高水平數(shù)學說課“說”什么

高水平數(shù)學說課“說”什么

—我的觀點

2017.8.21

課堂觀摩關注教師在課堂上“做”了什么．至于為什么這樣做，大多有賴于聽課教師自己的揣摩．

說課，就是把“說”放在“做”之前（也有在“做”之后的），由教師自己說出關于教學內(nèi)容的思考、分析和課堂設想，提供同行之間相互啟發(fā)、借鑒和討論的機會．高水平數(shù)學說課“說”什么

數(shù)學教學是關于數(shù)學的教學，好的教學效果源于教師對數(shù)學科學和教學內(nèi)容的深刻理解與把握．因此，要說“數(shù)學理解”；數(shù)學教學是以數(shù)學的知識、方法和思想育人的教學，把數(shù)學的學術價值轉(zhuǎn)化為教學價值是體現(xiàn)教師作用的重要方面．因此，要說“教學價值”；

數(shù)學以抽象著稱，數(shù)學教學的有效性建立在教師對學生知識經(jīng)驗的了解和分析的基礎上．因此，要說“學生基礎”；

教師對數(shù)學內(nèi)容的理解、教學價值的確定、學生基礎的分析，都要反映在教學設計中．因此，要說“課堂落實”．1說“數(shù)學理解”——靜態(tài)的和動態(tài)的，動態(tài)為主數(shù)學的三種形態(tài)：原始形態(tài)、學術形態(tài)和教育形態(tài)．原始形態(tài)的數(shù)學是形成中的數(shù)學，充滿著困惑、挫折和彎路，當然也有成功．相當于一個人站在數(shù)學家身邊時親眼看到的數(shù)學．學術形態(tài)的數(shù)學是反映數(shù)學研究結(jié)果的數(shù)學，形式化得厲害．相當于論文形式的數(shù)學，是原始形態(tài)的數(shù)學的精簡版．教育形態(tài)的數(shù)學是基于育人的數(shù)學，介于前兩者之間．

一方面，教育形態(tài)的數(shù)學要展現(xiàn)數(shù)學動態(tài)、發(fā)展的一面，一定程度上還原知識創(chuàng)造的思維過程，給予學習者探索和發(fā)現(xiàn)新知識的方法啟示．

另一方面，要展現(xiàn)靜態(tài)和穩(wěn)定的性狀，反映空間形式和數(shù)量關系的規(guī)律，提供學習者分析和解決數(shù)學問題的依據(jù)和模型．前者圍繞數(shù)學知識（包括數(shù)學概念、性質(zhì)、定理和法則等）的產(chǎn)生過程，解說邏輯背后的驅(qū)動力量．包括：研究問題是怎么提出來的？思考內(nèi)容的核心是什么？數(shù)學思想方法在分析和解決問題中發(fā)揮了怎樣的作用？反映了數(shù)學的什么特點和要求？等．后者圍繞數(shù)學內(nèi)容的形態(tài)結(jié)構，述說知識的意義價值．包括：數(shù)學知識的本質(zhì)是什么？它在數(shù)學體系中的地位、作用和影響如何？等．說“數(shù)學理解”，就是從數(shù)學科學的角度闡述自己對教材內(nèi)容的理解，包括說“動態(tài)的數(shù)學理解”和說“靜態(tài)的數(shù)學理解”．解讀1

路線1的關鍵詞是“聯(lián)想思維”．先具體化和特殊化，后續(xù)由猜想和驗證跟進．反映的是“抽象→具體→抽象”、“一般→特殊→一般”的思考過程，感性思維(猜想)與理性活動(驗證)交相輝映，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中有典型意義．解讀2(知識的意義認識，靜態(tài)理解)2說“教學價值”——近期的和長遠的，長遠為主說“教學價值”，就是基于前面的數(shù)學理解，對照數(shù)學教育目標，闡述說課者對教材內(nèi)容的教學意義的理解，具體包括說“教學的近期價值”和說“教學的長遠價值”．

說“教學的近期價值”，即分析通過教學活動，學生馬上或很快有哪些收獲，能夠做哪些事．如，知曉某數(shù)學概念的涵義，學會某一數(shù)學技能，會操作某一數(shù)學方法，能夠解決與教材內(nèi)容相關的基本數(shù)學問題等；

說“教學的長遠價值”，即思考教學對學生后續(xù)發(fā)展的積極影響．如，進一步領悟某數(shù)學思想的精髓，幫助形成某些數(shù)學觀念，提高數(shù)學創(chuàng)造中某些階段的水平，幫助學生成為一個有數(shù)學眼光、善于數(shù)學思考的人等．

教學價值的表達是析取動態(tài)數(shù)學和靜態(tài)數(shù)學的育人因素的結(jié)果，是比教學目標上位的東西，是理論聯(lián)系實踐的“樞紐”．事實上，教學目標是基于數(shù)學教學內(nèi)容的教學價值的認識，結(jié)合數(shù)學教育目標確定的．教學的近期價值和長遠價值并非絕對的．從知識技能到方法思想，再到數(shù)學觀念，乃至哲學觀念，是一個連續(xù)發(fā)展、潛移默化的過程．

教學的近期價值體現(xiàn)了數(shù)學教學的基礎性要求，但教育是指向?qū)W生未來發(fā)展的事業(yè)，數(shù)學教育需要長遠的目光，因此，著眼于教學內(nèi)容的長遠價值，做到以近期價值促長遠價值，具有重要的意義．3說“學生基礎”——知識的和經(jīng)驗的，經(jīng)驗為主

美國著名教育心理學家奧蘇泊爾指出，“……影響學習最重要的因素是學習者已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生原有的知識狀況去進行教學．”

就數(shù)學教學而言，這里的知識狀況應該作廣義的理解，它包括數(shù)學知識(數(shù)學概念及其定義、性質(zhì)，法則，定理等)，也包括數(shù)學經(jīng)驗(數(shù)學思考的策略和方法)．說“學生基礎”，指的是說圍繞學習任務的學生基礎，

首先，分析完成學習新任務需要的知識，和學生原有的知識（學生自己能感知，容易測試，與情境無關，學生個體差異不大，不妨稱為“顯性基礎”）；

其次，分析完成學習新任務需要的經(jīng)驗和學生原有的經(jīng)驗（與具體情境相關，不容易測得，個體差異較大，不妨稱為“隱性基礎”）．

從學生的學習經(jīng)歷和思維水平、思維特點出發(fā)，可以將學生的原有經(jīng)驗大致分為：與需要的經(jīng)驗充分一致的經(jīng)驗（第一層次）；在教師的啟發(fā)下可以達到需要的經(jīng)驗的經(jīng)驗（第二層次）；在教師的指導下不容易達到需要的經(jīng)驗的經(jīng)驗（第三層次）．實際教學中，學生的原有經(jīng)驗常處于第二、三層次．這既與學生的智力水平發(fā)展的局限性有關，也與數(shù)學本身的特點（特別是高度的抽象性）有關，后者是主要的．

用瑞士心理學家皮亞杰的認知發(fā)展理論來說，在數(shù)學學習中，同化的情況少，順應的情況多．也就是說，在學生的數(shù)學學習中，原有經(jīng)驗往往不能直接和有效地解決面臨的任務，需要調(diào)整原有認知結(jié)構或行為模式，創(chuàng)立新的圖式．自然地，這對教師的工作提出了挑戰(zhàn)．知識基礎：等比數(shù)列的定義、通項公式及其性質(zhì)；多項式乘多項式法則（學生的知識基礎與需要的知識基礎基本一致）．經(jīng)驗基礎：第一層次：整體思想和方程思想的運用（借鑒“倒序相加法”求等差數(shù)列的和），抽象化具體（降低抽象度，顯化量之間的聯(lián)系）．第二層次：從數(shù)學概念的定義出發(fā)思考問題的意識（學生習慣于數(shù)學概念的性質(zhì)運用）；對靜態(tài)的數(shù)學知識意義加以分析的習慣和能力（不善于從運動變化的哲學視角看待知識）；第三層次：聯(lián)想思維的運用（從結(jié)構特點出發(fā)），對數(shù)學思想方法內(nèi)在機制分析和理解的自覺（習慣于形式模仿，機械套用知識和解題模式），理性思維及其精神（思維受挫后容易否定一切而另起爐灶，缺乏反思能力）．4說“課堂落實”——行為的和思維的，思維為主說一千，道一萬，課堂效果是教學的根．教師對教學內(nèi)容的數(shù)學理解、對數(shù)學內(nèi)容的教學價值分析和對學生知識經(jīng)驗的把握，應有機融入教學設計．

為此，教師首先需要厘清自己的責任和學生的責任，做到積極有為（有些東西光靠學生達不到應有的高度，一定要老師去把他拽一拽)，但不越位(什么時機拽，怎么拽法，考驗著教師的專業(yè)素養(yǎng))．說“課堂落實”，就是闡述數(shù)學教師的課堂職責落實，具體表現(xiàn)為以下三個方面：一說“問題的提出”．創(chuàng)設情境(現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境)，和學生一道挖掘促使概念或原理產(chǎn)生的實質(zhì)性問題．二說“思維的引導”．指的是設計恰時恰點的提問，包括設問、追問和反問，以讓學生想得更全面、更清晰、更深刻．設問是主動啟發(fā)和引導學生思考的基本形式，有很強的目的性．追問是促使學生思考深入的方法，反問則有助于學生批判性思維的發(fā)展，常常伴隨進一步的說理或舉例，后兩者本質(zhì)上屬于提示語．

波利亞《在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》一書中精辟地指出，“可能任何類型的思維守則都在于掌握和恰當?shù)剡\用一系列合適的提問”．“三問”應具有數(shù)學方法論意義（如用數(shù)學概念驅(qū)動思維，從概念內(nèi)涵的解讀中產(chǎn)生數(shù)學方法），反映數(shù)學的基本思想(平時潤物細無聲的滲透，遠比強化訓練更有效果)．三說“反思的內(nèi)涵”．指導學生的反思和評價活動，使學生積累寶貴的數(shù)學活動經(jīng)驗(減輕學生的認知負擔，間接推動學生付出更多的努力)．學生的學習活動大致上可以區(qū)分為“行為活動”和“思維活動”．

前者指外顯的運算操作和推理表達，后者指內(nèi)隱的心智活動．在數(shù)學活動中，兩者往往相輔相承，互為促進．思維依賴外顯的行為而深入，行為受內(nèi)隱的思維驅(qū)動，它們糾纏在一塊，可謂“我中有你，你中有我”．數(shù)學問題的解決就是在行為活動和思維活動的辯證運動中實現(xiàn)的．

在課堂教學的各個環(huán)節(jié)，學生的活動是以行為活動為主還是以思維活動為主，教師要心中有數(shù)，并采取對應的策略(如善于等待，及時反饋).第一步,提出研究問題.

借用教材情境引出等比數(shù)列求和問題(富有趣味性,也體現(xiàn)對教材的尊重).問:你還能提出來自生活的等比數(shù)列求和問題嗎?(如教育儲蓄、國內(nèi)生產(chǎn)總值的計算等).事實上,從數(shù)學內(nèi)部來看,也有探索等比數(shù)列求和公式的必要.聯(lián)系等差數(shù)列求和公式的學習，我們感覺公式的探求將大大簡化等比數(shù)列的求和計算.另一方面,探索等比數(shù)列求和實際上也是研究等比數(shù)列性質(zhì)的一次努力,我們必將從公式的結(jié)構特征分析中獲得關于等比數(shù)列的新認識.(先行組織者.涉及數(shù)學觀的影響、探索意義的認識、把握數(shù)學知識的方法)第二步,初步分析問題第三步,探索解決問題

學習啟示：類比探索，求同存異.（推理和類比這些東西教材沒明確寫出，要學生在教師指導下慢慢地去悟）反思：與等差數(shù)列求和公式的推導比較，它們有什么共同點和不同點？(共同點：方程思想，整體思想，從已知等式產(chǎn)生另一等式.不同點：“性質(zhì)應用”與“定義運用”，“倒序”與“兩邊同乘一個數(shù)”，“兩式相加”與“兩式相減”，“無須討論”與“需要討論”.結(jié)論：戰(zhàn)略思想相同，戰(zhàn)術方法有異.設問2：還有其它的推導方法嗎？第四步,初步理解知識應用基礎上的必要拓展,使學生感覺到拓展的需要，深化學生對等比數(shù)列及其求和的認識.第五步,應用拓展知識數(shù)學說課是提升數(shù)學教師專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑和方式．反映數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，反映數(shù)學教育的追求，反映學生思維的特點和規(guī)律，反映數(shù)學學科的教學方法，是高水平數(shù)學說課的重要保證．集數(shù)學研究者、教育理論者、心理分析者和教學實踐者等多重角色于一身，數(shù)學說課者渾身散發(fā)著成熟和睿智的氣息，必將把數(shù)學教育科學與數(shù)學課堂藝術的融合推進到一個新的高度．結(jié)束語參考