第3章 復變函數(shù)的積分

第3章復變函數(shù)的積分復積分是研究解析函數(shù)的一個重要工具.解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)要利用復積分來證明.例如要證明“解析函數(shù)的導函數(shù)連續(xù)”及“解析函數(shù)的各階導數(shù)存在”這些表面上看來只與微分學有關(guān)的命題，一般均要使用復積分.本章要建立的柯西積分定理及柯西積分公式尤其重要，是復變函數(shù)論的基本定理和基本公式，以后各章都直接地或間接地和它們關(guān)聯(lián).§1復變函數(shù)積分的概念1．積分的定義設(shè)是以為起點，為終點的光滑或分段光滑曲線，復變函數(shù)在上有定義，在上沿著由到的方向依次取分點，，將分成許多小段.對應于每段作乘積，其中是以及為端點的那小段弧上的任意一點再作出和式

圖3.1

令為所有小段的弧長的最大值，當分點無限增多而時如果不論對的分法及的取法如何，有唯一極限，那么稱函數(shù)在上可積，而稱這極限值為函數(shù)沿曲線的積分，記作

2．積分的性質(zhì)由復變函數(shù)積分的定義，不難看出，這個積分具有曲線積分的一切基本性質(zhì)，不待多述.特別，如果在曲線上連續(xù)，，而的長為，則

事實上，我們有兩端取極限，得這里表示連續(xù)函數(shù)（非負的）沿所取的曲線積分（第一型），因此便得不等式的第一部分.又因

所以，這是不等式的第二部分.

3．積分的存在條件與計算設(shè)按段光滑曲線由參數(shù)方程：給出.

若在上連續(xù).則及在上都連續(xù).

記，由于

根據(jù)線積分存在定理，上式取極限時，右端的實部與虛部兩個和式的極限都存在，因而有

因此，當是連續(xù)函數(shù)，而是光滑曲線時，積分是一定存在的.

根據(jù)線積分的計算方法，我們有上式右端可以寫成

所以

例1計算的值，其中為1）沿從到的線段：2）沿從到的線段：與從到的線段：所接成的折線.

解：1）2）

例2

計算，其中為以為中心，為半徑的正向圓周，為整數(shù)

解：的方程可寫作所以（a）上半圓周（b）下半圓周其中設(shè)表示平方根的主值.

例3沿從到的如下路徑求.圖3.2

解：（a）在積分路徑上，主值（b）在積分路徑上，的主值，

例4

計算

是單位正方形的周線

圖3.3

解：因此§2柯西積分定理

1．柯西積分定理

以上的積分定義是對一般連續(xù)函數(shù)給出的，我們所最關(guān)心的當然不是一般連續(xù)函數(shù)的積分，而是解析函數(shù)的積分.下面的定理是解析函數(shù)理論中的基本定理，以后的許多結(jié)果都是建立在這個定理的基礎(chǔ)之上的.為簡單計，稱簡單光滑閉曲線為閉路.沿閉路的積分按逆時針方向取.

定理3.2.1（Cauchy積分定理）如果函數(shù)在閉路上及由所圍成的單連域上是解析的，則證：這個定理本來不作進一步假設(shè)就可證明.但為節(jié)省時間起見，假設(shè)在所圍成的域內(nèi)是連續(xù)的，這時可以利用Green公式但依C-R方程

故得其實Cauchy積分定理的條件還可以放寬一些，不必要求在上也解析.可以證明：只要函數(shù)在所圍成的區(qū)域上（包含邊界在內(nèi)）連續(xù)而在區(qū)域的內(nèi)部解析，仍然有定理3.2.2如果函數(shù)在單連域內(nèi)處處解析，那么函數(shù)沿內(nèi)的任何一條閉路的積分.2．不定積分

由柯西積分定理出發(fā)，還可以推出以下的定理：

定理3.2.3

設(shè)是單連域內(nèi)的一個解析函數(shù)，而和是在內(nèi)連接和的任意兩條按段光滑曲線，則

圖2.3

證：

本定理說明單連域上的解析函數(shù)的積分完全由它的上、下限決定，而與所沿路徑無關(guān).

若點固定而點在內(nèi)變動，則積分

與所沿路徑無關(guān)，是的一個單值函數(shù).關(guān)于有如下定理：

定理3.2.4

若函數(shù)在單連域內(nèi)解析，則也在內(nèi)解析，且

證：這里，圖2.4這兩個線積分是與路線無關(guān)的，因此：同理，于是得

由此可知，函數(shù)是內(nèi)一個解析函數(shù)，而且

下面，再來討論解析函數(shù)積分的計算.首先，引入原函數(shù)的概念：如果函數(shù)的導數(shù)等于即那么稱為的原函數(shù).因此，為的一個原函數(shù).

利用原函數(shù)的這個關(guān)系，可以推得與牛頓-萊布尼茨公式類似的解析函數(shù)的積分計算公式：

定理3.2.5如果在單連域內(nèi)處處解析，為的一個原函數(shù)，那么

這里，為域內(nèi)的兩點.

證：也是的原函數(shù)，所以當時，根據(jù)柯西定理，得，因此例如，由于為的一個原函數(shù)，所以

例1

計算

從到的直線段，利用上定理較簡單

解1

解2

3．復合閉路定理

為了把柯西積分定理推廣到多連域，先建立復合閉路：在的內(nèi)部作閉路，使其把不屬于的部分包圍起來，且它們之間互不相交，互不包含.這樣以為邊界的區(qū)域全含于.取的方向為正向，的方向為負向，組成復合閉路

定理3.2.6

（復合閉路定理）設(shè)函數(shù)在以復合閉路為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，則

（1）

（2）

圖3.5

證：

如圖將區(qū)域分成兩個單連域以表其邊界，則有在相加時，輔助線上的積分兩次且方向相反，所以有特別地如果是由內(nèi)、外兩條閉路、所圍成的環(huán)行域，而在內(nèi)及其邊界上是解析的，則說明在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.這一重要事實，稱為閉路變形原理.

例如，當為以為中心的正向圓周時，.所以，根據(jù)閉路變形原理，對于包含的任何一條閉路都有

例1

計算的值，為包含圓周在內(nèi)的任何正向閉路.

解：設(shè)與是內(nèi)的兩個互不包含也互不相交的正向圓周，而且對被積函數(shù)的兩個奇點與來說，只包圍原點，只包圍，那么圖3.6

§3柯西積分公式

1．柯西積分公式設(shè)是一個單連域，邊界是任意一條逐段光滑閉曲線(閉路)，又是閉區(qū)域上的一個解析函數(shù).則函數(shù)在點不解析，所以積分一般不為零.又根據(jù)閉路變形原理，這積分的值，沿任何一圍繞的閉路都是相同的.因此，我們就取以為中心，半徑為的很小圓周上的函數(shù)值，它與在圓心的函數(shù)值相差很小，這使我們想到積分的值隨的縮小而逐漸接近于其實兩者是相等的，即

定理3.3.1（柯西積分公式）設(shè)函數(shù)在閉路上及其內(nèi)部內(nèi)是解析的，而是內(nèi)的任意一點，則圖3.7

證：在內(nèi)解析.在連續(xù)，由連續(xù)的定義，使當時，成立，在內(nèi)以為中心，為半徑作圓：.則

由積分性質(zhì)有因此，稱為柯西積分公式.

它反映了解析函數(shù)值之間很強的內(nèi)在聯(lián)系，在內(nèi)點的值可以由在邊界上的值通過積分來表示，它不但提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的一種方法，而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式

它也是研究解析函數(shù)的有力工具.

如果是圓周，則

這就是說，一個解析函數(shù)在圓心的值等于它在圓周上的平均值，叫做平均值公式.

柯西積分公式擴充到復合閉路的情況：在前段中我們假定區(qū)域是單連的，不難證明，在前段中所建立的柯西公式可以擴充到多連域.現(xiàn)在就來考慮一個多連域，它的邊界是一條復合閉路，由有限條逐段光滑的閉曲線所組成.

假定是閉區(qū)域上的一個解析函數(shù)，我們來建立柯西積分公式

這里是區(qū)域的任一點，而積分是沿復合閉路的正方向取的.為了證明這個公式，我們環(huán)繞點取這樣小的一條閉路.圖3.8

使得在這條閉路上與它內(nèi)部的一切點都在區(qū)域內(nèi)，考慮復合閉路，這條復合閉路是在原來的閉路上添上取反方向的曲線構(gòu)成的.用表示以為邊界的區(qū)域.于是很明顯，函數(shù)在閉區(qū)域上是解析的，因而根據(jù)柯西定理，有：

或即

于是

這里積分是沿閉路與的正方向取的.因為函數(shù)在閉路的內(nèi)部與上的每一點都是解析的，所以根據(jù)前段中的結(jié)果，

即

思考題：若，則柯西積分公式之值為何？

例1

解：被積函數(shù)有兩個奇點和

奇點為

無奇點，故奇點奇點，，用復合閉路定理

課堂練習

1．2．中心為半徑為的圓周

3．

例2沿下列各點為中心，半徑為1的正向圓周求積分.（1）（2）（3）（4）

解：（1）設(shè)則因為在邊界上及其內(nèi)部解析，所以（2），是的內(nèi)部的點，因在邊界上及其內(nèi)部解析，所以

（3），是的內(nèi)部的點，在邊界上及其內(nèi)部解析故

（4），在邊界上及其內(nèi)部解析，故

例3.

求積分

圖2.9

解：

2．解析函數(shù)的高階導數(shù)直到目前為止，我們說復變數(shù)的一個單值函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)是解析的，是指它在這個區(qū)域的每一點都有有限導數(shù).在實變函數(shù)的情形，從有限導函數(shù)的存在性推不出這個導函數(shù)的連續(xù)性，但是在復變函數(shù)的情形，卻有下面這個異常重要的定理成立：假如復變數(shù)的單值函數(shù)在區(qū)域內(nèi)到處都有一級導數(shù)，那么它在這個區(qū)域內(nèi)就有一切高階的導函數(shù).

附注：很明顯，這個定理不僅肯定了區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)的一切階的導函數(shù)的存在，而且也肯定了這些導函數(shù)的連續(xù)性.在上可微，但其導函數(shù)在點不連續(xù)，因此不可微.

但是實函數(shù)是不行的，例如

定理3.3.2如果函數(shù)在閉路上及其所圍成的單連域內(nèi)是解析的，則在內(nèi)任意一點，函數(shù)有任意階導數(shù)，且在內(nèi)下列公式成立.證：情形，即要證根據(jù)定義從柯西積分公式得從而有讓趨向于零，如果在積分符號下取極限，從上式可以得到：

剩下來只要證明：在這里，這種形式地取極限的確是可以的，為此作差.設(shè)

則因為在上解析，所以在上連續(xù)，故有界，即存在一個正數(shù)，使得，在上成立.

設(shè)為從到曲線上各點的最短距離，并取適當小，使?jié)M足圖2.10于是我們有注意此處

所以，，其中為長，若，則，從而得再利用上述同樣的方法，求便可得到這里我們已經(jīng)證明了一個解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)，依次類推，用數(shù)學歸納法可以證明公式指出，要得到函數(shù)的導函數(shù)，只要在積分號下對形式地求導就行了.

例1（柯西不等式）設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，，為圓周，且及其內(nèi)部全含于，則有其中

證：

故

例2求下列積分的值，其中為正向圓周.1）2）3）

解：1）函數(shù)

在內(nèi)的處不解析.但在上及其內(nèi)部卻是處處解析的.根據(jù)公式，有2）函數(shù)在內(nèi)的處不解析，在內(nèi)以為中心作一個正向圓周，以為中心作一個正向圓周那么函數(shù)在由，和所圍成的區(qū)域中是解析的.

根據(jù)復合閉路定理圖3.11同樣可得

所以3）被積函數(shù)在積分路線的內(nèi)部有兩個奇點，故首先要應用復合閉路定理，然后再應用高階導數(shù)公式，在內(nèi)作圓周，，則

圖3.12

而

所以

例4在單位圓上及內(nèi)部解析，證明

證：

例3在圓上及內(nèi)部解析，證明

在內(nèi)

證：右左

例5設(shè)函數(shù)在復平面上處處解析，且有，為兩個任意相異復數(shù)，為證明：，并推出.

證：由柯西不等式，有當時，上式右端，故.

又由，從而得

例6設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)的任意一條正向簡單閉曲線，證明：對在內(nèi)但不在上的任意一點，等式成立.

證：若點在的外部，左、右兩端全為0，等式顯然成立.另一方面，由高階導數(shù)公式

否則由柯西積分公式

例7在區(qū)域內(nèi)解析，，證明若是一個充分小的，以為心的圓，那么

證：設(shè)，，那么

例8若在單位圓內(nèi)解析，且則

證：取為圓，由假設(shè)知在上及其內(nèi)解析，故于是得

例9設(shè)函數(shù)在上解析，且，計算積分

解：原式

例10設(shè)，求

解：設(shè)則例11.設(shè)，求，.解：由柯西積分公式這樣，

故，

§3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)

如果二元實函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足二維拉普拉斯（Laplace）方程

則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，或說在內(nèi)調(diào)和.

由定理3.3.2可知解析函數(shù)的實部和虛部有任意階偏導數(shù).在C-R方程中兩端分別對與求偏導數(shù)，得因有任意階偏導數(shù)，故二階偏導數(shù)連續(xù)，所以

于是有

同理有

定理1

在區(qū)域內(nèi)解析是內(nèi)的調(diào)和函數(shù).

注：定