數(shù)學-專項3.3 多項式的乘法（知識解讀）（帶答案）

專題3.3多項式的乘法（知識解讀）【學習目標】1.掌握多項式乘單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算．2.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活的運用運算律進行混合運算?！局R點梳理】知識點1：單項式乘多項式單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．考點2：多項式乘多項式多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．【典例分析】【考點1：多項式乘單項式運算】【典例1】（2022秋?閔行區(qū)校級期中）計算：（﹣2xy）?（x2+xy﹣y2）．【解答】解：（﹣2xy）?（x2+xy﹣y2）＝﹣2xy?x2﹣2xy?xy+2xy?y2＝﹣3x3y﹣2x2y2+xy3．【變式1-1】（2022春?沈河區(qū)期末）（﹣2x2y）?（3xyz﹣2y2z+1）．【解答】解：（﹣2x2y）?（3xyz﹣2y2z+1）＝﹣6x3y2z+4x2y3z﹣2x2y．【變式1-2】（2022春?石景山區(qū)期末）計算：x2y（x+y3）﹣（3xy2）2．【解答】解：原式＝x3y+x2y4﹣9x2y4

＝x3y﹣8x2y4．【變式1-3】（2022春?槐蔭區(qū)期末）計算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a＝﹣6a2+12ab【考點2：多項式乘多項式運算】【典例2】（2022秋?大安市月考）化簡：（2a+b）（a﹣2b）﹣3a（2a﹣b）．【解答】解：原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣6a2+3ab＝﹣4a2﹣2b2．【變式2-1】（2022秋?楊浦區(qū)期中）計算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．【解答】解：原式＝12a2b﹣3ab2+a2b﹣ab2＝13a2b﹣4ab2．【變式2-2】（2022秋?長寧區(qū)校級期中）．【解答】解：＝＝﹣2x3y+4x2y2﹣3x2y2+6x3y＝4x3y+x2y2．【變式2-3】（2022春?高唐縣期中）化簡下列整式：（1）（x﹣xy）?（﹣12y）；（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）．【解答】解：（1）（x﹣xy）?（﹣12y）＝﹣4xy+9xy2；（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）＝6a3﹣27a2+9a﹣8a2+4a＝6a3﹣35a2+13a．【考點3：多項式乘法的有關應用】【典例3】（2022秋?東方期末）如圖，某中學校園內(nèi)有一塊長為（3a+2b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，學校計劃在中間留一塊長為（2a﹣b）米、寬為2b米的小長方形地塊修建一座雕像，然后將陰影部分進行綠化．（1）求長方形地塊的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）

（2）求修建雕像的小長方形地塊的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）（3）當a＝3，b＝1時，求綠化部分的面積．【解答】解：（1）長方形地塊的面積為：（3a+2b）（2a+b）＝6a2+3ab+4ab+2b2＝（6a2+7ab+2b2）平方米．（2）小長方形地塊的面積為：2b（2a﹣b）＝（4ab﹣2b2）平方米．（3）綠化部分的面積為：6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4b2，當a＝3，b＝1時，原式＝6×32+3×3×1+4×12＝6×9+9+4＝54+9+4＝67（平方米）．【變式3-1】（2022秋?韓城市期末）如圖，某小區(qū)有一塊長為（2a+4b）米，寬為（2a﹣b）米的長方形地塊，角上有四個邊長為（a﹣b）米的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進行綠化．（1）用含有a、b的式子表示綠化的總面積（結果寫成最簡形式）；（2）物業(yè)找來陽光綠化團隊完成此項綠化任務，已知該隊每小時可綠化8b平方米，每小時收費200元，則該物業(yè)應該支付綠化隊多少費用？（用含a、b的代數(shù)式表示）

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）＝4a2+6ab﹣4b2﹣4a2+8ab﹣4b2＝（14ab﹣8b2）平方米，答：綠化的面積是（14ab﹣8b2）平方米；（2）根據(jù)題意得：（14ab﹣8b2）÷8b×200＝（a﹣b）×200＝（350a﹣200b）元，答：該物業(yè)應該支付綠化隊需要（350a﹣200b）元費用．【變式3-2】（2022秋?陜州區(qū)期末）如圖，有一塊長（3a+b）米，寬（2a+b）米的長方形廣場，園林部門要對陰影區(qū)域進行綠化，空白區(qū)域進行廣場硬化，陰影部分是邊長為（a+b）米的正方形．（1）計算廣場上需要硬化部分的面積；（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意，廣場上需要硬化部分的面積是（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣（a2+2ab+b2）＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab答：廣場上需要硬化部分的面積是（5a2+3ab）m2．

（2）把a＝30，b＝10代入5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400m2答：廣場上需要硬化部分的面積是5400m2．【變式3-3】（2022秋?雙陽區(qū)校級月考）如圖，甲長方形的兩邊長分別為m+1，m+5；乙長方形的兩邊長分別為m+2，m+4．（其中m為正整數(shù)）（1）圖中的甲長方形的面積S1＝，乙長方形的面積S2，比較：S1S2（填“＜”、“＝”或“＞”），并說明理由；（2）現(xiàn)有一正方形，其周長與圖中的甲長方形周長相等，試探究：該正方形面積S與圖中的甲長方形面積S1的差（即S﹣S1）是一個常數(shù)，求出這個常數(shù)．【解答】解：（1）甲長方形的面積S1＝（m+1）（m+5）＝m2+6m+5，乙長方形的面積S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，S1＜S2，理由如下：S1﹣S2＝m2+6m+5﹣（m2+6m+8）＝m2+6m+5﹣m2﹣6m﹣8＝﹣3＜0，即S1﹣S2＜0，∴S1＜S2，故答案為：m2+6m+5，m2+6m+8，＜．（2）∵正方形的周長與圖中的甲長方形周長相等，∴正方形的周長為：2（m+1+m+5）＝4m+12，∴正方形的邊長為：m+3，∴正方形的面積為：S＝（m+3）2＝m2+6m+9，∴S﹣S1

＝m2+6m+9﹣（m2+6m+5）＝m2+6m+9﹣m2﹣6m﹣5＝4．∴正方形面積S與圖中的甲長方形面積S1的差是一個常數(shù)，這個常數(shù)是4【典例4】（2021秋?石泉縣期末）若（x+3p）（x2﹣x+q）的積中不含x的一次項與x的二次項．（1）求p、q的值；（2）求式子p2020q2021的值．【解答】解：（1）（x+3p）（x2﹣x+q）＝x3﹣x2+qx+3px2﹣3px+pq＝x3+（3p﹣1）x2+（q﹣3p）x+pq，∵不含x項與x2項，∴3p﹣1＝0，q﹣3p＝0，∴p＝，q＝3；（2）當p＝，q＝3時，原式＝（）2020×32021＝（）2020×32020×3＝（×3）2020×3＝12020×3＝1×3＝3．【變式4-1】（2022秋?長寧區(qū)校級期中）若關于x的多項式2x+a與x2﹣bx﹣2的乘積展開式中沒有二次項，且常數(shù)項為10，求a、b的值．【解答】解：（2x+a）×（x2﹣bx﹣2）＝2x3﹣2bx2﹣4x+ax2﹣abx﹣2a＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（4+ab）x﹣2a．

∵乘積展開式中沒有二次項，且常數(shù)項為10，∴a﹣2b＝0，﹣2a＝10，∴a＝﹣5，b＝﹣2.5．【變式4-2】（2021秋?閻良區(qū)期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展開式中不含x的二次項，常數(shù)項是﹣6，求m，n的值．【解答】解：（x2+mx﹣3）（2x+n）＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，∵展開式中不含x的二次項，常數(shù)項是﹣6，∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6，解得m＝﹣1，n＝2．【變式4-3】（2022春?溫江區(qū)校級期中）