2021-2022學年人教版九年級數(shù)學期末壓軸30題-銳角三角函數(shù)綜合問題（解析版）

（難）2021-2022學年人教版九年級數(shù)學期末壓軸課

精選30題-銳角三角函數(shù)綜合問題（解析版）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.（2021?貴州遵義中考真題）如圖，AB是。O的弦，等邊三角形OCD的邊CD與。O

相切于點P，連接OA,OB,OP,AD.若NCOD+NAOB=180。，CD//AB,AB=6,

則AD的長是（）

A.672B.3瓜C.27BD.至

【答案】C

【分析】

如圖，過。作。于E,過。作。GJ.A5于G,先證明0,瓦尸三點共線，再求解

GX9的半徑。4=O8=OP=26，PD=2,證明四邊形尸EGO是矩形，再求解。G,AG,

從而利用勾股定理可得答案.

【詳解】

解：如圖，過。作于E,過。作OG_LA8于G,

???8是。。的切線，

:.OPLCD,

AB//CD,OELAB,

，O,E,P三點共線，

丁△C8為等邊三角形，

/.ZCOD=/ODC=60°,CO=DO,

???NCOD+ZAOB=180。,OA=OB,AB=6,

/.ZAOB=120°,ZOAB=ZOBA=30°,AE=BE=3,

ZAOE=ZBOE=60°9

Af7Lr-

OE=—^—=>J3,OA=2OE=2y]3=OP,

tan60°

PE=OP+OE=43+2y/3=3瓜

?.?NO￡)C=60。，

:.PD=°P=2,

tan60°

OP±CD,PE±AB,DG1AB,

四邊形PEG。是矩形，

DG=PE=3&EG=PD=2,

AG-AE+EG=5,

r.AQ=*+(3可=2713.

故選：C.

【點睛】

本題考查的是等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，

切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

2.(2021.遼寧鞍山?中考真題)如圖，AABC是等邊三角形，AB=6cm,點M從點C出

發(fā)沿CB方向以lcm/s的速度勻速運動到點B,同時點N從點C出發(fā)沿射線CA方向以

2cm/s的速度勻速運動，當點M停止運動時，點N也隨之停止.過點M作〃。交

AB于點P,連接MN,NP,作/JW/VP關(guān)于直線MP對稱的設(shè)運動時間為ts,

△MNP與△砌仍重疊部分的面積為Sen?,則能表示S與t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為

()

試卷第2頁，共76頁

B

【分析】

首先求出當點N，落在A3上時，/的值，分0<，42或2</<3兩利I情形，分別求出S的

解析式，可得結(jié)論.

【詳解】

解：如圖1中，當點V落在A8上時，取CN的中點7,連接M7.

?：CM=t,CN=2ttCT=TN，

：.CT=TN=t,

?:△ABC是等邊三角形，

/.ZC=ZA=60°,

.?.△MCT是等邊三角形，

:.TM=TC=TN,

:"CMN=90。，

\-MPHAC,

:"BPM=ZA=ZMPN=60。,ZBMP=NC=60。，ZC+ZC7WP=18O%

:.ZCMP=120°,△8WP是等邊三角形，

:.BM=MP,

???NCWP+NMRV=180°,

:.CM1/PN,

-MP//CN,

???四邊形CMPN是平行四邊形,

；.PM=CN=BM=2t,

...3/=6,

/.z=2,

如圖2中，當0vf<2時，過點M作MK_LAC于K,貝ljMK=CM.sin60。=

2

,n

/.S=--(6-r)—r=---6--,12H工--S--1?

2242

1

如圖3中，當2W3時，S=—x7)2,

2

觀察圖象可知，選項A符合題意,

故選：A.

【點睛】

本題考查動點問題，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用

分類討論的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

3.（2021.浙江杭州.九年級期末）拿破侖為人好學，是法蘭西科學院院士，他對數(shù)學方

面很感興趣，在行軍打仗的空閑時間，經(jīng)常研究平面幾何.他提出了著名的拿破侖定理：

以三角形各邊為邊分別向外側(cè)作等邊三角形，則它們的中心構(gòu)成一個等邊三角形.如圖

試卷第4頁，共76頁

所示，以AABC的三條邊為邊，分別向外作三個正三角形，順次連結(jié)它們的中心E,F,

G,得到“拿破侖A￡FG”.已知三個等邊三角形的面積比為1:3:4,則“拿破侖AEFG”

與AABC的面積比為（）

A.7:6B.6:5C.5:4D.4:3

【答案】A

【分析】

連接。G,并延長交BC于點0,連接BE,8G,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

S.BCD咨BCVm=^-AB2,S^瀉AC'S卻G=與EG，,NO8G=ZABE=30°,

CN

BG=--BC,BE=^-AB,再根據(jù)面積之比可得4^:AB?：8丁=1：3"，從而可得

△ABC是直角三角形，然后解直角三角形可得NABC=30。，由此可得“BEG是直角三角

形，利用勾股定理可得EG?的值，最后利用三角形的面積公式即可得.

【詳解】

解：如圖，連接。G,并延長交8c于點。，連接BE,BG,

,??點G是等邊三角形ABCD的中心,

.??ZCBD=60°,ZOBG=30°,OB=-BC,OD±BC

2f

h

在RfAOBD中,OD=OBtan/CBD=JBC,

2

'BCA

在心△OHG中，0rOB

￡>O=------------2——=—BC'

cosZ.OBGcos3003

2

SRcn=-BCOD=—BC,

同理可得：222

SAB,SMN=AC,Si￡TO=EG,ZABE=30°,BE=^-AB,

不妨設(shè)AC<AB<BC,

22

則S*CN-SAAHM:S/c。=1：3:4,即AC?:AB:BC=1:3:4,

444

AC2:AB2:BC2=1:3:4，

設(shè)AC'=a2(a>0),貝ljAB2=3a2,BC2=4a2,

AC2+AB2=BC2，AC=a,AB=6a、BC=la,

..△ABC是以8C為斜邊的直角三角形，

?.SAM——AB-AC=—xy/3a-a=a2，

222

Ari

在向△ABC中，sinZABC=——=-,

BC2

/.ZABC=30°,

/.NEBG=ZASE+AABC+ZOBG=90°，

-V7口口AR

乂BG=—BC_=-2--G-a,BE=—AB=ci>

333

7

:.EG2=BG2+BE2=-a2

3t

-s一E—4

…°A"G4312

^R旦

則SEFG：S=2=7:6,

^croABC122

即“拿破侖AEFG“馬△AHC的面枳比為7:6,

故選：A.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理等知識點，

熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2021?全國八年級專題練習）如圖①，在矩形A6c。中，H為CO邊上的一點，點M

從點A出發(fā)沿折線C8運動到點B停止，點N從點A出發(fā)沿A8運動到點B

試卷第6頁，共76頁

停止，它們的運動速度都是lcm/s，若點M、N同時開始運動，設(shè)運動時間為小），4AMN

的面積為S（cm2）,已知S與t之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（）

①當0<fW6時，AAAW是等邊三角形.

②在運動過程中，使得△4DM為等腰三角形的點M一共有3個.

③當0</46時，S=-r.

4

④當1=9+6時，.

⑤當9<f<9+3g時，S=-3r+9+36.

A.①③④B.①③⑤C.①@④D.③④⑤

【答案】A

【分析】

由圖②可知：當0<也6時，點M、N兩點經(jīng)過6秒時，S最大，此時點M在點H處，

點N在點8處并停止不動；由點M、N兩點的運動速度為lcm/s,所以可得4H=A8=6cm,

利用四邊形"CD是矩形可知CD=48=6cm；當6W49時，S=9百且保持不變，說明點

N在8處不動，點M在線段”C上運動，運動時間為（9-6）秒，可得"C=3cm,即點

“為8的中點；利用以上的信息對每個結(jié)論進行分析判斷后得出結(jié)論.

【詳解】

解：由圖②可知：點M、N兩點經(jīng)過6秒時，S最大，此時點M在點”處，點N在點

8處并停止不動，如圖，

DH

1AN

AN——aB

①???點M、N兩點的運動速度為Icm/s,

/./4//=i4B=6cm,

???四邊形ABC。是矩形，

.\CD=AB=6cm.

*.*當Z=6s時，S=9百cm2,

:.g*ABxBC=9拒.

???8C=36.

:當6<r<9時，S=9s/3且保持不變，

...點N在B處不動，點M在線段HC上運動，運動時間為（9-6）秒,

二”C=3cm,即點”為CO的中點.

?*-BH=y]cH2+BC2=6?

：.AB=AH=BH=6,

.?.△ABM為等邊三角形.

二ZHAB=60°.

?.?點M、N同時開始運動，速度均為lcm/s,

：.AM=AN,

.?.當0<66時，ZkAMN為等邊三角形.

故①正確；

②如圖，當點M在A。的垂直平分線上時，△ADM為等腰三角形：

試卷第8頁，共76頁

此時有兩個符合條件的點；

當AO=AM時，AADW為等腰三角形，如圖:

綜上所述，在運動過程中，使得為等腰三角形的點M一共有4個.

，②不正確；

③過點M作于點E,如圖，

由題意：AM=AN=t,

由①知：ZHAB=60°.

在RtAAME中，

ME

.?.sin.Z/Mm/4eE=-----,

AM

：.ME=AM>sm600=^-t,

2

:.S=gANxME=Lx—rxf=——1~.

2224

③正確；

④當r=9+石時，CM=6，如圖,

DH

SL

AB

由①知：8c=班,

：.MB=BC-CM=2y/3.

'：AB=6,

..tanZMAB=----=-----=—,

AB63

：.ZMAB=30°.

,/ZHAB=60°,

：.NDAH=90°-60°=30°.

ZDAH^ZBAM.

；N￡>=/8=90°,

，AADHs^ABM.

二④正確;

⑤當9<f<9+3百時，此時點M在邊8c上，如圖,

此時MB=9+3日t，

.*.5=1xAexMfi=^x6x(9+3>^-/)=27+9x/3-3r.

二⑤不正確;

綜上，結(jié)論正確的有：①③④.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，主要涉及函數(shù)圖象上點的坐標的實際意義，三角

試卷第10頁，共76頁

形的面積，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角

函數(shù)值.對于動點問題，依據(jù)已知條件畫出符合題意的圖形并求得相應(yīng)線段的長度是解

題的關(guān)鍵.

5.（2021?蘇州市吳江區(qū)青云中學九年級月考）如圖，AA8C內(nèi)接于。O,BC=\2,

NA=60。，點。為弧BC上一動點，BE1直線。＞于點E.當點D從點B沿弧BC運動

到點C時，點E經(jīng)過的路徑長為（）

n

【答案】A

【分析】

連接。8,設(shè)的中點為M,連接ME.作OHLBC于H.首先判斷出點E在以02

為直徑的圓上運動，求出點。與C重合時的度數(shù)，利用弧長公式計算即可.

【詳解】

解：如圖，連接設(shè)的中點為M,

連接ME.作O”_L8c于凡

:.NOEB=90。,

二點E在以O(shè)B為直徑的圓上運動,

當點。與。重合時，

VZBOC=2ZA=120°,

；?/BOE=60。,

：.NEMB=2NBOE=T2。。,

VBC=12,OHIBC,

:?BH=CH=6,NB0H=NC0H=6。。,

???OB=-=4日

"sinH60°

?,?點E的運動軌跡的長=240?萬x26二述",

1803

故選：A.

【點睛】

本題考查軌跡、弧長公式、三角形的外接圓與外心等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用

輔助線，正確尋找軌跡，屬于中考?？碱}型.

6.（2021?深圳市寶安中學（集團）九年級月考）如圖，在正方形ABCD中，以BC為

直徑作半圓O,以D為圓心，DA為半徑作AC，與半圓O交于點P，我們稱：點P為

正方形ABCD的一個“奇妙點”，過奇妙點的多條線段與正方形ABCD無論是位置關(guān)系

還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究.連接PA、PB、PC、PD,并延長PD

交AB于點F.下列結(jié)論中：①FD=FB+BC；②NAPC=135。；③S^PBc=gAP2；

?tanZBAP=1；其中正確的結(jié)論有（）

BOC

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】

①連結(jié)尸。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明/CPO=N8C￡>=90。，從而證明

?！甘?。。的切線，再證明A3、C￡）都是。。的切線，用切線長定理即可證明

所以①正確；

②△。川和△OPC都是等腰三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證得

試卷第12頁，共76頁

ZAPC=ZDZ?4+ZDPC=1(360°-ZADC)=135°,所以②正確；

③設(shè)正方形的邊長為m連結(jié)0力，過點P作PELBC于點E,PGJ_A8于點G,根據(jù)

正切定義可得警=言=1211/8。=；,用含”的代數(shù)式表示品me和34產(chǎn)，

它們均為所以③正確；

I31

④由前面得到的結(jié)論，可得PG=(,AG=ja,求得由/BAP=：,所以④正確.

【詳解】

①如圖1,連結(jié)OP,則OP=OC.

：.ZOPC=ZOCP,

,:PD=CD,

：.NDPC=NDCP,

：.ZDPO=ZOPC+ZDPC=ZOCP+ZDCP=/BCD,

???四邊形A8CD是正方形，

：.NDPO=NBCD=9Q。,

：OP是。。的半徑，DE±OP,

.?.OF是。。的切線；

,JAB1.OB,CD1.OC,

'.AB.CO都是。。的切線，

:.PF=FB,PD=CD=BC=AD,

：.FD=PF+PD=FB+BC.

故①正確；

圖1

AZDPAZDAP^1(180°-APDA),ZDPC^ZDCP^y(180°-ZPDC),

：.ZAPC^ZDPA+ZDPC^^\360°-(ZPDA+ZPDC)]^^(360°-ZADC)=g(360°

-90°)=135°.

故②正確；

③如圖，設(shè)正方形ABC。的邊長為m連結(jié)。。交PC于點H；

AD

BE0C

作PELBC于點E,PGA.AB于點G,則NPEC=NPEB=NPGB=90。,四邊形PGBE

為矩形.

OP=OC,PD=CD,

垂直平分PC,

，NO”C=90。，

NBPE=90。-NEPC=NECP=90,>-NDCH=NCDO,

1

Z.BEPEOC2a

:一1,

PECECDa2

：.PE=^CE,BE=\PE=-CE,

224

14

：.CE+-CE=a整理，得CE=一〃,

4f5

141

：.BG=PE=^-x-a=-a,PG=BE==-x-a=-a

255455f

23

.??AG=a----a=—a.

55

311

2222

VSAPBC=yAP=[(-?)+(-^)]=-?，

2

**?SAPBC=AP.

故③正確；

④如圖???。，3

2,NAGP=90PG=ga,AG=—ch

5

AD

HBE0C

圖:！

試卷第14頁，共76頁

：.tanNBAP=---=—=-.

AG，3

5

故④正確.

故選：A.

【點睛】

此題重點考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、圓的

切線的判定、切線長定理、銳角三角函數(shù)定義、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確地

作出所需要的輔助線，設(shè)正方形的邊長為4,將有關(guān)線段用含。的代數(shù)式表示.

7.（2021.重慶字水中學九年級一模）如圖，已知反比例函數(shù)y=4（厚0）的圖象經(jīng)過

X

矩形ABCD的對角線AC的端點A和C,AC交y軸于點F,BC邊交y軸于點E,過

線段FO中點G的直線y=-；x+2與AC平行，連接AE,若NBAE=NACB,

【答案】A

【分析】

由直線y=-gx+2的解析式求得線段OG,的長，得出tanNGHO,利用平行線

的性質(zhì)和己知得到tanNBAE=tanN4cB=tanNG"O=；:設(shè)BE=a,利用直角三角形的邊

角關(guān)系分別得出AB=2a,6C=4”，EC=3a,根據(jù)SMEC=48可求得。，進而求得線

段OE的長，從而點C坐標可得，利用待定系數(shù)法%值可求.

【詳解】

解：設(shè)直線y=+2與x軸交于點“，AC交x軸于點M,

令x=0,y=2,則G(0,2),

.".OG=2,

令y=。，則3=4,

..”(4,0).

,'.OH=4.

/.tanZGHO=—=-

OH2

?:GH//AC,

;./FMO=NGHO.

???5c7/x軸,

:.ZACB=/FMO,

:&CB=4GHO,

\^BAE=ZACB,

:.ZBAE=NGHO,

tanZBAE=tanZACB=tanZGHO=—.

2

在RtAABE中,

BE

tanZ.BAE=——,

AB

BE1

/.——=-.

AB2

設(shè)BE=a,則A3=2a,

在RtAABC?|i,

Aft1

vtanZACfi=——=-,

BC2

：.BC=4a.

:.EC=BC-BE=3ci.

'**-48,

/.-ABxCE=48,

2

/.—x2ax3a=48,

2

a2=16.

試卷第16頁，共76頁

,/a>0,

/.a=4.

，BE=4,EC=12.

在RtAFEC中，

尸下1

vtanZACB=—=-,

EC2

:.FE=6.

???G為尸。的中點,

:.FO=2OG=4,

:.OE=FE-FO=2,

..C(12-2),

.?.k=12x(-2)=-24.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)4的兒何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征,

一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形.利用點

的坐標表示出相應(yīng)線段的長度和利用線段的長度得出對應(yīng)點的坐標是解題的關(guān)鍵.

8.(2021?深圳實驗學校中學部九年級月考)如圖，在AABC中，

4

ZC=90°,AB=5cm,cosB=-.動點。從點A出發(fā)沿著射線AC的方向以每秒1cm的速

度移動，動點E從點6出發(fā)沿著射線54的方向以每秒2cm的速度移動.已知點。和點

E同時出發(fā)，設(shè)它們運動的時間為f秒.連接80.下列結(jié)論正確的有()個

①8c=4；

②當=時，tanZA8D=2；

25

③以點B為圓心、BE為半徑畫0B,當，=百時，￡)￡與相切:

④當NC3O=ZA￡)E時，，=泉

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

利用銳角三角函數(shù)求出8c可判斷①，利用勾股定理求AC,BD,AG,再用正切銳角三

角函數(shù)定義求值可判斷②，利用相似三角形判定與性質(zhì)，可判斷③，利用相似三角形判

定與性質(zhì)建構(gòu)方程，解方程求解可判斷④

【詳解】

44

解：在AASC中，ZC=90°MS=5cm,cosB=—.BC=/4BcosB=5x—=4,

故①8c=4正確；

作AG_L8O于G,

在RtZkABC中，AC=yjAB2-BC2=752-42=3-

"：AD=AB=5,AG1BD

：.CD=AD-AC=5-3^2,DG=BG,

在RtADCB中,BD=^CDr+BC2=物+不=2石>

:.DG=BG=y^,

在RtABGA中，AG=-JAB2-BG2=,灼。=26，

.,AG2石、

??tanZABD==—T=-=2,

BG亞

故②當4)=4?時，tanZABO=2正確；

25252550

當/二2時，AD=t=—fBE=2t=2x—=—t

13131313

???AE=AB-BE=5-2t=5--=—

1313f

試卷第18頁，共76頁

15

..空_亙_3

,AD~25~5,

13

AEAC

**?cosA=-----=-----NDAE—NBAC

ADABff

：.^ADE^/XABC,

：.ZAED=ZACB=90°f

：./DEB=90。,

JDE與QB相切，

25

故③以點3為圓心、踮為半徑畫。8,當"不時，與相切正確;

過七作E”_LAC于

當NC3D=ZAL>￡：時，

丁ZEHD=ZDCB=90°,

:AEHDsADCB,

.HEDH

99~CD~~CB

VA￡=5-2/,

；.A'=|（52）,EH=|（5-2?）,CD=3-t,HD=AD-AH=t-3+^t=^t-3,

少-3,

3-t4

整理得ll『-80/+125=0.

因式分解得(l"25)(f-5)=0,

與或f=5(舍去)，

故④當NC8D=NADE時，/=得正確:

故選擇D.

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)求邊長，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，圓的切線判定，一

元二次方程的解法，掌握銳角三角函數(shù)求邊長，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，圓

的切線判定，一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵.

9.（2021?無錫市天一實驗學校九年級月考）半徑OA，弦BC于D,將。O沿著BC對

折交AD于點E,tanZA3E=!，△ABE的面積為36,則OD的長為（）

35

【答案】A

【分析】

連接BF,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=BF,DE=DF，根據(jù)圓周角定理得到NABF=90°,

根據(jù)余角的性質(zhì)得到==連接。8,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

ZA=ZABO,根據(jù)三角函數(shù)的定義設(shè)O￡>=x,則BD=4x,求得

22

OB=y]OD+BD=4nx,根據(jù)三角形的面積列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：連接8凡

?..將。。沿BC對折交AD于點E,

試卷第20頁，共76頁

：?BE=BF,DE=DF，

,??AF是。。的直徑，

，NA訴90。，

???ZA+ZF=90°,

???半徑OAJJ玄BC于點D,

/.ZF+ZFBD=90°,

：.ZEBD=ZFBD=ZAt

：.ZABE=90°-2ZA9連接03,

?：OA=OB,

：.ZA=ZABO,

???/ABO=/DBE,

：.NABE=NOBD,

**tanAABE--,

4

^tanZ-OBD--,

4

設(shè)OO=x,則BD=4x,則OB=^OD2+BD2=V17x,

,/DE=DF=OF-OD=yf\lx-x,

：.AE=AD-DE=y/\lx+x-(y/V7-l)x=2x,

?：AABE的面積為36=-AE.BD=-x2x4x=36,

22

解得：x=3,

A0D=3,

故選：A.

【點睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條

弧所對的圓心角的一半.推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所

對的弦是直徑.也考查了解直角三角形.

10.(2021?長沙市怡雅中學九年級月考)如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是邊

BC上一點，且BE=3,以點A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點F、G,DF

與AE交于點H.并與。A交于點K,連結(jié)HG、CH.給出下列五個結(jié)論中正確的選

()

(1)H是FK的中點

(2)△HGD^AHEC

(3)SAAHG：SADHC=9：16

7

(4)DK=-

5

(5)HG±HC

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】

(1)先證明△A8E絲△OAF,得NAF7)+NBAE=NA￡8+NBA￡=90。，AHLFK,由

垂徑定理，得：FH=HK,即〃是FK的中點；

(2)只要證明題干任意一組對應(yīng)邊不相等即可；

(3)由余弦三角函數(shù)和勾股定理算出“M,HT,再算面積，即得SAAHG：SADHC=9：

16；

(4)由余弦三角函數(shù)和勾股定理算出FK,即可得0K.

(5)由(2)可得出“"C+NE〃C=90。，因為△"GO和△"EC不全等，進而可以得出

NDHC+NGHD#90°,則NG”Cx90。，即是錯誤的.

【詳解】

AD=AB

解：(1)在△A8E與△OA尸中，＜NDAF=NABE,

AF=BE

：.(SAS),

試卷第22頁，共76頁

???ZAFD=ZAEB1

：.ZAFD+ZBAE=ZAEB+ZBAE=90°t

：.AH.LFKf

由垂徑定理，得：FH=HK,

即〃是bK的中點，故(1)正確；

(2)如圖，過〃作〃例，AO于"，交BC于N,

?.,A8=4,BE=3,

,4E={AB?+BE?=5，

*//BAE=NHAF=ZAHMf

/.cosZBAE=cosZHAF=cosZAHM,

.HMAHAB

AH-AF-AE_5'

.八"―1248

525

?HN—A48.52

2525

即HM豐HN,

■:MNHCD,

:.MD=CN,

,:HD=4HM、MD2<

HC=4HN°+CN。，

:.HC豐HD,

...△〃6。四4”￡。是錯誤的，故（2）不正確;

（3）過，作”7\LC。于T,

由（2）知，AM^y/AH2-HM2=—,

25

.?..=4-生=竺，

?:MN//CD,

64

:?MD=HT=—,

25

q-AG?HM°

???甘遜--------=—，故（3）正確；

3AHsLCD?HT6

2

.------------------Q

（4）由（2）知，HF=yJAF2-AH2=-,

]8

:.FK=2HF=—,

5

7

:.DK=DF-FK=M,故（4）正確.

（5）由（1）可知，/DHE=90。,

ZDHC+ZEHC=90°,

由（2）知△HGO和AHEC不全等，

：.NGHDH4EHC,

:.NDHC+NGHD#9Q。,

AZGHC*90°即HGLHC是錯誤的，故（5）不正確.

故選：B.

【點睛】

本題是圓的綜合題，考查了全等的性質(zhì)和垂徑定理，勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形,

熟練應(yīng)用三角函數(shù)快速計算是本題關(guān)鍵.

二、填空題

11.（2021.沙坪壩.重慶一中九年級開學考試）如圖，矩形ABCD中，AB=5,點E、F

分別是AD和BC上的點，AE=2,CF=4BF,將矩形沿EF折疊，使得點D恰好落

在CB的延長線上的點以處點C的對應(yīng)點為C',連接CC',則點C到C'。的距離為

【分析】

試卷第24頁，共76頁

延長O'C,過點C作CG，。。于點G,則CG為點C到的距離，連接即，。尸首

先證明出。設(shè)在用△DPC中，由勾股定理得出工的方程，可求出OC

=。下+/。=25,再利用三角函數(shù)計算即可.

【詳解】

解：如圖：延長。C,過點。作CGJ_O。于點G,則CG為點C到。。的距離，連接

EF,DF,

由折疊可得。E=DE,DF=DF,Z1=Z2,Z3=Z4,/EDC=NEDC,

在矩形A8CD中，AD//BC,AD=BC,CD=AB=5fNOC8=NAOC=90。,

???NED'C'=90°,

*：AD//BC,

???N1=N3,

AZ2=Z3,

:QE=DF,

：.D'F=DF=DEf

VZ3=Z4,

AZ1=Z4,

工ED=DF,

Z2+Z3+ZED'F=180°,Z1+Z4+ZEDF=180°,

：.ZEDT=ZEDF,

:./FDC=/FDC,

,:CF=4BF,

???設(shè)8尸=x,則C尸=4x,BC=5xf

?\AD=5x,

：.DE=AD-AE=5x-2f

：.DF=5x-2f

在RQOFC中，由勾股定理得。尸-尸^二。。2,

:.（5x—2）2-（4x）2=52,

7

解得：x=3,x=--（舍去），

,

：.FC=\2tDF=DF=5x-2=\3f

,,

：.DC=DF+FC=25f

FC12

在心△OR7中，sinZFDC=—=—,

DF13

：.sinZFD'C'=—,

13

在Rt4D,CG中，sinZFD'C'=,

CD'

.CG12

??---=--,

2513

CG=答，則點C到的距離為等.

故答案為H.

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，證明出QE

=DF,運用方程思想是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?廣州市第三中學九年級三模）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點

。，點E在AD上，且DE=CD,連接OE、BE,AC與BE相交于點F,ZABE=|ZACB,

則下列結(jié)論：

①BE=DE；?OE±BD；③AAEF是等腰三角形；④當AE=2,則OE的長為加，其

中正確的結(jié)論是一（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【答案】③④

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)和￡>E=C。，可得①錯誤；根據(jù)80=0O,BE*DE,可得②錯誤；根據(jù)

ZABE=^ZACB,于是作Ca_LBE于H,EFLBD于F.設(shè)BE與AC的交點為G.推

出△C8尸與尸E均為等腰三角形，可得③正確；設(shè)矩形的寬為X,然后表示出8c和

AC的長度，由勾股定理列方程解出x,接下來利用NAQ8的正弦值和余弦值求出EF

試卷第26頁，共76頁

和OF,EF的長度，OE的長度也就可以算出來了，即可判斷④正確.

【詳解】

解：：四邊形ABCZ）是矩形，

：.AB=CD,ZBAE=90°,

,:DE=CD,

：.AB=DE,

；AB<BE,

：.BE+DE,故①錯誤；

,:BO=DO,BE,DE,

與8。不垂直，故②錯誤；

如圖，作CHL5E于H,EGL8。于G.設(shè)BE與AC的交點為F.

貝ijNHBC+NBCH=ZBHC=90°,

???四邊形488為矩形，

：.AD=BC,AB=CD,ZABC=ZBAD=90°,AD//BC,AC=BD

：./ABE+NCBH=9Q。,

:.NABE=NBCH,

"：ZABE=^ZACB,

：.ZBCH=ZGCH,

：.BH=FH,BC=CG,ZCBH=ZCGH,

設(shè)AB=x,貝ljEZ)=CD=AB=x,

；4E=2,所以4O=AE+EZ>2+x,

:.CB=CF=2+x,

9：AD//BC,

：./AEG=NCBH=NCGH=/AGE,

>\AF=AE=2,故③正確；

??AC=AG+CG=4+x,

在中：AB^B^AC2,

Ax2+(x+2)2=(x+4)2,解得》=6,X2=-2(舍)，

：.AB=CD=6fAD=AC=S,AC=BD=\O,

〈AC與BD交于點O,

AO-BO=CO=DO=5,

ABEG3AnPG4

?.-sinNBDAcosZ.BDA=-----

BD~DE5BDDE5

424

EG=DG=-ED=

5y

241

..OG=OD-DG=5——=-

55

在RtAOGE中:

OE2=EG2+OG2=(-)2+((2言=13,

:.0E=反,故④正確.

故其中正確的結(jié)論是③④.

故答案為：③④.

【點睛】

本題為四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三

角函數(shù)等重要知識點.證明△<:86和4AEG均為等腰三角形是解答本題的要點和關(guān)鍵

所在，難度很大.

13.(2021?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校九年級月考)如圖，矩形ABCD中，

AB=8,BC=12,以D為圓心，4為半徑作。D,E為。D上一動點，連接AE,以AE

為直角邊作RtAAEF,使NEAF=90。,tan/AEF=；,則點F與點C的最小距離為

【分析】

如圖，取AB的中點G,連接尸G,FC,GC,由△陽推出尸G：DE=AF,

44

AE=l：3,因為。E=4,可得尸G=§,推出點尸的運動軌跡是以G為圓心§為半徑

的圓，再利用兩點之間線段最短即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，取A8的中點G,連接FG.FC.GC.

試卷第28頁，共76頁

〈NEA/=90。，tanZAEF=1,

.AF1

??—―，

AE3

???/W=8,AG=GB,

：.AG=GB=4f

VAD=12,

.AG41

..=—=—,

AD123

.AFAG

??—,

AEAD

???四邊形ABC。是矩形，

/.NBAD=ZB=ZE4F=90°,

：.ZFAG=ZEADf

:ZAGSREAD,

：.FG：DE=AFtAE=lz3,

VDE=4,

4

：.FG=-,

3

4

???點F的運動軌跡是以G為圓心m為半徑的圓，

,?*GC=y]GB2+BC2=“2+122=4>A0，

：.FC>GC-FG,

?**FC>4>/10—-,

...C尸的最小值為4行

故答案為：4>/io--.

【點睛】

本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)

鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題?

14.（2021.長沙市雅禮實驗中學九年級月考）如圖，矩形A8CO中，AB=5,BC=3,

點E在邊4。上（不與A,。重合），將矩形沿CE折疊，使點A,B分別落在點尸，G

處，有下列結(jié)論：①NFED與NGCD互余;②若CD平分NECG,貝ljtanNBCE=G；③

AJ74

若直線FG經(jīng)過點￡）,則——=一；④若直線FG交邊AO,8分別于M,N,當QMN

ED5

為等腰三角形時，五邊形ABCMW的周長為11&.其中正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③④

【分析】

①根據(jù)折疊可得/尸=NG=90。，Z4DC=90°,再利用直角三角形兩個銳角互余即可判

斷；

②根據(jù)折疊可得/8CE=NECG,再根據(jù)C。平分NECG,可得NBCE=60。，進而即可

判斷;

③根據(jù)題意可知：直線FG經(jīng)過點D,證明△EFD~4DGC,對應(yīng)邊成比例可得AE=EF=

4ED=3-4-=5^,進而即可判斷；

333

④當△。歷N為等腰三角形時，可得AMGC,△OMN均為等腰直角三角形，如圖，根據(jù)

等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

①根據(jù)折疊可得/F=NG=90。，

ZFED+NEDF=90°,ZCDG+ZGCD=90°,

???NAOC=90。，

ZCDG+ZEDF=90°,

■.ZFED=ZCDG,

■■/FED+NGCD=90°,故①正確：

②根據(jù)折疊可知：NBCE=NECG,

?.?C￡>平分NECG,

..3NEC。=90。，

???/ECO=30°,

試卷第30頁，共76頁

NBCE=60。,

：NBCE=B故②正確；

③根據(jù)題意可知：直線FG經(jīng)過點￡>,

?.,BC=CG=3,CD=5,

DG-4,DF=1,

vZF=NG=NADC=90。,

「.△EFD?△OGC,

.EFDF

~DG~~CG"

.1

：.EF=-

3f

4

AE=EF=—,

3

4/7A

.??黑=三故③正確；

ED5

④當△DMN為等腰三角形時，

可得AMGC,△OMN均為等腰直角三角形,

如圖，

?/BC=CG=3,

，MG=3,

CM=3V2，

:.DN=DM=5-3a,

MN=0（5-3夜）=5正-6,

五邊形ABCMN的周長為：

AB+BC+CM+MN+AN

=5+3+30+5應(yīng)-6+3亞-2=11應(yīng)，故④正確,

故答案為：①②③④.

【點睛】

本題考查了折疊問題，同時與相似三角形、特殊三角函數(shù)值、等腰三角形、矩形等知識

相結(jié)合，轉(zhuǎn)化相關(guān)線段和角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

15.（2021?哈爾濱風華中學九年級開學考試）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=

90。，點D為射線CB上一點，連接AD,以AD為一邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,直

線EF與直線BC交于點M,若AB=2正，BD=1,則CM的長為.

【分析】

分析條件得出△ABO四△ACF,從而得出b=8O=l,FC垂直8C,由得知

NFMC=NADP,利用同角的正切值相等即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：根據(jù)題意可知，分兩種情況:

①。點在線段上，連接CF,過點A做4P垂直于BC,垂足為點P,如圖1,

A

AB=2近,

/ABC=ZACB=45°,

AP=ABxsinZABC=2,BP=A^xcosZ.ABC=2,

又〈BD=1,BP=BD+DP,

：.DP=\,

ZBAC=ZDAF=9009ZBAD+ZDAC=ZBAC,ZDAC+ZCAF=ZDAF,

：.ZBAD=ZCAF9

在△ABO和△AC/中，

試卷第32頁，共76頁

AB=AC

\-\^BAD=Z.CAF,

AD=AF

：.CF,

：.CF=BD=\,NACF=NABD=45°,

???ZMCF=ZACB+ZACF=45°+45o=90°,

在直角△APO中，AP=2fDP=\f

，tanNA。尸=2,

9

：EF//ADf

???NFMC=NADP,

FC

/.tanZFMC==2,

M