2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 28.1 銳角三角函數(shù) 同步分層訓(xùn)練提升

親愛的同學(xué)加油，給自己實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想的一個(gè)機(jī)會(huì)！第頁2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)28.1銳角三角函數(shù)同步分層訓(xùn)練提升班級(jí)：姓名：親愛的同學(xué)，在做題時(shí)，一定要認(rèn)真審題，完成題目后，記得審查，養(yǎng)成好習(xí)慣！祝你輕松完成本次練習(xí)。一、單選題1．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos∠ACB等（）A．45 B．35 C．342．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝35A．35 B．45 C．433．在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A．sin45° B．13 C．0.3 4．已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=2，BC=5，那么下列各式中正確的是（）A．sinA=25 B．tanA=255．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑BD長為4，sin∠BAC＝34A．52 B．3 C．7 D．6．如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PC，PD與圓O相切，切點(diǎn)分別為C，D，若AB=4，PC=4，則sin∠CBDA．12 B．55 C．257．如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm2．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①AD=BE=5；②cos∠ABE=35；③當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=25A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④8．下列說法中正確的是（）A．在Rt△ABC中，若tanA＝34B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，則tanA＝3C．tan30°＋tan60°＝1D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋39．如圖所示，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，兩條經(jīng)過格點(diǎn)的線段相交所成的銳角為α，則夾角α的正弦值為（）A．12 B．22 C．310．如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sin∠A的值為（）A．12 B．1010 C．55二、填空題11．如圖，正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，O，B，E均在格點(diǎn)上．⊙O過點(diǎn)A，E且與AB交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，則tan∠CDE=12．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為2的正方形，則cos∠ABF＝．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AD=95，BD=165，則sinB=14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在邊BC上，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，連接AD，且AD平分∠BAC，若∠BAC=60°，⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為.15．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，DA延長線上的點(diǎn)，連接EF，BF，BE，BE交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FK⊥BE垂足為G，F(xiàn)K與AB，CD分別交于點(diǎn)H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.則下列結(jié)論中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④sin∠ABF=1010；⑤若連接AG，則AH+AP=2AG；⑥HF2+HK2三、解答題16．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=23，AC=10，求△ABC的面積。17．先化簡，再求值：(1a+1?18．如圖所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，過多少秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似？四、綜合題19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D為AB延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，切點(diǎn)為E，連接BE，CE，AE.（1）若BC∥DE，求證：△ACE∽△EBD；（2）在（1）的條件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝3520．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的角平分線AD交⊙O于點(diǎn)D.（1）如圖①，以點(diǎn)D為圓心，DB長為半徑作弧，交AD于點(diǎn)I.求證：點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心；（2）如圖②，在（1）的條件下，若AD與BC交于點(diǎn)E.求證：DIDE（3）探究：如圖③，△ABC內(nèi)接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC內(nèi)切圓半徑的最大值.21．如圖，CD是△ABC的外角∠ECA的平分線，CD交過A，B，C三點(diǎn)的⊙O于點(diǎn)D.（1）求證：BD=（2）若AB=CD，22．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=2CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，線段OA，OB的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．（1）求證：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF23．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸交于點(diǎn)A（0，4）、與x軸交于點(diǎn)B（2，0）和點(diǎn)C（－1，0）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，①過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，求線段DE長的取值范圍；②若點(diǎn)F、G分別為線段OA、AB上一點(diǎn)，且四邊形AFGD既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

答案解析部分1．答案：D解析：解：易得AC=12+32=10，BC=32+42=5，AB=5，根據(jù)勾股定理以及網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，可以求得AC、AB、BC的長，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ACB=∠A，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的定義及等角的同名三角函數(shù)值相等即可得到cos∠ACB的值．2．答案：C解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝ac＝35，tanB＝ba，a2＋b2∵sinA＝35，設(shè)a＝3x，則c＝5x，結(jié)合a2＋b2＝c2∴tanB＝ba＝4x3x＝故答案為：C.

由于sinA＝ac＝35，可設(shè)a＝3x，則c＝5x，由勾股定理求出b＝4x，根據(jù)tanB＝3．答案：A解析：解：sin45°=2∵13、0.3與1是有理數(shù)，2∴選項(xiàng)A滿足題意.故答案為：A.根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得sin45°=22，tan45°=1，常見的無理數(shù)有四類：①根號(hào)型的數(shù)：開方開不盡的數(shù)，②與π有關(guān)的數(shù)，③構(gòu)造型：像0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）這類有規(guī)律的數(shù)，④4．答案：C解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，∴AB＝AC2+B∴sinA＝BCAB＝5tanA＝BCACtanB＝ACBCcosB＝BCAB＝5故答案為：C．

利用銳角三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可。5．答案：B解析：解：連接CD，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，由圓周角定理得：∠BDC＝∠BAC，∴sin∠BDC＝BCBD∵BD＝4，∴BC＝3.故答案為：B.連接CD，根據(jù)圓周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC，然后根據(jù)正弦函數(shù)的概念進(jìn)行計(jì)算.6．答案：C解析：解：連結(jié)OC，OD，∵PC、PD與圓O相切，∴∠PCO=∠PDO=90°，在Rt△PCO和Rt△PDO，OC=OD∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），∴∠COP=∠DOP=12∵∠COD=2∠CBD，∴∠COP=1∵AB=4，∴OA=OC=2，在Rt△PCO中根據(jù)勾股定理PO=P∴sin∠CBD=故答案為：C.連接OC、OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO=∠PDO=90°，利用HL證明Rt△PCO≌Rt△PDO，得出∠COP=∠DOP=127．答案：C解析：解：根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小題正確；又∵從M到N的變化是2，∴ED=2，∴AE=AD-ED=5-2=3，在Rt△ABE中，AB=BE∴cos∠ABE=ABBE=4過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=ABBE∴PF=PBsin∠PBF=45∴當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=12BQ?PF=12t?45t=25t當(dāng)t=294秒時(shí)，點(diǎn)P在CD上，此時(shí)，PD=294-BE-ED=29PQ=CD-PD=4-14=15∵ABAE=4∴ABAE又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小題正確．綜上所述，正確的有①③④．故答案為：C.根據(jù)圖（2）可得：當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度可得BC=BE=5，則AD=BE=5，據(jù)此判斷①；由題意可得ED=2，則AE=AD-ED=3，利用勾股定理求出AB，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念可判斷②；過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEB=∠PBF，根據(jù)三角函數(shù)的概念表示出PF，然后根據(jù)三角形的面積公式可判斷③；當(dāng)t=294秒時(shí)，點(diǎn)P在CD上，此時(shí)PD=294-BE-ED=14，PQ=CD-PD=154，推出8．答案：B解析：解：A．在Rt△ABC中，若tanA=34B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，則tanA＝34C．tan30°＋tan60°=33D．tan75°=tan（45°+30°）=1+331?故答案為：B．

根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義及特殊角三角函數(shù)值逐一解答即可.9．答案：B解析：解：如圖，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB，連接DF，∵CF∥AB，∴∠C=∠AEC=α，設(shè)小正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理得：CDDFCF∴CF∴△CDF為等腰直角三角形，∴∠C=45°，∴sinC=∴夾角α的正弦值為22故答案為：B.設(shè)AB與CD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB，連接DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C=∠AEC=α，設(shè)小正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理求出CD2、DF2、CF2，結(jié)合勾股定理逆定理可推出△CDF為等腰直角三角形，則∠C=45°，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答.10．答案：C解析：解：如圖，連接格點(diǎn)CD，設(shè)1個(gè)網(wǎng)格的邊長為x，則BD=CD=2x∴B∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=CD又AC=∴sin∠A=CDAC＝故答案為：C連接格點(diǎn)CD，設(shè)1個(gè)網(wǎng)格的邊長為x，可得BD=CD=2x，BC=2x，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠BDC＝∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)sin∠A=11．答案：1解析：解：由題意可得：∠CDE＝∠EAC，則tan∠CDE＝tan∠EAC＝BEAE故答案為：12

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠CDE＝∠EAC，從而得出tan∠CDE＝tan∠EAC，由tan∠EAC=BEAE12．答案：3解析：解：連接AF，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，∵四邊形CDFE是邊長為2的正方形，∴CD=CE=DF=EF=2，∠C=∠ADF=90°，∵AC=6，BC=8，∴AD=4，BE=6，∴AB=AC2+BC2設(shè)BG=x，∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，∴20-（10-x）2=40-x2，解得：x=6，∴BG=6，∴cos故答案為：310

連接AF，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，由正方形的性質(zhì)及勾股定理求出AB、BF、AF的長，設(shè)BG=x，由勾股定理得FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，據(jù)此列出方程并解之，即得BG的長，由cos∠ABF=BG13．答案：3解析：由AD=95，BD=16由題意可知：∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠CDB=∠CDA=9由射影定理AC得出：AC=3sin故答案為3利用已知條件求出AB的長，再利用射影定理求出AC的長，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求出sinB的值.14．答案：2解析：解：如圖，連接OD、DE，作DH垂直AB于H∵∠BAC=60°，且AD平分∠BAC∴∠CAD=∠DAB=30°∵AE為直徑∴∠ADE=90°∴∠AED=60°∵OD=OE∴∠ODE=∠AED=60°，△ODE為等邊三角形∴∠DOE=60°，DH=OD∴OD∥AC，OD⊥BC在Rt△ODB中，OD=2∴OB=ODcos∴陰影部分的面積1故答案為：23?23π.

連接OD、DE，作DH垂直AB于H，根據(jù)角平分線的概念可得∠CAD=∠DAB=30°，根據(jù)圓周角定理可得∠ADE=90°，則∠AED=60°，推出△ODE為等邊三角形，利用三角函數(shù)的概念求出DH、OB、AB，然后根據(jù)S陰影=S△ADB15．答案：①②③④⑤⑥解析：解：過點(diǎn)A作AL⊥BE交CD于點(diǎn)L，∴四邊形AHKL是平行四邊形，∴AL＝HK，∵AB＝AD，∠ADL＝∠BAP＝90°，∵∠DAJ＋∠APB＝∠DAL＋∠ALD＝90°，∴∠APB＝∠ALD，∴△ADL≌△BAP（AAS），∴BP＝AL＝HK，故①正確；延長EF、CB相交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BM⊥EN于點(diǎn)M，連接BK，∵∠EFB＝∠FBC，∴∠BFN＝∠FBN＝∠BFA，∴BM＝BA＝BC，∴∠FEG＝∠KEG，∴△EFG≌△EKG（ASA），∴FG＝KG，∴BE垂直平分FK，∴BF＝BK，∵BA＝BC，∴Rt△ABF≌Rt△CBK（HL），∴∠ABF＝∠CBK，∴∠FBK＝∠ABF＋∠ABK＝∠CBK＋∠ABK＝90°，∴∠FBE＝∠KBE＝45°，∴∠ABF＋∠FEB＝∠ABF＋∠BED＝∠ABF＋∠ABP＝∠FBE＝45°，故②正確；∵∠DFK＝90°?∠EKG＝∠BEC，∴tan∠DFK＝tan∠BEC＝BCCE＝1∴BG＝FG＝2PG，∴PE＝PB＝PG＋BG＝3PG，∴PG：BG：PE＝1：2：3，故③正確；設(shè)正方形邊長為a，由DKDF＝tan∠DFK＝1∴DF＝2DK，即：a＋AF＝2（a?CK），∴AF＝CK＝13∴BF＝AF2＋A∴sin∠ABF＝AFBF=1010，故過點(diǎn)G作GQ⊥AG交AB于點(diǎn)Q，∵∠PGF＝∠HGB，F(xiàn)G＝BG，∠PFG＝∠HBG，∴△FPG≌△BHG（ASA），∴PF＝BH，PG＝HG，∵∠AGQ＝∠FGB＝90°，∴∠AGQ?∠FGQ=∠BGF?∠FGQ，∴∠AGF＝∠BGQ，∵∠AFG＝∠QBG，F(xiàn)G＝BG，∴△AFG≌△BHG（ASA），∴AG＝QG，AF＝BQ，∴HQ＝BH?BQ＝PF?AF＝AP，∴2AG＝AQ＝AH＋HQ＝AH＋AP，故⑤正確；在BC上截取BI＝BH，連接KI，HI，則AH＝CI，∴△AFH≌△CKI（SAS），∴∠AFH＝∠CKI，∴KI＝FH，∴∠HKI＝180°?∠FKD?∠AFH＝180°?∠FKD?∠CKI＝90°，∴HF2＋HK2＝KI2＋HK2＝HI2＝2BH2，故⑥正確；故答案為：①②③④⑤⑥.過點(diǎn)A作AL⊥BE交CD于點(diǎn)L，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AL＝HK，根據(jù)同角的余角相等可得∠APB＝∠ALD，證明△ADL≌△BAP，據(jù)此判斷①；延長EF、CB相交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BM⊥EN于點(diǎn)M，連接BK，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠FEG＝∠KEG，證明△EFG≌△EKG，得到FG＝KG，由垂直平分線的性質(zhì)可得BF＝BK，證明Rt△ABF≌Rt△CBK，得到∠ABF＝∠CBK，易得∠FBE＝∠KBE＝45°，進(jìn)而判斷②；根據(jù)三角函數(shù)的概念可得BG＝FG＝2PG，則PE＝PB＝3PG，據(jù)此判斷③；設(shè)正方形邊長為a，由三角函數(shù)的概念得DF＝2DK，則AF＝CK＝13a，由勾股定理得BF，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念可判斷④；過點(diǎn)G作GQ⊥AG交AB于點(diǎn)Q，證明△FPG≌△BHG，得到PF＝BH，PG＝HG，根據(jù)角的和差關(guān)系可推出∠AGF＝∠BGQ，證△AFG≌△BHG，得到AG＝QG，AF＝BQ，則HQ＝BH-BQ＝PF-AF＝AP，據(jù)此判斷⑤；在BC上截取BI＝BH，連接KI，HI，則AH=CI，證△AFH≌△CKI，得到∠AFH＝∠CKI，根據(jù)內(nèi)角和定理可得∠HKI＝90°，結(jié)合勾股定理可判斷⑥16．答案：解：∵∠C=90°，sin設(shè)BC=2x，AB=3x∴(3x)2解得x1=?25（舍去），x2=∴BC=45AB=∴S△ABC=1解析：設(shè)BC=2x，AB=3x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出x的值，從而得出BC的長，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案.17．答案：解：(=[=a?1?a?1=11?a∵a=2sin60°+1=2×32∴原式=11?a=11?3解析：對(duì)括號(hào)中的第二個(gè)分式的分母進(jìn)行分解，然后對(duì)括號(hào)中的式子進(jìn)行通分，將除法化為乘法，再進(jìn)行約分即可對(duì)原式進(jìn)行化簡，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得a的值，然后代入化簡后的式子中進(jìn)行計(jì)算.18．答案：解：∵∠C＝90°，cosA＝3︰5，∴sin∠A=∵BC＝8cm，∴AB=BCsin∠A∵點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則有：BP=2tcm，CQ=tcm，∴PC=(8?2t)cm，①當(dāng)∠PQC=∠A時(shí)，則△PQC∽△BAC，∴CQCA=CP解得：t=12②當(dāng)∠PQC=∠B時(shí)，則△PQC∽△ABC，∴CQBC=CP解得：t=32綜上所述：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3211s或12解析：由題意可求出sin∠A=45，然后根據(jù)正弦函數(shù)的概念以及BC的值可得AB的值，進(jìn)而求得AC的值，然后表示出BP、CQ、PC，分①∠PQC=∠A；②19．答案：（1）證明：連接AE，∵四邊形ABEC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ACE+∠ABE＝180°，∵∠ABE+∠EBD＝180°，∴∠EBD＝∠ACE，∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠DEB，∵∠CAE＝∠CBE，∴∠CAE＝∠BED，∴△ACE∽△EBD.（2）解：如圖，連接OE交BC于點(diǎn)H，連接CO，∵DE是⊙O的切線，∴OE⊥DE，∵CB∥DE，∴OE⊥BC，∴CE＝BE，∵△ACE∽△EBD，∴AC即9CE∴CE＝6，∵∠BAE＝∠BCE，sin∠BAE＝35∴sin∠BCE＝EH∴EH＝185∴CH＝CE設(shè)⊙O的半徑為r，則OH＝r-185在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（r-185）2+（245）2＝r∴r＝5，∴⊙O的半徑為5.解析：（1）連接AE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠ACE+∠ABE＝180°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠ABE+∠EBD＝180°，則∠EBD＝∠ACE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CBE＝∠DEB，根據(jù)圓周角定理可得∠CAE＝∠CBE，則∠CAE＝∠BED，然后根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行證明；

（2）連接OE交BC于點(diǎn)H，連接CO，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OE⊥DE，則OE⊥BC，CE＝BE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CE的值，根據(jù)圓周角定理可得∠BAE＝∠BCE，利用三角函數(shù)的概念可得EH的值，由勾股定理可得CH，設(shè)⊙O的半徑為r，則OH＝r-185，然后在Rt△OHC中，由勾股定理計(jì)算即可.20．答案：（1）證明：如圖①中，連接BI.∵DB＝DI，∴∠DBI＝∠DIB，∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，∴∠DBC＝∠IAB，∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，∴點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心.（2）證明：如圖②中，∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，∴△BDE∽△ACE，∴DB∵DB＝DI，∴DI（3）解：如圖③中，作∠BAC的角平分線AD交⊙O于D，連接BD，DC，以D為圓心，DB為半徑作弧，交AD于點(diǎn)I，由（1）點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心.∵IH⊥AC，∴IH是△ABC的內(nèi)切圓的半徑，在△AIH中，∠IAH＝12∴IH＝32∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，∴△BDC是等邊三角形，∴DB＝CB＝8，即DI＝8，作直徑DF，在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，∴DF＝1633，即直徑為∴AI的最大值為163∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑的最大值為8-43.解析：（1）連接BI，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DBI＝∠DIB，由外角的性質(zhì)得∠DIB=∠IAB+∠IBA，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠DBI＝∠IBC+∠DBC，由角平分線的概念以及圓周角定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，則∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，據(jù)此證明；

（2）由圓周角定理可得∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，證明△BDE∽△ACE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及DB＝DI可得結(jié)論；

（3）作∠BAC的角平分線AD交⊙O于D，連接BD，DC，以D為圓心，DB為半徑作弧，交AD于點(diǎn)I，由（1）點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得IH＝3221．答案：（1）證明：連接AD、BD，如圖1所示：∵CD是△ABC的外角∠ECA的平分線，∴∠DCE＝∠DCA，∵∠DCE＝∠BAD，∠DCA＝∠ABD，∴∠BAD＝∠ABD，∴BD=（2）解：∵AB=∴AC=∵BD=∴AC=∴AC＝AD＝BD，∵ABAC∴AB設(shè)AB＝10a，則AD＝BD＝5a，作BF⊥AD于F，如圖2所示：由勾股定理得：BF2＝AB2-AF2＝BD2-DF2，∴（10a）2-（5a-DF）2＝（5a）2-DF2，解得：DF＝4a，∴BF＝(5a)2∴sin∠BDF＝BFBD∵∠ACB＝∠BDF，∴sin∠ACB＝sin∠BDF＝35解析：（1）連接AD、BD，根據(jù)角平分線的概念可得∠DCE＝∠DCA，由圓周角定理可得∠DCE＝∠BAD，∠DCA＝∠ABD，則∠BAD＝∠ABD，據(jù)此證明；

（2）根據(jù)AB=CD可得AC=BD，結(jié)合（1）的結(jié)論以及弧、弦的關(guān)系可得AC＝AD＝BD，則ABAC=ABAD=105，設(shè)AB＝1022．答案：（1）證明：∵E，F(xiàn)為線段OA，OB的中點(diǎn)，∴AB∥EF且AB=2EF，∵AB=2CD，∴EF=CD，EF//∴∠OCD=∠OEF，且∠DOC=∠FOE，在△FOE和△DOC中：∠DOC=∠FOE∠OCD=∠OEF∴△FOE≌△DOC(（2）解：過D點(diǎn)作DH⊥AB于H，∵∠DAB=60°，∴AH=33DH，設(shè)DH=∵AB∥CD，∠DHB=∠ABC=90°，∴四邊形DCBH為矩形，∴BC=DH=3x又AB=2CD，∴BH=AH=x，在Rt△ABC中，由勾