數(shù)學(xué)-第一次月考重難點特訓(xùn)（一）之平面圖形的認(rèn)識（二）壓軸題（帶答案）

第一次月考重難點特訓(xùn)（一）平面圖形的認(rèn)識（二）壓軸題【重難點題型】1．（2022秋·廣東深圳·八年級南山實驗教育麒麟中學(xué)?？计谀┤鐖D，，，，分別平分的內(nèi)角，外角，外角．以下結(jié)論：；；；；．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項．【詳解】解：平分，，，，，，，故正確；，，平分，，，故正確；，，

，，，，，，故正確；平分，，，，，平分，，，，，，，，故正確；由得，，，，，故正確；故選：D．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定難度．2．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，，點E在上，點G，F(xiàn)，I在，之間，且平分，平分，．若，則的度數(shù)為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過作，可設(shè)，由，可設(shè)，設(shè)，而平分，可得，可得，由，可得，可得答案．【詳解】解：如圖，過作，∴設(shè)，∵，∴，∴設(shè)，∵平分，∴，設(shè)，而平分，∴，∵，∴，由平角的定義可得：，∴，即，∵，∴，∴，

∴．故選C．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建平行線是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級單元測試）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分線交于點，得；和的平分線交于點，得和的平分線交于點，則為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可得，再結(jié)合角平分線的定義，找出角變化的規(guī)律即可求解．【詳解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，∴＝∠ABC，＝∠ACD，∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，同理可得＝＝∠A，∴＝∠A，∵，∴＝，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，然后求出后一個角是前一個角的一半是解題的關(guān)鍵．

4．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，，平分，平分，且，下列結(jié)論：①平分；②；③；④，其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)垂直定義得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根據(jù)角平分線定義得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠ECB，根據(jù)平行線的判定得出ACBE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．【詳解】解：∵BC⊥BD，∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，∵∠ABE+∠FBE=180°，∴∠ABE+∠FBE=90°，∵BD平分∠EBF，∴∠DBE=∠FBE，∴∠CBE=∠ABE，∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，∵CB平分∠ACE∴∠ACB=∠ECB，∵ABCD，∴∠ABC=∠ECB，∴∠ACB=∠EBC，∴ACBE，∵∠DBC=90°，

∴∠BCD+∠D=90°，∴①②③正確；∵根據(jù)已知條件不能推出，∴④錯誤；故選C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，角平分線定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．5．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學(xué)校?？几傎悾┰谥?，，的平分線交于點，的外角平分線所在直線與的平分線相交于點，與的外角平分線相交于點，則下列結(jié)論一定正確的是_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①；②；③；④．【答案】①②④【分析】由角平分線的定義可得，再由三角形的內(nèi)角和定理可求解，即可判定①；由角平分線的定義可得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可判定②；由三角形外角的性質(zhì)可得，再利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理可判定③；利用三角形外角的性質(zhì)可得，結(jié)合可判定④．【詳解】解：，的平分線交于點，，，，

，，，，故①正確，平分，，，，，故②正確；，，，，平分，平分，，，，，，故③錯誤；，，，．故④正確，綜上正確的有：①②④，

故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，直線分別與直線，相交于點，，且．點在直線，之間，連接，，射線是的平分線，在的延長線上取點，連接，若，，則的度數(shù)為___________．【答案】##度【分析】過分別作的平行線，，則，設(shè)，則，，設(shè)，分別表示出，，利用等式的性質(zhì)得到，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，過分別作的平行線，，則，設(shè)，則，∵射線是的平分線，∴，∵，，，設(shè)∴，∴①，∵

∵②∴由①②可得∵，故答案為：【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖①，已知，，的交點為，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作和的平分線，交點為；第二次操作，分別作和的平分線，交點為；第三次操作，分別作和的平分線，交點為第次操作，分別作和的平分線，交點為．如圖②，若，則的度數(shù)是__．【答案】【分析】先過作，根據(jù)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得到；先根據(jù)和的平分線交點為，運用（1）中的結(jié)論，得出；同理可得；根據(jù)和的平分線，交點為，得出；據(jù)此得到規(guī)律，最后求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖①，過作，

，，，，，；如圖②，和的平分線交點為，．和的平分線交點為，；如圖②，和的平分線，交點為，；以此類推，，當(dāng)時，等于．故答案為：【點睛】本題主要考查了角平分線的定義以及平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等的運用．解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，解題時注意：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．8．（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，直線與直線、分別交于點、，，與的角平分線交于點，與交于點，點是上一點，且，連接，是上一點使，作平分，交于點，，則_________．

【答案】30度##【分析】根據(jù)，與的角平分線交于點，可得，即可得，則有，進(jìn)而可得，，，即有，結(jié)合平分，可得，進(jìn)而可得，問題隨之得解．【詳解】∵，∴，∵與的角平分線交于點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵平分，∴，

∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·重慶·八年級重慶八中?？奸_學(xué)考試）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片中，，，將紙片沿著折疊，使得點落在邊上的點處．設(shè)，則能使和同時成為“準(zhǔn)直角三角形”的值為___________．【答案】【分析】先由三角形內(nèi)角和定理求得，再由折疊性質(zhì)求得，最后由“準(zhǔn)直角三角形”定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵將紙片沿著折疊，使得點落在邊上的點處，∴，當(dāng)為“準(zhǔn)直角三角形”時，或，∴或，∴或，①當(dāng)時，即，∴，∴，∴，此時，

∴不是“準(zhǔn)直角三角形”；②當(dāng)時，即，∴，∴，∴，此時，∴是“準(zhǔn)直角三角形”；綜上所述，能使和同時成為“準(zhǔn)直角三角形”的值為，故答案為：．【點睛】本題考查新定義，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．理解新定義，掌握折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知，平分，，，則___________．【答案】##30度【分析】作于，作于，則，設(shè)，則，，再根據(jù)角平分線的定義可得，設(shè)，則，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，，從而可得，代入可求出的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，作于，作于，

則，設(shè)，則，，平分，，設(shè)，則，，，，，，，，，又，，解得，則，故答案為：．【點睛】本題考查了平行公理推論、平行線的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．11．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）將一塊三角板（，）按如圖所示方式放置，使頂點C落在的邊上，．經(jīng)過點D畫直線，交邊于點M．(1)如圖1，若．

①求的度數(shù)；②試說明：平分；(2)如圖2，平分，交邊于點F，試探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①；②見詳解(2)；理由見詳解【分析】（1）①根據(jù)，可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；②計算出角度即可；（2）設(shè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義把，表示出來即可；【詳解】（1）①∵，∴°，∵，∴，②∵，，∴∴∵，∴，∵，∴∴平分．（2）設(shè)如圖∵，∴，∴

∵，∴，∵平分，∴，∵∴∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．12．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）綜合與實踐(1)問題情境：圖1中，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：過P作，通過平行線性質(zhì)來求．按小明的思路，易求得的度數(shù)為______；（直接寫出答案）(2)問題遷移：圖2中，直線，P為平面內(nèi)一點，連接、．若，，試求的度數(shù)；(3)問題拓展：圖3中，直線，則、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過P作，通過平行線性質(zhì)可得，再代入，即可求出；（2）過P作，根據(jù)平行線性質(zhì)可得，，即可求出

的度數(shù)；（3）過P作，則，根據(jù)平行線性質(zhì)可得，，又，即可求出．【詳解】（1）如圖1，過P作，，，，，，，，，故答案為：；（2）過P作，，，，，，，，；（3）如圖，過P作，則，

，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)內(nèi)容，掌握平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）已知，，，點P在與之間．(1)如圖1，直接寫出的度數(shù)．(2)Q是平面上的點，設(shè)，和的角平分線交于點E．解答下列問題，答案可用含的代數(shù)式表示．①如圖2，若點Q在射線上且在直線的下方，求的度數(shù)．②若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)①②或【分析】（1）過點作，得到，推出，即可得解；（2）①利用角平分線，得到，，利用外角的性質(zhì)，得到以及，進(jìn)行求解即可；②分在直線上方和在直線下方，兩種情況，討論求解即可．

【詳解】（1）解：過點作，則：，∵，∴，∴，∴；（2）解：①如圖：由（1）知：，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴∵，∴；②當(dāng)在直線上方時，如圖，交于點，

∵，∴，同法（1）可得：，∵平分，∴，∵平分，∴，∵，∴，即：，∴；當(dāng)在直線下方時，如圖，交于點，交于點，∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，

∴，，∵，同①可得：∴；綜上：的度數(shù)為或．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．14．（2023秋·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）已知如圖．(1)由圖①易得、、的關(guān)系____________（直接寫結(jié)論）；由圖②易得、、的關(guān)系_____________（直接寫結(jié)論）．(2)從圖①圖②任選一個圖形說明上面其中一個結(jié)論成立的理由．(3)利用上面（1）得出的結(jié)論完成下題：已知，，與兩個角的角平分線相交于點．若，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)見解析(3)【分析】（1）觀察圖形即可求解；（2）過點作，根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得出答案；過點作，根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出答案；（3）根據(jù)角平分線定義得：，，由得：，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得結(jié)論．【詳解】（1）解：由圖①易得、、的關(guān)系．由圖②易得、、的關(guān)系．故答案為：；；

（2）如圖①所示：過點作，，，，，，，；如圖②所示：過點作，，，，，，A；（3）如圖③，過點作，、分別是和的平分線，，，，，，，，，，，

，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，通過平行線的性質(zhì)推出各角之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于作出相應(yīng)的輔助線．15．（2023春·廣東陽江·七年級?？茧A段練習(xí)）先閱讀再解答：(1)如圖1，，試說明：；(2)已知：如圖2，，求證：；(3)已知：如圖3，，．求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）過點E作，由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解；（2）過點E作，由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解；（3）延長和反向延長相交于點G，由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，利用平行線的判定條件可證明，再根據(jù)平行線性質(zhì)可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：過點E作，∵，∴，∴，

∵，∴；（2）證明：過點E作，∵，∴，∴，∵，∴；（3）證明：延長和反向延長相交于點G，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，靈活運用平行線的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·吉林長春·七年級校考期末）如圖，，點為平面內(nèi)一點．

(1)如圖①，當(dāng)點在與之間時，若，則_________；(2)如圖②，當(dāng)點在點右上方時，、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明；（不需要寫出推理依據(jù)）(3)如圖③，平分，平分，若，則_________．【答案】(1)65(2)，證明見解析(3)【分析】（1）過點P作，，由平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得到，，從而得到結(jié)論；（2）延長交于點E，則，再由平行線性質(zhì)可得，即可證明；（3）由角平分線推出，延長交于點H，如圖，則，由平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而解題可得結(jié)果．【詳解】（1）已知圖①，當(dāng)點P在與之間時，若，，則，理由如下：過點P作，如圖：則，，，∴；故答案為：（2）如圖②，當(dāng)點在點右上方時，、、之間存在數(shù)量關(guān)系為：，證明：延長交于點E，如圖：

則，，∴∴；（3）已知圖③，平分，平分，若，則，理由如下：∵平分，若，∴延長交于點H，如圖，則，，∴，，∴，∵，∴，∴∵平分，∴，∴故答案為：

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線，三角形的外角，作輔助線構(gòu)造同位角和內(nèi)錯角是解題的關(guān)鍵．17．（2020春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，已知，，，則求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，平分，平分，則的度數(shù)為；（3）如圖2，已知，平分，平分．當(dāng)點、在直線同側(cè)時，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：；（4）如圖3，已知，平分，平分．當(dāng)點、在直線異側(cè)時，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）如圖1，根據(jù)平行公理和平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）如圖2，延長交于點，則可得到，則，連接并延長到點，則可得，，可得到和的關(guān)系，從而求解；（3）由（2）即可得出結(jié)論；（4）如圖3，過作于，于，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)角平分線的定義得到，，等量代換即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，過作，，

，，，，，；（2）如圖2，延長交于點，則可得到，則，連接并延長到點，則可得，，所以，所以，所以；（3）由（2）可得：，故答案為：；（4）如圖，過作于，于，則，，，，，

平分，平分，，，，即，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是利用三角形的外角的性質(zhì)找到和之間的關(guān)系．18．（2023春·七年級課時練習(xí)）已知，的平分線與的平分線相交于點F．(1)在圖1中，求證：①；②；(2)如圖2，當(dāng)，時，請你寫出與之間的關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)，，且時，請你直接寫出的度數(shù)（用含m，n的式子表示）【答案】(1)證明見詳解；(2)，證明見詳解；(3)【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：，②根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：，（2）設(shè)，，則，，，根據(jù)（1）和四邊形內(nèi)角和得等式可得結(jié)論；

（3）同（2）將3倍換為n倍，同理可得結(jié)論；【詳解】（1）證明：①如圖１，過點作，，，，證明：②如圖１，過點作，，即（2）解：關(guān)系式為，證明：設(shè)，，時，且平分，平分，，由（１）得，

，，，即，，（3）解：設(shè)則，，由（１）可得，，，，，即的度數(shù)（用含m，n的式子表示）表示為【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線、n等分線及四邊形的內(nèi)角和的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計算，解題時注意類比思想的運用．19．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）綜合與探究，問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動．(1)如圖1，，點A，B分別為直線，上的一點，點P為平行線間一點且，，求度數(shù)；問題遷移(2)如圖2，射線與射線交于點O，直線，直線m分別交于點A，D，直線n

分別交于點B，C，點P在射線上運動．①當(dāng)點P在A，B（不與A，B重合）兩點之間運動時，設(shè)，．則之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點P不在線段上運動時（點P與點A，B，O三點都不重合），請你直接寫出間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)110°(2)①，理由見解析；②或【分析】（1）過P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；（2）①過P作交于E，由，得，，故；②分兩種情況：當(dāng)P在延長線時，此時；當(dāng)P在之間時，此時．【詳解】（1）解：過P作，如圖：∵，∴，∴，，∴，即，∵，，∴；（2）解：①，理由如下：過P作交于E，如圖：

∵，∴，∴，，∴；②當(dāng)P在延長線時，過P作交的延長線于E，如圖：∵，∴，∴，，∴，此時；當(dāng)P在之間時，過P作交的延長線于E，如圖：

∵，∴，∴，，∴，此時．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)及其運用，解題的關(guān)鍵是作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角轉(zhuǎn)化角．20．（2023春·七年級課時練習(xí)）（1）【閱讀理解】如圖①，和的邊互相平行，邊與交于點E．若，，求的度數(shù)．老師在黑板上寫出了部分求解過程，請你完成下面的求解過程．解：如圖②，過點E作，∴（___________）．∵，∴．∵，∴（___________）∴___________．∵，∴．∴___________．（2）【問題遷移】如圖③，D、E分別是的邊、上的點，在直線的右側(cè)作的平行線分別交邊、于點F、G．點P是線段上一點，連接、，若，，求的度數(shù)．（3）【拓展應(yīng)用】如圖④，D、E分別是的邊、上的點，在直線的右側(cè)作的平行線分別交邊、于點F、G．點P是射線上一點，連接、，若，，直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；；；（2）；（3）或【分析】（1）如圖②，過點E作，根據(jù)推理步驟逐步寫出答案即可；（2）如圖，過點P作，先求出，再求，求得即可；（3）當(dāng)點P在線段上，過點P作，先證明，再證明，得；當(dāng)點P在線段的延長線上時，與點在線段上的情況類似．【詳解】（1）如圖②，過點E作．∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵，∴．∵，，∴（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．∴．∵，∴．∴．故答案是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；∠DCE；．（2）如圖，過點P作，∴，∵，∴，∴，∴．

（3）當(dāng)點P在線段上，過點P作，∴，∵，∴，∴∴；當(dāng)點P在線段的延長線上時，過點P作，∴，∵，∴，∴∴；綜上所述：或．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、角的和差運算等知識點；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)、正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．21．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖1，一塊直尺和一塊含30°的直角三角板如圖放置，其中直尺和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：，，，分別交、于點E、F、的角平分線交于點D，H為線段上一動點（不與A、B重合），連接交于點．

(1)當(dāng)時，求．(2)在線段上任意移動時，求，，之間的關(guān)系．(3)在（1）的條件下，將繞著點以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時，直接寫出此時的值．【答案】(1)(2)(3)t為6或12或21或24或30【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理求出，由，得到，由，則，由角平分線和平行線性質(zhì)得到，即可得到答案；（2）由得到，由即可得到結(jié)論；（3）分五種情況畫圖求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，即；

（2）∵，∴，∵，∴；（3）由（1）知，，，∴，如圖1，當(dāng)時，，∵，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，；如圖2，當(dāng)時，∵，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，；如圖3，當(dāng)時，∵，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，；如圖4，當(dāng)時，設(shè)與相交于點S，

∴，∴，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，；如圖5，當(dāng)時，∴，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，；∴當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時，t為6或12或21或24或30．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、旋轉(zhuǎn)等知識，分情況討論是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·廣東云浮·八年級新興實驗中學(xué)?？计谥校┚C合與探究：小新在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過程中，對習(xí)題做了一定變式，讓我們來一起看一下吧，在中，與的平分線相較于點P．(1)如圖1，如果，求的度數(shù)．(2)在（1）的條件下，如圖2，作的外角，的平分線交于點Q，求的度數(shù)．(3)如圖3，作的外角，的平分線交于點Q，延長線段，交于點E，在中，是否存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，若存在，請直接寫出

的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)或或時，中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍【分析】（1）先求，然后根據(jù)角平分線定義可求，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，可求，然后根據(jù)角平分線定義可求，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求的度數(shù)；（3）在中，可求，，，所以如果中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①；②；③；④；求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵與的平分線相較于點P，∴，，∴，∴；（2）解：如圖，由（1）知：，∴，∴，∵的外角，的平分線交于點Q，∴，，∴，

∴；（3）解：由（2）知：，∵，，，∴，∵平分，平分，∴，，∴，如果中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①當(dāng)時，則，∴；②當(dāng)時，則，∴，∴；③當(dāng)時，，∴；④當(dāng)時，，∴；故當(dāng)或或時，中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；靈活運用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）[問題背景](1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明．[簡單應(yīng)用]（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）(2)如圖2，、分別平分、，

①若，，求的度數(shù)；②和為任意角時，其他條件不變，試直接寫出與、之間數(shù)量關(guān)系．[問題探究](3)如圖3，直線平分的鄰補角，平分∠ADC的鄰補角，①若，，則的度數(shù)為___________；②和為任意角時，其他條件不變，試直接寫出與、之間數(shù)量關(guān)系．[拓展延伸](4)在圖4中，若設(shè)，，，，試問與、之間的數(shù)量關(guān)系為___________；（用x、y的代數(shù)式表示）(5)在圖5中，直線平分，平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫出結(jié)論___________．【答案】(1)見解析(2)①，②(3)①，②(4)(5)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理解決問題即可；（2）①設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建方程組即可解決問題；②由①的結(jié)論即可得到數(shù)量關(guān)系；（3）①如圖3中，設(shè)∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建方程組即可解決問題；②與（3）中①相同；（4）如圖4中，設(shè)∠CAP=α，∠CDP=β，則∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建方程組即可解決問題；（5）如圖5中，延長AB交PD于J，設(shè)∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建共線時即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，

∵，，，∴；（2）解：①如圖2中，設(shè)，，則有，∴，∴，∴；②由①得：；（3）解：①如圖3中，設(shè)，，則有，∴，

∴；故答案為：；②設(shè)，則有，∴；（4）解：如圖4中，設(shè)，，則，，則有，∴，∴，故答案為；（5）解：如圖5中，延長交于J，設(shè)，則有，∴，∵，∴，∴；故答案為．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，“8字型”

四個角之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題．24．（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┬∶髟趯W(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，于D．猜想的數(shù)量關(guān)系．(1)小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入的值求值，得到下面幾組對應(yīng)值：度1020302020度7070606080度30a152030上表中，于是得到的數(shù)量關(guān)系為．【變式應(yīng)用】(2)小明繼續(xù)探究，在圖2中，，其他條件不變，若把“于點D”改為“F是線段上一點，于點D．”．求的度數(shù)，并寫出與的數(shù)量關(guān)系．【思維發(fā)散】(3)小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個字母位置，在圖3中，若把（2）中的“點P在線段上”改為“點F是

延長線上一點”其余條件不變，當(dāng)時，度數(shù)為．【能力提升】(4)在圖4中，若點F在的延長線上，于點D，，其余條件不變，分別作出和的角平分線，交于點P，試用x，y表示．

【答案】(1)25；；(2)20；；(3)28；(4)．【分析】（1）求出和的大小即可得到的值，再通過找規(guī)律的形式得出三者的關(guān)系，（2）過點A作于M，先求得，再由平分，求得，從而即可求得，同理可求得；（3）過點A作于點M，先證明，得，再由（2）得，即可求解；（4）過點A作于點M，先求得，進(jìn)而由、分別平分和

，得，，由，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴∵，∴，∵平分，∴，∴，．∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，故答案為∶25；；（2）解：如圖，過點A作于M，∵，∴，∴，∵，

∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，同時，∴可得出，∴；（3）解：如下圖，過點A作于點M，∵，，∴，∴，由（2）得，∵，

∴，故答案為∶28．（4）解：如下圖，過點A作于點M，∵，，∴，，∴，由（2）得，∴，∵、分別平分和，∴，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要是考查三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的兩銳角互余、平行線的判定及性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）【概念認(rèn)識】如圖①，在中，若，則射線BD，BE叫做的“三分線”．其中，射線BD是“鄰AB三分線”，射線BE是“鄰BC三分線”．

【問題解決】(1)如圖②，在中，，若的三分線BD交AC于點D，則；(2)如圖③，在中，BP、CP分別是鄰AB三分線和鄰AC三分線，且，求的度數(shù)；【拓展延伸】(3)在中，是的外角，的三分線與的三分線交于點P．若，直接寫出的度數(shù)．（用含α、β的代數(shù)式表示）【答案】(1)或(2)(3)或或或【分析】（1）分為兩種情況：當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時，當(dāng)是“鄰BC三分線”時，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可；（2）求出，根據(jù)BP、CP分別是鄰AB三分線和鄰AC三分線求出，，求出，再求出即可；（3）畫出符合的所有情況，①當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰AC三分線”時，②當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時，③當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰CD三分線”時，④當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【詳解】（1）如圖，當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時，∵，∴；當(dāng)是“鄰BC三分線”時，

；故答案為：或；（2）∵，∴，∴，∵BP、CP分別是鄰AB三分線和鄰AC三分線，∴，，∴，∴，∴；（3）分為四種情況：情況一：如圖1，當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰AC三分線”時，由外角可得：，∴；

情況二：如圖2，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時，由外角可知：，∴；情況三：當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰CD三分線”時，當(dāng)時，如圖3，由外角可得：，∴；當(dāng)時，如圖4，

由外角及對頂角可得：，∴；情況四：如圖5，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時，由外角可得：，∴；綜合上述：的度數(shù)是或或或．【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是注意：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用了分類討論思想．26．（2022春·吉林·七年級?？计谀┤鐖D，已知，的平分線與的平分線相交于點．(1)如圖，求證：(ⅰ)；(ⅱ)．(2)如圖，，，則與之間的關(guān)系為______；(3)當(dāng)，且時，直接寫出的度數(shù)用含、的式子表示．【答案】(1)(ⅰ)見解析；(ⅱ)見解析

(2)(3)【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：；(ⅱ)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：；設(shè)，，則，，，，根據(jù)和四邊形內(nèi)角和得等式可得結(jié)論；同將倍換為倍，同理可得結(jié)論．（1）證明：(ⅰ)如圖，過點作，，，，，，，；(ⅱ)如圖，過點作，，，，，，；（2）

解：結(jié)論：，理由是：設(shè)，，則，，，，由得：，，，，，；故答案為：；（3）解：設(shè)，，則，，，，由可得：，，，，，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線、等分線及四邊形的內(nèi)角和的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計算，解題時注意類比思想的運用．27．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，顯然有；閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：

(1)如圖2，AP、CP分別平分、，若，，求的度數(shù)；(2)①在圖3中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，并說明理由．②在圖4中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無需說明理由．③在圖5中，AP平分，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無需說明理由．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②；③【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結(jié)論列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，繼而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入數(shù)據(jù)得∠P的值；（2）①按解析圖標(biāo)記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結(jié)論列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分別用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；②按解析圖標(biāo)記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結(jié)論列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分別用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD

，再整理即可得解；③按解析圖標(biāo)記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結(jié)論列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分別用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；【詳解】（1）解：∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，由（1）的結(jié)論得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．（2），理由如下：①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的結(jié)論得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴．

②，理由如下：如圖4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，由題干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，在四邊形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥在四邊形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴；③，理由如下：如圖5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由題干結(jié)論得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，

∴．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識圖并運用好“8”字形的結(jié)論，然后列出兩個等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．28．（2022春·河南濮陽·七年級?？计谥校┰谥校?1)如圖（1），、的平分線相交于點．①若，求的度數(shù)．②若，則_________．(2)如圖（2），在中的外角平分線相交于點，，求的度數(shù)．(3)如圖（3），的、的平分線相交于點，它們的外角平分線相交于點．請回答：與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)①；②；(2)；(3)【分析】（1）①運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的意義，首先求出，進(jìn)而求出

，即可解決問題；②方法同①；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出和，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）由（1）得，由（2）可得，兩式相加即可得到結(jié)論．（1）解：①∵∠A=64°，∴∠ABC+∠ACB=116°，∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，∴，∴，∴，②∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，

∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵外角和的平分線相交于點Q，∴

∴，∵，∴，（3）解：由（1）得，由（2）可得，∴【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識，靈活運用三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．29．（2023春·七年級單元測試）（1）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識有∠1=∠2，∠3=∠4，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．（2）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線a與水平線OC的夾角為42°，問如何放置平面鏡MN，可使反射光線b正好垂直照射到井底？（即求MN與水平線的夾角）（3）如圖3，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．【答案】（1）平行；理由見解析；（2）MN與水平線的夾角為66°時，可使反射光線b正好垂直照射到井底；（3）t為5秒或95秒時，CD與AB平行【分析】（1）根據(jù)等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定；

（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1＝∠2，然后根據(jù)平角等于180°求出∠1的度數(shù)，再加上42°即可得解；（3）①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等列式計算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解．【詳解】解：（1）平行．理由如下：如圖，∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，∴．（2）∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，∴∠1＝∠2，∵入射光線a與水平線OC的夾角為42°，b垂直照射到井底，∴∠1＋∠2＝180°?42°?90°＝48°，∴∠1＝×48°＝24°，∴MN與水平線的夾角為：24°＋42°＝66°．

（3）存在．AB與CD在EF的兩側(cè)時，如圖①所示：∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠ACD＝180°?60°?3t＝120°