2022年中考數(shù)學(xué)：圖形的變化（一）

2022年中考數(shù)學(xué)專題：圖形的變化(一)

1.如圖，^OABC的頂點(diǎn)。(0,0),4(1,2)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，延長

84交y軸于點(diǎn)。.將^ODA繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△,當(dāng)點(diǎn)D

的對應(yīng)點(diǎn)D,落在。4上時(shí)，的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐

標(biāo)為()

A.(2V3,0)B.(2V5,0)C.(2V3+1,0)D.(2遮+1,0)

2.下列幾何體的主視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

3.如圖，直線，，機(jī)相交于點(diǎn)。.P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP=2.8.若

點(diǎn)P關(guān)于直線I,m的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Pi,P2,則尸】，P2之間的

距離可能是()

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(-4,2)關(guān)于%軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)

A.(-4,2)B.(4,2)C.(-4,-2)D.(4,-2)

5.下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是()

A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.圓

6.從背面朝上的分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大

小相同的卡片中，隨機(jī)抽取一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸

對稱圖形的概率為（）

113

A.-B.-C.-D.1

424

7.下列垃圾分類標(biāo)識(shí)圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

△

XD.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)4（-3,-2）向右平移5個(gè)單位長度得到點(diǎn)B,則

點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）

A.(2,2)B.(-2,2)C.(—2,—2)D.(2,-2)

9.如圖.將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4a得到菱形AB'C'D',NB=

邛.當(dāng)AC平分乙B'AC'時(shí)，4a與“滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

3za+2“

A.4a=240B.24a=34夕C.+40=180。D.

=180°

10.如圖，在AAOB中，AO=1,B0=4B=|.將AAOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)90°,得到△A'OB',連接AA,.則線段AA'的長為()

B'B

33

A.1B.V2C.-D.-V2

11.已知點(diǎn)A為直線了=-2久上一點(diǎn)，過點(diǎn)4作4B〃x軸，交雙曲線y=：于點(diǎn)

B.若點(diǎn)4與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為—.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0.3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4.0),

連接AB,若將AABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A'BO',則點(diǎn)4的

13.如圖，將三角形紙片/回折疊，使點(diǎn)B、。都與點(diǎn)力重合，折痕分別為DE、

FG.已知乙4cB=15。，AE=EF,DE=遮，則8C的長為.

14.如圖，岡中，區(qū)，回，將區(qū)1繞點(diǎn)□逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)□得到□,連

接區(qū)，則國的值是,

BA

15.在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂

點(diǎn)都在正方形邊上.小紅利用兩張邊長為2的正方形紙片，按要求剪出了一

個(gè)面積最大的正三角形和一個(gè)面積最小的正三角形.則這兩個(gè)正三角形的邊

長分別是—.

16.已知菱形4BCD的面積為2次，點(diǎn)E是一邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線BD

上的動(dòng)點(diǎn).連接AE,若4E平分乙BAC,則線段PE與PC的和的最小值

為,最大值為.

17.如圖，在RPABC中，^BAC=90°，4B=2應(yīng)，4C=6,點(diǎn)E在線段

4c上，且4E=1,D是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，把四邊形ABDE

沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí)，

AF=.

18.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12,點(diǎn)F是力。上一點(diǎn)，將ACDF沿

CF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接DG并延長交AB于點(diǎn)E.若AE=5,

則GE的長為.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-3,3),

將點(diǎn)4繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

C*<5

20.如圖，將矩形紙片ABCD折疊（AD>AB）,使AB落在AD上，AE為折

痕，然后將矩形紙片展開鋪在一個(gè)平面上，E點(diǎn)不動(dòng)，將BE邊折起，使

點(diǎn)B落在AE上的點(diǎn)G處，連接DE,若DE=EF,CE=2,則AD的

長為—.

21.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在^ABCD中，

BELAD,垂足為E,F為CD的中點(diǎn)，連接EF,BF,試猜想EF與

BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖①圖②圖③

獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將SABCD沿著BF（F為CD的

中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C-,連接DC并延長交

AB于點(diǎn)G,請判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將SABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，如

圖③，點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)為A',使A'B1CD于點(diǎn)H,折痕交AD于點(diǎn)M,

連接A'M，交CD于點(diǎn)N.該小組提出一個(gè)問題：若此^ABCD的面積為

20,邊長48=5,BC=2V5，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.請

你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

22.如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=3,點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)（靠近

點(diǎn)4），點(diǎn)尸為線段CD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C）,且CE1AB.將4BCE沿CE

對折，BC邊與4。邊交于點(diǎn)G,且DC=DG.

（1）證明：四邊形AEC尸為矩形；

（2）求四邊形4ECG的面積.

23.x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C,直線y=-|x+2B,C兩點(diǎn)，連接AC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：AAOC-AACB；

（3）點(diǎn)”（3,2）是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的

一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DElx軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)、P為拋物線對稱軸上

一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求PO+PM的最小值.

24.在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，若身旁沒有量角器或三角

尺，又需要作60。，30。，15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：對折矩形紙片ABCD，使4。與BC重合，得到折痕EF，把紙

片展開(如圖1).

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到

折痕BM,同時(shí)得到線段BN(如圖2).

猜想論證：

(1)若延長MN交BC于點(diǎn)P,如圖3所示，試判定ABMP的形狀，并

證明你的結(jié)論.

拓展探究：

(2)在圖3中，若4B=a,BC=b,當(dāng)a,b滿足什么關(guān)系時(shí)，才能

在矩形紙片ABCD中剪出符合(1)中結(jié)論的三角形紙片BMP?

圖1圖2圖3

25.實(shí)踐與探究

操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD,將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線

折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,折痕為

AE,再將紙片沿過點(diǎn)4的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF,

則^EAF=度.

操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N.我

們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，點(diǎn)N的位置也不同.當(dāng)點(diǎn)E在8C邊的

某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落在折痕AE上，則乙4EF=度.

在圖②中，運(yùn)用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

(1)設(shè)AM與NF的交點(diǎn)為點(diǎn)P.求證：AANP三AFNE；

(2)若=,則線段AP的長為

D

尸

BEC

圖①圖②

26.學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后,小明知道，將點(diǎn)P繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定

的角度a,能得到一個(gè)新的點(diǎn)P'經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)

P在某函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P'也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成

一個(gè)新的圖形.

試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)A的坐標(biāo)、角度a的大小來解決相關(guān)問題.

【初步感知】

如圖1,設(shè)力(LI),a=90。，點(diǎn)P是一次函數(shù)y=kx+b圖象上的動(dòng)點(diǎn)，

已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)呂(-1,1).

(1)點(diǎn)Pi旋轉(zhuǎn)后,得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(1,3)_；

(2)若點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過點(diǎn)P/(2,l),求原一次函數(shù)的表達(dá)式.

【深入感悟】

如圖2,設(shè)4(0,0),a=45。，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=-^(x<0)的圖象上

的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作二、四象限角平分線的垂線，垂足為M,求AOMP'的

面積.

【靈活運(yùn)用】

如圖3,設(shè)>1(1,-V3)，a=60。，點(diǎn)P是二次函數(shù)y=|X2+2V3X+7圖

象上的動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)B(2.0)、C(3,0)，試探究4BCP的面積是否有最小值?

若有，求出該最小值；若沒有，請說明理由.

27.數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題.

如圖，已知AABC中，AB=AC=m,BC=n,/.BAC=a(00<a<180°),

點(diǎn)P為平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，連接CP,將線段CP繞

點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得線段PD,連接CD、2P點(diǎn)E、F分別為BC、

CD的中點(diǎn)，設(shè)直線AP與直線EF相交所成的較小角為。，探究器的值

和B的度數(shù)與小、n、a的關(guān)系.

請你參與學(xué)習(xí)小組的探究過程，并完成以下任務(wù)：

(1)填空：

【問題發(fā)現(xiàn)】

小明研究了a=60°時(shí)，如圖1,求出了胃的值和0的度數(shù)分別為

小紅研究了a=90。時(shí)，如圖2,求出了胃的值和P的度數(shù)分別為

【類比探究】

他們又共同研究了a=120。時(shí)，如圖3,也求出了胃的值和B的度數(shù)；

【歸納總結(jié)】

最后他們終于共同探究得出規(guī)律：*=—(用含m、n的式子表示)；

/?=—(用含a的式子表示).

(2)求出a=120。時(shí)M的值和B的度數(shù).

cc

28.如圖，在RtdABC中，〃CB=90。，NA=60。，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，連

接CD,將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(60°<a<120°)得到線段ED,

且ED交線段BC于點(diǎn)G,“DE的平分線DM交BC于點(diǎn)H.

(1)如圖1,若a=90。，則線段ED與BD的數(shù)量關(guān)系是—，*=—

(2)如圖2,在(1)的條件下，過點(diǎn)C作CF//DE交DM于點(diǎn)F,連接

EF,BE.

①試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；

②求證：詈=手；

FH3

(3)如圖3,若AC=2,tan(a-60°)=m,過點(diǎn)C作CF//DE交DM于

點(diǎn)F,連接EF,BE,請直接寫出器的值(用含m的式子表示).

rn

29.如圖，邊長為1的正方形力BCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).連接BE,將4ABE沿

BE折疊得到AFBE,BF交ZC于點(diǎn)G,求CG的長.

DC

30.如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，乙4EB=90。，將Rt4ABE繞A點(diǎn)逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到AADF,DF的延長線交BE于H點(diǎn).

(1)試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；

(2)已知BH=7,BC=13,求OH的長.

H

E

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參考答案

1.B

[※解析※]

延長4。交y軸于點(diǎn)E,延長D'A',由題意的延長線經(jīng)過點(diǎn)C,如圖,

:.AD=1,0D=2,

???0A=y/AD2+0D2=V12+22=V5.

由題意：△OA'D'^AOAD,

.-.A'D'=AD=1,OA'=0A=y[5,OD'=0D=2,^A'D'O=^ADO=90°,

/,A'OD'=乙DOD'.

則OD'LA'E,。4平分AA'OE,

A'OE為等腰三角形.

???OE=OA'=V5,ED'=A'D'=1.

vEO1.OC,OD'1EC,

AOED'ACEO.

EDrEO

**ODi-OC*

?—1——V5

-2—OC'

oc=2V5.

C(2>/5,0).

2.B

[※解析※]

先看出每個(gè)幾何體的主視圖，再根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進(jìn)行

判斷即可求解.

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解：力、主視圖是等腰三角形，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不合題

忌；

民主視圖是是矩形，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；

a主視圖是等腰梯形，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不合題意；

D,主視圖是等腰三角形，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不合題意；

3.B

[※解析※]

根據(jù)對稱的性質(zhì)得OPi=OP=2.8,OP=0P2=2.8,再由三角形任意兩邊之

和大于第三邊，即可得出結(jié)果.

連接OP。0P2,P1P2，

???點(diǎn)P關(guān)于直線I,m的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Pi，P2,

0Pt=OP=2.8,OP=0P2=2.8,

OP】+OP2>P1P2，

0<P1P2V5.6,

4.C

[※解析※]

根據(jù)關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出答案.

解：點(diǎn)M(-4,2)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-4,-2).

5.A

[※解析※]

結(jié)合軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可解決問題.

解：A.正三角形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意;

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B.正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.正六邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意;

D.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

6.B

[※解析※]

先判斷四張卡片中有幾個(gè)圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，易得概率.

解：1?四張完全相同的卡片上分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓，

其中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有矩形、圓，

???現(xiàn)從中任意抽取一張，卡片上所畫的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

的概率為^=1,

7.C

[※解析※]

根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

解：人不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

8.C

[※解析※]

根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律左減右加可得點(diǎn)6的坐標(biāo)，然后再根據(jù)關(guān)于6軸的對稱點(diǎn)

的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案.

解：點(diǎn)久-3,-2)向右平移5個(gè)單位長度得到的B的坐標(biāo)為(-3+5,-2),即

(2,-2),

則點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是：(-2,-2).

9.C

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[※解析※]

根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證：/-BAB'=Z.B'AC=LCAC=^DAC=za,再根據(jù)

AD//BC,即可得出za與4?之間的數(shù)量關(guān)系.

解:???"平分4B'AC',

1?.Z.B'AC=/.C'AC,

???菱形ABCD繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)“得到菱形AB'C'D',

???(BAB'=Z.CAC1=z.a,

???4C平分上BAD,

???Z.BAC=Z.DAC,

:.乙BAB'=ZBMC=/-CAC=^DACf=za,

-AD//BC,

???44a+4?=180°,

10.8

[※解析※]

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)判定4A04為等腰直角三角形，再用勾股定理求出"'的長.

解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，04=04=1,"。&=90。，

則4404為等腰直角三角形，

AA'=yj0A2+0A'2=V1TT=Ti-

ll.(V2,-2魚)或(-V2,2魚)

[※解析※]

根據(jù)點(diǎn)4為直線y=-2x上，可設(shè)A(a,-2a),由點(diǎn)4與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱,

于是可得B(-a,-2a),再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得出答案.

解：因?yàn)辄c(diǎn)4為直線y=-2x上，因此可設(shè)4(a,-2a),

則點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B(-a,-2a),

由點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=：的圖象上可得

2a2—4,

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解得a=±V2

所以A(\[2,-2夜)或(-&，2夜),

12.(7,4)

[※解析※]

作AC1x軸于點(diǎn)C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=A'O'=0A=3,A'C=O'B=

OB=4,進(jìn)而求解.

解：作AC1x軸于點(diǎn)C,

由旋轉(zhuǎn)可得N。'=90。，OBlx軸，

???四邊形0,8Cd為矩形，

BC=ArOr=OA=3,A'C=O'B=OB=4,

???點(diǎn)4坐標(biāo)為(7,4).

13.4+2V3

[※解析※]

根據(jù)折疊的性質(zhì)得出BE=AE,AF=FC,NF4C="=15。，得出乙4FE=30。，

由等腰三角形的性質(zhì)得出^EAF=^AFE=30°,證明△/應(yīng)'是等邊三角形，得

出NB4E=60。，求出AE=BE=2,證出^BAF=90°,用勾股定理求出"；即

CF,可得8C.

解：???把三角形紙片折疊，使點(diǎn)6、點(diǎn)C都與點(diǎn)/重合，折痕分別為〃￡,FG,

BE=AE,AF=FC,4尸4C=/C=15°,

.?.乙4FE=30。，又AE=EF,

：■^EAF=^AFE=30°,

■■AAEB=60°,

，△?!龐是等邊三角形，z.AED=^BED=3G°,

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???Z.BAE=60°,

???DE=V3,

：.AE=BE=AB=DE

cos30°

BF=BE+E尸=4,^BAF=60°+30°=90°,

FC=AF=y/BF2-AB2=2痘,

BC^BF+FC=4+2\[3,

14.0

[※解析※]

連接S,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得叵],回，得到S為等邊三角形，由□,

回，得出區(qū)垂直平分□，于是求出區(qū)，區(qū)，可得區(qū)，即可求解.

解：如圖，連接區(qū)，設(shè)區(qū)與國交于點(diǎn)S，

國將國繞點(diǎn)S逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)□得到□，

□,S

a為等邊三角形，

國，□；

兇，回，

s，

□,國，

□垂直平分□,

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區(qū)],國，

S

□，

故答案為s

本題考查了圖形的變換S旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.2V6-2V2,2

16.V3;2+V7

[※解析※]

根據(jù)點(diǎn)E是一邊BC上的中點(diǎn)及4E平分NBAC判定A4BC是等邊三角形，根

據(jù)菱形ABCD的面積求出菱形的邊長；求PE+PC的最小值，點(diǎn)E和點(diǎn)C是

定點(diǎn)，點(diǎn)P是線段8。上動(dòng)點(diǎn)，由軸對稱最值問題，可求出最小值；求和的

最大值，觀察圖形可知，當(dāng)PE和PC的長度最大時(shí)，和最大，即點(diǎn)P和點(diǎn)D

重合時(shí)，PE+PC的值最大.

解：根據(jù)圖形可畫出圖形，如圖所示，

過點(diǎn)B作BF"AC交AE的延長線于點(diǎn)F,

:.Z.F=Z-CAE,Z-EBF=Z-ACE,

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),

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?.AACE^AFBE^AAS^

；?BF=AC,

???4E平分4BAC,

???Z.BAE=Z.CAE,

-Z.BAE=zF,

:.AB=BF=AC,

在菱形4BCD中，AB=BC,

.-.AB=BC=AC,即ZL4BC是等邊三角形；

???Z.ABC=60°,

設(shè)AB=a,則BD=Wa,

二菱形4BCD的面積=\AC-BD=2V3,即J-a-V3a=2V3,

???a=2,即AB=BC=CD=2；

???四邊形48CD是菱形，

二點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對稱，

：.PE+PC=AP+EP,

當(dāng)點(diǎn)4P,E三點(diǎn)共線時(shí)，AP+EP的和最小，此時(shí)4E=K;

點(diǎn)P和點(diǎn)。重合時(shí)，PE+PC的值最大，此時(shí)PC=DC=2,

過點(diǎn)。作DGLBC交BC的延長線于點(diǎn)G,連接DE,

-?AB//CD,AABC=60°,

乙DCG=60°,

???CG=1,DG=V3,

：?EG=2,

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22=心+

DE=y/EG+DG(V3)=-y/7，

此時(shí)PE+PC=2+>/7;

即線段PE與PC的和的最小值為V3;最大值為2+近.

[※解析※]

由折疊的性質(zhì)可得4B=FG=2A/I,AE=EF=1,4BZC="FG=90。，在

RPEFG中，由勾股定理可求EG=3,由銳角三角函數(shù)可求EH,的長，在

Rt/AHF中，由勾股定理可求4凡

解：如圖，過點(diǎn)尸作FH：C于H,

B

、、、。

,??把四邊形4BDE沿直線CE翻折，得到四邊形FGDE,

AB-FG-2A/2,AE=EF=1,Z.BAC=Z.EFG=90°,

EG=y/EF2+FG2=VTT8=3,

HF2V2

4

???4H=4E+EH=M,

???AF=7AH2+HF2=

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[※解析※]

用“4S4”判定ZL4DE三Z1DCF,可得力E=DF,根據(jù)銳角三角函數(shù)可求。。的

長，即可求解.

解：設(shè)CF與DE交于點(diǎn)0,

???將4CDF沿CF折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處,

???G。=DO,CF1DG,

???四邊形/BCD是正方形，

???AD=CD,Z,A=Z.ADC=90°=ZFOD,

???Z,CFD+乙FCD=90°=乙CFD+Z-ADE,

:.Z-ADE=Z-FCD,

在ZL4DE和4DCF中，

2LA=Z.ADC

AD=CD,

￡.ADE=乙DCF

^AADE=ADCF(ASA)f

AE=DF=S9

???AE=5,AD=12,

???DE=yjAD2^rAE2=72s+144=13,

,ACLADD。

vcosZ-ADE=—=—,

DEDF

12_DO

??13-5,

DO=-=GO,

13

???ELGC=13r—2Cx—60=一49,

1313

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19.(2,2)

[※解析※]

過點(diǎn)4作AElx軸于E,過點(diǎn)B作BFlx軸于F.根據(jù)全等三角形的判定

和性質(zhì)解決問題即可.

解：如圖，過點(diǎn)4作AElx軸于E,過點(diǎn)B作BFlx軸于F.

?:4AEC=4ACB=4CFB=90°,

Z.ACE+LBCF=90°,ABCF+Z.B=90°,

???Z,ACE=乙B,

在ZL4EC和4CFB中，

Z.AEC=乙CFB

Z-ACE=Z-B,

.AC=CB

???ZL4EC會(huì)/CFB(4/S),

AAE=CF,EC=BF,

???做一3,3),C(-tO),

???AE=CF=3,OC=1,EC=BF=2,

：,OF=CF-OC=2,

???8(2,2),

20.4+2V2

[※解析※]

判定Rt4EBF-RtAEB，D(HL),推出BF=DB',再證明DB'=EC=BF=2,

想辦法求出AB',可得結(jié)論.

解：由翻折的性質(zhì)可知，EB=EB',乙B=KAB'E=4EB'D=90。,

在Rt」EBF和小EB'D中，

(EB=EB'

、EF=ED'

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RtdEBF-EB'D(HL),

：.BF=DB',

???四邊形ABCD是矩形，

ZC=乙CDB'=乙EB'D=90°,

二四邊形ECDB堤矩形，

DB'=EC=2,

:.BF=EC=2,

由翻折的性質(zhì)可知，BF=FG=2,Z.FAG=45°,/.EGF=zfi=^AGF=90°,

???AG=FG=2,

???AF=2V2.

AB=AB'=2+2^2,

AD=AB'+DB'=4+2VL

21.(1)EF=BF；證明見解析；

(2)AG=BG；證明見解析；

(3)y

[※解析※]

(1)結(jié)論：EF=BF.如圖1中，如圖，作FH〃AD交BE于H.證明FH垂

直平分線段BE即可.

(2)結(jié)論：4G=BG.證明四邊形BFDG是平行四邊形，可得結(jié)論.

(3)如圖③中，過點(diǎn)。作D/14B于J,過點(diǎn)M作MT14B于T.根據(jù)

S四邊形BHNM—S4A，BM~SANHA，,求解即可.

解：(1)結(jié)論：EF=BF.

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理由：如圖①中，作FH“AD交BE于H.

圖①

???四邊形4BCD是平行四邊形,

???AD//BC,

vFH//AD,

???DE//FH//CB,

???DF=CF,

EHDFa

???-=—=1,

HBFC

???EH=HB,

.??BE14。，F(xiàn)H//AD,

FH1EB,

EF=BF.

(2)結(jié)論：AG=BG.

圖②

21BFC'是由4BFC翻折得到,

???BF1CC',FC=FC,

vDF=FC,

1?.DF=FC=FC,

：.乙CC'D=90°,

ACC'1GD,

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???DG〃BF,

-DF//BG,

??.四邊形DF8G是平行四邊形，

???DF=BG,

■：AB=CD,DF=^CD,

BG=^AB,

AG=GB.

(3)如圖③中，過點(diǎn)。作D/14B于J,過點(diǎn)M作MT_LAB于T.

圖③

,平行四邊形ABCD=AB.DI，

??-0/=7=4,

?.?四邊形4BCC是平行四邊形，

AD^BC=2V5,AB"CD,

：.AJ=^AD2-DJ2=J(2有/一42=2,

■■■A'BLAB,DJ1AB,

/.DJB=々BH=4DHB=90°,

???四邊形O/BH是矩形，

BH=DJ=4,

:.A'H=A'B-BH=5-4=1,

vAtan/1A=——DJ=—MT=2Q,

A]AT'

設(shè)AT=x,貝ljMT=2X9

???乙ABM=Z-MBA1=45°,

???MT=TB=2x,

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**?3%—5,

???MT=y,

?

?,tan/1=tan4=ArH—=2,

???NH=2,

c_c_1-10_25

J^AABM==2X^XV=V

S四邊形BHNM=SAA，BM-SAN“4=y_2X^X2=

22.(1)證明見解析；

(2)這

4

[※解析※]

(1)由已知可得4E="B,CF=\CD,能得到4E=CF,AE//CF,再由

CELAB,即可證明四邊形AECF為矩形；

證明：rABCD是平行四邊形，

???AB//CD,AB=CD,

???點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)4),

：.AE=-AB,

3

???點(diǎn)尸為線段CD的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C),

CF=^CD,

■■■AE=CF,

又?1-AE//CF,

二四邊形AEC尸為平行四邊形，

???CE1ABf

四邊形AECF為矩形；

(2)由折疊可知B'E=BE=2,求得AB'=1,先證明=AB'GA,能得到

AB'=AG=1,再由AB'"CD,得到薯=黑即巖7=j得到B'G=1,能得

CGDG4-B'G3

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到4AGB，是等邊三角形，所求四邊形AECG的面積等于直角三角形與等

邊三角形4G反的和.

?：AB=3,

：.AE=CF=1,BE=2,

???將21BCE沿CE對折得到AECB',

B'E=BE=2,

???AB'=1,

DC=DG=3,

???/.DGC=乙DCG,

vBB'//CD,

Z-DCG=乙B',

4B'=4B'GA,

???AB'=AG=1,

DA=BC=B'C=4,

■：AB'//CD,

:.B'G—_—AG,

CGDG

.B'G_1

??4-B'G-3，

:.B'G=1,

.?"AG才是等邊三角形，

在Rt^BCE中，BC=4,BE=2,

???EC=2A/3,

cc_1?Dpz1[V3_7V3

"'四邊形AECG=S_XEB，C_3A4B，G=2XZX_2X1XT=

23.(1)y=--x2+-x+2；

(2)見解析；

(3)最小值為V5.

[※解析※]

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(1)根據(jù)條件求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，把B(4,0),C(0,2)分別代入y=-ix2+

bx+c,可得解析式.

(2)拋物線y=W/+|x+2與x軸交于點(diǎn)A,即y=0,可得點(diǎn)4的橫坐

標(biāo)，判定AAOC-AACB.

(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-1x2+|x+2),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,-|x+2),由

坐標(biāo)得DE=-i%2+2x,當(dāng)x=2時(shí)，線段DE的長度最大，此時(shí)，點(diǎn)。的坐

標(biāo)為(2,3),即點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對稱軸對稱，連接CD交對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)

PD+PM最小，連接CM交直線DE于點(diǎn)F,則^DFC=90°,由勾股定理得

CZ)=V5,根據(jù)PD+PM=PC+PD=CD,即可求解.

解：⑴???直線、=-六+2過B、C兩點(diǎn)，

當(dāng)％=0時(shí)，代入y=-：x+2,得y=2,即C(0,2),

當(dāng)y=0時(shí)，代入y=-^x+2,得x=4,即B(4,0),

把B(4,0),C(0,2)分別代入y=~lx2+bx+c,

彳導(dǎo)C-8+4b+c=0

Ic=2

解得\b=i

(c=2

???拋物線的解析式為y=-：/+|%+2；

(2),??拋物線y=-*+|x+2與％軸交于點(diǎn)A9

???--X2+-x+2=0,

22

解得x1=-1,x2=4,

?,?點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-1,0),

???AO=1,AB=5,

在Rt〃AOC中，4。=1,OC=2,

:.AC=V5,

i4￡__J__Vs

???就=忑=g'

..AC_痘

--=~~~9

AB5

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???一AO=—AC,

ACAB

又v/-OAC=Z.CAB,

???ZMOC?/AC8；

(3)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(%-*+|%+2),

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(%,-7+2),

131

?*-DE=--x29+-%+2-(--%+2)

1731

=—7-X2+-X4-24--X—2

222

=—1%2+2%,

???一1<0,

二當(dāng)x=2時(shí)，線段DE的長度最大，

此時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,3),

"(0,2),"(3,2),

???點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對稱軸對稱，

連接CD交對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PO+PM最小，

連接C"交直線DE于點(diǎn)F,則4%=90。，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,2),

CD=y/CF2+DF2=V5,

■:PD+PM=PC+PD=CD,

??.PD+PM的最小值為V5.

24.(1)見解析;

⑵V。

[※解析※]

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(1)由折疊的性質(zhì)可得AE=BE,EFLAB,AB=BN,Z.ABM=乙NBM,

￡.BAM=Z.BNM=90°,可證ZL4BN是等邊三角形，可求/.ABM=Z.NBM=30°=

乙PBN,可得Z.BMN=/.BPM=60°,可得結(jié)論;

(2)由銳角三角函數(shù)可求BP=BM=竽a,由題意可得BC》BP,即可求解.

解：(1)48Mp是等邊三角形,

理由如下：如圖3,連接AN,

由折疊的性質(zhì)可得4E=BE,EFLAB,AB=BN,乙ABM=cNBM,Z.BAM=

乙BNM=90°,

■■AN=BN,

：?AN=BN=AB,

.?"ABM是等邊三角形,

乙ABN=60°,

???LABM=(NBM=30°=乙PBN,

???(BMN=乙BPM=60°,

.?"BMP是等邊三角形;

(2)-AB=a,Z,ABM=30°,

..AB2V3

???BnM=------=—a，

cos3003

「4BMP是等邊三角形,

??在矩形紙片ABCD中剪出符合(1)中結(jié)論的三角形紙片BMP,

?二BC>BP,

b》—CL?

3

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25.操作一:45；

操作二：60；

(1)見解析；

(2)2V3-2

[※解析※]

操作一：由正方形的性質(zhì)得乙BAD=90°,再由折疊的性質(zhì)得：乙BAE=^MAE,

ADAF=AMAF,即可求解；

操作二：證44而是等腰直角三角形，得LAFN=45°,則AAFD=^AFM=

450+Z.NFE,求出￡.NFE=LCFE=30°,即可求解；

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得AN=FN,再證4M4P=4NFE=30。，由4S2

即可得出結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得AP=FE,PN=EN,再證乙4EB=60。，然后

由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得BE=^4B=1,AE=2BE=2,AN=

痘PN=Ra,AP=2PN=2a,由4V+EN=4E得出方程，求解即可.

操作一：

解：??,四邊形ABCD是正方形，

NC=4BAD=90°,

由折疊的性質(zhì)得：^BAE=^MAE,^DAF=AMAF,

?"AE+4MAF=乙BAE+^DAF=^BAD=45。，

即LEAF=45°,

操作二：

解：；?四邊形4BCD是正方形，

1?-4B="=90°,

由折疊的性質(zhì)得：4NFE=LCFE,/.ENF=zC=90°,4AFD=4AFM,

：.4ANF=180°-90°=90°,

由操作一得：^EAF=45°,

?MAN尸是等腰直角三角形，

???Z.AFN=45°,

4AFD="FM=45°4-4NFE,

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???2(45°+乙NFE)+Z,CFE=180°,

:.乙NFE=乙CFE=30°,

Zi4￡,F=90°-30°=60°,

(1)證明：,?Y4VF是等腰直角三角形，

???AN=FN,

???Z.AMF=Z.ANF=90°,乙APN=乙FPM,

:.(NAP=乙NFE=30°,

在/L4NP和4FNE中，

乙ANP=乙FNE=90°

AN=FN,

乙NAP=乙NFE

???ZL4NP三"NE(4S4)；

(2)由(1)得：AANPMAFNE,

?.AP=FE,PN=EN,

???乙NFE=Z.CFE=30°,乙ENF=Z.C=90°,

???乙NEF=Z.CEF=60°,

???Z,AEB=60°,

???乙B=90°,

???Z.BAE=30°,

???BE=—AB=1,

3

???AE=2BE=2,

設(shè)PN=EN=a,

???乙ANP=90°,乙NAP=30°,

??.AN=V3P/V=V3a,AP=2PN=2a,

???AN+EN=AE,

???V3a+Q=2,

解得：a=V3—1,

???AP=2a=2V3—2,

26.(1)(1,3)；

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(2)y=|x+|；

(3)i；

(4)存在最小值，?

O

[※解析※]

【初步感知】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)即可得出答案；

(2)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出答案；

【深入感悟】設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于N點(diǎn)，通過聯(lián)立方程組求出

點(diǎn)N的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)工<-1時(shí)，作PQ_Lx軸于Q,證明

APQA=△P'M4(44S),再運(yùn)用三角形面積公式即可求出答案；②當(dāng)-l<x<0

時(shí)，作PH_Ly軸于點(diǎn)H,同理可得到答案；

【靈活運(yùn)用】連接AB,AC,將B,C繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得B',C,

作AHlx軸于點(diǎn)H,證明△CAO=ACAB{SAS},根據(jù)待定系數(shù)法求出OC'的

函數(shù)表達(dá)式為：y=V5x,設(shè)過P且與平行的直線I解析式為y=V5%+b,

由于SABCP，=S?B，c，p，當(dāng)直線，與拋物線相切時(shí)取最小值，再根據(jù)一元二次方

程根的判別式求解即可.

解：【初步感知】

(1)如圖1,4(1,1),

二P1A//X軸，PiA=2,

由旋轉(zhuǎn)可得：P2〃y軸，Pi'A=2,

???Pi'(l,3)；

故答案為：(L3);

(2)???P2'(2.1),

由題意得02(1,2),

-PiC-l(l),P2Q2)在原一次函數(shù)圖象上,

二設(shè)原一次函數(shù)解析式為y="b,

則「片廠;

I/c+b=2

(k=-

解得：\=1,

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??.原一次函數(shù)解析式為y="+|；

【深入感悟】

設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于N點(diǎn)，則:

(y=f

&=一久%<o)，

解得：］。盤1，

???N(-l,l),

①當(dāng)x<-1時(shí)，

作PQ1x軸于Q,

v/.QAM=Z.POP'=45°,

???"4Q=乙P'AN,

1?,PM1AM,

???Z-P'MA=Z.PQA=90°,

.?.在“(?4和4中，

APQA=4P'MA

乙PAQ=LP'AM,

AP=AP'

???APQA=△P'MA{AAS},

.C__闿_1

*,