專題12 正余弦定理妙解三角形問題和最值問題（練習(xí)）（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

專題12正余弦定理妙解三角形問題和最值問題目錄01倍長定比分線模型 202倍角定理 303角平分線模型 404隱圓問題 605正切比值與和差問題 706四邊形定值和最值 807邊角特殊，構(gòu)建坐標(biāo)系 1008利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關(guān)的問題 1209利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍 1310三角形中的幾何計(jì)算 1711三角形的形狀判定 1801倍長定比分線模型1．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）在中，角所對的邊分別為，且是的中點(diǎn)，，則，.2．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）在①，②，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足____．(1)求；(2)若的面積為在邊上，且，，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．3．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期末）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求C；(2)若△ABC的面積為，D在邊AC上，且CD=CA，求BD的最小值．4．（2023·江蘇南京·高三統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)中角、、所對的邊分別為、、，為邊上的中線，已知，，．

(1)求邊、的長度；(2)求的面積；(3)點(diǎn)為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與邊、（不含端點(diǎn)）分別交于、．若，求的值．02倍角定理5．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從①；②；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上并解答問題．在銳角中，角所對的邊分別為，且________．(1)證明：；(2)求的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．6．（2023·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，．(1)證明：；(2)若，且為銳角三角形，求的取值范圍．7．（2023·湖南·高三校聯(lián)考期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，且.(1)證明：；(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍.03角平分線模型8．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)求角和角之間的等式關(guān)系；(2)若，為的角平分線，且，的面積為，求的長．9．（2023·山東濟(jì)南·高三山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別a，b，c，且(1)求角A的值；(2)若，BC邊上的中線長為1，為角A的角平分線，求的長．10．（2023·河南·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，的面積記為S，已知，．(1)求A；(2)若BC邊上的中線長為1，AD為角A的角平分線，求CD的長．11．（2023?甲卷）在中，，，，為上一點(diǎn)，為的平分線，則．12．（2023·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，，的角平分線交BC于點(diǎn)D，求的長．13．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c．已知，．(1)求邊b的長；(2)延長BC至D，使得，連接AD．已知為銳角，且它的角平分線與AB交于點(diǎn)E，若外接圓半徑為．求長．04隱圓問題14．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？寄M預(yù)測）阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓現(xiàn)有，，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時，它的內(nèi)切圓的半徑為.15．（2023·江蘇南京·高三南京市雨花臺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，則的長為.16．（2023·四川·校聯(lián)考二模）阿波羅尼奧斯是古希臘時期與阿基米德、歐幾里得齊名的數(shù)學(xué)家，以其姓氏命名的“阿氏圓”，是“指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)的動點(diǎn)軌跡”，設(shè)的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，頂點(diǎn)C在以A，B為定點(diǎn)，的一個阿氏圓上，且，的面積為，則.17．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）材料一：已知三角形三邊長分別為，則三角形的面積為，其中.這個公式被稱為海倫一秦九韶公式.材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.根據(jù)材料一或材料二解答：已知中，，則面積的最大值為（

）A．6 B．10 C．12 D．205正切比值與和差問題18．（2023·江蘇南京·高三金陵中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC為銳角三角形，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．R為△ABC外接圓半徑．（1）若R＝1，且滿足，求的取值范圍；（2）若，求的最小值．19．（多選題）（2023·湖北咸寧·高三統(tǒng)考期末）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，，則（

）A． B．C．的面積為 D．的周長為20．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）銳角中，角A所對的邊為，的面積，給出以下結(jié)論：①；②；③；④有最小值8.其中結(jié)論正確的是A．1 B．2 C．3 D．421．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角B的大?。?2)若，求的值．06四邊形定值和最值22．（2023·廣東廣州·高三廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？茧A段練習(xí)）廣州市從化區(qū)政府?dāng)M在云嶺湖建一個旅游觀光項(xiàng)目，設(shè)計(jì)方案如下：如圖所示的圓O是圓形湖的邊界，沿線段AB，BC，CD，DA建一個觀景長廊，其中A，B，C，D是觀景長廊的四個出入口且都在圓O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P處和湖邊D處各建一個觀景亭，且它們關(guān)于直線AC對稱，在湖面建一條觀景橋APC．觀景亭的大小、觀景長廊、觀景橋的寬度均忽略不計(jì)，設(shè)．(1)當(dāng)時，求三角形區(qū)域ADC內(nèi)的湖面面積的最大值；(2)若CD=8百米且規(guī)劃建亭點(diǎn)P在三角形ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界），試判斷四邊形ABCP內(nèi)湖面面積是否有最大值？若有，求出最大值，并寫出此時的值；若沒有，請說明理由．23．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，，，.(1)若，求的面積.(2)求的最大值.24．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知中，角，，所對的邊分別為，，，滿足.

(1)求的大?。?2)如圖，，在直線的右側(cè)取點(diǎn)，使得，求為何值時，四邊形面積的最大，并求出該最大值．25．（2023·遼寧·高三統(tǒng)考期中）如圖，已知三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，．(1)求；(2)是外一點(diǎn)，連接，構(gòu)成平面四邊形，若，求的最大值．26．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考期中）如圖所示為某小區(qū)在草坪上活動區(qū)域的平面示意圖，在四個點(diǎn)分別建造了供老年人活動的器械.四個點(diǎn)所圍成的四邊形即為老年人的活動區(qū)域.為了便于老年人在草坪上行走，小區(qū)建造了，，，，，六條步行道，其中，，，.設(shè)，，為四邊形的面積.

(1)若，求的值:(2)求的最大值，并求取到最大值時的值.27．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？茧A段練習(xí)）2023年8月27日，哈爾濱馬拉松在哈爾濱音樂公園音樂長廊鳴槍開跑，比賽某補(bǔ)給站平面設(shè)計(jì)圖如圖所示，根據(jù)需要，在設(shè)計(jì)時要求，，

(1)若，，求的值；(2)若，四邊形ABCD面積為4，求的值．07邊角特殊，構(gòu)建坐標(biāo)系28．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角所對的邊分別為．若，則△ABC的面積的最大值為．29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，，．若，在所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得，則的面積的最大值為．30．（2023·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在中，，為邊上的中線，，則該三角形面積最大值為．31．（2023·四川成都·高三川大附中?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的三邊分別為，且，若的面積為，則的最小值是.32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為等邊內(nèi)一動點(diǎn)，且，則的最小值為．33．（2023·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）正三角形中，為中點(diǎn)，為三角形內(nèi)滿足的動點(diǎn)，則最小值為.34．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、的對邊分別為、、，面積為，有以下四個命題中正確的是（

）A．的最大值為B．當(dāng)，時，不可能是直角三角形C．當(dāng)，，時，的周長為D．當(dāng)，，時，若為的內(nèi)心，則的面積為35．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，，，為所在平面上的一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B．25 C． D．08利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關(guān)的問題36．（2023·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）在中，所對的邊分別為，且，(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.37．（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)，求的最值，及取最值時對應(yīng)的的值；(2)在中，為銳角，且，求的面積．38．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知①，②，③，從上述三個條件中任選一個補(bǔ)充到下面問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角的對邊分別為，并且滿足__________.(1)求角；(2)若為角的平分線，點(diǎn)在上，且，求的面積.39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若的面積為，求a的最小值；(2)若，BC邊上的中線長為，且的外接圓半徑為，求的周長．40．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考期末）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.以AB，BC，AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.(1)求角A；(2)若，的面積為，求的周長.09利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍41．（2023·重慶·高三重慶八中校考階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求證：；(2)求的取值范圍．42．（2022?上海）如圖，在同一平面上，，，為中點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)到距離相等，角，，關(guān)于對稱，；（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的大??；（2）在何位置，求五邊形面積的最大值．43．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）中，．（1）求；（2）若，求周長的最大值．44．（2022?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．45．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，.(1)求角；(2)若為鈍角三角形，且，求的取值范圍.46．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，成等比數(shù)列．(1)若，求角C；(2)若的面積為S，求的取值范圍．47．（2023·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）已知H為銳角的垂心，為三角形的三條高線，且滿足.(1)求的值.(2)求的取值范圍.48．（2023·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面凸四邊形中，為邊的中點(diǎn)．

(1)若，求的面積；(2)求的最大值．49．（2023·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，.

(1)若，求；(2)求的最大值.50．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．(1)若，求C；(2)若，且，求的最小值．10三角形中的幾何計(jì)算51．（2023·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期中）在凸四邊形中，對角線交于點(diǎn)，且.(1)若，求的余弦值；(2)若，求邊的長.52．（2023·河南·高三內(nèi)黃縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面四邊形ABDC中，對角線CB為鈍角的平分線，CB與AD相交于點(diǎn)O，，，.

(1)求CO的長；(2)若，求的面積.53．（2023·河南信陽·信陽高中校考模擬預(yù)測）在中，，的面積為，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn).

(1)求的面積；(2)若