如何體會運(yùn)動前后圖形的變與不變：以“軸對稱和平移”單元教學(xué)為例

如何體會運(yùn)動前后圖形的變與不變：以“軸對稱和平移”單元教學(xué)為例

“軸對稱和平移”是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域“圖形的運(yùn)動”部分的重要內(nèi)容，其本質(zhì)特征都是圖形運(yùn)動之后保持兩點(diǎn)之間的距離不變，這樣就保證了運(yùn)動之后圖形的形狀和大小不變，人們稱這類運(yùn)動為剛體運(yùn)動。在實(shí)際教學(xué)中，有些教師比較注重整體感知、操作活動和直觀描述的層次，對運(yùn)動的要素，由點(diǎn)及線、由線到面和由面到體，卻一帶而過。調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時往往會出現(xiàn)這些問題：一是不能區(qū)分圖形的平移格數(shù)和圖形的間隔格數(shù)；二是不習(xí)慣從動態(tài)的角度分析一個圖形的構(gòu)造特點(diǎn)，更善于從靜態(tài)的角度將一個圖形進(jìn)行分解；三是在補(bǔ)全軸對稱圖形的另一半時，不能從運(yùn)動的角度思考圖形上點(diǎn)的運(yùn)動。軸對稱和平移的教學(xué)應(yīng)該關(guān)注哪些核心知識？設(shè)計(jì)怎樣的學(xué)習(xí)活動才能幫助學(xué)生深刻地體會軸對稱和平移運(yùn)動的本質(zhì)？教師不妨從基于學(xué)習(xí)路徑分析的單元整體教學(xué)的角度去探索“軸對稱和平移”的教學(xué)。一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）單元內(nèi)容概述北師大版教材把“軸對稱和平移”編排在五年級上冊，而人教版教材將其歸類為“圖形的運(yùn)動（二）”，設(shè)置在四年級下冊，它們的教學(xué)目標(biāo)定位如下。北師大版教材：通過一系列折、畫、想、說等活動，進(jìn)一步認(rèn)識軸對稱圖形的特征；能在方格紙上畫出（或補(bǔ)全）軸對稱圖形；能畫出圖形沿著水平或垂直方向平移后的圖形；能運(yùn)用軸對稱和平移知識在方格紙上設(shè)計(jì)簡單的圖案，初步發(fā)展空間觀念。人教版教材：通過一系列看、找、數(shù)、畫、做、說等活動，發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的對稱點(diǎn)和對稱軸之間的距離關(guān)系，深刻認(rèn)識軸對稱圖形的特征；能在方格紙上畫出（或補(bǔ)全）軸對稱圖形；能畫出圖形沿著不同方向平移后的圖形；能用平移知識解決簡單的實(shí)際生活問題，初步發(fā)展空間觀念。兩個版本教材的教學(xué)目標(biāo)包含了以下內(nèi)容：進(jìn)一步認(rèn)識軸對稱圖形的特征；能在方格紙上畫出（或補(bǔ)全）軸對稱圖形；能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)D形進(jìn)行平移，能運(yùn)用軸對稱和平移知識解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，初步發(fā)展空間觀念。（二）確定核心目標(biāo)本單元的核心目標(biāo)是進(jìn)一步明確圖形軸對稱和平移的內(nèi)涵。一方面，圖形由線構(gòu)成，而線由點(diǎn)組成，圖形的運(yùn)動本質(zhì)上可以歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動，通過研究圖形上點(diǎn)運(yùn)動的特征，能更清晰地展示圖形運(yùn)動的特征。另一方面，圖形的軸對稱和平移看似沒有聯(lián)系，但它們其實(shí)都是剛體運(yùn)動，即運(yùn)動前后圖形的形狀和大小都沒有變，改變的只是圖形的位置，最終使學(xué)生獲得關(guān)于軸對稱和平移的整體性認(rèn)識。（三）核心目標(biāo)具體化綜上所述，將核心目標(biāo)具體化為兩點(diǎn)。

1.能把圖形的軸對稱運(yùn)動和平移運(yùn)動歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動。其主要內(nèi)涵包括：畫出（或補(bǔ)全）軸對稱圖形以及圖形沿著指定方向平移后的圖形；知道軸對稱運(yùn)動和平移運(yùn)動的特點(diǎn)；能依據(jù)圖形上特殊的點(diǎn)畫出運(yùn)動后的圖形。2.厘清圖形軸對稱運(yùn)動和平移運(yùn)動之間的聯(lián)系。具體包括：歸納出兩種運(yùn)動的相同點(diǎn)為運(yùn)動前后圖形的形狀和大小不變，改變的只是圖形的位置；知道軸對稱運(yùn)動和平移運(yùn)動的本質(zhì)，以及它們之間有時可以互相轉(zhuǎn)化。二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)通過折、描、畫等操作活動初步感知了軸對稱和平移現(xiàn)象。在此基礎(chǔ)上，本單元引導(dǎo)學(xué)生借助方格紙，從定量的角度發(fā)現(xiàn)軸對稱和平移的特征，把圖形的運(yùn)動轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的運(yùn)動，認(rèn)識圖形運(yùn)動的本質(zhì)。為此，筆者試圖通過前測對學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)做詳細(xì)的了解，并根據(jù)對軸對稱和平移運(yùn)動特點(diǎn)認(rèn)識的具體表現(xiàn)，制訂評價框架，規(guī)定水平層次。軸對稱和平移掌握水平前測結(jié)果如表1所示。從前測的結(jié)果看出，學(xué)生具有一定的幾何思考能力，對軸對稱和平移的特征有一定的了解，接近68%的學(xué)生會畫軸對稱圖形的另一半和平移后的圖形，但絕大多數(shù)學(xué)生不能建立圖形的運(yùn)動和點(diǎn)運(yùn)動之間的聯(lián)系，特別是發(fā)現(xiàn)它們之間的共同點(diǎn)。三、分析學(xué)習(xí)路徑基于以上分析，從單元整體教學(xué)視角出發(fā)，筆者對“軸對稱和平移”單元整體教學(xué)的學(xué)習(xí)路徑做了適當(dāng)?shù)膬?yōu)化與調(diào)整。（一）認(rèn)識圖形的平移借助多媒體課件先動態(tài)演示點(diǎn)、線和圖形的平移過程，讓學(xué)生嘗試歸納出平移運(yùn)動的兩要素：一是方向，二是距離。接著讓學(xué)生嘗試在方格紙上畫出一面小紅旗向左平移6格后的圖形，引導(dǎo)學(xué)生思考圖形平移的畫法。有了直觀的感受，借助已有的經(jīng)驗(yàn)，有的學(xué)生可能會想用實(shí)物平移的方式確定平移后圖形的位置，有的學(xué)生可能會在原圖上選擇幾個特殊的點(diǎn)，分別向左平移6格，根據(jù)原來圖形的形狀畫出平移后的圖形。然后讓他們分小組討論哪一種方法最好。在此過程中，學(xué)生把圖形的平移轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的平移，掌握圖形平移的畫法，即選點(diǎn)、移點(diǎn)和連點(diǎn)，更為重要的是發(fā)現(xiàn)圖形在平移過程中存在的不變的要素（圖形的形狀和大小不變）和變化的規(guī)律（每個點(diǎn)沿著相同方向移動了相同的距離）。（二）加深軸對稱圖形特征的認(rèn)識借助方格紙，先讓學(xué)生觀察軸對稱圖形的一組對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等，接著讓學(xué)生嘗試在方格紙上畫出軸對稱圖形的另一半。有的學(xué)生可能會想象翻折的過程（軸對稱運(yùn)動），感知如何補(bǔ)全一個軸對稱圖形；有的學(xué)生可能會找出圖形上的特殊點(diǎn)，根據(jù)軸對稱圖形的特征，找出這些特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)，然后把這些點(diǎn)連起來，從而補(bǔ)全軸對稱圖形，最后讓他們借助方格紙總結(jié)補(bǔ)全軸對稱圖形的方法，即選點(diǎn)、定點(diǎn)和連點(diǎn)。在此過程中，教師可以動態(tài)展示半個圖形翻折為整個圖形的過程，明確告知學(xué)生這就是軸對稱運(yùn)動，讓學(xué)生不僅感知軸對稱的運(yùn)動屬性，而且從定量的角度發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的特征并且掌握補(bǔ)全軸對稱圖形的方法，更重要的是發(fā)現(xiàn)在翻折過程中存在不變的要素（圖形的大小和形狀不變）和變的規(guī)律（對稱點(diǎn)到對稱軸的距離相等）。（三）理解圖形運(yùn)動的本質(zhì)內(nèi)涵引導(dǎo)學(xué)生把圖形的運(yùn)動（軸對稱和平移）歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動，發(fā)現(xiàn)在圖形運(yùn)動過程中存在著不變的要素和變化的規(guī)律，體會圖形運(yùn)動的本質(zhì)，且不同運(yùn)動之間在某些時候可以互相轉(zhuǎn)化，初步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和推理能力。四、對單元整體教學(xué)的思考筆者以北師大版教材為基礎(chǔ)，從單元整體的視角出發(fā)，對“軸對稱和平移”單元的教學(xué)做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，將平移調(diào)整為起始課，關(guān)注圖形運(yùn)動要素，由點(diǎn)及線、由線到面，同時關(guān)注理解軸對稱和平移運(yùn)動的內(nèi)涵。（一）將“運(yùn)動要素”作為理解圖形平移運(yùn)動的重點(diǎn)例如，課件動態(tài)呈現(xiàn)小紅旗的平移過程，引導(dǎo)學(xué)生在交流中明確：一方面要說清楚圖形的平移運(yùn)動包含兩個要素，即方向和距離；另一方面要關(guān)注圖形的構(gòu)造特點(diǎn)，有哪些重要的點(diǎn)或邊，通過對這些點(diǎn)和邊的運(yùn)動分析，理解圖形的平移和點(diǎn)以及線平移的關(guān)系，把圖形的平移歸結(jié)為點(diǎn)的平移，獲得對圖形的平移運(yùn)動的整體認(rèn)識。（二）對軸對稱教學(xué)的整合思考小學(xué)生對軸對稱的理解應(yīng)該包含兩個方面：一是具有“軸對稱”特征的一類圖形；二是作為圖形運(yùn)動的一種方式。即如一個軸對稱圖形可以看作以其一半為基礎(chǔ)，經(jīng)過“軸對稱運(yùn)動”而形成。例如，在教學(xué)“軸對稱的再認(rèn)識”時，可以讓學(xué)生先觀察圖中的對應(yīng)點(diǎn)，要求學(xué)生回答：數(shù)一數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？引導(dǎo)學(xué)生在交流中明確：軸對稱圖形一組對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等。由此，在教學(xué)“補(bǔ)全軸對稱圖形”的方法時，可以先讓學(xué)生觀察圖形的構(gòu)造特點(diǎn)，有哪些重要的點(diǎn)或邊，然后引導(dǎo)學(xué)生想象翻折的過程，再結(jié)合實(shí)際操作過程和結(jié)果進(jìn)行以下討論：“在你補(bǔ)全另一半圖形時，你是先畫點(diǎn)，還是先畫線？你是怎么確定點(diǎn)或者線的位置的？”在學(xué)生充分討論和交流的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步交流：“你覺得補(bǔ)全另一半圖形時，最重要的步驟是什么？”最后借助多媒體課件，動態(tài)呈現(xiàn)圖形軸對稱運(yùn)動（翻折）的過程，在此基礎(chǔ)上，可以得到軸對稱圖形上的一組對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等，進(jìn)而可以把圖形的軸對稱運(yùn)動歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動，獲得對圖形的軸對稱運(yùn)動的整體認(rèn)識。（三）厘清圖形的軸對稱運(yùn)動和平移運(yùn)動之間的聯(lián)系首先，圖形的軸對稱運(yùn)動和平移運(yùn)動都可以歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動，在圖形運(yùn)動的前后，它們的形狀和大小都不發(fā)生變化，改變的只是圖形的位置，這是它們最大的共同點(diǎn)。其次，當(dāng)兩條對稱軸平行時，那么將圖形進(jìn)行兩次軸對稱運(yùn)動后就相當(dāng)于將圖形進(jìn)行了平移運(yùn)動，平移的方向和對稱軸垂直，平移移動的距離是兩條對稱軸距離的兩倍。以上結(jié)論是針對一般的圖形來說的。有些特殊的圖形，也可以只經(jīng)過一次軸對稱運(yùn)動，就能達(dá)到平移的效果。認(rèn)識兩種運(yùn)動之間的聯(lián)系，有益于學(xué)生理解在數(shù)學(xué)中研究圖形運(yùn)動的關(guān)鍵點(diǎn)，主要在于運(yùn)動前后圖形的相對位置及其對應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系。對圖形的平移和軸對稱的學(xué)習(xí)，不僅有益于學(xué)生從運(yùn)動的角度去觀察現(xiàn)實(shí)世界，從整體的視角去思考現(xiàn)實(shí)世界，從而發(fā)展他們的幾何空間觀念，而且有益于學(xué)生欣賞“圖形與幾何”的美，感受數(shù)學(xué)世界中的圖形來源于生活，享受學(xué)習(xí)“圖形的運(yùn)動”的樂趣，培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。因此，筆者對“軸對稱和平移”的單元教學(xué)安排和學(xué)習(xí)目標(biāo)作了適度的調(diào)整。1.“平移”的學(xué)習(xí)目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)俄羅斯方塊游戲情境，讓學(xué)生感知平移運(yùn)動現(xiàn)象；掌握圖形平行的畫法，并能沿著不同方向連續(xù)兩次平移；理解平移運(yùn)動的特征，體會將圖形的平移轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的平移的數(shù)學(xué)思想方法。2.“軸對稱再認(rèn)識（一）”的學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過折紙活動，直觀感知軸對稱圖形的特征（定性）；能在方格紙上畫出簡單軸對稱圖形的對稱軸；借助方格紙，體會軸對稱圖形的特征（定量）?！拜S對稱再認(rèn)識（二）”，其學(xué)習(xí)目標(biāo)為：通過折、畫、剪等活動，直觀感知軸對稱運(yùn)動；根據(jù)軸對稱圖形的特征，補(bǔ)全（畫出）軸對稱圖形；通過綜合練習(xí)，建立平移運(yùn)動和軸對稱運(yùn)動的聯(lián)系。3.“欣賞與設(shè)計(jì)”的學(xué)習(xí)目標(biāo)：能從軸對稱和平移的角度欣賞生