2021-2022學(xué)年高中人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊練習(xí)：第三章

第2課時分段函數(shù)

C5爭分奪秒一刻鐘，狠抓基礎(chǔ)零失誤)/

必備知識?基礎(chǔ)練

概念定理瑪加跖

1.分段函數(shù)是兩個或多個函數(shù).()

2.分段函數(shù)的定義域是其中一個部分的定義域.()

3.分段函數(shù)的值域是各個部分的值域的交集.()

.,x>0

4.若f(x)=<,f(a)+f(-1)=2,則a=1.()

、q-x,x<。

fl

2^-1(x>0)

5.函數(shù)f(x)=<，若f(a)=a，則a=1.()

-(x<0)

1.提示：X.分段函數(shù)由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

2.提示：x.分段函數(shù)的定義域是各個部分的定義域的并集.

3.提示：x.分段函數(shù)的值域是各個部分的值域的并集.

4.提示：x.當(dāng)a>0時，f(a)=6,

所以6+#=2,所以6=1,a=1.

當(dāng)a<0時,f(a)=,所以+小=2,

所以=1,a=-1.

所以a=1或a=-1.

5.提示：x.當(dāng)aNO時，有;a-1=a,解得a=-2(舍),

當(dāng)a<0時，有;=a,所以a=-1.

基礎(chǔ)分組正通關(guān)

?題組一分段函數(shù)的定義域、值域

1.已知函數(shù)f(x)=》，則其定義域為()

A

A.RB.(0,+oo)

C.(-00,0)D.(-00,0)U(0,+00)

選D.要使f(x)有意義，需x和,故定義域為(-8,0)U(0,+8).

_〔2x,x>0,

2.已知函數(shù)f(x)"且f(a)+f⑴=0,則a等于()

[x+1,x<0,

A.-3B.-1C.1D.3

選A.當(dāng)a>0時，f(a)+f(l)=2a+2=0=>a=-1,與a>0矛盾；

當(dāng)a<0時,f(a)+f(l)=a+1+2=0=>a=-3,符合題意.

fx,xe[0,1],

3.f(x)=的定義域為_________值域為________.

[2-x,xe(1,2]

函數(shù)定義域為[0,1]U(1,2]=[0,2].

當(dāng)x￡(l,2]時，f(x)￡[O,1),故函數(shù)值域為[0,1)U[O,1]=[0,1].

答案：[0,2][0,1]

?題組二分段函數(shù)求值問題

1.設(shè)函數(shù)f(x)=若帽)=4,則b=()

731

A.1B.oQC.j4D.7Z

選D.減I=

f[3x6-b)KM.

當(dāng)m-b<l,即b>|時，3x1|-bj-b=4,解得b=1(舍去).

當(dāng)|-b>l,即b<|時，2x(|-bj=4,解得b=1.

[Vx,0<x<1,/八

2.設(shè)f(x)=j若f(a)=f(a+1),則心=()

[2(x-1)zx>l.⑷

A.2B,4C,6D.8

選C.當(dāng)0<a<1時,a+1>1,f(a)=,

f(a+l)=2(a+l-l)=2a,

因為f(a)=f(a+1),所以或=2a,

解得a=1或a=。(舍去).

所以d=44)=2x(4-1)=6.

當(dāng)aNl時，a+1N2,

所以f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,

所以2(a-l)=2a,無解.

綜上，碼=6.

Y-4-OYQxVf)

,'-'若f(f(a))=25!Ja=________

{-x2,x>0.

當(dāng)a>0時,f(a)=-a2<0,

f(f(a))=a4-2a?+2=2,得a=嫄(a=0a=-嫄舍去)；

當(dāng)a<0時，f(a)=a2+2a+2=(a+I)2+1>0,

f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程無解.

綜上可知，a二嫄.

答案：也

4.國內(nèi)某快遞公司規(guī)定：重量在1000克以內(nèi)的包裹快遞郵資標(biāo)準(zhǔn)

如表：

運送距500<x1000<x1500<x

0<x<500???

離x(km)<1000<1500<2000

郵資y(元)5.006.007.008.00???

如果某人從北京快遞900克的包裹到距北京1300km的某地，他應(yīng)

付的郵資是_______.

郵資y與運送距離x的函數(shù)關(guān)系式為y=

"5.00(0<x<500),

6.00(500<x<l000),

<

7.00(1000<x<l500),

、8.00(1500<x<2000),

因為1300e(l000,1500],

所以y=7.00.

答案:7.00兀

?題組三分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用

1,x>0,

1.設(shè)x￡R,定義符號函數(shù)sgnx=<0,x=0,貝(J函數(shù)f(x)=|x|sgn

、-1,x<0,

x的圖象大致是()

平事半斗

ABCD

x,x>0,

選C.因為|x|=<0,x=0,

、-x,x<0,

所以f(x)=x的圖象為C中圖象所示.

2.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，則f(x)的解+析式為

：x

戶oNi

當(dāng)-Igx<0時，設(shè)f(x)=ax+b,

f-a+b=0fa=1

由題意<,解得：\,

[b=llb=l

故f(x)=x+l,x"1,0)；

0<x<l時,設(shè)f(x)=ax,

則f(x)=-X,

fx+l,xG[-l,0)

故f(x)=S,

l-x,xe[0,1]

fx+l,xG[-l,0)

答案：f(x)=S

I-x,xe[0,1]

X‘]

3.設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=「一"，若關(guān)于x的方程f(x)

1,X=1

二b有3個不同的解，則b等于.

—x#l

函數(shù)f(x)=-11的圖象如圖所示：

1,x=1

由圖易得函數(shù)的值域為(0,+oo),

由f(x)=b有3個不同的解，可知b=1.

答案：1

易錯易混今場盤

易錯點混淆”一個分兩段的函數(shù)”和“兩個函數(shù)

Ix?-xX<1

1.已知函數(shù)f(x)=x2-x,g(x)=5，記a=f(f(-2)),

[x-X2,X>1

b=g(g(-2)),c=g(f(-2)),則()

A.a>b=cB.a>b>c

C.a>c>bD.b>a=c

選A.因為f(-2)=6,a=f(f(-2))=f(6)=30,

c=g(f(-2))=g(6)=-30,因為g(-2)=6,

所以b=g(g(-2))=-30,所以a>b=c.

_[f(x)-x,f(x)>x,

2.已知函數(shù)f(x)=x2-x,則g(x)=5的值

[x-2-f(x),f(x)<x

域為()

A.(0,+oo)

B.[-2,-1]U(0,+8)

C.(-oo,-2]

D.(-oo,-1]U(0,+oo)

選B.由f(x)=x,即x?-2x=0,解得x=0,2,

所以當(dāng)x<0或x>2時,f(x)>x,g(x)=x2-2x>0,

當(dāng)0<x<2時，f(x)<x,g(x)=-X2+2X-2G[-2,-1J,

所以g(x)的值域為[-2,-1]U(O,+oo).

【易錯誤區(qū)】“一個分兩段的函數(shù)”和“兩個函數(shù)”的區(qū)別：一個分兩段

的函數(shù)實質(zhì)為一個函數(shù)，不是兩個函數(shù)，要注意區(qū)分.

◎晚間小練半小時,突破課堂重難點！/

關(guān)鍵能力?綜合練

限時30分鐘分值50分戰(zhàn)報得分

一、選擇題(每小題5分，共25分)

fx24-1(X<0)

1.已知函數(shù)y=1，若f(a)=10,則a的值是()

[2x(x>0)

A.3或-3B.-3或5

C.-3D.3或-3或5

選B.若a<0,則f(a)=a2+1=10,

所以a=-3(a=3舍去),

若a>0,則f(a)=2a=10,

所以a=5.

綜上可得，2=5或2=-3.

f1,x>0

2.已知f(x)=《則不等式x+(x+2)-f(x+2)<5的解集是

[-1,x<0

()

A.[-2,1]B.(-oo,-2]

'31(3'

C.-2,2D.I-oo,

選D.當(dāng)x+2N0時，即xN-2時，f(x+2)=1,由x+(x+2>f(x+2)<5

可得x+x+2<5,

所以x<|,即-2<x<|,

當(dāng)x+2<0,即x<-2時，f(x+2)=-1,

由x+(x+2>f(x+2)我可得x-(x+2長5,即-235,所以x<-2.

綜上，不等式的解集為1Xx<|-.

3.在自然數(shù)集N上定義的函數(shù)f(n)=

[n-3(n>l000),

〈則f(90)的值是()

[f(n+7)(n<1000),

A.997B.998C.999D.1000

選A.n<1000時,有f(n)=f(n+7),

所以f(90)=f(97)=f(104)=...

=f(l000)=1000-3=997.

fx2(x>0)fx(x>0)

4.(多選)已知f(x)=5,g(x)=j，則(

[x(x<0)[-x*-(x<0)

A.f(g(-3))=-9B.g(f(-3))=9

C.f(f(-3))=-3D.g(g(-3))=-81

選ACD.f(g(-3))=f(-9)=-9,

g(f(-3))=g(-3)=-9,

f(f(7))=f(-3)=-3,

g(g(-3))=g(-9)=-81.

5.(多選)已知具有性質(zhì)：的=-f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)

變換的函數(shù)，下列函數(shù)中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()

A.f(x)=x-；B.f(x)=x+：

x,0<x<l,

c_i1-x

C.f(x)=(U,x—1,D.f(x)=-----

]14-X

-一,X>1.

IX'

選ACD.對于A,f(x)=X-J,

A.

dm=~-x=-f(x),滿足；

對于B,+X=f(x),不滿足；

rii

-,0<-<l,

X'X'

對于C,<0,-=1,

'X'

1

-X,->1,

I'X'

P,X>1,

=<

即0,X=1,

、-x,0<x<l,

故4）=-f（x），滿足?

x-1

對于D,因為3=-f(x),所以滿足.

X

X

綜上可知，滿足倒負(fù)”變換的函數(shù)是ACD.

二、填空題（每小題5分，共15分）

2,x>0,

6.設(shè)函數(shù)f(x)=j.若f(一4)=f(0),f(-2)=-2,

Ix2+bx+c,x<0,

則f(x)的解+析式為f(x)=

因為f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

[(-4)2-4b+c=c,

所以，

[(-2)2-2b+c=-2.

fb=4,

解得＜

c=2.

2,x>0,

所以f(x)=,

[x2+4x+2,x<0.

[2,x>0,

答案：｛,

[x2+4x+2,x<0

7.函數(shù)f(x)的定義域為[-2,+s),它的圖象由線段AB和拋物線

的一部分組成，如圖，

則函數(shù)f(x)的解+析式為?-1))=

設(shè)線段AB對應(yīng)的解+析式為y=kx+m,則由題圖可得m=3,-1

=-2k+m,所以m=3,k=2,

所以當(dāng)-2<x<0時，f(x)=2x+3,

設(shè)拋物線對應(yīng)的解+析式為y=ax2+bx+c,

則由圖可得c=2,=2,4a+2b+c=

-2,解得a=1,b=-4,c=2.

所以當(dāng)x>0時,f(x)=x2-4x+2,

所以函數(shù)f(x)的解+析式為f(x)=

12x+3,-2<x<0,

[x2-4x+2,x>0,

所以｛4-1))=f(0=-1.

[2x+3,-2<x<0

答案：f(x)"-1

[x2-4x+2,x>0

8.定義新運算”★”：當(dāng)m>n時，m^n=m；當(dāng)m<n時，m^n=n2.

設(shè)函數(shù)f(x)=(2^x)x-(4T^X),xe[1,4],則函數(shù)f(x)的值域為

由題意知，

2x-4,xe[l,2],

f(x)=

x3-4,xe(2,4],

當(dāng)x￡[l,2]時，f(x)￡[-2,0]；

當(dāng)x￡(2,4]時,f(x)G(4,60],

故當(dāng)x￡[l,4]時,f(x)e[-2,0]U(4,60].

答案：[-2,0]U(4,60]

三、解答題

ri

i+-,x>l,

9.(10分)已知函數(shù)f(x)=<x2+Jf_!<x<!f

、2x+3,x<-1.

⑴求f{f[f(-2)]}的值；

⑵若f(a)=|，求a.

⑴因為-2<-1,

所以f(-2)=2x(-2)+3=-1,

f[f(-2)]=f(-1)=2,

13

所以f{f[f(-2)]}=fT2)=l+]=3.

13

⑵當(dāng)a>l時，f(a)=1+三=5，所以a=2>l；

d乙

3

當(dāng)-l<a<l時，f(a)=a?+1=5,

所以a=土乎￡[-1,1]；

當(dāng)a<-1時，f(a)=2a+3=|,

所以a=舍去).

綜上,a=2或a=上乎.

自我挑戰(zhàn)區(qū)

ax+b,x<0,

且f(-2)=3,f(-l)=f(l).

{2x,xK),

⑴求f(x)的解+析式；

⑵畫出f(x)的圖象.

f(-2)=3,

⑴由

f(-D=f(l),

f-2a+b=3,fa=-1,

得解得

[-a+b=2,[b=1,

-x+1,x<0,

所以f(x)=

px,x>0.

⑵作出f(x)的圖象如圖所示.

y

盟【變式備選】

如圖，底角ZABE=45。的直角梯形ABCD,底邊BC長為4cm,腰

長AB為2吸cm，當(dāng)一條垂直于底邊BC的直線1從左至右移動（與

梯形ABCD有公共點）時，直線I把梯形分成兩部分，令BE=x，試

寫出陰影部分的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)大致圖象.

根據(jù)題意得，當(dāng)直線1從點B移動到點A時，0<xW2,y=1x2；

當(dāng)直線1從點A移動到點D時,2<x<4,y=1x2x2+(x-2)-2,即y

=2x-2.

所以陰影部分的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為

[|x2,xe(0,2],

y=r函數(shù)圖象如圖所示.

[2x-2,x￡(2,4],

K

行周末抽出一小時，階段復(fù)盤再提升!//

考點綜合?提升練5

限時60分鐘分值100分戰(zhàn)報得分

一、選擇題(每小題5分，共30分，在每小題給出的選項中，只有一

個正確選項)

1,下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①f(x)=[_2x3與g(x)=xyl_2x；

②f(x)=x與g(x)=??；

③f(x)=x。與g(x)=9；

A.

@f(x)=X2-X+1與g(t)=t2-t+1.

A.①②B.①③C.③④D.①④

選C.①f(x)=[-2x3與g(x)=x]-2x的定義域是｛x|xg0｝；而①f(x)

=-2x3=-x7-2x,故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；

②f(x)=X與g(x)=Vx5的定義域都是R,g(x)=川=|x|,這兩個函

數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系不相同，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；

③f(x)=x。的定義域是{x|x#)},而g(x)=J的定義域是{x|xM},故這

A.

兩個函數(shù)是同一函數(shù);

④f(x)=X?-X+1與g(t)=t2-t+1是同一函數(shù).

x+a,-l<x<0

2.已知函數(shù)f(x)=\2

I5'x，0<x<l

()

633

A.-5B.0C.gD.-g

3.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB,其中點O,A,B的坐標(biāo)分

'1'

別為(0,0),(1,2),(3,1),則f75T的值為()

A.1B.2C.3D.4

選B.由題意可得f(3)=1,所以嵩=1,

所以=f(l)=2.

x-2(x>10)

4.設(shè)f(x)"，則f(5)=()

If[f(x+6)](x<10)

A.10B.11C.12D.13

x-2(x>10)

選B.因為f(x)=

￡f(x+6)](x<10)

所以f(5)=f[f(ll)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=ll.

[x2+1(x<l)

5.已知f(x)=彳，貝!Jf[f(2)]=()

I-2x+3(x>l)

A.5B.-1C.-7D.2

fx2+l(x<l)

選D.因為f(x)=4,

[-2x+3(x>l)

所以f(2)=-2x2+3=-1,

所以f[f(2)]=f(-1)=(-1>+1=2.

6.函數(shù)f(x)=^x+1+J—的定義域為()

，—X

A.(-1,2)U(2,+oo)B.[-1,2)U(2,+oo)

C.(1,2)U(2,+oo)D.[1,2)U(2,+oo)

選B.由題意，函數(shù)f(x)=JTTi+J—有意義，

z—X

x+l>0

則滿足4,解得xN-1且在2,

2-xHO

即函數(shù)f(x)的定義域為［-1,2)U(2,+8).

二、選擇題(每小題5分，共10分，在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的

得3分)

7.如果二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且過點(0,0),則此二

次函數(shù)的解+析式可以是()

A.f(x)=x2-1B.f(x)=-(x-I)2+1

C.f(x)=(x-1)2+1D.f(x)=(x-I)2-1

選BD.由題意設(shè)f(x)=a(x-l)2+b,由于點(0,0)在圖象上，所以a

+b=0,a=-b,故符合條件的是BD.

8.中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯的《代數(shù)學(xué)》中首次將

“function”譯做“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡

此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)11930年美國人給出了我們課

本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，已知集合M={-1,1,2,4},N=

{1,2,4,16},給出下列四個對應(yīng)關(guān)系，請由函數(shù)定義判斷，其中

能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是()

A.y=2xB.y=x+2

C.y=2戶|D.y=x2

選CD.在A中，當(dāng)x=4時，y=8枷,故A錯誤；

在B中，當(dāng)x=l時，y=3《N,故B錯誤；

在C中，任取x￡M，總有丫=加eN,故C正確；

在D中，任取x￡M，總有y=x2￡N,故D正確.

三、填空題(每小題5分，共20分)

9.若2f(x)+f(-x)=3x,貝!]函數(shù)的解+析式為f(x)=.

由2f(x)+f(-x)=3x可得2f(-x)+f(x)=-3x,兩式解方程組可得

f(x)=3x.

答案:3x

[X,Xe(-oo,t),一

10.設(shè)f(x)={「、若f(3)=27,則t的取值范圍為

[x3,xQt,+ooj.

當(dāng)t<3時，f(3)=33=27,滿足題意；

當(dāng)t>3時，f(3)=3,不滿足題意；故t的取值范圍為(-8,31.

答案：(…，3]

11.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[-1,1],則y=f(x+1)的定義域是

由-iWx+1<1得-2<x<0,

所以y=f(x+1)的定義域是[-2,0].

答案：[-2,0]

12.已知函數(shù)f(x)=-x,g(x)=x2-2,設(shè)函數(shù)y=M(x),當(dāng)f(x)>g(x)

時，M(x)=f(x)；當(dāng)g(x)>f(x)時，M(x)=g(x),則M(x)=

函數(shù)y=M(x)的最小值是________________.

解不等式f(x)>g(x),即-x>x2-2,解得-2<x<l,

即-2<x<l時，M(x)=-x,解不等式f(x)<g(x),即-x<x2-2,解得

xW-2或xNl,即xg-2或x>l時,M(x)=x2-2,

fx2-2,xC^-oo,-2]u[l,+co)

即M(x)=5z、

[-x,x￡(-2,1)

當(dāng)xg-2或xNl時,M(x)min=M(l)=-1,

當(dāng)-2<X<1時,M(X)min>M(l)=-1,

即函數(shù)y=M(x)的最小值是-1.

卜2-2,X￡(-OO,-2]U[1,+00)

-1

四、解答題(每小題10分，共40分)

13.函數(shù)f(x)=岡的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]

=-4,[2.1]=2.^xe(-2.5,3]時，寫出函數(shù)f(x)的解+析式，并畫

出函數(shù)的圖象.

-3,-2.5<x<-2