空間幾何簡(jiǎn)介

第六章第一部分空間解析幾何簡(jiǎn)介

第二部分多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微積分第三部分二重積分定義及計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一節(jié)一、向量的概念與運(yùn)算二、空間直角坐標(biāo)系三、曲面及其方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束空間解析幾何簡(jiǎn)介第六章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念與運(yùn)算向量:(又稱(chēng)矢量).既有大小,又有方向的量稱(chēng)為向量向徑(矢徑):起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.向量的概念規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱(chēng)a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱(chēng)a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱(chēng)為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線

.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱(chēng)此k個(gè)向量共面

.記作－a;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.向量的線性運(yùn)算1)向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)向量與數(shù)的乘法

是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(

為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,取＝±且再證數(shù)

的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b

同向時(shí)則b

與

a

同向,設(shè)又有b＝

a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束“”則已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ二、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Ⅰ向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱(chēng)為點(diǎn)

M

的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)

M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱(chēng)為向量

r

的坐標(biāo)分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.

如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足此方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、曲面及其方程1.曲面方程的概念兩個(gè)基本問(wèn)題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.

特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

研究方程解:配方得此方程表示:的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束①2.平面及其方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱(chēng)①式為平面

的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有

故設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱(chēng)為平面的一般任取一組滿(mǎn)足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,

因此方程②的圖形是法向量為

方程.特殊情形?當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過(guò)原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?Ax+Cz+D=0表示?Ax+By+D=0表示?Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.例1.

求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.例2.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程解:因平面通過(guò)x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程3.柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程解:在xoy面上，表示圓C,

沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱(chēng)為圓故在空間過(guò)此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義3.平行某定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于

(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2.母線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三元二次方程研究二次曲面特性的基本方法:截痕法基本類(lèi)型:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)4.二次曲面

1)

橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))2)拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號(hào))(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號(hào))3)雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平