2023-2024學(xué)年德州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷附答案解析

-2024學(xué)年德州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷試卷分共150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘.第I卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1．已知兩個(gè)向量，若，則m的值為（

）A．1 B． C．2 D．2．已知集合，從集合M中選一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從集合N中選一個(gè)元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則落在第三、第四象限內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，手機(jī)的銷(xiāo)量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月手機(jī)的實(shí)際銷(xiāo)量，如下表所示：時(shí)間x12345銷(xiāo)售量y（千部）若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則可以預(yù)測(cè)時(shí)，該商城手機(jī)的銷(xiāo)量約為（

）千部.A． B． C． D．4．某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．該物理量在一次測(cè)量中大于100的概率為0.5B．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在的概率越大C．該物理量在一次測(cè)量中小于99.9與大于100.1的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等5．在如圖所示的圓錐中，底面直徑為，母線長(zhǎng)為6，點(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PB的中點(diǎn)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y（x，）代替，分布列如下：1234560.210.200.100.10則（

）A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.657．將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，得到如圖所示的萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開(kāi)始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，如果（n為正整數(shù)），則下列結(jié)論中正確的是（

）第0行

第1行

第2行

第3行

……

……A．當(dāng)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值B．當(dāng)時(shí)，中間一項(xiàng)為C．第6行第5個(gè)數(shù)是D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，O分別是的中點(diǎn)，P為正方體的中心，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段CP的長(zhǎng)為B．點(diǎn)P到直線EO的距離為C．平面與平面間的距離為D．直線與平面所成角的正弦值為10．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站一排，下列結(jié)論正確的是（

）A．不同的站隊(duì)方式共有120種B．若甲和乙不相鄰，則不同的站隊(duì)方式共有36種C．若甲在乙的左邊，則不同的站隊(duì)方式共有60種D．若甲和乙相鄰，且甲不在兩端，則不同的站隊(duì)方式共有36種11．甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球；分別以和表示從甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以B表示從乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．12．已知拋物線，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線與y軸交于M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作不垂直于y軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)直線AB的傾斜角為時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，直線l的傾斜角為或C．MF平分D．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知離散型隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則隨機(jī)變量的期望為．14．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，采用五局三勝制（當(dāng)一人贏得三局時(shí)，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束）．根據(jù)以往比賽成績(jī)，每局比賽中甲獲勝的概率都是，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．若甲以獲勝的概率不低于甲以獲勝的概率，則p的取值范圍為．15．的展開(kāi)式中的系數(shù)是．16．在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1、2、3、4外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開(kāi)之前，主持人先隨機(jī)打開(kāi)另一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的箱子，并問(wèn)抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇.現(xiàn)在已知甲選擇了1號(hào)箱，若用表示i號(hào)箱有獎(jiǎng)品，用表示主持人打開(kāi)i號(hào)箱子，則；.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．已知，求下列各式的值：(1)；(2)．18．為落實(shí)“雙減”政策，提升課后服務(wù)水平，某小學(xué)計(jì)劃實(shí)行課后看護(hù)工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取該小學(xué)三年級(jí)的個(gè)班級(jí)并調(diào)查需要課后看護(hù)的學(xué)生人數(shù)，分布如下：班級(jí)代號(hào)12345678需看護(hù)學(xué)生人數(shù)2022273025233221(1)若將上述表格中人數(shù)低于人的班級(jí)兩兩組合進(jìn)行看護(hù)，求班級(jí)代號(hào)為、的兩個(gè)班合班看護(hù)的概率；(2)從已抽取的個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取個(gè)班，記個(gè)班中需要課后看護(hù)的學(xué)生人數(shù)低于人的班級(jí)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求的長(zhǎng).20．為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)售情況，某部門(mén)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)量y（單位：萬(wàn)臺(tái)）關(guān)于x（年份）的線性回歸方程為，且銷(xiāo)量y的方差，年份x的方差．(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)量y與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱；(2)該部門(mén)還調(diào)查了該地區(qū)90位購(gòu)車(chē)車(chē)主的性別與購(gòu)車(chē)種類(lèi)情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購(gòu)買(mǎi)非電動(dòng)汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)總計(jì)男性3945女性15總計(jì)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)回答：是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)與車(chē)主性別有關(guān)？參考公式：（i）線性回歸方程：，其中；（ii）相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷y與x線性相關(guān)較強(qiáng)．（iii），其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82821．己知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，直線l過(guò)右焦點(diǎn)，且與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，求面積的最大值．22．某物流公司專(zhuān)營(yíng)從甲地到乙地的貨運(yùn)業(yè)務(wù)，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了最近500天內(nèi)每天可配送的貨物量，按照可配送貨物量T（單位：箱）分成了以下幾組：，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該物流公司每日的可配送貨物量T（單位：箱）服從的正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算近似為近似為150．①利用該正態(tài)分布，求；②試?yán)迷撜龖B(tài)分布，估計(jì)該物流公司2000天內(nèi)貨物配送量在區(qū)間（87.8，124.4）內(nèi)的天數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．(2)該物流公司負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的可配送貨物量為裝卸員工制定了兩種不同的工作獎(jiǎng)勵(lì)方案．方案一：利用該頻率分布直方圖獲取相關(guān)概率（將圖中的頻率視為概率），采用直接發(fā)放獎(jiǎng)金的方式獎(jiǎng)勵(lì)員工，按每日的可配送貨物量劃分為三級(jí)：時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)50元；時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)80元；時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)120元；方案二：利用正態(tài)分布獲取相關(guān)概率，采用抽獎(jiǎng)的方式獎(jiǎng)勵(lì)員工，其中每日的可配送貨物量不低于時(shí)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每日的可配送貨物量低于時(shí)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率如下表：獎(jiǎng)金50100概率小張為該公司裝卸貨物的一名員工，試從員工所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望角度分析，小張選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案對(duì)他更有利？附：，若，則．1．B【分析】根據(jù)空間向量垂直的充要條件列出方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，解得?故選：B.2．A【分析】依題意，找到點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決.【詳解】依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)有：其中落在第三、第四象限內(nèi)點(diǎn)有共6個(gè).故選：A3．D【分析】先求樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，代入回歸直線方程可得，然后代入可求.【詳解】回歸直線過(guò)，由題意得，，將代入，解得，則，當(dāng)時(shí)，，可以預(yù)測(cè)時(shí)，該商城手機(jī)的銷(xiāo)量約為千部.故選：D4．D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可知該物理量在一次測(cè)量大于100的概率為0.5，故A正確；對(duì)于B，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于100.1的概率與小于99.9的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D5．D【分析】先證明平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，即可根據(jù)數(shù)量積公式，求出答案.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，易知底面，因?yàn)槠矫?，所以平面底?又平面底面，因?yàn)辄c(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，所以，所以平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，，，，，所以，，記異面直線AB與CD所成角為，則，即異面直線AB與CD所成角的余弦值為.故選：D6．B【分析】先根據(jù)概率之和為1求出，從而求解概率即可.【詳解】由題意得，化簡(jiǎn)得，又且，所以，所以.故選：B7．C【分析】根據(jù)萊布尼茨三角形的數(shù)的排列規(guī)律，明確每行的數(shù)的個(gè)數(shù)，以及數(shù)的分布規(guī)律，即可判斷A，B，C；結(jié)合從第0行開(kāi)始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由萊布尼茨三角形知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取到最小值，為奇數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，這一行有2025個(gè)數(shù)，最中間為第1013個(gè)數(shù)，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，第6行有7個(gè)數(shù)，第5個(gè)數(shù)是，C正確；對(duì)于D，由于從第0行開(kāi)始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，故，D錯(cuò)誤，故選：C8．A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出，推導(dǎo)出為等邊三角形，求出、，利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t為線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，則，所以，為等邊三角形，由勾股定理可得，由雙曲線的定義可得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.9．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到線，面與面的距離和線面角.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由P為正方體的中心，即為的中點(diǎn)，所以，則，A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，則，所以，，即點(diǎn)P到直線EO的距離為，故B正確；，，.設(shè)平面的法向量為，則，所以令，得，，所以.所以點(diǎn)到平面的距離.，所以，又因平面，平面，所以平面，同理平面，平面，平面，，所以平面平面，所以平面與平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以平面與平面間的距離為，故C正確.由選項(xiàng)C可知平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：BCD.10．ACD【分析】根據(jù)全排列數(shù)計(jì)算判斷A；利用插空法求解判斷B；定序問(wèn)題采用倍縮法進(jìn)行求解判斷C；先使用捆綁法求解，再去掉甲在兩端情形即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站一排，不同的站隊(duì)方式共有種，A正確；對(duì)于B，甲和乙不相鄰的站隊(duì)方式有種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲在乙的左邊的不同的站隊(duì)方式有種，C正確；對(duì)于D，將甲與乙捆綁看做一個(gè)整體，再與其他三人站成一排，有種站隊(duì)方式，其中甲站在兩端的情形有種，所以符合題意的站隊(duì)方式共有種，D正確.故選：ACD11．ABD【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算判斷A，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式判斷C，根據(jù)條件概率公式計(jì)算判斷BD.【詳解】因?yàn)?，，，若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B正確；所以，所以事件與事件不是相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：ABD12．ACD【分析】首先利用已知，得到直線方程，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式得出A正確，結(jié)合題意，結(jié)合焦半徑公式求解傾斜角得到B錯(cuò)誤，連接，由需證的條件推出容易證明的條件，再證明即可，得到C正確，利用焦半徑公式結(jié)合題意求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，最后得出D正確【詳解】對(duì)于A:當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，，過(guò)的直線為，設(shè)，聯(lián)立方程組可得，故A正確.對(duì)于B：化簡(jiǎn)得，設(shè)的斜率為k，聯(lián)立方程組，或成立，故負(fù)根舍去，，解得，則的傾斜角為或，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：連接，，欲證平分，則證，證，證，證即可，故，聯(lián)立方程組，得到，解得代入得出，故C正確.對(duì)于D：由焦半徑公式得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得且設(shè)，，則，顯然成立，故D正確.故選：ACD.13．1【分析】根據(jù)條件，求出，進(jìn)而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以，又，得到，所以，故，故答案為：.14．【分析】先分別求出甲以獲勝的概率和甲以獲勝的概率；再由求解即可.【詳解】由題意可得：甲以獲勝的概率為，甲以獲勝的概率.因?yàn)椋?，解得?又因?yàn)?，所?故答案為：.15．120【分析】利用二項(xiàng)式定理得到的展開(kāi)式中的系數(shù)為，從而得到答案為.【詳解】的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故的展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為：12016．##【分析】分析出：若獎(jiǎng)品在3號(hào)箱里，主持人只能打開(kāi)2、4號(hào)箱，可求得的值；求得，對(duì)獎(jiǎng)品所在的箱子進(jìn)行分類(lèi)討論，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.【詳解】若獎(jiǎng)品在3號(hào)箱里，主持人只能打開(kāi)2、4號(hào)箱，故；獎(jiǎng)品隨機(jī)等可能分配到四個(gè)箱子中，因此、、、的概率均為，獎(jiǎng)品在號(hào)箱里，主持人可打開(kāi)、、號(hào)箱，故，獎(jiǎng)品在號(hào)箱里，主持人打開(kāi)號(hào)箱的概率為，故，獎(jiǎng)品在號(hào)箱里，主持人只能打開(kāi)、號(hào)箱，故，獎(jiǎng)品在號(hào)箱里，主持人只能打開(kāi)、號(hào)箱，故，由全概率公式可得：.故答案為：；17．(1)(2)2187【分析】（1）求即求的系數(shù)，利用通項(xiàng)公式求解；（2）采用賦值法，令和，可解.【詳解】（1）求即求的系數(shù)．．當(dāng)，即項(xiàng)時(shí)，．（2）由展開(kāi)式可知均為正值，均為負(fù)值，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，故．18．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）求出將人數(shù)少于人的個(gè)班兩兩組合進(jìn)行課后看護(hù)的不同組合方法種數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）解：若將表中人數(shù)少于人的個(gè)班兩兩組合進(jìn)行課后看護(hù)，共種不同的方法，其中班級(jí)代號(hào)為、的兩個(gè)班合班看護(hù)共種方法．記表示事件“班級(jí)代號(hào)為、的兩個(gè)班合班看護(hù)”，則其概率．（2）解：隨機(jī)變量的可能取值為、、、，可得，，，，則的分布列為：XP所以數(shù)學(xué)期望為．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)G，連接FG，，利用棱柱的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量夾角公式建立方程求解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)G，連接FG，，三棱柱為直三棱柱，平面.平面，.又，.又，平面，平面，平面，為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)，，且，為中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，，平面.（2）由題意，為直角，即，則.以為原點(diǎn)，在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令得.易知為平面的一個(gè)法向量，二面角的余弦值為，，解得，故的長(zhǎng)為.20．(1)0.9375，y與x線性相關(guān)較強(qiáng)(2)有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)與車(chē)主性別有