抽屜原理精華版及習(xí)題解答

抽屜原理知識(shí)點(diǎn)：把27個(gè)蘋果放進(jìn)4個(gè)抽屜中，能否使每個(gè)抽屜中蘋果數(shù)均小于等于6？那么至少有一個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)大于等于幾？把25個(gè)蘋果放進(jìn)5個(gè)抽屜中，能否使每個(gè)抽屜中蘋果數(shù)均小于等于4？那么至少有一個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)大于等于幾？上述兩個(gè)結(jié)論你是如何計(jì)算出來的？★規(guī)律：用蘋果數(shù)除以抽屜數(shù)，假設(shè)余數(shù)不為零，那么“答案”為商加1，假設(shè)余數(shù)為零，那么“答案”為商。★抽屜原那么一：把個(gè)以上的蘋果放到個(gè)抽屜中，無論怎樣放，一定能找到一個(gè)抽屜，它里面至少有兩個(gè)蘋果?！锍閷显敲炊喊讯嘤凇羵€(gè)蘋果放到個(gè)抽屜中,無論怎樣放,一定能找到一個(gè)抽屜,它里面至少有(+1)個(gè)蘋果。根底知識(shí)訓(xùn)練1、把98個(gè)蘋果放到10個(gè)抽屜中，無論怎么放，我們一定能找到一個(gè)含蘋果最多的抽屜，它里面至少含有個(gè)蘋果。2、1000只鴿子飛進(jìn)50個(gè)巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個(gè)含鴿子最多的巢，它里面至少含有只鴿子。3、從8個(gè)抽屜中拿出17個(gè)蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個(gè)拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了個(gè)蘋果。4、從個(gè)抽屜中〔填最大數(shù)〕拿出25個(gè)蘋果，才能保證一定能找到一個(gè)抽屜，從它當(dāng)中至少拿了7個(gè)蘋果。思路與方法：在抽屜原理問題，難在有些題目抽屜沒有直接給出，要求我們自己根據(jù)題意去造抽屜，但我們也不要為此感到困難，往往在題目有一句關(guān)鍵的話，告訴我們抽屜的性質(zhì)，我們可以根據(jù)此性質(zhì)來構(gòu)造抽屜即可。訓(xùn)練題六〔1〕班有49名學(xué)生。數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績除3人外均在86分以上后就說：“我可以斷定，本班同學(xué)至少有4人成績相同。”請問王老師說的對嗎？為什么？從這100個(gè)數(shù)中任意挑選出51個(gè)數(shù)來，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：〔1〕有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；〔2〕有兩個(gè)數(shù)的差為50；圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上〔每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)〕。求證：必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的；兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999。有一批四種顏色的小旗,任意取出三面排成一行,表示各種信號.證明:在200個(gè)信號中至少有4個(gè)信號完全相同.在3×7的方格表中，有11個(gè)白格，證明：〔1〕假設(shè)僅含一個(gè)白格的列只有3列，那么在其余的4列中每列都恰有兩個(gè)白格；〔2〕只有一個(gè)白格的列至少有3列。6．一個(gè)車間有一條生產(chǎn)流水線，由5臺(tái)機(jī)器組成，只有每臺(tái)機(jī)器都開動(dòng)時(shí)，這篛流水線才能工作。總共有8個(gè)工人在這條流水線上工作。在每一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場。為了保證生產(chǎn)，要對這8名工人進(jìn)行培訓(xùn)，每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱為一輪。問：最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)，才能使任意5個(gè)工人上班而流水線總能工作？7．在圓周上放著100個(gè)籌碼，其中有41個(gè)紅的和59個(gè)藍(lán)的。那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在它們之間剛好放有19個(gè)籌碼，為什么？8．試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問：參加考試的學(xué)生最多有多少人？9．某個(gè)委員會(huì)開了40次會(huì)議，每次會(huì)議有10人出席。任何兩個(gè)委員不會(huì)同時(shí)開兩次或更多的會(huì)議。問：這個(gè)委員會(huì)的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？10．某此選舉，有5名候選人，每人只能選其中的一人或幾人，至少有人參加選舉，才能保證有4人選票選的人相同11．一次考試有20道題，有20分根底分，答對一題加3分，不達(dá)不加分也不減分，答錯(cuò)一題減1分，假設(shè)有100人參加考試，至少有多少人得分相同？12．一次數(shù)學(xué)競賽，有75人參加，總分值20分，參賽者得分都是整數(shù)，75人的總分是980分，問至少有幾個(gè)人得分相同？提示與答案提示：關(guān)鍵詞：成績相同；抽屜性質(zhì)：有相同成績的人在同一個(gè)抽屜中，所以我們要根據(jù)成績來造抽屜；關(guān)鍵詞：數(shù)互質(zhì)；抽屜性質(zhì)：抽屜中已有數(shù)，并且同一抽屜中的數(shù)互質(zhì)；關(guān)鍵詞：差為50；抽屜性質(zhì)：抽屜中已有數(shù)，并且同一抽屜中的數(shù)差為50；從反面考慮問題，假設(shè)所有這樣的和均小于2999，這樣每個(gè)和最大為2998，我們用兩種方法來計(jì)算一下所有數(shù)的和即可；關(guān)鍵詞：信號完全相同；抽屜性質(zhì)：同一抽屜中放的信號均相同；反證法；想想一個(gè)車床至少要有幾個(gè)人會(huì)，假設(shè)有一個(gè)車床只有3個(gè)人會(huì)可以嗎？那這3個(gè)人如果有一天都沒來，會(huì)怎樣？關(guān)鍵詞：選票選的人完全相同；抽屜性質(zhì)：選的人完全相同的人在一個(gè)抽屜中；想想一共有多少種分值，注意有些分值得不到；先不考慮總分，你能算出至少有幾人得分相同嗎？然后再考慮總分，注意此時(shí)從最好或最外的方面來考慮。答案：對，〔1〕相鄰兩數(shù)為一組，構(gòu)成一個(gè)抽屜，共50個(gè)抽屜；〔2〕差為51的兩數(shù)為一組，構(gòu)成一個(gè)抽屜，共50個(gè)抽屜；3．假設(shè)所有這樣的和均小于2999，這樣每個(gè)和最大為2998，這樣一共2000個(gè)和的最大可能值為：2998×2000＝5996000；在上述算法中，0至2000這2000個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)都算了3次，這樣上述的2000個(gè)和應(yīng)該等于〔0＋1＋2…＋2000〕×3＝5997000。與最大可能值為5996000矛盾，所以假設(shè)不成立。4．四種顏色的小旗，任意取出三面后排列共可組成4×4×4＝64個(gè)信號；這將64個(gè)信號作為抽屜即可。略假設(shè)有一個(gè)車床只有3個(gè)人會(huì)使用，這樣某一在這3個(gè)人都沒來，這時(shí)這條流水線就不能正常運(yùn)轉(zhuǎn)，所以每個(gè)車床至少應(yīng)有4個(gè)會(huì)使用，這樣需進(jìn)行4×5＝20輪培訓(xùn)；下面說明，進(jìn)行20輪培訓(xùn)一定可以。假設(shè)對3個(gè)人進(jìn)行全能培訓(xùn)，使他們對這5個(gè)車床均會(huì)使用，對剩下的5個(gè)人，分別進(jìn)行1、2、3、4、5這5號車床中的一個(gè)車床的培訓(xùn)，使他們5個(gè)人在場可使流水線正常運(yùn)轉(zhuǎn)，這樣任意五人在場就都可使流水線正常運(yùn)轉(zhuǎn)，那么此時(shí)對工人進(jìn)行的培訓(xùn)正好是20輪。從5人中選1人有5種選法；從5人中選出2人有10種選法；從5人中選中3人也有10種選法，從5人中選出4人有5種選法；從5人中選出5人有1種選法，綜上，共有31種不同的選法，將這31種不同的選法做為31個(gè)抽屜，由抽屜原理知：答案為：31×3＋1＝94；分別計(jì)算一下第一名、第二名、第三名、……各得多少分，會(huì)發(fā)現(xiàn)，最高分為80分，最低分為0分，但中間有一些分值得不到，它們是79,78,75。所以共有81－3＝78種分值，將這78種分值做為78個(gè)抽屜，抽屜原理得答案為：2如果不考慮總分980，易得至少有4人得分相同，現(xiàn)參加條件980分，假設(shè)最多有4人得分相同，此時(shí)這75人得分最高可能為：4個(gè)20分，4個(gè)19分,…4個(gè)3分,3個(gè)2分，總和為834分，所以最多有4人得分相同不可能；假設(shè)最多有5人得分相同，此時(shí)這75人得分最高可能為：5個(gè)20分，5個(gè)19分,…5個(gè)6分,總和為975分，所以最多有5人得分相同不可能；假設(shè)最多有6分得分相同，此時(shí)易知這75人得分可以滿足980分這個(gè)條件，綜上，此題答案為6人。抽屜原理練習(xí)題1．木箱里裝有紅色球３個(gè)、黃色球５個(gè)、藍(lán)色球７個(gè)，假設(shè)蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，那么最少要取出多少個(gè)球？

解：把３種顏色看作３個(gè)抽屜，假設(shè)要符合題意，那么小球的數(shù)目必須大于３，故至少取出４個(gè)小球才能符合要求。

2．一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？

解：點(diǎn)數(shù)為1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一共15張，這15張牌中，沒有兩張的點(diǎn)數(shù)相同。這樣，如果任意再取1張的話，它的點(diǎn)數(shù)必為1～13中的一個(gè)，于是有2張點(diǎn)數(shù)相同。

3．11名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同。

證明：假設(shè)學(xué)生只借一本書，那么不同的類型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種，假設(shè)學(xué)生借兩本不同類型的書，那么不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種。共有10種類型，把這10種類型看作10個(gè)“抽屜”，把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果”。如果誰借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜，由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型相同。

4．有50名運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)行某個(gè)工程的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝，試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)積分相同。

證明：設(shè)每勝一局得一分，由于沒有平局，也沒有全勝，那么得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能，以這49種可能得分的情況為49個(gè)抽屜，現(xiàn)有50名運(yùn)發(fā)動(dòng)得分，那么一定有兩名運(yùn)發(fā)動(dòng)得分相同。

5．體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿１個(gè)球，至多拿２個(gè)球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？

解題關(guān)鍵：利用抽屜原理２。

解：根據(jù)規(guī)定，多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下９種：﹛足﹜﹛排﹜﹛藍(lán)﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛藍(lán)藍(lán)﹜﹛足排﹜﹛足藍(lán)﹜﹛排藍(lán)﹜。以這９種配組方式制造９個(gè)抽屜，將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果50÷9＝5……5

由抽屜原理２k＝［m/n］＋１可得，至少有６人，他們所拿的球類是完全一致的。

6．某校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，將參賽人任意分成四組，那么必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，那么參賽男生的人生為__________人。

解：因?yàn)槿我夥殖伤慕M，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9〔人〕；因?yàn)槿我?0人中必有男生，所以女生人數(shù)至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46〔人〕

7、證明：從1，3，5，……，99中任選26個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。

解析：將這50個(gè)奇數(shù)按照和為100，放進(jìn)25個(gè)抽屜：〔1，99〕，〔3，97〕，〔5，95〕，……，〔49，51〕。根據(jù)抽屜原理，從中選出26個(gè)數(shù)，那么必定有兩個(gè)數(shù)來自同一個(gè)抽屜，那么這兩個(gè)數(shù)的和即為100。

8.

某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個(gè)人帶蘋果，那么乘客中有______人帶蘋果。

解析：由題意，不帶蘋果的乘客不多于一名，但又確實(shí)有不帶蘋果的乘客，所以不帶蘋果的乘客恰有一名，所以帶蘋果的就有46人。

9.

一些蘋果和梨混放在一個(gè)筐里，小明把這筐水果分成了假設(shè)干堆，后來發(fā)現(xiàn)無論怎么分，總能從這假設(shè)干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么小明至少把這些水果分成了_______堆。

解析：要求把其中兩堆合并在一起后，蘋果和梨的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)，那么這兩堆水果中，蘋果和梨的奇偶性必須相同。對于每一堆蘋果和梨，奇偶可能性有4種：〔奇，奇〕，〔奇，偶〕，〔偶，奇〕，〔偶，偶〕，所以根據(jù)抽屜原理可知最少分了4+1=5筐。

10.有黑色、白色、藍(lán)色手套各5只〔不分左右手〕，至少要拿出_____只〔拿的時(shí)候不許看顏色〕，才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。

解析：考慮最壞情況，假設(shè)拿了3只黑色、1只白色和1只藍(lán)色，那么只有一雙同顏色的，但是再多拿一只，不管什么顏色，那么一定會(huì)有兩雙同顏色的，所以至少要那6只。11.從前25個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù),證明:取出的數(shù)中一定有兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)不超過小數(shù)的1.5倍.

證明:把前25個(gè)自然數(shù)分成下面6組:

1;①

2,3;②

4,5,6;③

7,8,9,10;④

11,12,13,14,15,16;⑤

17,18,19,20,21,22,23,⑥

因?yàn)閺那?5個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù),所以至少有兩個(gè)數(shù)取自上面第②組到第⑥組中的某同一組,這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)就不超過小數(shù)的1.5倍.12．一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，現(xiàn)在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌，才能保證有4張牌是同一種花色的？

解析：根據(jù)抽屜原理，當(dāng)每次取出4張牌時(shí)，那么至少可以保障每種花色一樣一張，按此類推，當(dāng)取出12張牌時(shí)，那么至少可以保障每種花色一樣三張，所以當(dāng)抽取第13張牌時(shí)，無論是什么花色，都可以至少保障有4張牌是同一種花色，選B。13．從1、2、3、4……、12這12個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，他們的差是7？

【解析】在這12個(gè)自然數(shù)中，差是7的自然樹有以下5對：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，還有2個(gè)不能配對的數(shù)是｛6｝｛7｝?？蓸?gòu)造抽屜原理，共構(gòu)造了7個(gè)抽屜。只要有兩個(gè)數(shù)是取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于7。這7個(gè)抽屜可以表示為｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，顯然從7個(gè)抽屜中取8個(gè)數(shù)，那么一定可以使有兩個(gè)數(shù)字來源于同一個(gè)抽屜，也即作差為7，所以選擇D。15．某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全局部給小朋友，是否會(huì)有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析與解：將40名小朋友看成40個(gè)抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應(yīng)用抽屜原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個(gè)抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會(huì)有一個(gè)小朋友得到4件或4件以上的玩具。16．一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？

分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個(gè)抽屜。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9〔件〕物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。17．六年級有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。總共有3＋3＋1=7〔種〕訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因?yàn)?00＝14×7＋2。根據(jù)抽屜原理2，至少有14＋1＝15〔人〕所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。18．籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有81個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友拿的水果是相同的？

分析與解：首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種。兩個(gè)水果是相同的有4種，兩個(gè)水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10〔種〕。將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”。81÷10=8……1〔個(gè)〕。根據(jù)抽屜原理2，至少有8＋1＝9〔個(gè)〕小朋友拿的水果相同。19．學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)〔可以不參加〕。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同？

分析與解：首先要弄清參加學(xué)習(xí)班有多少種不同情況。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況，只參加一個(gè)學(xué)習(xí)班有3種情況，參加兩個(gè)學(xué)習(xí)班有語文和數(shù)學(xué)、語文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。共有1＋3＋3＝7〔種〕情況。將這7種情況作為7個(gè)“抽屜”，根據(jù)抽屜原理2，要保證不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同，要有學(xué)生7×〔5-1〕＋1＝29〔名〕。20.在1，4，7，10，…，100中任選20個(gè)數(shù)，其中至少有不同的兩對數(shù)，其和等于104。

分析：解這道題，可以考慮先將4與100，7與97，49與55……，這些和等于104的兩個(gè)數(shù)組成一組，構(gòu)成16個(gè)抽屜，剩下1和52再構(gòu)成2個(gè)抽屜，這樣，即使20個(gè)數(shù)中取到了1和52，剩下的18個(gè)數(shù)還必須至少有兩個(gè)數(shù)取自前面16個(gè)抽屜中的兩個(gè)抽屜，從而有不同的兩組數(shù)，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的數(shù)組將多于兩組。

解：1，4，7，10，……，100中共有34個(gè)數(shù)，將其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18個(gè)抽屜，從這18個(gè)抽屜中任取20個(gè)數(shù)，假設(shè)取到1和52，那么剩下的18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜，至少有4個(gè)數(shù)取自某兩個(gè)抽屜中，結(jié)論成立；假設(shè)不全取1和52，那么有多于18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜，結(jié)論亦成立。21.任意5個(gè)自然數(shù)中，必可找出3個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和能被3整除。

分析：解這個(gè)問題，注意到一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)只有0，1，2三個(gè)，可以用余數(shù)來構(gòu)造抽屜。

解：以一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)0、1、2構(gòu)造抽屜，共有3個(gè)抽屜。任意五個(gè)數(shù)放入這三個(gè)抽屜中，假設(shè)每個(gè)抽屜內(nèi)均有數(shù)，那么各抽屜取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，結(jié)論成立；假設(shè)至少有一個(gè)抽屜內(nèi)沒有數(shù)，那么5個(gè)數(shù)中必有三個(gè)數(shù)在同一抽屜內(nèi)，這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，結(jié)論亦成立。22.在邊長為1的正方形內(nèi)，任意放入9個(gè)點(diǎn)，證明在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，必有一個(gè)三角形的面積不超過1/8.

解：分別連結(jié)正方形兩組對邊的中點(diǎn)，將正方形分為四個(gè)全等的小正方形，那么各個(gè)小正方形的面積均為1/4。把這四個(gè)小正方形看作4個(gè)抽屜，將9個(gè)點(diǎn)隨意放入4個(gè)抽屜中，據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)小正方形中有3個(gè)點(diǎn)。顯然，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過1/8。

反思：將邊長為1的正方形分成4個(gè)面積均為1/4的小正方形，從而構(gòu)造出4個(gè)抽屜，是解決此題的關(guān)鍵。我們知道。將正方形分成面積均為1/4的圖形的方法不只一種，如可連結(jié)兩條對角線將正方形分成4個(gè)全等的直角三角形，這4個(gè)圖形的面積也都是1/4，但這樣構(gòu)造抽屜不能證到結(jié)論。可見，如何構(gòu)造抽屜是利用抽屜原理解決問題的關(guān)鍵。

23．班上有50名學(xué)生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個(gè)學(xué)生能得到兩本或兩本以上的書。

解：把50名學(xué)生看作50個(gè)抽屜，把書看成蘋果,根據(jù)原理1，書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多,即書至少需要50+1=51本.24．在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米。

解：把這條小路分成每段1米長，共100段,每段看作是一個(gè)抽屜，共100個(gè)抽屜，把101棵樹看作是101個(gè)蘋果,于是101個(gè)蘋果放入100個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果,即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹.25．有50名運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)行某個(gè)工程的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝.試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)積分相同

證明：設(shè)每勝一局得一分,由于沒有平局，也沒有全勝，那么得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能,以這49種可能得分的情況為49個(gè)抽屜,現(xiàn)有50名運(yùn)發(fā)動(dòng)得分那么一定有兩名運(yùn)發(fā)動(dòng)得分相同.26.體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？解題關(guān)鍵：利用抽屜原理2。

解：根據(jù)規(guī)定，多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種：

｛足｝｛排｝｛藍(lán)｝｛足足｝｛排排｝｛藍(lán)藍(lán)｝｛足排｝｛足藍(lán)｝｛排藍(lán)｝

以這9種配組方式制造9個(gè)抽屜,將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果＝5.5……5

由抽屜原理2k＝〔〕＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的。

【歡送你來解】

1.某班37名同學(xué)，至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過生日？

2.42只鴿子飛進(jìn)5個(gè)籠子里，可以保證至少有一個(gè)籠子中可以有幾只鴿子？

3.口袋中有紅、黑、白、黃球各10個(gè)，它們的外型與重量都一樣，至少要摸出幾個(gè)球，才能保證有4個(gè)顏色相同的球？

4.飼養(yǎng)員給10只猴子分蘋果，其中至少要有一只猴子得到7個(gè)蘋果，飼養(yǎng)員至少要拿來多少個(gè)蘋果？

5.從13個(gè)自然數(shù)中，一定可以找到兩個(gè)數(shù)，它們的差是12的倍數(shù)。

6.一個(gè)班有40名同學(xué)，現(xiàn)在有課外書125本。把這些書分給同學(xué)，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？試題一：

一副撲克牌(去掉兩張王牌)，每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的?

試題二：

有一副撲克牌共54張，問：至少摸出多少張才能保證：(1)其中有4張花色相同?(2)四種花色都有?

試題三：

小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，共20道題，有20分根底分，答對一題給3分，不答給1分，答錯(cuò)一題倒扣1分，假設(shè)有1978人參加競賽，問至少有()人得分相同。試題一解答：撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計(jì)10種情況。把這10種花色配組看作10個(gè)抽屜，只要蘋果的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)就可以有題目所要的結(jié)果。所以至少有11個(gè)人。

試題二解答：一副撲克牌有2張王牌，4種花色，每種花色13張，共52張牌。(1)按照最不利的情況，先取出2張王牌，然后每種花色取3張，這個(gè)時(shí)候無論再取哪一種花色的牌都能保證有一種花色是4張牌，所以需要取2+3×4+1=15張牌即可滿足要求。(2)同樣的，仍然按照最不利的情況，取2張王牌，然后3種花色每種取13張，最后任取一種花色，此時(shí)再取一張即可保證每種花色都有。共需取2+13×3+1=42張牌即可滿足要求。

試題三解答：20+3×20=80，20-1×20=0，所以假設(shè)20道題全答對可得最高分80分，假設(shè)全答錯(cuò)得最低分0分。由于每一道題都得奇數(shù)分或扣奇數(shù)分，20個(gè)奇數(shù)相加減所得結(jié)果為偶數(shù)，再加上20分根底分仍為偶數(shù)，所以每個(gè)人所得分值都為偶數(shù)。而0到80之間共41個(gè)偶數(shù)，所以一共有41種分值，即41個(gè)抽屜。1978÷41=48……10，所以至少有49人得分相同。試題1、有400個(gè)小朋友參加夏令營，問：這些小朋友中至少有多少人不單獨(dú)過生日。2、在一副撲克牌中，最少要拿出多少張，才能保證在拿出的牌中四種花色都有？3、在一個(gè)口袋中有10個(gè)黑球，6個(gè)白球，4個(gè)紅球，問：至少從中取出多少個(gè)球，才能保證其中一定有白球？4、口袋中有三種顏色的筷子各10根，問：〔1〕、至少要取多少根才能保證三種顏色都取到？〔2〕至少要取多少根才能保證有2雙不同顏色的筷子？〔3〕至少要取多少根才能保證有2雙相同顏色的筷子？5、袋子里紅、白、藍(lán)、黑四種顏色的單色球，從代中任意取出假設(shè)干個(gè)球，問：至少要取出多少個(gè)球，才能保證有3個(gè)球是同一種顏色的？6、一只魚缸里有很多條魚，共有五個(gè)品種，問：至少撈出多少魚，才能保證有5條相同品種的魚？7、某小學(xué)五年級的學(xué)生身高〔按整厘米算〕，最矮的是138厘米，最高的是160厘米，至少要選出多少人才能保證有5個(gè)學(xué)生的身高是相同的？8、一把鑰匙只能翻開一把鎖，現(xiàn)有10把鑰匙和其中的10把鎖，最多要試驗(yàn)多少次才能使全部的鑰匙和鎖相配？9、一把鑰匙只能翻開一把鎖，現(xiàn)有10把鎖和其中的8把鑰匙，最多要試驗(yàn)多少次才能使這8把鑰匙都配上鎖？10、將100個(gè)蘋果分給10個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得的蘋果數(shù)互不相同，分得蘋果數(shù)最少的小朋友至少得到多少個(gè)蘋果？11、將400本書隨意分奧數(shù)給假設(shè)干個(gè)小朋友，但每人不得超過11本，問：至少有多少同學(xué)得到的書的本數(shù)相同？12、一次數(shù)學(xué)競賽，有75人參加，總分值為20分，參賽者的得分都是自然數(shù)，75人的總分是980分，問：至少有幾人的得分相同？13..某學(xué)生將參加全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，用100天的時(shí)間作準(zhǔn)備，為了不影響其他各科學(xué)習(xí)，他決定每天至少解一道題，但又限制每10天所解的題目不超過17道，試證明，這個(gè)學(xué)生一定在某個(gè)連續(xù)的假設(shè)干天內(nèi)，恰好一共解了29道題抽屜原理的一般含義為：“如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假設(shè)有n＋1或多于n＋1個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，其中必定至少有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素?！背閷显碛袝r(shí)也被稱為鴿巢原理〔“如果有五個(gè)鴿子籠，養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子，那么當(dāng)鴿子飛回籠中后，至少有一個(gè)籠子中裝有2只鴿子”〕。它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。一．抽屜原理最常見的形式原理1把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體。[證明]〔反證法〕：如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是n，而不是題設(shè)的n+k(k≥1)，這不可能.原理2把多于mn個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有m+1個(gè)或多于m+1個(gè)的物體。[證明]〔反證法〕：假設(shè)每個(gè)抽屜至多放進(jìn)m個(gè)物體,那么n個(gè)抽屜至多放進(jìn)mn個(gè)物體,與題設(shè)不符，故不可能.原理12都是第一抽屜原理的表述第二抽屜原理：把〔mn－1〕個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有〔m—1〕個(gè)物體。[證明]〔反證法〕：假設(shè)每個(gè)抽屜都有不少于m個(gè)物體，那么總共至少有mn個(gè)物體，與題設(shè)矛盾，故不可能二．應(yīng)用抽屜原理解題抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。例１：400人中至少有兩個(gè)人的生日相同.

解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)物體，由抽屜原理1可以得知：至少有兩人的生日相同.

又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相相同.

“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！薄皬臄?shù)1，2，...，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同。”

例2：幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同，試說明道理.解：從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：〔兔、兔〕，〔兔、熊貓〕，〔兔、長頸鹿〕，〔熊貓、熊貓〕，〔熊貓、長頸鹿〕，〔長頸鹿、長頸鹿〕。把每種搭配方式看作一個(gè)抽屜，把7個(gè)小朋友看作物體，那么根據(jù)原理1，至少有兩個(gè)物體要放進(jìn)同一個(gè)抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同.上面數(shù)例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問題，不錯(cuò)，這正是抽屜原那么的主要作用.〔需要說明的是，運(yùn)用抽屜原那么只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個(gè)抽屜里存在多少.〕抽屜原理雖然簡單，但應(yīng)用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問題，其中有些問題還具有相當(dāng)?shù)碾y度。下面我們來研究有關(guān)的一些問題?！惨弧痴龁栴}把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一個(gè)類含有無窮多個(gè)數(shù)，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究與整除有關(guān)的問題時(shí)，常用剩余類作為抽屜.根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意n+1個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。例1證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)。分析與解答在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差a-b是m的倍數(shù).根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，此題只需證明這8個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個(gè)抽屜.任取8個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7的倍數(shù)。例2：對于任意的五個(gè)自然數(shù)，證明其中必有3個(gè)數(shù)的和能被3整除.證明∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0，1，2，不妨分別構(gòu)造為3個(gè)抽屜：[0]，[1]，[2]①假設(shè)這五個(gè)自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個(gè)抽屜中，我們從這三個(gè)抽屜中各取1個(gè)，其和必能被3整除.②假設(shè)這5個(gè)余數(shù)分布在其中的兩個(gè)抽屜中，那么其中必有一個(gè)抽屜，包含有3個(gè)余數(shù)〔抽屜原理〕，而這三個(gè)余數(shù)之和或?yàn)?，或?yàn)?，或?yàn)?，故所對應(yīng)的3個(gè)自然數(shù)之和是3的倍數(shù).③假設(shè)這5個(gè)余數(shù)分布在其中的一個(gè)抽屜中，很顯然，必有3個(gè)自然數(shù)之和能被3整除.例2′：對于任意的11個(gè)整數(shù)，證明其中一定有6個(gè)數(shù)，它們的和能被6整除.證明：設(shè)這11個(gè)整數(shù)為：a1，a2，a3……a11又6=2×3①先考慮被3整除的情形由例2知，在11個(gè)任意整數(shù)中，必存在：3|a1+a2+a3，不妨設(shè)a1+a2+a3=b1；同理，剩下的8個(gè)任意整數(shù)中，由例2，必存在：3|a4+a5+a6.設(shè)a4+a5+a6=b2；同理，其余的5個(gè)任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設(shè)：a7+a8+a9=b3②再考慮b1、b2、b3被2整除.依據(jù)抽屜原理，b1、b2、b3這三個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)是同奇或同偶，這兩個(gè)同奇〔或同偶〕的整數(shù)之和必為偶數(shù).不妨設(shè)2|b1+b2那么：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11個(gè)整數(shù)，其中必有6個(gè)數(shù)的和是6的倍數(shù).例3：任意給定7個(gè)不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個(gè)整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù).分析：注意到這些數(shù)隊(duì)以10的余數(shù)即個(gè)位數(shù)字，以0，1，…，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個(gè)抽屜，標(biāo)以[0]，[1]，…，[9].假設(shè)有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個(gè)自然數(shù)，似不便運(yùn)用抽屜原那么，再作調(diào)整：[6]，[7]，[8]，[9]四個(gè)抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，那么可保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).〔二〕面積問題例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過同一點(diǎn).

證明：如圖，設(shè)直線EF將正方形分成兩個(gè)梯形，作中位線MN。由于這兩個(gè)梯形的高相等，故它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|:|NH|。于是點(diǎn)H有確定的位置〔它在正方形一對對邊中點(diǎn)的連線上，且|MH|:|NH|＝２:３〕.由幾何上的對稱性，這種點(diǎn)共有四個(gè)〔即圖中的H、J、I、K〕.的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、J、I、K這四點(diǎn)中的一點(diǎn).把H、J、I、K看成四個(gè)抽屜，九條直線當(dāng)成９個(gè)物體，即可得出必定有３條分割線經(jīng)過同一點(diǎn).〔三〕染色問題例1正方體各面上涂上紅色或藍(lán)色的油漆〔每面只涂一種色〕，證明正方體一定有三個(gè)面顏色相同.證明：把兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)抽屜，把正方體六個(gè)面當(dāng)作物體，那么6=2×2+2，根據(jù)原理二，至少有三個(gè)面涂上相同的顏色.例2有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。分析與解答首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個(gè)抽屜.根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。例3：假設(shè)在一個(gè)平面上有任意六個(gè)點(diǎn)，無三點(diǎn)共線，每兩點(diǎn)用紅色或藍(lán)色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個(gè)由這些線構(gòu)成的三角形，使三角形的三邊同色？解：首先可以從這六個(gè)點(diǎn)中任意選擇一點(diǎn)，然后把這一點(diǎn)到其他五點(diǎn)間連五條線段，如圖，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現(xiàn)在我們再單獨(dú)來研究這三條紅色的線。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設(shè)這三條線段〔虛線〕中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍(lán)色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點(diǎn)之間的所有線段中至少能找到一個(gè)同色三角形。例3′〔六人集會(huì)問題〕證明在任意6個(gè)人的集會(huì)上，或者有3個(gè)人以前彼此相識(shí)，或者有三個(gè)人以前彼此不相識(shí)?！崩?”：17個(gè)科學(xué)家中每個(gè)人與其余16個(gè)人通信，他們通信所討論的僅有三個(gè)問題，而任兩個(gè)科學(xué)家之間通信討論的是同一個(gè)問題。證明：至少有三個(gè)科學(xué)家通信時(shí)討論的是同一個(gè)問題。解：不妨設(shè)A是某科學(xué)家，他與其余16位討論僅三個(gè)問題，由鴿籠原理知，他至少與其中的6位討論同一問題。設(shè)這6位科學(xué)家為B，C，D，E，F(xiàn)，G，討論的是甲問題。假設(shè)這6位中有兩位之間也討論甲問題，那么結(jié)論成立。否那么他們6位只討論乙、丙兩問題。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設(shè)這三位是C，D，E，且討論的是乙問題。假設(shè)C，D，E中有兩人也討論乙問題，那么結(jié)論也就成立了。否那么，他們間只討論丙問題，這樣結(jié)論也成立。三．制造抽屜是運(yùn)用原那么的一大關(guān)鍵例1從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。分析與解答我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：但凡抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34。現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理〔因?yàn)槌閷现挥?個(gè)〕，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。例2：從1、2、3、4、…、19、20這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12。分析與解答在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。另外還有4個(gè)不能配對的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個(gè)抽屜〔每個(gè)括號看成一個(gè)抽屜〕.只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到〔取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)〔例如取1，2，3，…，12〕，那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12〕。例3：從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。分析與解答根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原那么制造抽屜.把這20個(gè)數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10個(gè)抽屜〔顯然，它們具有上述性質(zhì)〕：｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。從這10個(gè)數(shù)組的20個(gè)數(shù)中任取11個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個(gè)數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)一定是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。例4：某校校慶，來了n位校友，彼此認(rèn)識(shí)的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。分析與解答共有n位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)最少是0次，即這個(gè)人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個(gè)人與每位到會(huì)校友都握了手.然而，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n-2次；如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)最少的不能少于1次.不管是前一種狀態(tài)0、1、2、…、n-2，還是后一種狀態(tài)1、2、3、…、n-1，握手次數(shù)都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個(gè)抽屜，到會(huì)的n個(gè)校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽屜，那么這兩個(gè)人握手的次數(shù)一樣多。在有些問題中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。抽屜原理把八個(gè)蘋果任意地放進(jìn)七個(gè)抽屜里，不管怎樣放，至少有一個(gè)抽屜放有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。抽屜原那么有時(shí)也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原那么。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。形式一：證明：設(shè)把n＋1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于2〔用反證法〕假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai＜2，那么因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai≤1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1這與題設(shè)矛盾。所以，至少有一個(gè)ai≥2，即必有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素。形式二：設(shè)把n?m＋1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于m＋1。用反證法〕假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai＜m＋1，那么因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai≤m，于是有：a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n?m＜n?m＋1n個(gè)m這與題設(shè)相矛盾。所以，至少有存在一個(gè)ai≥m＋1高斯函數(shù)：對任意的實(shí)數(shù)x,[x]表示“不大于x的最大整數(shù)”.例如：[3.5]＝3，[2.9]＝2，[－2.5]＝－3，[7]＝7，……一般地，我們有：[x]≤x＜[x]＋1形式三：證明：設(shè)把n個(gè)元素分為k個(gè)集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示這k個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于[n/k]。〔用反證法〕假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai＜[n/k]，于是有：a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k]＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝nk個(gè)[n/k]∴a1＋a2＋…＋ak＜n這與題設(shè)相矛盾。所以，必有一個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)大于或等于[n/k]形式四：證明：設(shè)把q1＋q2＋…＋qn－n＋1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)i，使得ai大于或等于qi。〔用反證法〕假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai＜qi，因?yàn)閍i為整數(shù)，應(yīng)有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1這與題設(shè)矛盾。所以，假設(shè)不成立，故必有一個(gè)i,在第i個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)ai≥qi形式五：證明：〔用反證法〕將無窮多個(gè)元素分為有限個(gè)集合，假設(shè)這有限個(gè)集合中的元素的個(gè)數(shù)都是有限個(gè)，那么有限個(gè)有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以，假設(shè)不成立，故必有一個(gè)集合含有無窮多個(gè)元素。例題１：400人中至少有兩個(gè)人的生日相同.分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個(gè)不相同的生日，我們把366個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜，400人視為400個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個(gè)抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同.例題2：任取5個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，使它們的和能夠被3整除.證明：任意給一個(gè)整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r０，r1，r2.至少有一類包含所給５個(gè)數(shù)中的至少兩個(gè).因此可能出現(xiàn)兩種情況：１°.某一類至少包含三個(gè)數(shù)；２°.某兩類各含兩個(gè)數(shù)，第三類包含一個(gè)數(shù).假設(shè)是第一種情況，就在至少包含三個(gè)數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；假設(shè)是第二種情況，在三類中各取一個(gè)數(shù)，其和也能被3整除..綜上所述，原命題正確.例題3：某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，那么至少有5人植樹的株數(shù)相同.證明：按植樹的多少，從50到100株可以構(gòu)造51個(gè)抽屜，那么個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里.(用反證法)假設(shè)無５人或５人以上植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有５人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個(gè)抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：4(50＋51＋…＋100)＝4×＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有５人植樹的株數(shù)相同.練習(xí)：1．邊長為1的等邊三角形內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離小于0.5的兩點(diǎn).2．邊長為1的等邊三角形內(nèi)，假設(shè)有n2＋1個(gè)點(diǎn)，那么至少存在2點(diǎn)距離小于.3．求證：任意四個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)整數(shù)的差能夠被3整除.4．某校高一某班有50名新生，試說明其中一定有二人的熟人一樣多.5．某個(gè)年級有202人參加考試，總分值為100分，且得分都為整數(shù)，總得分為10101分，那么至少有3人得分相同.“任意367個(gè)人中，必有生日相同的人。”

“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！?/p>

“從數(shù)1，2，...，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同?！?/p>

......

大家都會(huì)認(rèn)為上面所述結(jié)論是正確的。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢？這個(gè)原理叫做抽屜原理。它的內(nèi)容可以用形象的語言表述為：

“把m個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里〔m>n〕，那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)東西?！?/p>

在上面的第一個(gè)結(jié)論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當(dāng)于把367個(gè)東西放入366個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。在第二個(gè)結(jié)論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，...，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當(dāng)于把6個(gè)東西放入5個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。

抽屜原理的一種更一般的表述為：

“把多于kn個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜〔k是正整數(shù)〕，那么一定有一個(gè)抽