高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題2.1 函數(shù)的概念及其表示方法（講）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專(zhuān)題2.1函數(shù)的概念及其表示方法【考綱解讀】?jī)?nèi)容要求備注ABC函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ函數(shù)的概念

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1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．2．了解映射的概念，在實(shí)際情景中會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)．3．了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．【直擊教材】1．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x－4),|x|－5)的定義域是________________．【答案】[4,5)∪(5，＋∞)2．已知f(eq\r(x))＝x－1，則f(2)＝________.【答案】3【解析】令eq\r(x)＝2，則x＝4，所以f(2)＝3.3．已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，則f(－a)＝________.【答案】0【知識(shí)清單】1．函數(shù)映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱(chēng)稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y＝f(x)，x∈A對(duì)應(yīng)f：A→B是一個(gè)映射2．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖像法、列表法．4．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．【考點(diǎn)深度剖析】本節(jié)是函數(shù)的起始部分，以考查函數(shù)的概念、三要素及表示法為主，同時(shí)函數(shù)的圖像、分段函數(shù)的考查是熱點(diǎn)，另外，實(shí)際問(wèn)題中的建模能力偶有考查．特別是函數(shù)的表達(dá)式及圖像，仍是2018年高考考查的重要內(nèi)容．【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1函數(shù)與映射的概念【1-1】函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(1－|x－1|),ax－1)(a＞0且a≠1)的定義域?yàn)開(kāi)___________________．【答案】(0,2]【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x－1|≥0，,ax－1≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x≠0))?0＜x≤2，故所求函數(shù)的定義域?yàn)?0,2]．【1-2】給出四個(gè)命題：①函數(shù)是其定義域到值域的映射；②f(x)＝eq\r(x－3)＋eq\r(2－x)是函數(shù)；③函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線(xiàn)；④f(x)＝eq\f(x2,x)與g(x)＝x是同一個(gè)函數(shù)．其中正確的有________．【答案】①【解析】由函數(shù)的定義知①正確．②中滿(mǎn)足f(x)＝eq\r(x－3)＋eq\r(2－x)的x不存在，所以②不正確．③中y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線(xiàn)上的一群孤立的點(diǎn)，所以③不正確．④中f(x)與g(x)的定義域不同，∴④也不正確．【1-3】(1)函數(shù)f(x)＝lneq\f(x,x－1)＋的定義域?yàn)開(kāi)_______．(2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[1,2017]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(fx＋1,x－1)的定義域是____________．【答案】(1)(1，＋∞)(2){x|0≤x≤2016，且x≠1}規(guī)律方法【思想方法】一、①判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為映射，關(guān)鍵看是否滿(mǎn)足“集合A中元素的任意性，集合B中元素的唯一性”．②判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)f：A→B是否為函數(shù)，一看是否為映射；二看A，B是否為非空數(shù)集．若是函數(shù)，則A是定義域，而值域是B的子集．③函數(shù)的三要素中，若定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只需判斷定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是否分別相同．二、求函數(shù)定義域的類(lèi)型及求法(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解．(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解．(3)若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．【溫馨提醒】不要混淆“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個(gè)映射，A、B若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù)．考點(diǎn)2求函數(shù)的解析式已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．【答案】f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x(x∈R)．已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)．【解析】法一：設(shè)t＝eq\r(x)＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1(eq\r(x)＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．定義在(－1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函數(shù)f(x【答案】f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，x∈(－1,1)．【思想方法】1.求函數(shù)解析式的四種常用方法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式；(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程求出f(x)．2.分段函數(shù)“兩種”題型的求解策略(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解．(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．【溫馨提醒】解決函數(shù)的一些問(wèn)題時(shí)，要注意“定義域優(yōu)先”的原則．當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論．考點(diǎn)三分段函數(shù)角度一：分段函數(shù)的函數(shù)求值問(wèn)題【3－1】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x<1，,2x－1，x≥1，))則f(－2)＋f(log212)＝________.【答案】9【解析】根據(jù)分段函數(shù)的意義，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.【3－2】(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，則b＝________.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x<1，,，x≥1，))則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________．【答案】(1)eq\f(1,2)(2)(－∞，8]角度二：分段函數(shù)的自變量求值問(wèn)題【3－3】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)，x∈[0，＋∞，,|sinx|，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))))，若f(a)＝eq\f(1,2)，則a＝________.【解析】若a≥0，由f(a)＝eq\f(1,2)得，aeq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,4)；若a<0，則|sina|＝eq\f(1,2)，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，解得a＝－eq\f(π,6).綜上可知，a＝eq\f(1,4)或－eq\f(π,6).【答案】eq\f(1,4)或－eq\f(π,6)角度三：分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題【3－4】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2ax，x≥2，,2x＋1，x<2，))若f(f(1))>3a2，則a的取值范圍是________．【答案】(－1,3)【思想方法】(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值．首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解．(2)已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．【溫馨提醒】當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論．【易錯(cuò)試題常警惕】1．求函數(shù)的解析式時(shí)要充分根據(jù)題目的類(lèi)型選取相應(yīng)的方法，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域．2．分段函數(shù)無(wú)論分成幾段，都是一個(gè)函數(shù)，不要誤解為是“由幾個(gè)函數(shù)組成”．求分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類(lèi)討論．已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)＝________.【答案】x2－1(x≥1)【解析】令x＋1＝t，則x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域也是解析式中x的范圍，不要和f(x)的定義域相混．2．易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個(gè)映射，A，B若不是