2022中考數(shù)學復習：開放探究題

2022中考數(shù)學復習：開放探究題

1.探索并解決問題

(1)【證明體驗】如圖1,為A/8C的角平分線，□Z￡)C=60。，點E在線段N8上，

AE=AC,求證：DE平分口/D8；

(2)【思考探究】如圖2,在(1)的條件下，F(xiàn)為Z8上一點，連接FC交于點

G.若FB=FC,求證：DE2=BDDG；

(3)【拓展延伸】如圖3,在四邊形488中，對角線ZC平分BDA,BCA=

2QDCA,點E在4C上，OEDC=QABC,若8c=5,CD=2石，AD=2AE,求NC的

長.

2.如圖，射線和射線C8相交于點8,ZABC=?(0°<?<180°),且AB=C8,點

。是射線C8上的動點(點。不與點。和點8重合)，作射線40,并在射線上取

一點、E,使ZAEC=a,連接CE,BE.

(1)如圖1,當點。在線段C8上，。=60。時，在4。上截取AF=CE,連接8尸，證

明：AABF^ACBE,請求NAE8的度數(shù)，探求線段4￡,BE,CE之間的數(shù)量關系.

(2)如圖2,當點。在線段C8上，a=90。時，請寫出4E8的度數(shù)，探求線段/E,

BE,"之間的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）如圖3,當點。在線段CB上，。=120。時，請直接寫出線段/E,BE,CE之間的數(shù)

量關系.

3.（1）觀察與發(fā)現(xiàn)

小明將三角形紙片"C（A8>AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在A8邊上，折痕

為AO,展開紙片（如圖口）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點。重合，折痕為

EF,AZ）與E尸相交于點。，展平紙片后得到產（如圖口）.小明認為AAEF是等

腰三角形，你同意嗎？請說明理由.

（2）實踐與運用

將長方形紙片A8C。沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為8E

（如圖U）;再沿過點￡的直線折疊，使點落。在8E上的點以處，折痕為EG（如圖

□）；再展平紙片（如圖口）.求圖□中Na的大小.

4.在平面直角坐標系中，點/在y軸正半軸上，點8在x軸負半軸上，8P平分

QABO.

（1）如圖1,點T在比1延長線上，若NP平分口00,求QP的度數(shù)；

（2）如圖2,點C為x軸正半軸上一點，□/8C=2EUC5,且P在ZC的垂直平分線

上.

□求證：APHBC；

□。是上一點，E是x軸正半軸上一點，連接4E交。P于".當口?！薄芭c口/8E滿

足什么數(shù)量關系時，。尸=”￡.給出結論并說明理由.

5.如圖1：在四邊形A8CD中，AB=AD,口8/。=120。，JB=ADC^90°,E、F分

別是8C,CZ)上的點，且□以尸=60。，探究圖中線段BE,EF,ED之間的數(shù)量關系.

(1)小王同學探究此問題的方法是：延長尸。到點G,使DG=BE,連接/G,先證

明□/BEDWOG,再證明AGF,即可得出BE,EF,尸。之間的數(shù)量關系，他

的結論應是.

像上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾

何模型稱為半角模型.

拓展

(2)如圖2,若在四邊形/BCD中，AB=AD,□￡+□7)=180°,E、F分別是8C,CD

上的點，且□瓦4尸口夕/。，則BE,EF,ED之間的數(shù)量關系是.請證明你

的結論.

實際應用

(3)如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(。處)北偏西30。的/處，艦

艇乙在指揮中心南偏東70。的B處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令

后，艦艇甲向正東方向以60海里〃J、時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80

海里小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,尸處，

且兩艦艇之間的夾角為70。，試求此時兩艦艇之間的距離是海里（直接寫出答

案）.

6.（1）認識模型：

如圖1,等腰直角三角形A8C中，ZACB=9O°,CB=CA,直線功經過點C,過A

作A￡>_LE￡>于￡>,過8作5E_LE￡）于E.若。C=2.貝|JB￡=.

（2）應用模型：

□已知直線y=-2x+4與y軸交于A點，與X軸交于B點，過點B作直線BC垂直A8于

B,且A3=8C,求點C的坐標；

□如圖3,矩形A8CO,。為坐標原點，B的坐標為（5,4）,A,C分別在坐標軸

上，P是線段BC上動點，已知點。在第一象限，且是直線y=2x-3上的一點.若

△4QP是以。為直角頂點的等腰直角三角形，請求出所有符合條件的點D的坐標.

如圖1,口力CB和口。CE均為等邊三角形，當口。?！晷D至點4D,E在同一直線

上,連接BE.則:

□□4E8的度數(shù)為°；

口線段N。、5E之間的數(shù)量關系是.

(2)拓展研究：

如圖2,0/CB和nOCE均為等腰三角形，且□/CB=n￡)CE=90。，點A,D、E在同

一直線上，若4E=30,DE=14,求的長度.

(3)探究發(fā)現(xiàn)：

圖1中的口/喜和UDCE,在口。CE旋轉過程中，當點4D,￡不在同一直線上時，

設直線工。與8E相交于點0,試在備用圖中探索口2。￡的度數(shù)，直接寫出結果，不必

說明理由.

8.如圖，在AA3C中，AB=AC,ZBAC=9Q°,

圖1圖3

(1)如圖1,3。平分48c交AC于點。，尸為BC上一點，連接四交80于點E.

(i)若AB=BF,求證：8。垂直平分AF；

(ii)若AF_LM,求證：AD=CF.

(2)如圖2,80平分ZABC交AC于點O,CEA.BD,垂足后在。。的延長線上，試

判斷線段CE和8。的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)如圖3,尸為BC上一點，/EFcJ/B,CEVEF,垂足為E,EF與AC交

2

于點。，寫出線段CE和尸。的數(shù)量關系.(不要求寫出過程)

9.已知□ACD=90。，AC=DC,MN是過點A的直線，過點D作DBDMN于B,連接

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖c,過點C作CEDCB,與MN交于點E,則容易發(fā)現(xiàn)BD與EA

之間的數(shù)量關系為,BD,AB,CB之間的數(shù)量關系為；

(2)拓展探究：當MN繞點A旋轉到如圖□的位置時，試猜想線段BD,AB,CBN

間的數(shù)量關系，并證明.

(3)解決問題：當MN繞點A旋轉到如圖「的位置時(點C,D在直線MN的兩

側)，若此時口8?D=30。，BD=2,則CB=

10.如圖，在A/IBC中，AB=AC,AD，BC于點D.點E為AD上一點，點F為BE

延長線上一點，且AF=AC.

(1)如圖1,若ZFBC=/BAC=30。.

□判斷ABAF的形狀，并證明；

□若AE=(G+1)BE,貝1］其=_____.(直接寫出結果)

\'DE

(2)如圖2,若ZFBC=45。，作AG_LBF于G,求證：EF=BE+2AG.

BDCBDC

圖1圖2

11.如圖1,一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與y軸交于點A,與X軸交于點8,過點8作

線段3CLAB且8c=A8,直線AC交x軸于點￡).

(1)點A的坐標為，點B的坐標為;

(2)直接寫出點C的坐標,并求出直線AC的函數(shù)關系式；

(3)若點尸是圖1中直線AC上的一點，連接OP,得到圖2.當點P在第二象限，且到

x軸，曠軸的距離相等時，求出AAOP的面積；

(4)若點。是圖1中坐標平面內不同于點8、點C的一點，當以點C,D,Q為頂點

的三角形與△38全等時，直接寫出點。的坐標.

12.已知如圖，在等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,H是線段BC的中點，F(xiàn)

是射線A”上一點.

(1)如圖1,當F在線段A"上時，求證：ZABF=ZACF.

(2)如圖2,當F在A4的延長線上時，E是A3上一點，連接EF,EC,若

BF=EF,求線段AE,A8,CF之間的數(shù)量關系.

(3)在(2)的條件下，點G在AC上，連接BG,若

ZECG=2ZGBC,AE=10,AG=8,求CF的長.

13.如圖1所示，D,E,產分別是AABC的三邊AB,BC和AC上的點，若

Z1=Z2,N3=N4,N5=N6,則稱△。所為AABC的反射三角形.

(1)如圖2所示，若AMC是等邊三角形，猜想其反射三角形的形狀，并畫出圖形.

(2)如圖3所示，若尸是AABC的反射三角形，AB=AC,NA=50。，求ADEF

各個角的度數(shù).

(3)利用圖1探究:

04ABe的三個內角與其反射三角形DEF的對應角(如ZDEF與ZA)之間的數(shù)量關

系.

□在直角三角形和鈍角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，說出其反射三角

形的形狀；如果不存在，請說明理由.

14.正方形ABC。和等腰'共頂點。，ZDEF=90°,DE=EF,將△￡史尸繞

點。逆時針旋轉一周.

(1)如圖1,當點尸與點C重合時，若AO=2,求AE的長；

(2)如圖2,“為所中點，連接40、ME,探究A"、ME的關系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)條件下，連接。M并延長交5C于點0,若A￡>=2￡>E=2,在旋

轉過程中，C。的最小值為

15.問題：如圖1,在必AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D為BC邊上一點（不

與點B.C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90。得到AE,連接EC.

(1)求證：△A3。烏△ACE；

(2)探索：如圖2,在與及zMOE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,

AD=AE,將史繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段4加、BD、

C》之間滿足的數(shù)量關系，并證明你的結論;

(3)應用：如圖3,在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若

BD=6,CD=2,求AD的長.

16.我們定義：如圖1,在AABC中，把A8繞點A順時針旋轉研0°＜。＜180。）得到

A*,把AC繞點A逆時針旋轉夕得到AC',連接8’把.當。+尸=180。時，我們稱

VA'B-C是AABC的“旋補三角形"，VA'B'C邊BC'上的中線叫做AABC的“旋補中

線”，點A叫做“旋補中心”.

特例感知：（1）在圖2,圖3中，VATTC是AABC的“旋補三角形"，AD是AABC的

“旋補中線

:如圖2,當AABC為等邊三角形時，AD與8C的數(shù)量關系為AD=BC；

如圖3,當N8AC=90°,BC=8時，則AD長為.

猜想論證：（2）在圖1中，當AABC為任意三角形時，猜想AD與8c的數(shù)量關系，并

給予證明.

17.綜合與實踐

將矩形ABC。和RtZXCEF按如圖1的方式放置，已知點。在CP上（CF>2CD）,

ZFCE=90°,連接8F,DE.

（1）如圖1,當45=8,CE=CF時，線段班■與OE之間的數(shù)量關系是

直線BF與直線OE之間的位置關系是

（2）在（1）條件下中，將矩形A8CD繞點C旋轉到如圖2的位置，試判斷（1）中結

論是否仍然成立，并說明理由;

探究發(fā)現(xiàn)

（3）如圖3,當CF=2CE,C8=2C。時，試判斷線段8尸與OE之間的數(shù)量關系和直

線M與直線￡>￡之間的位置關系，并說明理由;

知識應用

（4）如圖4,在（3）的條件下，連接8E,FD,若CE=2CD=2,請直接寫出

3爐+電>2的值.

18.【感知】如圖口，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重

合），ZA=ZB=ZDPC=90°.易證：ADAP□APBC.

【探究】如圖門，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），

NA=ZB=ZDPC.

（1）求證：ADAPJAPBC；

（2）若PD=4,PC=8,BC=6,求AP的長.

【應用】如圖口，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,點P在邊AB上（點P不與點

A、B