數(shù)學(xué)-專項(xiàng)3.3 多項(xiàng)式的乘法（知識(shí)解讀）（帶答案）

專題3.3多項(xiàng)式的乘法（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算．2.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活的運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行混合運(yùn)算。【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加．考點(diǎn)2：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．【典例分析】【考點(diǎn)1：多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算】【典例1】（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（﹣2xy）?（x2+xy﹣y2）．【解答】解：（﹣2xy）?（x2+xy﹣y2）＝﹣2xy?x2﹣2xy?xy+2xy?y2＝﹣3x3y﹣2x2y2+xy3．【變式1-1】（2022春?沈河區(qū)期末）（﹣2x2y）?（3xyz﹣2y2z+1）．【解答】解：（﹣2x2y）?（3xyz﹣2y2z+1）＝﹣6x3y2z+4x2y3z﹣2x2y．【變式1-2】（2022春?石景山區(qū)期末）計(jì)算：x2y（x+y3）﹣（3xy2）2．【解答】解：原式＝x3y+x2y4﹣9x2y4

＝x3y﹣8x2y4．【變式1-3】（2022春?槐蔭區(qū)期末）計(jì)算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a＝﹣6a2+12ab【考點(diǎn)2：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算】【典例2】（2022秋?大安市月考）化簡(jiǎn)：（2a+b）（a﹣2b）﹣3a（2a﹣b）．【解答】解：原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣6a2+3ab＝﹣4a2﹣2b2．【變式2-1】（2022秋?楊浦區(qū)期中）計(jì)算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．【解答】解：原式＝12a2b﹣3ab2+a2b﹣ab2＝13a2b﹣4ab2．【變式2-2】（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）．【解答】解：＝＝﹣2x3y+4x2y2﹣3x2y2+6x3y＝4x3y+x2y2．【變式2-3】（2022春?高唐縣期中）化簡(jiǎn)下列整式：（1）（x﹣xy）?（﹣12y）；（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）．【解答】解：（1）（x﹣xy）?（﹣12y）＝﹣4xy+9xy2；（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）＝6a3﹣27a2+9a﹣8a2+4a＝6a3﹣35a2+13a．【考點(diǎn)3：多項(xiàng)式乘法的有關(guān)應(yīng)用】【典例3】（2022秋?東方期末）如圖，某中學(xué)校園內(nèi)有一塊長(zhǎng)為（3a+2b）米，寬為（2a+b）米的長(zhǎng)方形地塊，學(xué)校計(jì)劃在中間留一塊長(zhǎng)為（2a﹣b）米、寬為2b米的小長(zhǎng)方形地塊修建一座雕像，然后將陰影部分進(jìn)行綠化．（1）求長(zhǎng)方形地塊的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）

（2）求修建雕像的小長(zhǎng)方形地塊的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）（3）當(dāng)a＝3，b＝1時(shí)，求綠化部分的面積．【解答】解：（1）長(zhǎng)方形地塊的面積為：（3a+2b）（2a+b）＝6a2+3ab+4ab+2b2＝（6a2+7ab+2b2）平方米．（2）小長(zhǎng)方形地塊的面積為：2b（2a﹣b）＝（4ab﹣2b2）平方米．（3）綠化部分的面積為：6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4b2，當(dāng)a＝3，b＝1時(shí)，原式＝6×32+3×3×1+4×12＝6×9+9+4＝54+9+4＝67（平方米）．【變式3-1】（2022秋?韓城市期末）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為（2a+4b）米，寬為（2a﹣b）米的長(zhǎng)方形地塊，角上有四個(gè)邊長(zhǎng)為（a﹣b）米的小正方形空地，開發(fā)商計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化．（1）用含有a、b的式子表示綠化的總面積（結(jié)果寫成最簡(jiǎn)形式）；（2）物業(yè)找來陽(yáng)光綠化團(tuán)隊(duì)完成此項(xiàng)綠化任務(wù)，已知該隊(duì)每小時(shí)可綠化8b平方米，每小時(shí)收費(fèi)200元，則該物業(yè)應(yīng)該支付綠化隊(duì)多少費(fèi)用？（用含a、b的代數(shù)式表示）

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）＝4a2+6ab﹣4b2﹣4a2+8ab﹣4b2＝（14ab﹣8b2）平方米，答：綠化的面積是（14ab﹣8b2）平方米；（2）根據(jù)題意得：（14ab﹣8b2）÷8b×200＝（a﹣b）×200＝（350a﹣200b）元，答：該物業(yè)應(yīng)該支付綠化隊(duì)需要（350a﹣200b）元費(fèi)用．【變式3-2】（2022秋?陜州區(qū)期末）如圖，有一塊長(zhǎng)（3a+b）米，寬（2a+b）米的長(zhǎng)方形廣場(chǎng)，園林部門要對(duì)陰影區(qū)域進(jìn)行綠化，空白區(qū)域進(jìn)行廣場(chǎng)硬化，陰影部分是邊長(zhǎng)為（a+b）米的正方形．（1）計(jì)算廣場(chǎng)上需要硬化部分的面積；（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意，廣場(chǎng)上需要硬化部分的面積是（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣（a2+2ab+b2）＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab答：廣場(chǎng)上需要硬化部分的面積是（5a2+3ab）m2．

（2）把a(bǔ)＝30，b＝10代入5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400m2答：廣場(chǎng)上需要硬化部分的面積是5400m2．【變式3-3】（2022秋?雙陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，甲長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為m+1，m+5；乙長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為m+2，m+4．（其中m為正整數(shù)）（1）圖中的甲長(zhǎng)方形的面積S1＝，乙長(zhǎng)方形的面積S2，比較：S1S2（填“＜”、“＝”或“＞”），并說明理由；（2）現(xiàn)有一正方形，其周長(zhǎng)與圖中的甲長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等，試探究：該正方形面積S與圖中的甲長(zhǎng)方形面積S1的差（即S﹣S1）是一個(gè)常數(shù)，求出這個(gè)常數(shù)．【解答】解：（1）甲長(zhǎng)方形的面積S1＝（m+1）（m+5）＝m2+6m+5，乙長(zhǎng)方形的面積S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，S1＜S2，理由如下：S1﹣S2＝m2+6m+5﹣（m2+6m+8）＝m2+6m+5﹣m2﹣6m﹣8＝﹣3＜0，即S1﹣S2＜0，∴S1＜S2，故答案為：m2+6m+5，m2+6m+8，＜．（2）∵正方形的周長(zhǎng)與圖中的甲長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等，∴正方形的周長(zhǎng)為：2（m+1+m+5）＝4m+12，∴正方形的邊長(zhǎng)為：m+3，∴正方形的面積為：S＝（m+3）2＝m2+6m+9，∴S﹣S1

＝m2+6m+9﹣（m2+6m+5）＝m2+6m+9﹣m2﹣6m﹣5＝4．∴正方形面積S與圖中的甲長(zhǎng)方形面積S1的差是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是4【典例4】（2021秋?石泉縣期末）若（x+3p）（x2﹣x+q）的積中不含x的一次項(xiàng)與x的二次項(xiàng)．（1）求p、q的值；（2）求式子p2020q2021的值．【解答】解：（1）（x+3p）（x2﹣x+q）＝x3﹣x2+qx+3px2﹣3px+pq＝x3+（3p﹣1）x2+（q﹣3p）x+pq，∵不含x項(xiàng)與x2項(xiàng)，∴3p﹣1＝0，q﹣3p＝0，∴p＝，q＝3；（2）當(dāng)p＝，q＝3時(shí)，原式＝（）2020×32021＝（）2020×32020×3＝（×3）2020×3＝12020×3＝1×3＝3．【變式4-1】（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的多項(xiàng)式2x+a與x2﹣bx﹣2的乘積展開式中沒有二次項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為10，求a、b的值．【解答】解：（2x+a）×（x2﹣bx﹣2）＝2x3﹣2bx2﹣4x+ax2﹣abx﹣2a＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（4+ab）x﹣2a．

∵乘積展開式中沒有二次項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為10，∴a﹣2b＝0，﹣2a＝10，∴a＝﹣5，b＝﹣2.5．【變式4-2】（2021秋?閻良區(qū)期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展開式中不含x的二次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是﹣6，求m，n的值．【解答】解：（x2+mx﹣3）（2x+n）＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，∵展開式中不含x的二次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是﹣6，∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6，解得m＝﹣1，n＝2．【變式4-3】（2022春?溫江區(qū)校級(jí)期中）