2023學年完整公開課版變化率問題

設問一——對某些簡單函數(shù),我們可以利用函數(shù)的圖象,性質(zhì)或單調(diào)性的定義探求函數(shù)的單調(diào)性,那么下列函數(shù)你可以利用性質(zhì)圖象或單調(diào)性的定義探求單調(diào)性嗎?學習導數(shù)知識后,便可以解決這樣的問題.1、函數(shù)單調(diào)性的定義——若f(x1)<f(x2)，則函數(shù)f(x)是D上的單調(diào)增函數(shù)；已知x1,x2∈D，且x1<x2;若f(x1)>f(x2)，則函數(shù)f(x)是D上的單調(diào)減函數(shù)；2、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)——若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間D上有相同的單調(diào)性，則和函數(shù)f(x)+g(x)在D也有相同的單調(diào)性。知識回顧與新知引入設問二——下面封閉圖形ABCD的面積你能求出嗎?導數(shù)是自變量的變化率，它是研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、圖象、性質(zhì)、……等的有利工具，在實際生產(chǎn)生活中可利用這一工具解決大量的實際問題。熟練地掌握這種工具能較好的解決函數(shù)的有關(guān)問題。S1可求，S2現(xiàn)階段不可求，學習了導數(shù)知識后，S2可輕松求出。什么是導數(shù)呢？.1.1.1變化率問題問題1：氣球膨脹率在吹氣球的過程中可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.從數(shù)學的角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?思考1：當空氣容量V從0L增加到1L,氣球的平均膨脹率是多少？類比：當空氣容量V從1L增加到2L,氣球的平均膨脹率是多少？新知探究——變化率氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是若將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么可以發(fā)現(xiàn)——氣球的膨脹率逐漸減小思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?氣球平均膨脹率表示特征——半徑差/體積差在0≤t≤0.5這段時間里,在1≤t≤2這段時間里,問題2高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運動狀態(tài),那么:新知探究——變化率思考——運動員起跳后的時間從t1變化到t2時，平均速度是多少?平均速度表示特征——

高度差/時間差觀察——上述兩個問題中的平均變化率有何共同之處？新知探究——平均變化率共同特點——平均變化率=函數(shù)值差自變量差氣球膨脹率問題中自由下落問題中如果上述兩個問題中的函數(shù)關(guān)系用y=f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子上式稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率。想一想：上面的式子和我們以前學過的什么式子相似？平均變化率的定義——平均變化率的幾何意義就是兩點(x1,y1),(x2,y2)間連線(曲線的一條割線)的斜率。新知探究——平均變化率新知探究——平均變化率習慣上記：自變量的增量(改變量)△x=x2-x1函數(shù)值的增量(改變量)

△y=f(x2)-f(x1)∴平均變化率也可表示為∵x2=x1+△x此時平均變化率可表示成：函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率=課堂小結(jié)1、函數(shù)y=f(x)平均變化率=函數(shù)值差自變量差2、平均變化率的幾何意義就是兩點(x1,y1),(x2,y2)間連線(曲線的一條割線)的斜率。1.1.2導數(shù)的概念(2)平均速度僅能反映他在某段時間里運動狀態(tài)，不能反映他在某一時刻的運動狀態(tài)。(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?在高臺跳水問題中，計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考幾個相關(guān)問題:思考探究:(1)不是靜止的；（瞬時速度：物體在某一時刻的速度稱之為瞬時速度。）需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。新知探究——瞬時速度與導數(shù)閱讀教材，回答下面問題。1、運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示？2、函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示？函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率稱作函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)。記作：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)——快速練習——已知函數(shù)f(x)=2x2-3x+1,求。解:解：分析:例

已知，求的值。課堂小