第1章-矢量分析與場論

第1章矢量分析與場論1.1矢量及其代數(shù)運算1.2圓柱坐標系與球坐標系1.3矢量場1.4標量場1.5亥姆霍茲定理習題1.1矢量及其代數(shù)運算1.1.1標量和矢量電磁場中遇到的絕大多數(shù)物理量，能夠容易地區(qū)分為標量（Scalar）和矢量(Vector)。一個僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標量，例如，電壓、溫度、時間、質量、電荷等。實際上，所有實數(shù)都是標量。一個有大小和方向的物理量稱為矢量，電場、磁場、力、速度、力矩等都是矢量。

例如，矢量A可以表示成

A=aA

（1-1-1）

其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A，其大小等于1。圖1-1直角坐標系中一點的投影一個大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一個大小為1的矢量稱為單位矢量（UnitVector）。在直角坐標系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、z軸分量的方向。

空間的一點P(X,Y,Z)能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖1-1所示。從原點指向點P的矢量r稱為位置矢量(PositionVector)，它在直角坐標系中表示為

r=axX+ayY+azZ

（1-1-2）式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。任一矢量A在三維正交坐標系中都可以給出其三個分量。例如，在直角坐標系中，矢量A的三個分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個單位矢量ax、ay、

az

可以將矢量A表示成：

A=axAx+ayAy+azAz

（1-1-3）

矢量A的大小為A：

A=(A2x+A2y+A2z)1/2（1-1-4）1.1.2矢量的代數(shù)運算1.矢量的加法和減法任意兩個矢量A與B相加等于兩個矢量對應分量相加，它們的和仍然為矢量，即

C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)

(1-1-5)

任意兩個矢量A與B的差等于將其中的一個矢量變號后再相加，即

D=A-B=A+(-B)=ax(Ax-Bx)+ay(Ay-By)+az(Az-Bz)(1-1-6)2.矢量的乘積

矢量的乘積包括標量積和矢量積。

1）標量積

任意兩個矢量A與B的標量積(ScalarProduct)是一個標量，它等于兩個矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖1-2所示，記為

A·B=ABcosθ(1-1-7)圖1-2標量積的圖示例如，直角坐標系中的單位矢量有下列關系式：

ax·ay=ay·az=ax·az=0

ax·ax=ay·ay=az·az=1

任意兩矢量的標量積，用矢量的三個分量表示為

A·B=AxBx+AyBy+AzBz

(1-1-9)

標量積服從交換律和分配律，即

A·B=B·A(1-1-10)A·(B+C)=A·B+A·C(1-1-11)(1-1-8)

2）矢量積任意兩個矢量A與B的矢量積（VectorProduct）是一個矢量，矢量積的大小等于兩個矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖1-3所示，記為

C=A×B=anABsinθ(1-1-12)

an=aA×aB（右手螺旋）圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋

(a)矢量積的圖示；(b)右手螺旋矢量積又稱為叉積(CrossProduct)，如果兩個不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個矢量必然相互平行，或者說，兩個相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即

A×B=-B×A

(1-1-13)

A×(B+C)=A×B+A×C(1-1-14)直角坐標系中的單位矢量有下列關系式：

ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ay

ax×ax=ay×ay=az×az=0

在直角坐標系中，矢量的叉積還可以表示為(1-1-15)

=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)(1-1-16)矢量的其他運算詳見附錄一。1.2圓柱坐標系和球坐標系

1.2.1圓柱坐標系

空間任一點P的位置可以用圓柱坐標系中的三個變量(ρ,φ,z)來表示，如圖1-4所示。其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖1-4可以看出，圓柱坐標與直角坐標之間的關系為

x=ρcosφ

y=ρsinφz=z

（1-2-1）如同直角坐標系一樣，圓柱坐標系也具有三個相互垂直的坐標面，如圖1-5所示。

圖1-4圓柱坐標系一點的投影圖1-5圓柱坐標系三個互相垂直的坐標坐標面（1-2-2）表示一個以z軸作軸線的半徑為ρ的圓柱面，ρ的變化范圍為0≤ρ<∞。坐標面（1-2-3）表示一個以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ≤2π。

坐標面

z=常數(shù)（1-2-4）

表示一個平行于xy平面的平面。z的變化范圍為-∞<z<+∞。由于三個面相交成直角，因此能夠建立互相垂直的坐標軸：ρ、φ

和z，相應的單位矢量為aρ、aφ和az，分別指向ρ、φ和z增加的方向。應該指出：圓柱坐標系中的三個單位矢量（與直角坐標系的不同）除az外，aρ和aφ都不是常矢量，它們的方向隨P點的位置不同而變化，但aρ、aφ和az三者始終保持正交關系，并遵循右手螺旋法則，即

aρ×aφ=az,aφ×az=aρ,az×aρ=aφaρ×aρ=aφ×aφ=az×az=

0

（1-2-5）

aρ·aφ=aφ·az=aρ·az=0aρ·aρ=aφ·aφ=az·az=1（1-2-6）圓柱坐標系的位置矢量r可以表示為

r=aρρ+azz

（1-2-7）圖1-6圓柱坐標系單位矢量的變換圓柱坐標系中的單位矢量aρ和aφ在單位矢量ax和ay上的投影示于圖1-6，顯然

aρ=axcosφ+aysinφaφ=ax(-sinφ)+ay

cosφ（1-2-8）

所以，直角坐標系中的單位矢量變換到圓柱坐標系中的單位矢量的表達式寫成矩陣形式為

（1-2-9）將上式求逆即可得到從圓柱坐標系到直角坐標系的轉換關系為（1-2-10）式（1-2-9）和（1-2-10）表明：如果矢量A是在圓柱坐標系給定的，根據(jù)式（1-2-10）可以得到直角坐標系的表達式；反之，若矢量A是在直角坐標系給定的，則根據(jù)式（1-2-9）可以得到圓柱坐標系的表達式。圓柱坐標系中的任意一點P沿ρ、φ和z方向的長度增量分別為

dlρ=dρ,dlφ=ρdφ,dlz=dz

（1-2-11）

它們與沿各自坐標增量之比分別為（1-2-12）圓柱坐標三個坐標面的面元矢量分別為

dSρ=aρρdφdz

（1-2-13）

dSφ=aφdρdz

（1-2-14）

dSz=azρdφdρ（1-2-15）

體積元為

dV=ρdφdρdz（1-2-16）

1.2.2球坐標系

在球坐標系中，空間一點P唯一地用三個坐標變量(r,θ,φ)來表示，如圖1-7所示。此處，位置矢量r又稱為矢徑(RadiusVector)，r是其大小，θ是位置矢量r與z軸的夾角，φ是從+x軸到位置矢量r在xy面上的投影OM之間的夾角。由圖1-7可以看出，球坐標與直角坐標之間的關系為

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφz=rcosθ（1-2-17）

同樣，球坐標也有三個坐標面，如圖1-8所示。坐標面（1-2-18）表示一個半徑為r的球面，r的變化范圍為0≤r<∞。圖1-7球坐標系一點的投影圖1-8球坐標系三個互相垂直的坐標面坐標面

θ=常數(shù)表示一個以原點為頂點、以z軸為軸線的圓錐面，θ的變化范圍為0≤θ≤π。

坐標面（1-2-19）表示一個以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ<2π。球坐標系的位置矢量可以表示為

r=arr(1-2-20)

球坐標系中任意點P(r,θ,φ)的三個單位矢量為ar、aθ和aφ，它們互相正交且遵循右手螺旋法則，即

ar×aθ=aφ,aθ×aφ=ar,aφ×ar=aθ

ar×ar=aθ×aθ=aφ×aφ=0

ar·aθ=aθ·aφ=ar·aφ=0

ar·ar=aθ·aθ=aφ·aφ=1（1-2-21）（1-2-22）

圖1-9球坐標的三個單位矢量在ax、ay和az

上的投影單位矢量ar、aθ和aφ在單位矢量ax、ay

和az上的投影分別示于圖1-9(a)、(b)和(c)。由圖1-9可以得到直角坐標系中的單位矢量變換到球坐標的表達式為（1-2-23）將上式求逆即可得到球坐標中的單位矢量變換到直角坐標的表達式為（1-2-24）式（1-2-23）和（1-2-24）表明：如果矢量A是在球坐標系給定的，根據(jù)式（1-2-24）可以得到直角坐標系的表達式；反之，若矢量A是在直角坐標系給定的，則根據(jù)式（1-2-23）可以得到球坐標系的表達式?？臻g一點P沿r、θ和φ方向的長度增量分別為

dlr=dr,dlθ=rdθ,dlφ=rsinθdφ（1-2-25）

則球坐標中的拉梅常數(shù)為（1-2-26）而沿球面、θ=常數(shù)平面和φ=常數(shù)平面的三個面元矢量分別為

dSr=arr2sinθdθdφ（1-2-27）

dSθ=aθrsinθdrdφ

（1-2-28）

dSφ=aφrdrdθ

（1-2-29）

球坐標的體積元為

dV=r2sinθdrdθdφ（1-2-30）

【例1-1】

將圓柱坐標系中的矢量表達式

轉換為直角坐標系的表達形式。

1.3矢量場1.3.1矢量場的矢量線矢量場空間中任意一點P處的矢量可以用一個矢性函數(shù)A=A(P)來表示。當選定了直角坐標系后，它就可以寫成如下形式：

A=A(x,y,z)（1-3-1）設Ax,Ay,

Az為矢性函數(shù)A在直角坐標系中的三個坐標分量，且假定它們都具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則A又可以表示為

A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)（1-3-2）

所謂矢量線(ＶectorLine)，乃是這樣一些曲線：在曲線上的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上（如圖1-10所示），像靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等，都是矢量線的例子。圖1-10力線圖現(xiàn)在我們來討論矢量線方程的表達式。設P為矢量線上任一點，其矢徑為r，則根據(jù)矢量線的定義，必有

A×dr=

0

（1-3-3）

在直角坐標系中，矢徑r的表達式為

r=axx+ayy+azz

（1-3-4）

將其代入式（1-3-3）即得矢量場的矢量線滿足的微分方程為（1-3-5）【例1-2】

設點電荷q位于坐標原點，它在空間任一點P(x,y,z)處所產生的電場強度矢量為式中，q、ε0

均為常數(shù)，r=axx+ayy+azz為P點的位置矢量。求E的矢量線方程并畫出矢量線圖。圖1-11點電荷的電場矢量線1.3.2矢量場的通量及散度

1.矢量場的通量在矢量場A中取一個面元dS及與該面元垂直的單位矢量n（外法向矢量，如圖1-12所示），則面元矢量表示為

dS=ndS（1-3-6）圖1-12矢量場的通量及散度由于所取的面元dS很小，因此可認為在面元上各點矢量場A的值相同，A與面元dS的標量積稱為矢量場A穿過dS的通量(Ｆlux)，記作

A·dS=ＡcosθdS（1-3-7）

因此矢量場A穿過整個曲面S的通量為（1-3-8）如果S是一個閉曲面，則通過閉合曲面的總通量可表示為（1-3-9）

2.矢量場的散度

1）散度的定義設有矢量場A，在場中任一點P處作一個包含P點在內的任一閉合曲面S，設S所限定的體積為ΔV，當體積ΔV以任意方式縮向P點時，取下列極限:（1-3-10）如果上式的極限存在，則稱此極限為矢量場A在點P處的散度（Divergence），記作（1-3-11）顯然，式（1-3-11）的物理意義是從點P單位體積內散發(fā)的通量。在直角坐標系中，散度的表達式為（1-3-12）

2）哈米爾頓（Hamilton）算子為了方便，我們引入一個矢性微分算子，在直角坐標系中有：（1-3-13）式（1-3-13）稱作哈米爾頓算子，記號(讀作del)是一個微分符號，同時又要當作矢量看待。算子與矢性函數(shù)A的點積為一標量函數(shù)。在直角坐標系中，散度的表達式可以寫為（1-3-14）即矢量函數(shù)A在圓柱坐標系和球坐標系中的散度表達式分別為（1-3-15）（1-3-16）3）高斯散度定理（DivergenceTheorem）在矢量分析中，一個重要的定理是（1-3-17）上式稱為散度定理?！纠?-3】

在矢量場A=axx2+ayxy+azyz中，有一個邊長為1的立方體，它的一個頂點在坐標原點上，如圖1-13所示。試求：（1）矢量場A的散度;（2）從六面體內穿出的通量，并驗證高斯散度定理。圖1-13單位立方體1.3.3矢量場的環(huán)量及旋度

1.環(huán)量的定義設有矢量場A，l為場中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場A環(huán)繞閉合路徑l的線

積分為該矢量的環(huán)量（Circulation），記作（如圖1-14所示）（1-3-18）矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場A性質的重要物理量，同樣都是積分量。為了知道場中每個點上旋渦源的性質，我們引入矢量場旋度的概念。圖1-14矢量場的環(huán)量圖1-15閉合曲線方向與面元的方向示意圖2.矢量場的旋度

1）旋度的定義

設P為矢量場中的任一點，作一個包含P點的微小面元ΔS，其周界為l，它的正向與面元ΔS的法向矢量n成右手螺旋關系(如圖1-15所示)。當曲面ΔS在P點處保持以n為法矢不變的條件下，以任意方式縮向P點，若其極限（1-3-19）圖1-16旋度及其投影稱固定矢量R為矢量A的旋度（Curl或Rotation），記作

rotA=R（1-3-20）

式（1-3-19）為旋度矢量在n方向的投影，如圖1-16所示，即（1-3-21）因此，矢量場的旋度仍為矢量。在直角坐標系中，旋度的表達式為（1-3-22）為方便起見，也引入算子，則旋度在直角坐標系中的表達式為（1-3-23）矢量函數(shù)A在圓柱坐標系和球坐標系中的旋度表達式分別為（1-3-24）（1-3-25）旋度的一個重要性質就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即

▽·(▽×A)≡0

（1-3-26）

這就是說，如果有一個矢量場B的散度等于零，則該矢量B就可以用另一個矢量A的旋度來表示，即當▽·B=0

則有

B=▽×A（1-3-27）2）斯托克斯定理（Stokes'Theorem）矢量分析中另一個重要定理是

（1-3-28）式（1-3-28）稱為斯托克斯定理，其中S是閉合路徑l所圍成的面積，它的方向與l的方向成右手螺旋關系。式（1-3-28）表明：矢量場A的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分（證明從略）。

圖1–17四分之一圓盤【例1-4】

已知一矢量場F=axxy-ay2x,試求：

（1）該矢量場的旋度;（2）該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤的線積分，如圖1-17所示，驗證斯托克斯定理。1.4標量場1.4.1標量場的等值面

一個標量場u可以用一個標量函數(shù)來表示。在直角坐標系中，可將u表示為

u=u(x,y,z)（1-4-1）

令

u(x,y,z)=C,C為任意常數(shù)（1-4-2）式（1-4-2）在幾何上一般表示一個曲面，在這個曲面上的各點，雖然坐標(x,y,z)不同，但函數(shù)值相等，稱此曲面為標量場u的等值面。隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如圖

1-18

所示。同理，對于由二維函數(shù)v=v(x,y)所給定的平面標量場，可按v(x,y)=C得到一系列不同值的等值線。圖1–18標量場的等值面

1.4.2方向導數(shù)

1.方向導數(shù)的定義設P0為標量場u=u(P)中的一點，從點P0出發(fā)引出一條射線l，如圖1-19所示。在l上P0點鄰近取一點P，記線段

P0P=Δl，如果當P→P0時，的極限存在，則稱它為函數(shù)u(P)在點P0處沿l方向的方向導數(shù)(DirectionalDerivative)，

記為：

（1-4-3）圖1-19方向導數(shù)2.方向導數(shù)的計算公式

在直角坐標系中，設函數(shù)u=u(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)處可微，則有（1-4-4）式（1-4-4）中，當Δl→0時δ→0。將上式兩邊同除以Δl并取極限得到方向導數(shù)的計算公式：（1-4-5）式中，cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。1.4.3標量場的梯度

1.梯度的定義方向導數(shù)為我們解決了函數(shù)u(P)在給定點處沿某個方向的變化率問題。然而從場中的給定點P出發(fā)，標量場u在不同方向上的變化率一般說來是不同的，那么，可以設想，必定在某個方向上變化率為最大。為此，我們定義一個矢量G，其方向就是函數(shù)u在點P處變化率為最大的方向，其大小就是這個最大變化率的值，這個矢量G稱為函數(shù)u在點P處的梯度（Gradient），記為（1-4-6）算子▽與標量函數(shù)u相乘為一矢量函數(shù)。在直角坐標系中，梯度又可以表示為（1-4-7）另外，以后我們還經(jīng)常用到標量拉普拉斯算子(LaplaceOperator)，即

▽2=▽·▽（1-4-8）在直角坐標系中標量函數(shù)的拉普拉斯表達式為（1-4-9）標量函數(shù)u在圓柱坐標系中的梯度和拉普拉斯表達式分別為（1-4-10）（1-4-11）標量函數(shù)u在球坐標系中的梯度和拉普拉斯表達式分別為（1-4-12）（1-4-13）

2.梯度的性質梯度有以下重要性質：（1）方向導數(shù)等于梯度在該方向上的投影，即

（1-4-14）

（2）標量場u中每一點P處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù)u(P)增大的方向。也就是說，梯度就是該等值面的法向矢量。（3）▽×▽u≡

0

（1-4-15）

式（1-4-15）表明：如果一個矢量場F滿足▽×F=

0

，即F是一個無旋場，則矢量場F可以用一個標量函數(shù)u的梯度來表示，即F=▽u，該標量函數(shù)稱為勢函數(shù)(PotentialFunction)，對應的矢量場稱為有勢場。如靜電場中的電場強度就可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示。3.梯度的積分

設標量場u，根據(jù)梯度的性質：標量場的梯度F是一個無旋場，則由斯托克斯定理知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零，即而圖1-20無旋場沿不同路徑的積分(如圖1-20所示)，即

這說明積分與路徑無關，僅與始點P1和終點P2的位置有關。又假如選定始點P1為不動的固定點（參考點），P2點為任意動點，則P2點的函數(shù)值可表示為（1-4-16）式（1-4-16）表明：如果已知一個無旋場，選定一個參考點，就可由式（1-4-16）求得其標量場u。如在靜電場中，已知電場強度，就可求得電位函數(shù)（第2章中介紹）。1.5亥姆霍茲定理設一個矢量場A既有散度，又有旋度，則可將其分解為一個無旋場分量A1和一個無散場分量A2之和，即

A=A1+A2（1-5-1）

其中無旋場分量A1的散度不等于零，設為ρ，無散場分量A2的旋度不等于零，設為J，因此有

▽·A=▽·(A1+A2)=▽·A1=ρ

（1-5-2）

▽×A=▽×(A1+A2)=▽×A2=J

（1-5-3）如上可見，矢量場A的散度代表著形成矢量場的一種源——標量源ρ，而矢量場A的旋度代表著形成矢量場的另一種源——矢量源J。一般來說，當一個矢量場的兩類源(ρ,J)

在空間的分布確定時，該矢量場就唯一地確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理(HelmholtzTheorem)。亥姆霍茲定理告訴我們，研究任意一個矢量場（如電場、磁場等）都應該從散度和旋度兩個方面去進行，其中

▽·A=ρ

▽×A=J（1-5-4）

稱此為矢量場基本方程的微分形式?；蛘邚氖噶繄龅耐亢铜h(huán)量兩個方面去研究，即（1-5-5）上式稱為矢量場基本方程的積分形式。習題1.1已知A、B和C為任意矢量，（1）若A·B=A·C，則是否意味著B總等于C呢？試討論之；（2）試證明：A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)。1.2給定三個矢量A、B和C如下：

A=ax+2ay-3azB=-4ay+az

C=5ax-2az求:（1）矢量A的單位矢量aA；（2）矢量A和B的夾角θAB；（3）A·B和A×B;（4）A·(B×C)和(A×B)·C；（5）A×(B×C)和(A×B)×C。1.3有一個二維矢量場F(r)=ax(-y)+ay(x)，

求其矢量線方程，并定性畫出該矢量場圖形。1.4已知直角坐標系中的點P1(-3,1,4)和P2(2,-2,3):（1）在直角坐標系中寫出點P1、P2的位置矢量r1和r2；（2）求點P1到P2的距離矢量的大小和方向;（3）求矢量r1在r2的投影。1.6求數(shù)量場ψ=ln(x2+y2+z2)通過點P(1,2,3)的等值面方程。1.7用球坐標表示的場

，求:（1）在直角坐標系中的點(-3,4,-5)處的|E|和Ez；（2）E與矢量B=2ax-2ay+az之間的夾角。1.8試計算

的值，式中的閉合曲面S是以原點為頂點的單位立方體，r為立方體表面上任一點的位置矢量。

1.9求標量場ψ(x,y,z)=6x2y3+ez在點P(2,-1,0)的梯度。1.10在圓柱體x2+y2=9和平面x=0、y=0、z=0及z=2所包圍的區(qū)域，設此區(qū)域的表面為S:（1）求矢量場A沿閉合曲面S的通量，其中矢量場A的表達式為

A=ax3x2+ay(3y+z)+az(3z-x)（2）驗證散度定理。1.11從P(0,0,0)到Q(1,1,0)計算,其中矢量場A的表達式為

A=ax4x-ay14y2曲線C沿下列路徑：（1）x=t,y=t2;（2）從(0,0,0)沿x軸到(1,0,0)，再沿x=1到(1,1,0)；（3）此矢量場為保守場嗎？1.12（1）若矢量場A=(2+16r2)az，在半徑為2和0≤θ≤π/2的半球面上計算