高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 課時達標(biāo)檢測（六）函數(shù)的單調(diào)性與最值-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時達標(biāo)檢測(六）函數(shù)的單調(diào)性與最值[練基礎(chǔ)小題——強化運算能力]1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的序號是________．①y＝ln(x＋2)；②y＝－eq\r(x＋1)；③y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；④y＝x＋eq\f(1,x).解析：函數(shù)y＝ln(x＋2)的增區(qū)間為(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函數(shù)；y＝－eq\r(x＋1)與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上是減函數(shù)；y＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．答案：①2．(2017·浙江高考)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－a))＋a在區(qū)間[1,4]上的最大值是5，則a的取值范圍是________．解析：∵x∈[1,4]，∴x＋eq\f(4,x)∈[4,5]，①當(dāng)a≤eq\f(9,2)時，f(x)max＝|5－a|＋a＝5－a＋a＝5，符合題意；②當(dāng)a＞eq\f(9,2)時，f(x)max＝|4－a|＋a＝2a－4＝5，解得a＝eq\f(9,2)(矛盾)，故a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))3．函數(shù)y＝|x|(1－x)的單調(diào)增區(qū)間為________．解析：y＝|x|(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，x≥0，,－x1－x，x＜0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(1,4)，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－\f(1,4)，x＜0.))畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示．由圖易知函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))4．(2018·揚州中學(xué)單元檢測)對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a＞b.))函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．解析：依題意，h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，0＜x≤2，,－x＋3，x＞2.))當(dāng)0＜x≤2時，h(x)＝log2x是增函數(shù)，當(dāng)x＞2時，h(x)＝3－x是減函數(shù)，且log22＝1＝－2＋3，則h(x)max＝h(2)＝1.答案：15．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x＜1，,lnx，x≥1))的值域為R，那么a的取值范圍是________．解析：要使函數(shù)f(x)的值域為R，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a＞0，,ln1≤1－2a＋3a，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜\f(1,2)，,a≥－1，))∴－1≤a＜eq\f(1,2)，即a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))[練?？碱}點——檢驗高考能力]一、填空題1．給定函數(shù)：①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號是________．解析：①y＝x在(0,1)上遞增；②∵t＝x＋1在(0,1)上遞增，且0＜eq\f(1,2)＜1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上遞減；③結(jié)合圖象(圖略)可知y＝|x－1|在(0,1)上遞減；④∵u＝x＋1在(0,1)上遞增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上遞增．故在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是②③.答案：②③2．定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，則f(－1)與f(3)的大小關(guān)系是________．解析：依題意得f(3)＝f(1)，且－1＜1＜2，于是由函數(shù)f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)得f(－1)＜f(1)＝f(3)．答案：f(－1)＜f(3)3．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2x2－3x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為________．解析：令u＝2x2－3x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2－eq\f(1,8).因為u＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2－eq\f(1,8)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在R上單調(diào)遞減．所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2x2－3x＋1在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))上單調(diào)遞增，即該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))4．(2018·宜興第一中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x＜2))是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：因為函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＜0，,2a－2≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1，))解得a≤eq\f(13,8).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))5．(2018·淮安模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx＋1，x＞0，))若f(2－x2)＞f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是________．解析：∵當(dāng)x＝0時，兩個表達式對應(yīng)的函數(shù)值都為0，∴函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線．∵當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)＝x3為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝ln(x＋1)也是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)．因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等價于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.答案：(－2,1)6．(2018·連云港海州中學(xué)模擬)若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝eq\f(a,x＋1)在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：∵f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是減函數(shù)，∴a≤1，又∵g(x)＝eq\f(a,x＋1)在[1,2]上是減函數(shù)，∴a＞0，∴0＜a≤1.答案：(0,1]7．已知函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，若f(a2－a)＞f(a＋3)，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＞0，,a＋3＞0，,a2－a＞a＋3，))解得－3＜a＜－1或a＞3.所以實數(shù)a的取值范圍為(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．(2018·湖南雅禮中學(xué)月考)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x＞2))(a＞0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)x≤2時，－x＋6≥4.當(dāng)x＞2時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋logax≥4，,a＞1，))∴a∈(1,2]．答案：(1,2]9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lgx2＋1，x＜1，))則f(x)的最小值是________．解析：當(dāng)x≥1時，x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(x·\f(2,x))－3＝2eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(2,x)，即x＝eq\r(2)時等號成立，此時f(x)min＝2eq\r(2)－3＜0；當(dāng)x＜1時，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此時f(x)min＝0.所以f(x)的最小值為2eq\r(2)－3.答案：2eq\r(2)－310．(2018·蘇州模擬)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x＞0，))不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：作出函數(shù)f(x)的圖象的草圖如圖所示，易知函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等價于x＋a＜2a－x，即x＜eq\f(a,2)在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜eq\f(a,2)，即a＜－2.答案：(－∞，－2)二、解答題11．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，試證明f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解：(1)證明：任設(shè)x1＜x2＜－2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增．(2)任設(shè)1＜x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(ax2－x1,x1－ax2－a).∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.綜上所述知a的取值范圍是(0,1]．12．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,a)(1－x)(a＞0)，且f(x)在[0,1]上的最小值為g(a)，求g(a)的最大值．解：f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))x＋eq\f(1,a)，當(dāng)a＞1時，a－eq\f(1,