高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第1講 任意角、弧度制和任意角的三角函數(shù)分層演練直擊高考 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第1講任意角、弧度制和任意角的三角函數(shù)1．若角θ同時(shí)滿足sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊一定落在第________象限．[解析]由sinθ<0，可知θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tanθ<0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，可知θ的終邊只能位于第四象限．[答案]四2．一扇形的圓心角為120°，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為________．[解析]設(shè)扇形半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.則(R－r)sin60°＝r，即R＝(1＋eq\f(2\r(3),3))r.又S扇＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×R2＝eq\f(π,3)R2＝eq\f(7＋4\r(3),9)πr2，所以eq\f(S扇,πr2)＝eq\f(7＋4\r(3),9).[答案](7＋4eq\r(3))∶93．已知角α和角β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且β＝－eq\f(π,3)，則sinα＝________．[解析]因?yàn)榻铅梁徒铅碌慕K邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，即得sinα＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)4．設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是第________象限角．[解析]因?yàn)棣仁堑谌笙藿?，所以eq\f(θ,2)為第二或第四象限角．又因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，所以coseq\f(θ,2)＜0，知eq\f(θ,2)為第二象限角．[答案]二5．已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，y)(y≠0)，且sinα＝eq\f(1,2)y，則cosα－eq\f(1,tanα)＝________.[解析]由已知得r＝OP＝eq\r(3＋y2)，所以sinα＝eq\f(y,2)＝eq\f(y,\r(3＋y2)).所以2＝eq\r(3＋y2)，所以y2＝1，所以y＝±1，故sinα＝±eq\f(1,2)，cosα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝±eq\f(\r(3),3).則cosα－eq\f(1,tanα)＝eq\f(\r(3),2)或－eq\f(3\r(3),2).[答案]eq\f(\r(3),2)或－eq\f(3\r(3),2)6．(2018·連云港質(zhì)檢)已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sineq\f(2π,3)，coseq\f(2π,3))，則角α的最小正值為________．[解析]因?yàn)?sineq\f(2π,3)，coseq\f(2π,3))＝(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，所以角α為第四象限角，且sinα＝－eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(\r(3),2).所以角α的最小正值為eq\f(11π,6).[答案]eq\f(11π,6)7．若角β的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,4)，sin\f(3π,4)))，則sinβ＝________，tanβ＝________．[解析]因?yàn)棣碌慕K邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,4)，sin\f(3π,4)))，所以β的終邊所在直線為y＝－x，則β在第二或第四象限．所以sinβ＝eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)，tanβ＝－1.[答案]eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)－18.如圖，角α的終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn)，半徑為1)相交于第二象限的點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(3,5)))，則cosα－sinα＝________．[解析]由題圖知sinα＝eq\f(3,5)，又點(diǎn)A在第二象限，故cosα＝－eq\f(4,5).所以cosα－sinα＝－eq\f(7,5).[答案]－eq\f(7,5)9．函數(shù)y＝eq\r(sinx)＋eq\r(\f(1,2)－cosx)的定義域是________．[解析]由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,\f(1,2)－cosx≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx≤\f(1,2).))所以x的取值范圍為eq\f(π,3)＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，π＋2kπ))(k∈Z)10．當(dāng)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)eq\f(2π,3)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________．[解析]由題意知點(diǎn)Q是角eq\f(2π,3)的終邊與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，故Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))11．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大?。?2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB.[解]設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))所以α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：因?yàn)?r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)(eq\f(l＋2r,2))2＝eq\f(1,4)×(eq\f(8,2))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.所以圓心角α＝2，弦長(zhǎng)AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：因?yàn)?r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當(dāng)且僅當(dāng)r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.所以弦長(zhǎng)AB＝2sin1×2＝4sin1.12．已知sinα<0，tanα>0.(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限．[解](1)由sinα<0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由