高考數(shù)學(xué)數(shù)列訓(xùn)練題含答案5份

高考數(shù)學(xué)數(shù)列難題訓(xùn)練50題含答案

一、單選題

1.已知數(shù)列｛a九｝滿足Qi=1,(m-l)A/a7n_1-=0(m>2,meN*),且即%=

sin竽(nCN*),則數(shù)列的工的前18項和為()

A.-3B.-54C.-3V3D.-54A/3

2.已知數(shù)列｛的｝滿足：刈=2,即+i=怎+2斯)5CN*).記數(shù)列｛即｝的前n項和

為Sn,則()

A.12<S10<14B.14<S10<16C.16<S10<18D.18<

S10<20

3.定義函數(shù)F(x)=>黑:，若函數(shù)以乂)=x2-2x+1,g(x)=x2-

ax+b,且對任意的xER,都有F(x)=F(4-x)成立，函數(shù)y=F(x)的圖象與

y=m自左向右有四個交點A.B、C、。，則\BC\-m的范圍為()

A.(0,務(wù)B.(0,|)C.(0,1)D.(1,|)

4.已知數(shù)列｛%｝的前n項和Sn=3x2"-3,等比數(shù)列｛%｝滿足“=an-bn+1(n64*),

若對于任意的實數(shù)ae[-1,1],不等式bn<2-&m2-am-bD恒成立，則實數(shù)租的

取值范圍為()

A.(—8,一引1U1[],+8)B.(—00,—21)U(21,+8)

C.(—co,-3]U[3>+8)D.(—co,-3)U(3,+8)

5.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%),滿足(1)5(%)>0；(2)<2/(%)

(其中/'(X)是/(%)是導(dǎo)函數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù))，則圈的范圍為().

A.(看，1)B.J)C.(e,2e)D.(e,e3)

2

6.已知各項均不為0的等差數(shù)列｛a/滿足a3-%_+a『0,數(shù)列｛bj為等比數(shù)列，且

b7=a7,則bi?bi3=()

A.25B.16C.8D.4

7.己知｛冊｝為非常數(shù)數(shù)列且an*0,4=〃，an+1-an+sin(2an)+A(〃，4c

R,nEN*）,下列命題正確的是（）

A.對任意的4,〃，數(shù)列｛廝｝為單調(diào)遞增數(shù)列；

B.對任意的正數(shù)￡,存在X,林，n0（沏CN*）,當(dāng)n>ri。時，|an—1|<

￡;

c.存在a,林，使得數(shù)列的周期為2；

D.存在；I,n,使得\an+an+2-2an+1|>2.

8.已知a>0,b>0,且V3為3a與3b的等比中項，貝!!右之的最大值為（）

4a+9。

A]OJ「1r-v]

A-2425C-26U-27

9.已知函數(shù)/（x）=/+b式的圖象在點A（I,/（l））處的切線，與直線3x-y+2=0平行,

1

若數(shù)列｛品｝的前71項和為右,則S2021的值為（）

A2021R202002019n2018

2022202120202019

10.普林斯頓大學(xué)的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后

一項由前一項的外觀產(chǎn)生.以1為首項的“外觀數(shù)列”記作&,其中a為1,11,21,

1211,111221,即第一項為1,外觀上看是1個1,因此第二項為11；第二項外觀

上看是2個1,因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2,1個1,因此第四項為1211,...,

按照相同的規(guī)則可得教其它項，例如&為3,13,1113,3113,132113,…若At的

第n項記作an,Aj的第n項記作bn,其中i,je[2,9],若cn=|an-bn\,

則｛%｝的前n項和為（）

A.2n\i-j\B.n（i4-y）C.n\i-j\D.

二、填空題

11.已知數(shù)列｛即｝滿足的=3，?2=6,且即+2=an+1-an（n為正整數(shù)），則（2308=_

13.求值：Iog23*log57?log35?log74=

..111

14.已知數(shù)列｛an｝中，ai=2,a-a-1-2n=0(n>2,n^N).設(shè)bn=--F----F----

nnan+lan+2an+3

+...+白，若對任意的正整數(shù)n,當(dāng)me[-1,1]時，不等式t2-2mt+1>b”恒成立，

a2n6

則實數(shù)t的取值范圍是.

2

15.已知數(shù)列｛冊｝的前n項和Sn=n,neN*,則由=；%-+

^3-+…+a2017-02018=-

16.若數(shù)列｛冊｝的前71項和Sn=2"+1,則此數(shù)列的通項公式為

On=?

17.有一種病毒在人群中傳播，使人群成為三種類型：沒感染病毒但可能會感染病毒的

S型；感染病毒尚未康復(fù)的/型；感染病毒后康復(fù)的R型(所有康復(fù)者都對病毒免

疫).根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)：每隔一周，S型人群中有95%仍為S型，5%成為/型；/型

人群中有65%仍為/型，35%成為R型；R型人群都仍為R型.若人口數(shù)為A的

人群在病毒爆發(fā)前全部是S型，記病毒爆發(fā)n周后的S型人數(shù)為Sn,l型人數(shù)為,

則Sn=；In=.(用A和n表示，其中nCN*)

18.請舉出一個各項均為正數(shù)且公差不為0的等差數(shù)列｛(^｝,使得它的前n項和Sn滿足：

數(shù)列｛向｝也是等差數(shù)列，則即:.

2

19.已知函數(shù)f(x)=xcos等,數(shù)列｛an｝中，an=f(n)+f(n+1)(nGN*),則數(shù)列｛aQ

的前100項之和Sioo=.

20.某項測試有10道必答題，甲和乙參加該測試，用數(shù)列｛4｝和｛bn｝記錄他們的

成績.若第k題甲答對，則ak=k，若第k題甲答錯，貝Uak=-k；若第k題乙

答對，則航=2-1，若第k題乙答錯，則為=一2k-1.已知b1+b2+-+bw=

767>的/)1+a2b2+…+的0比0=9217,貝!]%+a2+…+ci|o=.

21.已知數(shù)列｛冊｝的首項處=3,且an+1-an=2n,n&N*,則數(shù)列｛冊｝的

通項公式an=.

22.用印表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3]=3,[1,2]=1,[一1.3]=—2.已

11

知數(shù)列｛&J滿足的=1，an+1=a^+an,則%7近+通了J+…+

1]=

a2020+1--------------------

23.已知數(shù)列｛即｝的各項均為正，S”為其前n項和，滿足Sn=2(^-2，數(shù)列｛g｝

為等差數(shù)列，且尻=2,叢0=10,則數(shù)列｛即+%｝的前n項和

Tn=.

c

24.已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=2an-2-+i,若不等式（-1）隊<4,對vneN*恒

?n+l

成立，則實數(shù)大的取值范圍.

25.已知等差數(shù)列｛冊｝的前n項和為Sn,i.S3=15,a7+a9=34,數(shù)列

｛丁一｝的前n項和為Tn,且對于任意的n€N*,Tn<^^,則實數(shù)t的取

unan+lt

值范圍為.

26.已知以區(qū)間（0,2）上的整數(shù)為分子，以2為分母的數(shù)組成集合4,其所有元素

2

的和為由；以區(qū)間（0,22）上的整數(shù)為分子，以2為分母組成不屬于集合Ai的數(shù)

組成集合A2,其所有元素的和為。2；……依此類推以區(qū)間（0,2"）上的整數(shù)為分子,

以2n為分母組成不屬于4，A2...4-1的數(shù)組成集合An，其所有元素的和為

斯，若數(shù)列｛斯｝前71項和為Sn,則$202?！猄2019=-

27.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué).分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)

雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方

程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,

線段AB的長度為a,在線段AB上取兩個點C,D,使得AC=DB=^AB,

以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD,得到圖2中的

圖形；對圖2中的最上方的線段EF作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，

我們就得到了以下一系列圖形：

記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為Sn,則

⑴53=；

（2）如果對VneN*,Sn<2019恒成立，那么線段AB的長度a的取值范圍

是.

28.已知。=（10,0,數(shù)列｛冊｝滿足。+i+成=2（即+1+1）（即-1）+1,neN*.若對

任意正實數(shù)入，總存在由G。和相鄰兩項四，ak+1,使得軟+1+4以=0成立，則實數(shù)t的

最小值為

29.已知函數(shù)y=asinx+cosx,x6[0,^],其最小值為a,則實數(shù)a的取值范

圍是___________

30.若不等式|七一x2|+ax?o在％的定義域內(nèi)恒成立，則a3的取值范圍

是.

三'解答題

31.已知｛a/是公差不為零的等差數(shù)列,ai=l,且小，a3,a9成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4,｝的通項；

(2)設(shè)數(shù)列｛a/的前n項和為Sn,令“=,，求數(shù)列｛、｝的前n項和Tn.

32.已知在遞增數(shù)列｛即｝中,4,為函數(shù)/(%)=/—11%+24的兩個零點，數(shù)列

｛an+1-a"是公差為2的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列國工的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)歹U0｝的前n項和為S”，證明：Sn<j.

an4

33.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列Sn｝的前n項和為無,滿足4Sn-l=a^+2an.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)求一--|---|-...-]----—

小。述2a2a3?nan+1-

34.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項和S=，=l,an+1=ASn+l(nGN*,A-1),且

%,2a243+3為等差數(shù)列｛bn｝的前三項.

(1)求數(shù)列｛"｝，｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛與勾｝的前n項和.

2

35.已知正項數(shù)列｛a“｝的前n項和為Sn,點(a”Sn)(nGN*)都在函數(shù)f(x)=^x+；%—學(xué)

的圖象上.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項公式；

(2)若bn=an?3n,求數(shù)列｛△｝的前n項和T2

36.已知數(shù)列｛冊｝滿足的=1,an+i=2an,數(shù)列｛g｝滿足/=3,b2=6,

且｛“一外；｝為等差數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛an｝和｛bn)的通項公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的前n項和7n.

37.已知三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，實數(shù)x,y分別為a與匕和匕與c的等差中項.證明:

(1)Q+c>2b；

⑵畀5=2.

38.設(shè)等差數(shù)列｛冊｝的前n項和為Sn,且S5=4s2,a2n=2an-l.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

b

(2)設(shè)n=2(a?-l)fln，求數(shù)列｛砥｝的前n項和Tn.

39.已知數(shù)列｛an｝滿足即+i=其，且的=2,數(shù)列｛既｝滿足bn+1-bn=

anbn,且阮=2,(nGW*).

(1)求證：數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，并求通項an；

⑵解關(guān)于n的不等式：2/<勾?

40.已知數(shù)列｛^｝為單調(diào)遞增數(shù)列，的=1，其前n項和為Sn,且滿足2Sn=欣-

2Sn_1+l(n>2/nG/V+).

(1)求數(shù)列｛a九｝的通項公式；

(2)若數(shù)列bn=—^—,其前n項和為g,若A,>得成立，求n的最小

una九+1"Lv

值.

41.在①Sn=fa”一3,其中Sn為數(shù)列｛即｝的前n項和;②為=1,即-0n+i=anan+1

這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.

問題：已知數(shù)列｛即｝滿足一.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)是否存在正整數(shù)m,使得am+am+i為數(shù)列中的項？若存在，求出m；若不

存在，說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

42.已知銳角AABC的外接圓半徑為1,內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,

AABC的面積為S且V3a2=4S+V3(c2-b2).

⑴求C；

(2)求如的取值范圍.

a

43.對于無窮數(shù)列｛an｝與｛bn｝，記A=｛x|x=a,nEN*｝,B=｛x\x=bn,

nGW*｝,若同時滿足條件：?｛an｝,｛bn｝均單調(diào)遞增；②408=0且4UB=

N：則稱｛an｝與｛bn｝是無窮互補數(shù)列.

(1)若斯=2〃-1,bn=4n-2,判斷｛%｝與｛bn｝是否為無窮互補數(shù)列，

并說明理由；

(2)若即=2n且｛an｝與｛bn｝是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列｛bn｝的前16項的和；

(3)若｛an｝與｛bn｝是無窮互補數(shù)列，｛an｝為等差數(shù)列且a16=36,求｛an｝

與｛bn｝得通項公式.

44.已知數(shù)列｛即｝的前n項和為S”，且滿足Sn=n2-4n,數(shù)列｛b“｝中，如=對任意

n

正整數(shù)n>2,bn+1+bn=(1).

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)是否存在實數(shù)N，使得數(shù)歹U｛3%bn+n｝是等比數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)H及公

比q的值，若不存在，請說明理由；

1

+<-

(3)求證：4工歷+勿+?8

45.已知Qi=1,對任意正整數(shù)m,九中，①1+nn=am+n；②%=1,

。2=2,an+1-an=an-an_1；(n>2,neA/*)；③設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項

和為Sn,sn=i^+n(ne/v*),從這三個條件中任選一個，補在下面問題中，并作

n

答：在數(shù)列中，▲,若bn=2an,求數(shù)列｛%｝的前n項和Tn.

46.已知二次函數(shù)/(久)=a/+bx+c(a,b,ceR)滿足：①對任意實數(shù)x,都有

/(x)>x:②當(dāng)xe(0,2)時，，有/(x)<J(x+I)2成立.

(1)求證：/(I)=1；

(2)若/(-I)=0,求函數(shù)/(x)的解析式；

(3)在(2)的條件下，若對任意的實數(shù)xe[0,+8),有/(%)-mx>^恒成

立，求實數(shù)機的取值范圍.

47.設(shè)⑶｝和｛bn｝是兩個等差數(shù)列,記Cn=max｛bi-anb2-a2n,bn-ann｝(n=l,2,

3,...),其中max｛xi,X2,…，Xs｝表示x】，X2,…，Xs這s個數(shù)中最大的數(shù).(13分)

(1)若an=n,bn=2n-1,求ci,C2,C3的值，并證明｛0｝是等差數(shù)列；

(2)證明：或者對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)n'n時，黑>M；或者存在正

整數(shù)m,使得Cm,Cm+”Cm+2,…是等差數(shù)列.

48.已知函數(shù)/(%)=|%—1|,g(x)=|x+3|—|x—1|.

6

5

4

3

2

1

-1

(1)在直角坐標(biāo)系中畫出y=/(%)和y=g(%)的圖象；

(2)若/(%)+a2g(%)恒成立,求a的取值范圍.

49.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,%=3,若數(shù)列｛Sn+1｝是公比為4的等

比數(shù)列.

(1)求Sn,并求數(shù)列｛冊｝的通項公式即；

(2)設(shè)以=九?空+2即，nWN*,若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，求實數(shù)X的范

50.已知正項數(shù)列｛an｝滿足，臼=2,且*+1-冊+通幾+@計1=2碌+2a九.

(1)求｛時｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足與記也｝的前項和為7\,若即7\+71+(-1)”-

Aan-1>0對任意n6N*恒成立，求實數(shù);I的取值范圍.

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】6

12.【答案】3

13.【答案】2

14.【答案】（-8,-2）U（2,+oo）

15.【答案】1；-2018

16?【答案】｛2譚禧）

17.【答案】0.95A；0-95n-0.65n

6

18.【答案】2n-1（答案不唯一，滿足d=2%#0即可）

19.【答案】10200

20.【答案】39

21.【答案】ri2-n+3

22.【答案】0

23.［答案］2"+2+n2+n-4

2

24.【答案】（-；，J）

25.【答案】（0,162）

26.【答案】22018

27.【答案】（1）4a

（2）（0,等

28.【答案】11

29.【答案】（—8,1］

30.【答案】a3e［o,挈

31.【答案】（1）解：由題設(shè)知公差存0,由ai=l,ai,a3,a9成等比數(shù)列得：

Q'=Q］,Qg，

即（l+2d）2=1*（l+8d）,解得d=l或d=0（舍去），故｛aj的通項an=l+（n-1）xl=n

（2）解：?.?$“=嗎工，

??也==—磊）,

.??Tn=4［（l-…一磊）］=4（1一6）=落

32.【答案】（1）解：函數(shù)/（%）=x2-11%+24的零點為3,8,而數(shù)列｛%｝遞增,則%=3,

。2=8,。2—=5,

因此數(shù)列｛an+i-an｝是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列，則即+1-即=2九+3,

當(dāng)九32時，冊=%+（與—。1）+（。3—。2）+…+（冊—冊-1）=3+5+7+…+（2TL+

1）

=3+（”）n=nQ+2）,而劭=3也滿足上式，

所以數(shù)列｛冊｝的通項公式是％=n（n+2）.

⑵證明：由⑴得尋歷=汜一啟），

因此S”=；［（1…潤-磊）+?！保?/p>

11113111Hl1

=2（1+2-帝一1）=廠2（帝+用＞而由+詆

所以S”＜宗

33.【答案】（1）解：當(dāng)幾=1時,由4szi—1=忌+20n得4al-1=Q：+2alf=1.

當(dāng)九之2時，由4Sn—1=成+2%1得45?1_1-1=成一14~2a九一1，

兩式相減可得4Qn=忌+2an一a，1-2a九一1，

化簡得（。九+un_1）（an-dn-x-2）=0,

由條件得以+an-i>0,故冊=an_14-2(n>2),

得數(shù)列｛&J是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

從而數(shù)列｛斯｝的通項公式為演=2n-l.

(2)解：由(1)得的=2n—1,

11111

"以。U%+]-(2n—l)(2n+l)-2(2n-1-2n+l)'

得旗+康+…+^^7=表1_》+弱Y)+…

111111

=2(1-3+3-5+"+2ir^T-2^+T)

11

=2(1-2?m)

n

=2n+l-

34.【答案】(1)解：解法1：???%+i=ZS〃+1(?1WN*),

/.an=ASn_14-l(n>2)

Aar,-a.=za;,即an+1=(A+l)an,(n>2),A+1：#0,

又％=1,%=Mi+1=4+1,

J數(shù)列｛Qn｝為以1為首項，公比為A+1的等比數(shù)列，

??的=(4+I)2，

A4(A+1)=1+(2+1產(chǎn)+3,整理得.新L獸髯牌)二副，得；I=1

?*-an=2"-1，bn=1+3(九一1)=3九—2

解法2：=1,冊+1=/1szi+1(九€N*),

??o,2=AS1+1=4+1,%=AS2+1=A(1+4+1)+1=2?+2A+1,

A4(A+1)=14-A2+2A+1+3,整理得x：-2z-l=0，得入=1

，%+i=5九+1(八€“),

Aan=Sn-i+l(n>2)

??Q九+i—Q九=，即。九+1=2。九(?132),

又劭=1,。2=2

?,?數(shù)列｛Qn｝為以1為首項，公比為2的等比數(shù)列，

???冊=2,一1，

bn=1+3(n—1)=3n—2

n-1

(2)解：anbn=(3n-2)-2

12

"-Tn=l-l+4-2+7-2+???+(3n-2)-2“T①

123n-1n

：.2Tn=l-2+4-2+7-2+--+(3n-5)-2+(3n-2)-2②

①一②得一〃=1?1+3?21+3?22+-+3-2n-1-(3n-2)-2n

21(1—271i)

n

=1+3——1-z--(3n-2).2

整理得：T幾=(3九一5)?2n+5

35?【答案】(1)解：由題可得Sn=^an2+4an—竽

當(dāng)n>2時,Sn_i=；冊_12+④Qn_i-竽

aa2

所以n-\n2+^Q九一/。九一1-^an^

所以an?-2an—Q九一12—2an_i—0

所以(Hn+an-1)(3n-3n-1_2)=0

因為an>0

所以an-an-1=2

當(dāng)n=l時，Si=/ai2+m一竽，所以由2—2%-15=0

因為ai>0,所以ai=5

所以數(shù)列｛加｝是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列.

所以an=5+2(n-1)=2n+3

n

(2)解：由(1)可得bn=(2n+3)-3

23n

Tn=5x3+7x34-9x3+-+(2n+3)-3

37^=5x32+7x33+9x344--4-(2n+3)-3n+1

234nn+1

所以-2Tn=5x3+2x3+2x3+2x3+-+2x3-(2n+3)-3

=15+2x9(1二；1)-(2n+3)-3n+1

=6-(2n+2)?3n+l

n+1

所以rn=(n+1)-3-3

36.【答案】(1)由題意知數(shù)列是首項由=1,公比q=2的等比數(shù)列，所以

斯=2f

因為3-%=2,%—@2=4,

所以數(shù)列｛%—Q"的公差d=2,

所以bn-an=(b1-a。4-(n-l)d=2+2(n-1)=2n,

n-1

所以&n=2n+2.

(2)7n=bi+82+①H---

=(2+44-6+…+2?i)+(1+2+4+…+2,一])

(2+2n)n1x(1-2n)

=2+1^2

=n(n+1)+2n—1.

37.【答案】(1)解：由己知，得用=砒，且Q>0,b>0,c>0,所以b=y/act

因為與>y/aci所以a+c>2y/ac=2b

(2)解：因為％=孚，y=竽，

LJL

ac

nrri—2a2c_2Q(Z?+C)+2C(Q+6)

所以亍+1=用+屈=(a+b)(b+c).

_2(ab+2ac+bc)_2(ab+2ac+bc)_?

ab+ac+^+bcab+2ac+bc

38.【答案】(1)解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛Q九｝的公差為d,則

f5al4-10d=4(2臼+d)版徂(ax=2

+(2幾—l)d=2[。1+(ri—l)d]—11d=1

數(shù)列｛Q九｝的通項公式為即=2+九一1=幾+1.

11111

(2)解：由(1)知，%=2(吁及廠硒包=編一市).

故Tn=b1+b2+-+bn

11111111

=2(1-2)+2(2-3)+，"+2(n-^+l)

111111

=2(1-2+2-3+"'+n-^+T)

11

=2(1-^+1)

n

=2(九+1)?

【答案】(證明：由，且知，九>

39.1)a^+i=a九十/Qi=2a0

故有/-一得，所以數(shù)列心｝是等差數(shù)列

an+l乙

由于==|,所以六=3,即即

a1//nHn

(2)解：由bn+i-bn=anbn得，緡1=a+1=，由累乘法得，bn=n(n4-1)

則不等式2套<bn可化為2n<n(n+1),即號>1

令％=磯袋GN*，則cn>1.

當(dāng)幾=1時，C1=1,不符合；

當(dāng)九=2時，c2=|>1?符合；

當(dāng)幾=3時，。3=楙>1，符合；

當(dāng)幾=4時，c4=1>1?符合；

當(dāng)九=5時，C5=^|vl，不符合；

而也r_(九+1)5+2)_九0+1)_(九+1)(2—九)

血當(dāng)n>5,nEN時，c〃+i—c九一2九+12^—2九+1<U

故當(dāng)n>5,幾6N*不符合；

綜上所述，nE{2,3,4}

40.【答案】(1)解：由2Sn=4-2Sn_j+1知：2Sn_i=a，1一2Sn_2+L(n>3)，

兩式相減得：2an=一Q公i一2an_i,

aa

即2(an4-cin-i)=(an-an-i)(n+n-i)，又?jǐn)?shù)列{冊}為單調(diào)遞增數(shù)列，劭=1,

??du+an_i>09

??-a〃—i=2(?i33),

_

又當(dāng)n=2時，2(%+做)=^22al+1,即a；-2a2-3=0,解得改=3或

a2=-1(舍)，

符合斯一“_i=2,：.{an］是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

/.an=1+(n—1)x2=2n—1

1111

-

(2)解：bn=(2n_1)(2n+1)=2(2^12n+l)'

?T1/1,11,,11、1/1、

/n=2(廠W+WF+…+27^-^T)=2(廠，

又"'Tn>,即(J-2n+i)>,解得n>9,

又nCN+,所以n的最小值為10

41.【答案】⑴解：如果選擇條件①：令？2=1,⑥=|%—3,所以即=6,

則由于Sn=|an—3，當(dāng)n22時,

S.-i=|冊-1一3兩式相減得：an=|a,l-|an_1,則言匕=3,

數(shù)列是首項為6,公比為3的等比數(shù)列，

則數(shù)列｛即｝的通項公式為斯=6x3"T=2X3%

如果選擇條件②：

11

"Cli=1>.??%1H0，則由斯一斯+1=CtnCln+i，得石石一篇=1，

所以啟是首項己=1，公差為1的等差數(shù)列，

一1

所以丁=14-(n-1)x1=n,

an

所以以=看

(2)解：對于條件①，假設(shè)存在正整數(shù)m,使得即+0+1=ak(k€N*),則2x3^+

2x3血+1=2x3k,

所以8x3M=3k,此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，

所以不存在正整數(shù)m滿足題意；

對于條件②，

假設(shè)存在正整數(shù)m,使得即,+/+i=ak(keN*),

則5+=2化簡得巾2+(1—2k)7n—k=°，

771TIT~i~JLK

解得m_2/C-1+J1+4/C2,

m-2

1

因為2k<+4H<2k+1，所以2k-?<m<2k,

m無正整數(shù)解，故不存在這樣的m滿足題意.

綜上，對于條件①，通項公式為冊=2X3",不存在正整數(shù)m滿足題意；

對于條件②，通項公式為即=，不存在正整數(shù)m滿足題意.

42.【答案】(1)解:由V3a2=4S+V3(c2-b2)

得：V3(a2+b2—c2)=4s

?*.26abeosC=4xabsinC即：V3cosC=sinC

VcosCH0,AtanC=V3

又???CW(0,7t)

(2)解：???AABC的外接圓半徑為1

=2,即c=2sinC=V3

V??a_b_c

sirh4sinBsinC'

Aa=2sin4，b=2sinB

..be_丁b_丁x2sinB乃sinB西sin(>-A)

aa2sin/—sin/1—sin-4

75(孚cos/+*sin4)_3+73

—sinA2tan42

又因為AABC是銳角三角形

z兀

o<<7r(o<力<_

_2

2即

iB4<2

ol兀

<<7To<-"A<-

2_k32

TC.TT

"6<A<2

tan4>0<焉<6，0<<挈，

T<V<2^

43.【答案】(1)解：因為4c4,40B,所以4任力UB,從而｛與｝與(bn)不

是無窮互補數(shù)列

(2)解：因為a4=16，所以外6=16+4=20.數(shù)列｛%｝的前16項的和為(1+

2+…+20)-(2+22+23+24)=

1+20$

―x—X20-(25-2)=180

乙

(3)設(shè)｛斯｝的公差為d,deN*,則由6=%+15d=36.

由臼=36-15d21,得d=1或2.

若d=l,則的=21,an=n+20,與“｛a”｝與｛%｝是無窮互補數(shù)列”矛盾；

若d=2,則臼=6,%=2TI+4,bn=>5?

綜上，%=2n+4,%=Q黑幕5?

44.【答案】(1)解：當(dāng)n=l時，a)=Si=-3,

22

當(dāng)n22時,an=Sn-Sni=n-4n-(n-1)+4(n-1),

即an=2n-5,

n=l也適合，所以a?=2n-5.

(2)解：法一:

假設(shè)存在實數(shù)N，使數(shù)列｛3n?bn+M是等比數(shù)列，且公比為q.

n

因為對任意正整數(shù)n>2,bn+1+bn=(1)，匕=不而=一/，

可令n=2,3,得b2=崇，b3=-.

36108

因為｛3%/必是等比數(shù)列，所以(〃+苧;=一苧)，解得「-1

nn

3bn-zl—3bn—^

從而3fo^-l,I(n>2)

3-4

所以存在實數(shù)p=-1,公比為q=-3.

nnn

法二：因為對任意正整數(shù)n>2,bn+1+bn=(1).所以3bn=-3-3-5-i+1，

3nbn+n=-3(3nlbn-i+g),則

13%-

3

所以存在〃=—<，且公比q=n-l1=-?

4

3bn_i-4

i1

(3)解：因為a2=-l,a3=l,所以打=軒￡=-4,3瓦—彳=—1，

所以3%—/=一「(一3尸,即甲=(_1)"1+務(wù),

于是bi+b2+…+bn=(-1)?1-(|)°+(-1)2々+務(wù)xg+…+(-1)喝+小

當(dāng)是奇數(shù)時:b,+b2+...+bn=,關(guān)于遞增，

得—/Sbi+bz+…+bn<,

當(dāng)是偶數(shù)時：b|+b2+…+bn=/(I-今)，關(guān)于遞增,

1

得-

9<bl+b2+...-*~bn<Q.

o

綜上，--7Sbi+b2+…+bn<6.

45.【答案】解：選擇條件①，Qm+Qn=Qm+〃，

令m=1,可得的+%=an+1,即an+1-an=1,

???｛an｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，.%an=1+(n-1)x1=n；

選擇條件②，即+1一冊=即一斯-1，

可得an+1+an-1=2an,則｛%｝是首項為1,公差為a2-ar=2-1=1的等

差數(shù)列，

???Qn=1+(71—1)X1=71;

選擇條件③，5"=學(xué)5€”)，

九=1時，=Si=1,

Kzi

n?2時，an.Sn—S-]=學(xué)_5—1)22_1)=(，滿足臼=1，

???an=n；

所以任選一個條件都可得到an=n(neN*),

n

bn=2?n,

23n

???Tn=2xl+2x2+2x34-……+2xn，

27；=22x1+23x2+24x3+……+2nx(n-1)+2n+1xn,

-T=2+22+23+……+2n-2n+1xn=-2n+1xn，

n1—2

n+1

：.Tn=(n-1)-2+2.

46.【答案】(1)證明：由題意知，當(dāng)%€(0,2)時，%</(%)<|(%+1)2成立，

令x=1,則有1W/(x)<1,

所以f(l)=1；

(2)解：由(1)知，/(I)=a+b+c=l,

又/(—1)=a—b+c=0,所以a+c=2，b=

由/(%)>x,即ax2—+—a>0在R上恒成立，

所以a>0,且4=1-4a(1-a)<0,即(4a-l)2<0,所以a=1，

所以c=，

所以/(%)=^x24-1x4-^;

(3)解：在(2)的條件下，f(x)-mx>可化為^x2+mx>0,

即對任意的實數(shù)工4-oo),+,%-7nxzo恒成立，

當(dāng)%=0時，i%24-—mx-0,符合題意，此時meR；

當(dāng)%>0時，i%2+—mx>0即對任意的實數(shù)x6[0,+oo),4-—m>0,

即m+*在％E[0,4-oo)上恒成立,所以m<,

綜上所述，m6(—8,.

47.【答案】(1)解：ai=l,32=2,a?=3,bi=l,bz=3,b?=5,

當(dāng)n=l時,cj=max{bi-ai}=max{0}=0,

當(dāng)n=2時，C2=max{bi-2ai,b2-2a2)=max{-1,-1}=-1,

當(dāng)n=3時，C3=max{bi-3ai,b2-3除b3-3a?}=max{-2,-3,-4}=-2,

下面證明：對VnCN*,且nN2,都有金山-兩，

當(dāng)n￡N*,且2生勺時，

則(bk-nak)-(bi-nai),

=[(2k-1)-nk]-1+n,

=(2k-2)-n(k-1),

=(k-1)(2-n),由k-1>0,且2-nSO,

則(bk-nak)-(bi-nai)<0,則bi-nai>bk-nak,

因此，對Vn—NV且吟2,cn=bi-nai=l-n,

Cn+lCn=-19

/.C2-C|=-19

，Cn+l-Cn=-1X寸Vn《N"均成立，

J數(shù)列{5}是等差數(shù)列；

(2)證明：設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d|,d2,下面考慮的Cn取值，

由bi-ain,b2-a?n,bn-ann,

考慮其中任意bi-am(i￡N*,且10iWn),

貝ijbi-ain=[bi+(i-1)di]-[ai+(i-1)d2]xn,

=(bi-am)+(i-1)(dz-dixn),

下面分5=0,d,>0,5VO三種情況進行討論，

①若di=O,則bi-&n=(bi-am)+(i-1)ch,

當(dāng)若d2<0,則(bi-am)-(bi-ain)=(i-1)dWO,

則對于給定的正整數(shù)n而言，Cn=b-an此時c.i-g二-a1，

???數(shù)列{Cn}是等差數(shù)列；

當(dāng)di>0,(b-am)-(bn-ann)=(i-1)d2<0,

則對于給定的正整數(shù)n而言，cn=bn-ann=bn-an

此時Cn+l-Cn=d2-Hl,

???數(shù)列｛Cn｝是等差數(shù)列；

此時取m=l,則，，C2,…，是等差數(shù)列，命題成立；

②若di>0,則此時-din+d2為一個關(guān)于n的一次項系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)，

故必存在m￡N*,使得nNm時，-dm+d2V0,

則當(dāng)nNm時,(bi-ain)-(bi-ain)=(i-1)(-din+da)<0,(iGN*,l<i<n),

因此當(dāng)n>m時,cn=bi-ain,

此時c?+I-cn=-ai,故數(shù)列｛c/從第m項開始為等差數(shù)列，命題成立；

③若d.<0,此時-d(n+d2為一個關(guān)于n的一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)，

故必存在se