高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題1 集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用專題限時(shí)集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(三)基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用(建議用時(shí)：45分鐘)一、填空題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．1[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是減函數(shù)，且f(1)＝1>0，f(e)＝eq\f(1,e)－1<0，所以f(x)在(1，e)上有唯一零點(diǎn)．]2．(2016·無(wú)錫期中)若函數(shù)f(x)＝ln|x－a|(a∈R)滿足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)在(－∞，m)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______．3[由f(3＋x)＝f(3－x)得f(x)關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，又f(x)＝ln|x－a|，故a＝3.又f(x)在(－∞，m)單調(diào)遞減，故實(shí)數(shù)m的最大值為3.]3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx<0，,log2xx>0，))若直線y＝m與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(0,1)[在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx<0，,log2xx>0))的圖象，可見(jiàn)當(dāng)0<m<1時(shí)，直線y＝m與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．]4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0，,|log2x|x>0，))則方程f(x)＝eq\f(1,2)的解集為_(kāi)_______．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)，\r(2)))[當(dāng)x≤0時(shí)，解2x＝eq\f(1,2)，得x＝－1；當(dāng)x>0時(shí)，解|log2x|＝eq\f(1,2)，得x＝eq\f(\r(2),2)或x＝eq\r(2).所以方程f(x)＝eq\f(1,2)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)，\r(2))).]5．函數(shù)f(x)＝log2(4－x2)的值域?yàn)開(kāi)_______．(－∞，2][∵x2≥0，∴0<4－x2≤4，令t＝4－x2，則0<t≤4，根據(jù)y＝log2t的圖象，可知y≤log24＝2.∴值域?yàn)?－∞，2]．]6．設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則a，b，c按從大到小的順序排列為_(kāi)_______．a(chǎn)>b>c[由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象得log32>log52>log72，所以a>b>c.]7．(2016·鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，0＜x＜2，,\f(x＋2,2x)，x≥2，))若0＜a＜b＜c，滿足f(a)＝f(b)＝f(c)，則eq\f(ab,fc)的范圍是________．(1,2)[如圖所示，∵0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，∴－log2a＝log2b，即ab＝1，又由圖可知eq\f(1,2)＜f(x)＜1，故1＜eq\f(1,fx)＜2，∴eq\f(ab,fc)＝eq\f(1,fc)∈(1,2)．]8．(2016·南通三模)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax(a∈R)，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x≥0，,f′x，x＜0))(f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù))．若方程g(f(x))＝0有四個(gè)不等的實(shí)根，則a的取值范圍是________．(－∞，0)∪(2，＋∞)[當(dāng)a＝0時(shí)，g(f(x))＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)a≠0時(shí)，∵f(x)＝x2＋ax，∴f′(x)＝2x＋a，∴g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax，x≥0，,2x＋a，x＜0.))當(dāng)f(x)≥0時(shí)，由f2(x)＋af(x)＝0得f(x)＝0或f(x)＝－a，即x2＋ax＝0或x2＋ax＝－a.由x2＋ax＝0得x＝0或x＝－a.①當(dāng)a＞0時(shí)，方程x2＋ax＝－a無(wú)解；②當(dāng)a＜0時(shí)，方程x2＋ax＝－a可化為x2＋ax＋a＝0，由Δ＝a2－4a＞0得方程x2＋ax＝－a有兩個(gè)不等實(shí)根．且0，－a不是方程的根．當(dāng)f(x)＜0時(shí)，2f(x)＋a＝0.①當(dāng)a＜0時(shí)，方程2x2＋2ax＋a＝0無(wú)實(shí)根；②當(dāng)a＞0時(shí)，Δ＝4a(a－2)．當(dāng)a＝2時(shí)，方程有且只有一根；當(dāng)a＞2時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根．綜上所述，當(dāng)a＜0或a＞2時(shí)，方程g(f(x))＝0有四個(gè)不等的實(shí)根．]9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2，當(dāng)x>1時(shí)，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且若直線y＝kx與函數(shù)y＝f(x)的圖象恰有5個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19592009】2eq\r(2)－2[由x>1時(shí)，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＝f(x)＋1，可得：當(dāng)x∈[n，n＋1]，n∈N*時(shí)，f(x)＝f(x－1)＋1＝f(x－2)＋2＝…＝f(x－n)＋n＝(x－n)2＋n.因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因此要使直線y＝kx與函數(shù)y＝f(x)恰有5個(gè)不同的公共點(diǎn)，只需滿足當(dāng)x>0時(shí)，直線y＝kx與函數(shù)y＝f(x)恰有2個(gè)不同的公共點(diǎn)．作出x>0時(shí)函數(shù)y＝f(x)的圖象，由圖可知，當(dāng)直線y＝kx與曲線段y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]相切時(shí)，直線與函數(shù)y＝f(x)恰有5個(gè)不同的公共點(diǎn)．由直線方程y＝kx與y＝(x－1)2＋1，x∈[1,2]聯(lián)立方程組，消去y得：x2－(2＋k)x＋2＝0，因?yàn)橄嗲?，所以Δ?2＋k)2－8＝0.又k>0，所以k＝2eq\r(2)－2.]二、解答題10．(2016·南通二調(diào))設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋k＋1)eq\r(x－k)，g(x)＝eq\r(x－k＋3)，其中k是實(shí)數(shù)．(1)若k＝0，解不等式eq\r(x)·f(x)≥eq\f(1,2)eq\r(x＋3)·g(x)；(2)若k≥0，求關(guān)于x的方程f(x)＝x·g(x)實(shí)根的個(gè)數(shù)．[解](1)當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)＝(x＋1)eq\r(x)，g(x)＝eq\r(x＋3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3≥0，))得x≥0.3分此時(shí)，原不等式為(x＋1)x≥eq\f(1,2)(x＋3)，即2x2＋x－3≥0，5分解得x≤－eq\f(3,2)或x≥1.所以原不等式的解集為[1，＋∞).6分(2)當(dāng)k≥0時(shí)，由方程f(x)＝xg(x)得，(x＋k＋1)eq\r(x－k)＝xeq\r(x－k＋3).①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－k≥0，,x－k＋3≥0，))得x≥k，所以x≥0，x－k＋1＞0.8分方程①兩邊平方，整理得(2k－1)x2－(k2－1)x－k(k＋1)2＝0(x≥k)．②當(dāng)k＝eq\f(1,2)時(shí)，由②得x＝eq\f(3,2)，所以原方程有唯一解，當(dāng)k≠eq\f(1,2)時(shí)，由②得判別式Δ＝(k＋1)2(3k－1)2，10分①當(dāng)k＝eq\f(1,3)時(shí)，Δ＝0，方程②有兩個(gè)相等的根x＝eq\f(4,3)＞eq\f(1,3)，所以原方程有唯一的解．②當(dāng)0≤k＜eq\f(1,2)且k≠eq\f(1,3)時(shí)，方程②整理為[(2k－1)x＋k(k＋1)](x－k－1)＝0，解得x1＝eq\f(kk＋1,1－2k)，x2＝k＋1.由于Δ＞0，所以x1≠x2，其中x2＝k＋1＞k，x1－k＝eq\f(3k2,1－2k)≥0，即x1≥k.故原方程有兩解.12分③當(dāng)k＞eq\f(1,2)時(shí)，由②知x1－k＝eq\f(3k2,1－2k)＜0，即x1＜k，故x1不是原方程的解．而x2＝k＋1＞k，故原方程有唯一解．綜上所述，當(dāng)k≥eq\f(1,2)或k＝eq\f(1,3)時(shí)，原方程有唯一解；當(dāng)0≤k＜eq\f(1,2)且k≠eq\f(1,3)時(shí)，原方程有兩解.14分11．某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售量為8萬(wàn)件．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入eq\f(1,5)x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．[解](1)設(shè)每件定價(jià)為x元，依題意，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(x－25,1)×0.2))x≥25×8，2分整理得x2－65x＋1000≤0，解得25≤x≤40.4分∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元.6分(2)依題意，x>25時(shí)，不等式ax≥25×8＋50＋eq\f(1,6)(x2－600)＋eq\f(1,5)x有解，等價(jià)于x>25時(shí)，a≥eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x＋eq\f(1,5)有解.