高三人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布（理）第7節(jié)

第十章（理）第7節(jié)[基礎(chǔ)訓(xùn)練組]1．(導(dǎo)學(xué)號14578007)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：C[畫出正態(tài)分布曲線如圖，結(jié)合圖象知：P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P(0<ξ<2)＝eq\f(1,2)P(0<ξ<4)＝eq\f(1,2)[1－P(ξ<0)－P(ξ>4)]＝eq\f(1,2)(1－0.2－0.2)＝0.3.]2．(導(dǎo)學(xué)號14578008)一臺機床有eq\f(1,3)的時間加工零件A，其余時間加工零件B，加工零件A時，停機的概率為eq\f(3,10)，加工零件B時，停機的概率是eq\f(2,5)，則這臺機床停機的概率為()A.eq\f(11,30) B.eq\f(7,30)C.eq\f(7,10) D.eq\f(1,10)解析：A[加工零件A停機的概率是eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,10)，加工零件B停機的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以這臺機床停機的概率是eq\f(1,10)＋eq\f(4,15)＝eq\f(11,30).故選A.]3．(導(dǎo)學(xué)號14578009)(2018·梅州市一模)箱中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎，現(xiàn)有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是()A.eq\f(16,625) B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625) D.eq\f(4,625)解析：B[從6個球中摸出2個，共有Ceq\o\al(2,6)＝15種結(jié)果，兩個球的號碼之積是4的倍數(shù)，有(1,4)(3,4)，(2,4)(2,6)(4,5)(4,6)，共6種結(jié)果，∴摸一次中獎的概率是eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，∴有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625).故選B.]4．(導(dǎo)學(xué)號14578010)(2018·岳陽市質(zhì)檢)排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局)，甲在每局比賽獲勝的概率都相等為eq\f(2,3)，前2局中乙隊以2∶0領(lǐng)先，則最后乙隊獲勝的概率是()A.eq\f(4,9) B.eq\f(8,27)C.eq\f(19,27) D.eq\f(40,81)解析：C[因為排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局)，甲在每局比賽獲勝的概率都相等為eq\f(2,3)，前2局中乙隊以2∶0領(lǐng)先，則最后乙隊獲勝的概率p＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27).故選C.]5．(導(dǎo)學(xué)號14578011)(2018·合肥市質(zhì)檢)某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生C第一個出場的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,9) D.eq\f(3,20)解析：A[記“學(xué)生A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”為事件M，記“學(xué)生C第一個出場”為事件N.則P(M)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5))，P(MN)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5)).那么“學(xué)生A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生C第一個出場的概率為P(N|M)＝eq\f(PMN,PM)＝eq\f(\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5)),\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5)))＝eq\f(1,3).選A.]6．(導(dǎo)學(xué)號14578012)設(shè)隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則P(Y≥1)＝________.解析：因為X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3).又Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)(1－p)3＝eq\f(19,27).答案：eq\f(19,27)7．(導(dǎo)學(xué)號14578013)高三畢業(yè)時，甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，已知甲、乙二人相鄰，則甲、丙相鄰的概率是________.解析：設(shè)“甲、乙二人相鄰”為事件A，“甲、丙二人相鄰”為事件B，則所求概率為P(B|A)，由于P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，而P(A)＝eq\f(2A\o\al(4,4),A\o\al(5,5))＝eq\f(2,5)，AB是表示事件“甲與乙、丙都相鄰”，故P(AB)＝eq\f(2A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(1,10)，于是P(B|A)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．(導(dǎo)學(xué)號14578014)將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是eq\f(1,2)，則小球落入A袋中的概率為________.解析：記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則事件A的對立事件為B，若小球落入B袋中，則小球必須一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,4)，從而P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．(導(dǎo)學(xué)號14578015)(2018·瀘州市二診)從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本，分別統(tǒng)計出這些試卷總分，由總分得到如下的頻率分布直方圖．(1)求這100份數(shù)學(xué)試卷的樣本平均分eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)．(2)由直方圖可以認(rèn)為，這批學(xué)生的數(shù)學(xué)總分Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(81＜Z＜119)；②記X表示2400名學(xué)生的數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間(81,119)的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)(用樣本的分布估計總體的分布)．附：eq\r(366)≈19，eq\r(326)≈18，若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544.解：(1)由題意，eq\o(x,\s\up6(－))＝60×0.02＋70×0.08＋80×0.14＋90×0.15＋100×0.24＋110×0.15＋120×0.1＋130×0.08＋140×0.04＝100，樣本方差s2＝(60－100)2×0.02＋(70－100)2×0.08＋(80－100)2×0.14＋(90－100)2×0.15＋(100－100)2×0.24＋(110－100)2×0.15＋(120－100)2×0.1＋(130－100)2×0.08＋(140－100)2×0.04＝366.(2)①Z～N(100,192)，P(81＜Z＜119)＝P(100－19＜Z＜100＋19)＝0.6826；②數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間(81,119)的概率為0.6826，X～B(2400,0.6826)，EX＝2400×0.6826＝1638.24.10．(導(dǎo)學(xué)號14578016)某市在對學(xué)生的綜合素質(zhì)評價中，將其測評結(jié)果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個等級，其中不小于80分為“優(yōu)秀”，小于60分為“不合格”，其它為“合格”．(1)某校高一年級有男生500人，女生400人，為了解性別對該綜合素質(zhì)評價結(jié)果的影響，采用分層抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了45名學(xué)生的綜合素質(zhì)評價結(jié)果，其各個等級的頻數(shù)統(tǒng)計如下表：等級優(yōu)秀合格不合格男生(人)155女生(人)153根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”？男生女生總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(2)以(1)中抽取的45名學(xué)生的綜合素質(zhì)評價等級的頻率作為全市各個評價等級發(fā)生的概率，且每名學(xué)生是否“優(yōu)秀”相互獨立，現(xiàn)從該市高一學(xué)生中隨機抽取3人．(ⅰ)求所選3人中恰有2人綜合素質(zhì)評價為“優(yōu)秀”的概率；(ⅱ)記x表示這3人中綜合素質(zhì)評價等級為“優(yōu)秀”的個數(shù)，求x的數(shù)學(xué)期望．參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：(1)設(shè)從高一年級男生中抽出m人，則eq\f(m,500)＝eq\f(45,500＋400)，m＝25.∴x＝25－20＝5，y＝20－18＝2男生女生總計優(yōu)秀151530非優(yōu)秀10515總計252045而K＝eq\f(45×15×5－10×152,30×15×25×20)＝eq\f(9,8)＝1.125<2.706∴沒有90%的把握認(rèn)為“測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”．(2)(ⅰ)由(1)知等級為“優(yōu)秀”的學(xué)生的頻率為eq\f(15＋15,45)＝eq\f(2,3)，∴從該市高一學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，該生為“優(yōu)秀”的概率為eq\f(2,3).記“所選3名學(xué)生中恰有2人綜合素質(zhì)評價為‘優(yōu)秀’學(xué)生”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為：P(A)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)；(ⅱ)由題意知，隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，∴隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.[能力提升組]11．(導(dǎo)學(xué)號14578017)(2018·湛江市二模)設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，則a的值為A.eq\f(7,3) B.eq\f(5,3)C．5 D．3解析：A[∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)∴2a－3與a＋2關(guān)于x＝3對稱，∴2a－3＋a＋2＝6，∴3a＝7，∴a＝eq\f(7,3)，故選A.]12．(導(dǎo)學(xué)號14578018)1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球．則從2號箱取出紅球的概率是()A.eq\f(11,27) B.eq\f(11,24)C.eq\f(16,27) D.eq\f(9,24)解析：A[法一記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球，則根據(jù)古典概型和對立事件的概率和為1，可知：P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；由條件概率公式知P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(3,9).從而P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A|B)·P(B)＋P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(11,27)，選A.法二根據(jù)題意，分兩種情況討論：①從1號箱中取出白球，其概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，此時2號箱中有6個白球和3個紅球，從2號箱中取出紅球的概率為eq\f(1,3)，則此種情況下的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).②從1號箱中取出紅球，其概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).此時2號箱中有5個白球和4個紅球，從2號箱取出紅球的概率為eq\f(4,9)，則這種情況下的概率為eq\f(2,3)×eq\f(4,9)＝eq\f(8,27).則從2號箱取出紅球的概率是eq\f(1,9)＋eq\f(8,27)＝eq\f(11,27).]13．(導(dǎo)學(xué)號14578019)(2018·黔東南州一模)黔東南州雷山西江千戶苗寨，是目前中國乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年來自世界各地的游客絡(luò)繹不絕．假設(shè)每天到西江苗寨的游客人數(shù)ξ是服從正態(tài)分布N(2000,10000)的隨機變量．則每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過2100的概率為________.(參考數(shù)據(jù)：若ξ服從N(μ，δ2)，有P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝0.9544，P(μ－3δ＜ξ≤μ＋3δ)＝0.9974.解析：∵服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量ξ在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率為0.6826，∴每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過2100的概率為eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587.答案：0.158714．(導(dǎo)學(xué)號14578020)(2018·重慶市適應(yīng)性測試)某火鍋店為了解氣溫對營業(yè)額的影響，隨機記錄了該店1月份中5天的日營業(yè)額y(單位：千元)與該地當(dāng)日最低氣溫x(單位：℃)的數(shù)據(jù)，如下表：x258911y1210887(1)求y關(guān)于x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判定y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相