。2、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來(lái)配項(xiàng)展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm1＝ABC

將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加，便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。CBACBACBACBAmmmmmY+++==+++=?)5,3,2,1(5321本節(jié)小結(jié)

邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實(shí)際邏輯問(wèn)題抽象為邏輯函數(shù)來(lái)描述，并且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。與、或、非是3種基本邏輯關(guān)系，也是3種基本邏輯運(yùn)算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運(yùn)算復(fù)合而成的4種常用邏輯運(yùn)算。邏輯代數(shù)的公式和定理是推演、變換及化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù)。邏輯函數(shù)的表示方法及互換1、真值表

真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。

真值表列寫(xiě)方法：每一個(gè)變量均有0、1兩種取值，n個(gè)變量共有2n種不同的取值，將這2n種不同的取值按順序（一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律）排列起來(lái)，同時(shí)在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。

例如：當(dāng)A=B=1、或則B=C=1時(shí)，函數(shù)Y=1；否則Y=0。一、邏輯函數(shù)的表示方法2、邏輯表達(dá)式

邏輯表達(dá)式：是由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來(lái)所構(gòu)成的式子。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式的列寫(xiě)方法：將函數(shù)的真值表中那些使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)相加，便得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。3、卡諾圖

卡諾圖：是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形。

邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫(xiě)方法：在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0，便得到該函數(shù)的卡諾圖。4、邏輯圖

邏輯圖：是由表示邏輯運(yùn)算的邏輯符號(hào)所構(gòu)成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＢＣ５、波形圖

波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＣＹ００００００１００１０００１１１１０００１０１０１１０１１１１１００００Ｙ二、邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換1、由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換真值表邏輯表達(dá)式或卡諾圖11最簡(jiǎn)與或表達(dá)式化簡(jiǎn)2

或2&畫(huà)邏輯圖3&&≥1ABCA最簡(jiǎn)與或表達(dá)式&CBBAACABACYACBBAACY&&&ABCABAC若用與非門(mén)實(shí)現(xiàn)，將最簡(jiǎn)與或表達(dá)式變換乘最簡(jiǎn)與非-與非表達(dá)式32、由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換邏輯圖邏輯表達(dá)式11最簡(jiǎn)與或表達(dá)式化簡(jiǎn)2&A≥1CBBAACY≥1≥12從輸入到輸出逐級(jí)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式3真值表3本節(jié)小結(jié)

①邏輯函數(shù)可用真值表、邏輯表達(dá)式、卡諾圖、邏輯圖和波形圖5種方式表示，它們各具特點(diǎn)，但本質(zhì)相通，可以互相轉(zhuǎn)換。②對(duì)于一個(gè)具體的邏輯函數(shù)，究竟采用哪種表示方式應(yīng)視實(shí)際需要而定。③在使用時(shí)應(yīng)充分利用每一種表示方式的優(yōu)點(diǎn)。由于由真值表到邏輯圖和由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換，直接涉及到數(shù)字電路的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題，因此顯得更為重要。2.2邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化2.2.1邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式2.2.2邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法2.2.3邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法2.2.4含任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)退出

邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義：邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)它的電路越簡(jiǎn)單，電路工作越穩(wěn)定可靠。邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量也最少的與或表達(dá)式。2.2.1邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法1、并項(xiàng)法

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。

若兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含同一個(gè)因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時(shí)，則這兩項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去互為反變量的因子。運(yùn)用摩根定律運(yùn)用分配律運(yùn)用分配律2、吸收法

如果乘積項(xiàng)是另外一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這另外一個(gè)乘積項(xiàng)是多余的。運(yùn)用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項(xiàng)。利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項(xiàng)ＢＣ消去。（2）3、消去法利用公式Ａ＋AB＝Ａ＋Ｂ，消去多余的變量。

如果一個(gè)乘積項(xiàng)的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這個(gè)因子是多余的。4、配項(xiàng)法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。例：化簡(jiǎn)函數(shù)解：①先求出Y的對(duì)偶函數(shù)Y＇，并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)。

②求Y＇的對(duì)偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。2.2.2邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法1、卡諾圖的構(gòu)成

邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來(lái)表示，利用卡諾圖來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。

將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。

卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)）。2、邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示

（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項(xiàng)表達(dá)式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。m1m3m4m6m7m11m14m15

（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出：先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。變換為與或表達(dá)式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子3、卡諾圖的性質(zhì)

（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。（2）任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。BＤＢＤＢＤＢＤ

（3）任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。2iＢ

小結(jié)：相鄰最小項(xiàng)的數(shù)目必須為個(gè)才能合并為一項(xiàng)，并消去個(gè)變量。包含的最小項(xiàng)數(shù)目越多，即由這些最小項(xiàng)所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡(jiǎn)單。這就是利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理。Ｄii用卡諾圖簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)把為1的小方格按合并最小項(xiàng)的規(guī)則，分組化成若干個(gè)包圍圈，畫(huà)圈的原則：1）圈內(nèi)相鄰最小項(xiàng)為1的個(gè)數(shù)必須為2個(gè)；2）每個(gè)圈中為1的最小項(xiàng)可以多次被圈，每個(gè)圈內(nèi)至少有一個(gè)未被圈過(guò)的為1的最小項(xiàng)；3)卡諾圖中為1的最小項(xiàng)必須圈完；為保證與項(xiàng)最少，所畫(huà)的圈數(shù)必須最少，每個(gè)圈也盡可能大。i4、圖形法化簡(jiǎn)的基本步驟邏輯表達(dá)式或真值表卡諾圖11合并最小項(xiàng)①圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為

個(gè)。②同一個(gè)方格可同時(shí)畫(huà)在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)１的方格。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項(xiàng)2233將代表每個(gè)圈的乘積項(xiàng)相加兩點(diǎn)說(shuō)明：

①在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡(jiǎn)的，要經(jīng)過(guò)比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡(jiǎn)ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡(jiǎn)

②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡(jiǎn)形式。即一個(gè)函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ

含任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)任意項(xiàng)：函數(shù)可以任意取值（可以為0，也可以為1）或不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)，也叫做約束項(xiàng)或無(wú)關(guān)項(xiàng)。1、含任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)