模型03 全等三角形中的常見(jiàn)五種基本模型（教師版）

模型介紹模型介紹全等三角形的模型種類(lèi)多，其中有關(guān)中點(diǎn)的模型與垂直模型在前面的專(zhuān)題已經(jīng)很詳細(xì)的講解，這里就不在重復(fù).模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型①截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段。如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②補(bǔ)短：選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng)，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。如圖所示，延長(zhǎng)GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、對(duì)稱(chēng)全等模型模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型模型五、手拉手全等模型例題精講例題精講模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型【例1】.如圖，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，則∠C＝27°．解：在DC上截取DE＝BD，連接AE，∵AD⊥BC，DE＝BD，∴AD是BE的垂直平分線，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝54°，∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC，∴AB＝EC，∴AE＝EC，∴∠C＝∠EAC，∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°，故答案為：27°．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，點(diǎn)P是△ABC三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，連接AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且CA+AP＝BC，則∠CAB的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．90°解：如圖，在BC上截取CE＝AC，連接PE，∵∠ACB＝60°，∴∠CAB+∠ABC＝120°∵點(diǎn)P是△ABC三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，∴∠CAP＝∠BAP＝∠CAB，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠BCP，∴∠ABP+∠BAP＝60°∵CA＝CE，∠ACP＝∠BCP，CP＝CP∴△ACP≌△ECP（SAS）∴AP＝PE，∠CAP＝∠CEP∵CA+AP＝BC，且CB＝CE+BE，∴AP＝BE，∴BE＝PE，∴∠EPB＝∠EBP，∴∠PEC＝∠EBP+∠EPB＝2∠PBE＝∠CAP∴∠PAB＝2∠PBA，且∠ABP+∠BAP＝60°，∴∠PAB＝40°，∴∠CAB＝80°故選：C．【變式1-2】．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．證明：在線段BC上截取BE＝BA，連接DE，如圖所示．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠BED．∵AD＝CD，∴ED＝CD，∴∠DEC＝∠C．∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°．【變式1-3】．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，過(guò)C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面積；（2）證明：DF+CF＝EF．（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝CE＝2AD＝4，∵EC⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴S△ECD＝?CD?CE＝×4×4＝8．（2）證明：在EF上取一點(diǎn)M，使得EM＝DF，∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，∴△ECM≌△DCF，∴CM＝CF，∵∠ADC＝60°，∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴△CFM是等邊三角形，∴CF＝MF，∴EF＝EM+MF＝DF+CF．模型二、平移全等模型【例2】．如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求證：△AED≌△EBC．（2）當(dāng)AB＝6時(shí)，求CD的長(zhǎng)．（1）證明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC，∵E是AB中點(diǎn)，∴AE＝EB，∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC．（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC，∵AD∥EC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴CD＝AE，∵AB＝6，∴CD＝AB＝3．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動(dòng)，如圖2，3時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D．在△AFC和△DEB中，，∴△AFC≌△DEB（SAS）．在（2），（3）中結(jié)論依然成立．如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D．在△ACF和△DEB中，，∴△ACF≌△DEB（SAS）．【變式2-2】．如圖，AD，BF相交于點(diǎn)O，AB∥DF，AB＝DF，點(diǎn)E與點(diǎn)C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)．證明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)．【變式2-3】．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的長(zhǎng)．（1）證明：∵△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∴∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∴∠BOD+∠AOD＝90°，∠AOC+∠AOD＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）；（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠CAO＝∠DBO＝45°，又∠BAO＝45°，∴∠CAD＝90°，∵AD＝1，∠ADC＝60°，∴CD＝2AD＝2．模型三、對(duì)稱(chēng)全等模型【例3】．如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點(diǎn)P，且D，P，C在同一條直線上．（1）求∠PAD的度數(shù)；（2）求證：P是線段CD的中點(diǎn)．（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠PAD＝∠DAB＝30°；（2）證明：過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是線段CD的中點(diǎn)．變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求證：AM＝AN．解：∵AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，在△DBC和△EBC中∴△DBC≌△EBC，∴∠BDC＝∠BDE，∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，∴∠ADM＝∠AEN，在△AMD和△ANE中∵∴△AMD≌△ANE∴AM＝AN．【變式3-2】．如圖，已知點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD中邊AB、BC上的點(diǎn)，且AB＝12，AE＝6，將正方形分別沿DE、DF向內(nèi)折疊，此時(shí)DA與DC重合為DG，求CF的長(zhǎng)度．解：設(shè)CF＝x，則FG＝x，F(xiàn)B＝12﹣x，∵AB＝12，AE＝6，∴BE＝6，EG＝6，∴EF＝6+x，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，62+（12﹣x）2＝（x+6）2，x＝4，即CF的長(zhǎng)為4．【變式3-3】．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，問(wèn)PC與PD相等嗎？試說(shuō)明理由．解：PC與PD相等．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．∵OM平分∠AOB，點(diǎn)P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四邊形OEPF為矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．在△PCE與△PDF中，∵，∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型【例4】．如圖，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想線段CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想．解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°．∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∵∠AGD＝∠FGB，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．變式訓(xùn)練【變式4-1】．已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如圖1，點(diǎn)E在BC上，求證：BC＝BD+BE；（2）如圖2，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，求證：BC＝BD﹣BE．（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BE+CE＝BD+BE；（2）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．【變式4-2】．如圖所示，已知P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，則PC的最大值是3+4．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BP，且BE＝PB，連接AE、PE、PC，則PE＝PB＝4，∵∠ABE＝∠ABP+90°，∠CBP＝∠ABP+90°，∴∠ABE＝∠CBP，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴AE＝PC，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)AE最大，此時(shí)AE＝AP+PE＝3+4，所以，PC的最大值是3+4．故答案為：3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如圖，△ABC與△ADE是以點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且線段BD、CE交于F．（1）求證：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE與DB之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：CE＝DB，CE⊥DB．理由：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵∠BAC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CE⊥BD．變式訓(xùn)練【變式5-1】．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的結(jié)論有幾個(gè)（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：①∵正△ABC和正△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，（故①正確）；②又∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ＝60°，∠DAC＝∠EBC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴AP＝BQ，（故②正確）；③∵△ACP≌△BCQ，∴AP＝QB，∵△ADC≌△BEC∴AD＝BE，∴AD﹣AP＝BE﹣QB，∴DP＝EQ，∵DE＞QE，且DP＝QE，∴DE＞DP，（故③錯(cuò)誤）；④∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故④正確）．∴正確的有：①②④．故選：C．【變式5-2】．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延長(zhǎng)BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【變式5-3】．（1）如圖1，等腰△ABC與等腰△DEC有公共點(diǎn)C，且∠BCA＝∠ECD，連接BE、AD，若BC＝AC，EC＝DC，求證：BE＝AD．（2）若將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3、圖4情形時(shí)，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？證明：（1）∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．解：（2）圖2、圖3、圖4中，BE和AD還相等，理由是：如圖圖2、圖3、圖4，∵∠BCA＝∠ECD，∠ACD+∠BCA＝180°，∠ECD+∠BCE＝180°，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1.如圖，已知，，且，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC=∠DAE∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°∴∠BAC=∠DAE∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°∴∠GFD=90°在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°故選：C2．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正確；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正確；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，則∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正確；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴A、B、M、O四點(diǎn)共圓，∴∠AMO＝∠ABO＝72°，同理可得：D、C、M、O四點(diǎn)共圓，∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正確；假設(shè)MO平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，在△AMO與△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；故選：B．3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AP+BP+CP的最小值為4，則BC2＝32﹣16．解：如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM，則AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，∵AP+BP+CP的最小值為4，∴CM＝4，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝4，作BN⊥AC于N．則BN＝AB＝2，AN＝2，CN＝4﹣2，∴BC2＝BN2+CN2＝22+（4﹣2）2＝32﹣16，故答案為：32﹣16．4．正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，CE＝2DE，將△ADE沿AE折疊至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG，CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②S△FGC＝6；③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正確的有①③④（填序號(hào)）．解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，CE＝2DE，∴DE＝2，EC＝4，∵將△ADE沿AE折疊至△AFE，∴AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正確；∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，設(shè)BG＝x，則：GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，∵CG2+CE2＝GE2，∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴BG＝GF＝3，CG＝6﹣3＝3，∴BG＝CG，∴④正確；∵EF＝ED，GB＝GF，∴GE＝GF+EF＝BG+DE，∴③正確；∵S△GCE＝GC?CE＝×3×4＝6，∵GF＝3，EF＝ED＝2，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×6＝≠3，∴②不正確，故答案為：①③④．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在D′處．（1）求證：AF＝CF（2）求AF的長(zhǎng)度．（1）證明：依題意可知，矩形沿對(duì)角線AC對(duì)折后有：∠D′＝∠B＝90°，∠AFD′＝∠CFB，BC＝AD′，∴△AD′F≌△CBF（AAS），∴CF＝AF；（2）解：設(shè)AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中有BC2+BF2＝FC2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AF的長(zhǎng)度為5．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，則BE＝6cm．（3）BE與AD有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝∠DCB+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵DB＝AB＝3cm，∴BE＝2×3cm＝6cm；（3）解：BE與AD垂直．理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴∠1＝∠2，而∠3＝∠4，∴∠EBD＝∠ECD＝90°，∴BE⊥AD．7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)B作BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)A作AF⊥AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝AF；（2）求證：CD＝2BE+DE．證明：（1）如圖，∵∠BAC＝90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，∴∠EAB＝∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠EBD+∠EDB＝∠ADC+∠ACD＝90°，∵∠EDB＝∠ADC，∴∠EBA＝∠ACF，∴在△AEB與△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC，垂足為G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED＝∠AGD＝90°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝AD．∴在△BED與△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED＝GD，BE＝AG，∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE＝45°∴∠FAG＝45°∴∠GAF＝∠GFA，∴GA＝GF，∴CF＝BE＝AG＝GF，∵CD＝DG+GF+FC，∴CD＝DE+BE+BE，∴CD＝2BE+DE．8．如圖：在等腰直角三角形中，AB＝AC，點(diǎn)D是斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF．（1）若設(shè)BE＝a，CF＝b，滿(mǎn)足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的長(zhǎng)．（2）求證：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．（1）解：由題意得，解得m＝2，則+|b﹣5|＝0，所以a﹣12＝0，b﹣5＝0，a＝12，b＝5，即BE＝12，CF＝5；（2）證明：延長(zhǎng)ED到P，使DP＝DE，連接FP，CP，在△BED和△CPD中，，∴△BED≌△CPD（SAS），∴BE＝CP，∠B＝∠DCP，在△EDF和△PDF中，，∴△EDF≌△PDF（SAS），∴EF＝FP，∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°，在Rt△FCP中，根據(jù)勾股定理得：CF2+CP2＝PF2，∵BE＝CP，PF＝EF，∴BE2+CF2＝EF2；（3）解：連接AD，∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠FCD＝45°，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∵ED⊥FD，∴∠EDA+∠ADF＝90°，∠ADF+∠FDC＝90°，∴∠EDA＝∠FDC，在△AED和△CFD中，，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF＝5，DE＝DF，即△EDF為等腰直角三角形，∴AB＝AE+EB＝5+12＝17，∴AF＝AC﹣FC＝AB﹣CF＝17﹣5＝12，在Rt△EAF中，根據(jù)勾股定理得：EF＝＝13，設(shè)DE＝DF＝x，根據(jù)勾股定理得：x2+x2＝132，解得：x＝，即DE＝DF＝，則S△DEF＝DE?DF＝××＝．9．如圖1，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，連接AE交CD于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，AE與BD交于點(diǎn)P，連接CP．（1）線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系為AE＝BD；請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APD＝30°；（2）將△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；求出此時(shí)∠APD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下求證：∠APC＝∠BPC．（1）解：如圖1中，∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠AMC＝∠DMP，∴∠APD＝∠ACD＝30°，故答案為AE＝BD，30°（2）解：如圖2中，結(jié)論：AE＝BD，∠APD＝30°．理由：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠AMP＝∠DMC，∴∠APD＝∠ACD＝30°．（3）證明：如圖2﹣1中，分別過(guò)C作CH⊥AE，垂足為H，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，∵△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，∵S△ACE＝S△DCB（全等三角形的面積相等），∴CH＝CG，∴∠DPC＝∠EPC（角平分線的性質(zhì)定理的逆定理），∵∠APD＝∠BPE，∠APC＝∠DPC+∠APD，∠BPC＝∠EPC+∠BPE，∴∠APC＝∠BPC．10．閱讀與理解：折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖），怎樣證明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分線AD翻折，因?yàn)锳B＞AC，所以點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C'處，即AC＝AC'，據(jù)以上操作，易證明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因?yàn)椤螦C'D＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟與應(yīng)用：（1）如圖（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，試判斷AC和AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖（b），在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求證：∠B+∠D＝180°；②求AB的長(zhǎng)．解：（1）BC﹣AC＝AD．理由如下：如圖（a），在CB上截取CE＝CA，連接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA+∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC，∴BC﹣AC＝AD．（2）①如圖（b），在AB上截取AM＝AD，連接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB+∠CMA＝180°，∴∠B+∠D＝180°；②設(shè)BN＝a，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N，∵CB＝CM＝12，∴BN＝MN＝a，在Rt△BCN中，CN2＝BC2﹣BN2＝122﹣a2，在Rt△ACN中，CN2＝AC2﹣AN2＝162﹣（8+a）2，則122﹣a2＝162﹣（8+a）2，解得：a＝3，即BN＝MN＝3，則AB＝14．11．如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．（1）李明同學(xué)作了如圖乙的輔助線，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP'，可說(shuō)明△APP'是直角三角形從而問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你說(shuō)明其中理由并完成問(wèn)題解答．（2）如圖丙，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且AP＝，BP＝，PC＝1：類(lèi)比第一小題的方法求∠BPC的度數(shù)，并直接寫(xiě)出正方形ABCD的面積．解：（1）∵△ABC是等邊三角形