2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習第一篇核心專題突破專題四立體幾何第1講空間幾何體

第一篇專題四第1講一、單項選擇題1.下列說法中正確的是(B)A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺D．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓【解析】以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．以矩形的一條對角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線可以構(gòu)成直角三角形，滿足圓錐的定義，故B正確；用一平行底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺，故C錯誤；當球面上兩點是球的直徑的端點時，過這兩點的大圓有無數(shù)個，故D錯誤．故選B.2.(2023·廊坊模擬)若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B′＝2，則原四邊形AOBC的面積為(C)A．12 B．6C．3eq\r(2) D．eq\f(3\r(2),2)【解析】因為A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B′＝2，所以由斜二測畫法的直觀圖可知O′A′＝eq\r(2).由斜二測畫法的畫法規(guī)則還原圖形AOBC，如圖，所以AC∥OB，OA⊥OB，AC＝1，OB＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以梯形AOBC的面積為S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2eq\r(2)＝3eq\r(2).故選C.3.如圖，已知正方體的棱長為a，沿圖1中對角面將它分割成兩個部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的表面積為(C)A．(8＋2eq\r(2))a2 B．(2＋4eq\r(2))a2C．(4＋2eq\r(2))a2 D．(6－4eq\r(2))a2【解析】由題意，拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，由于截面為矩形，長為eq\r(2)a，寬為a，所以矩形的面積為eq\r(2)a2，所以拼成的幾何體的表面積為4a2＋2eq\r(2)a2＝(4＋2eq\r(2))a2.故選C.4.直徑為4的半球形容器，裝滿水然后將水全部倒入底面直徑和高均為4的圓柱容器．則圓柱容器中水面的高度為(C)A．1 B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．2【解析】設(shè)水的體積為V，圓柱的底面面積為S，水面的高度為h，由已知V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×23＝eq\f(16,3)π，S＝π×22＝4π，故水面高度h＝eq\f(16π,3)÷4π＝eq\f(4,3).故選C.5.已知一直角梯形的高為2，上下底邊長分別為1和2，將該梯形繞著垂直于底邊的一腰旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體體積為(B)A．14π B．eq\f(14π,3)C．eq\f(56π,3) D．10π【解析】直角梯形繞著垂直于底邊的一腰旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓臺，由題意知，圓臺的上下底面半徑分別為1和2，則上下底面的面積分別是S1＝π，S2＝4π，所以圓臺的體積V＝eq\f(1,3)·h·(S1＋S2＋eq\r(S1·S2))＝eq\f(1,3)×2×(π＋4π＋eq\r(π·4π))＝eq\f(14π,3).故選B.6.已知一個球與一個圓臺的上下底面和側(cè)面都相切，若圓臺的側(cè)面積為16π.上、下底面的面積之比為9∶1，則球的表面積為(A)A．12π B．14πC．16π D．18π【解析】設(shè)圓臺的底面半徑為r1和r2，由于上、下底面的面積之比為9∶1，故eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))＝eq\f(9,1)，所以r1＝3r2，則S表＝π(r1＋r2)·l＝16π，故4πr2l＝16π，解得r2l＝4，由于l＝r1＋r2＝4r2，所以4req\o\al(2,2)＝4，解得r1＝3，r2＝1；故(2R)2＝(r1＋r2)2－(r1－r2)2＝16－4＝12.解得R2＝3，故S球＝4·π·3＝12π.故選A.7.已知正三棱臺ABC－A1B1C1的上、下底面邊長分別為1和3，側(cè)棱長為2，以下底面頂點A為球心，eq\r(7)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為(C)A.eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\f(2π,3) D．π【解析】過B1作B1M⊥BC于M，過C1作C1N⊥BC于N，∵BC＝3，B1C1＝1，∴BM＝eq\f(3－1,2)＝1，∵側(cè)棱長為BB1＝2，∴∠B1BC＝eq\f(π,3)，取BC的中點G，可得AG＝eq\f(3\r(3),2)，AM＝eq\r(AG2＋GM2)＝eq\r(\f(27,4)＋\f(1,4))＝eq\r(7)，過B1作B1H⊥BA于H，AB1＝eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，同理可得AN，AC1到A的距離為eq\r(7)，又四邊形C1NMB1為矩形且可得B1M＝eq\r(3)，C1B1＝1，記四邊形C1NMB1的對角線交點為O，梯形B1C1CB的中位線EF過點O，從而可得eq\r(7)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線即為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓與側(cè)面BCC1B1的交線，可得∠MOF＝eq\f(π,3)，∴1為半徑的圓與側(cè)面BCC1B1的交線長為2×eq\f(π,3)×1＝eq\f(2π,3).故選C.8.如圖，三棱錐P－ABD中，AB⊥AD，PB⊥PD，△ABD的面積為8，則三棱錐P－ABD外接球的表面積的最小值為(A)A．32π B．18πC．16π D．64π【解析】取BD的中點O，連接OA，OP，因為AB⊥AD，PB⊥PD，則OA＝OB＝OD＝OP，則O是三棱錐P－ABD外接球的球心，因為△ABD的面積為8，所以eq\f(1,2)AB·AD＝8，則AB·AD＝16，則BD2＝AB2＋AD2≥2AB·AD＝32，當且僅當AB＝AD＝4時取等號，所以BD≥4eq\r(2)，則OB＝eq\f(1,2)BD≥2eq\r(2)，即R≥2eq\r(2)，所以三棱錐P－ABD外接球的表面積的最小值為Smin＝4πR2＝32π.故選A.二、多項選擇題9.下列說法正確的是(BD)A．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．棱錐至少有6條棱C．有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．用任何一個平面截球面，得到的截面都是圓【解析】圖1符合條件但卻不是棱柱，故A不正確；三棱錐是棱數(shù)最少的棱錐，有6條棱，故B正確；棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，則應(yīng)保證各側(cè)棱延長后相交于一點，圖2滿足有兩個面互相平行，其余各面都是梯形，但是側(cè)棱延長后不相交于一點，故不是棱臺，C不正確；易知D正確．10.如圖所示，一個平面圖形ABCD的直觀圖為A′B′C′D′，其中O′A′＝O′C′＝1，O′B′＝O′D′＝2，則下列說法中正確的是(BC)A．該平面圖形是一個平行四邊形但不是正方形B．該平面圖形的面積是8C．該平面圖形繞著直線AC旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是eq\f(16π,3)D．以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的外接球直徑為eq\r(17)【解析】根據(jù)題意，將直觀圖還原為平面圖形，由此分析選項：對于A，原圖中，AC＝4＝BD，故該平面圖形為正方形，即A錯誤；對于B，原圖的面積S＝eq\f(1,2)×4×4＝8，即B正確；對于C，將平面圖形繞直線AC旋轉(zhuǎn)半周得幾何體為兩個圓錐，底面半徑均為2，故體積V＝2×eq\f(1,3)×π×22×2＝eq\f(16,3)π，即C正確；對于D，以該平面圖形為底，高為3的直棱柱其實為長方體，體對角線長為eq\r(8＋8＋32)＝5，即D錯誤．故選BC.11.已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為r1＝1，r2＝2，母線AB長為2，點E為AB的中點，則(ACD)A．圓臺的體積為eq\f(7\r(3),3)πB．圓臺的側(cè)面積為12πC．圓臺母線AB與底面所成角為60°D．在圓臺的側(cè)面上，從點C到點E的最短路徑長為5【解析】對于A：圓臺的高為eq\r(3)，則圓臺的體積V＝eq\f(1,3)π×(12＋1×2＋22)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3)π,3)，A正確；對于B：由題意，圓臺的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，其面積為S＝eq\f(1,2)×2π×2×4－eq\f(1,2)×2π×1×2＝6π，故B錯誤；對于C：過A作AF∥O1O2交底面于F，則O1O2⊥底面，所以∠ABF即為母線AB與底面所成角．在等腰梯形ABCD中，AB＝2，BF＝2－1＝1，所以cos∠ABF＝eq\f(BF,AB)＝eq\f(1,2).因為∠ABF為銳角，所以∠ABF＝60°，故C正確；對于D：如圖所示，在圓臺的側(cè)面上，從C到E的最短路徑的長度為CE.由題意可得：FB＝FC＝4，AB＝2.由E為AB中點，所以FE＝3，所以CE＝eq\r(CF2＋FE2)＝eq\r(42＋32)＝5，故D正確．故選ACD.12.已知三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上，AB1＝BC1＝CA1＝4.若點O到三棱柱ABC－A1B1C1的所有面的距離都相等，則(AC)A．BB1⊥平面ABCB．AB＝AA1C．平面A1B1C1截球O所得截面圓的周長為4πD．球O的表面積為24π【解析】已知三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上，AB1＝BC1＝CA1＝4，若點O到三棱柱ABC－A1B1C1的所有面的距離都相等，因為三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上，根據(jù)球的對稱性可知三棱柱ABC－A1B1C1為直棱柱，所以BB1⊥平面ABC，因此A正確；因為AB1＝BC1＝CA1＝4，所以AB＝BC＝CA，因為點O到三棱柱ABC－A1B1C1的所有面的距離都相等，所以三棱柱ABC－A1B1C1的內(nèi)切球與外接球的球心重合，設(shè)該三棱柱的內(nèi)切球的半徑為r，則AA1＝2r，AB＝2eq\r(3)r，所以AB＝eq\r(3)AA1，因此B錯誤；由AB1＝4，可知BBeq\o\al(2,1)＋AB2＝4r2＋12r2＝16r2＝16，解得r＝1(負值已舍去)，則AB＝BC＝CA＝2eq\r(3).易得△A1B1C1的外接圓的半徑r2＝2，所以平面A1B1C1截球O所得截面圓的周長為2πr2＝4π，因此C正確；三棱柱ABC－A1B1C1外接球的半徑R＝eq\r(r\o\al(2,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AA1,2)))2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以球O的表面積S＝4πR2＝20π，因此D錯誤．故選AC.三、填空題13.若一個圓柱的側(cè)面積是4π，高為1，則這個圓柱的體積是_4π__.【解析】圓柱的側(cè)面積是S＝2πrh＝2πr×1＝4π，∴r＝2，所以體積V＝Sh＝πr2·h＝4π.14.水平放置的平行四邊形OABC，用斜二測畫法畫出它的直觀圖O′A′B′C′，如圖所示．此直觀圖恰好是個邊長為eq\r(2)的正方形，則原平行四邊形OABC的面積為4eq\r(2).【解析】根據(jù)題意，平行四邊形OABC的直觀圖恰好是個邊長為eq\r(2)的正方形，則其直觀圖的面積S′＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2，則原圖平行四邊形OABC的面積S＝2eq\r(2)S′＝4eq\r(2).15.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝3，點M在棱BB1上，BD1⊥平面ACM，則三棱錐B－ACM的外接球的表面積為eq\f(19,9)π.【解析】如圖所示，設(shè)AC與BD交于點O，連接OM，因為BD1⊥平面ACM，OM?平面ACM，所以BD1⊥OM，在平面BDD1B1內(nèi)，可得△BB1D1∽△OBM，即eq\f(BM,B1D1)＝eq\f(BO,BB1)，如圖所示，正四棱柱中，AB＝1，AA1＝3，則BD＝B1D1＝eq\r(2)，BO＝eq\f(\r(2),2)，又BB1＝AA1＝3，解得BM＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),3)＝eq\f(1,3)，三棱錐B－ACM中，BA，BC，BM兩兩互相垂直，則三棱錐B－ACM的外接球與以BA，BC，BM為長寬高的長方體的外接球相同，外接球直徑為eq\r(\f(1,32)＋12＋12)＝eq\r(\f(19,9))，半徑為R＝eq\f(1,2)eq\r(\f(19,9))，故其外接球的表面積為S＝4πR2＝eq\f(19,9)π.16.在三棱錐D－ABC中，△ABC為等邊三角形，DC⊥平面ABC，若AC＋CD＝6，則三棱錐D－ABC外接球的表面積的最小值為eq\f(144π,7).【解析】設(shè)AB＝AC＝BC＝a，(0＜a＜6)則CD＝6－a，取正三角形ABC的外心為O，四面體ABCD的外接球球心為O′，連接OO′，則OO′⊥底面ABC，底面外接圓的半徑r＝eq\f(a,2sin60°)＝eq\f(\r(3),3)a，OO′＝eq\f(1,2)CD＝3－eq\f(a,2)，所以