數(shù)學(xué)-2.2 乘法公式-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練(湘教版)（解析版）

2.2乘法公式知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一平方差公式我們把a(bǔ)+ba?b知識點(diǎn)知識點(diǎn)二完全平方公式我們把a(bǔ)±知識點(diǎn)知識點(diǎn)三運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計算遇到多項(xiàng)式的乘法時，我們要先觀察式子的特征，看能否運(yùn)用乘法公式，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。

題型一利用乘法公式化簡求值【例題1】先化簡，再求值：，其中，．【答案】，9【分析】先去括號，再合并同類項(xiàng)，然后把，的值代入化簡后的式子進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式．【變式1-1】先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可．【詳解】解：當(dāng)，時，原式．【變式1-2】先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和完全平方公式計算，然后合并同類項(xiàng)，最后代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：原式

∵∴∴原式【變式1-3】先化簡，再求值．，其中．【答案】，7【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式混合運(yùn)算法則計算，將多項(xiàng)式化簡，再將整理體代入計算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【變式1-4】先化簡，再求值：，其中實(shí)數(shù)a，b滿足．【答案】，7【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計算，再合并同類項(xiàng)，根據(jù)絕對值和偶次方的非負(fù)性得出，，最后代入求出答案即可．【詳解】解：∵∴∴，，原式．

【變式1-5】先化簡，再求值．，其中．【答案】，【分析】利用完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則去掉中括號里面的小括號，再合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計算法則化簡，最后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值并代值計算即可．【詳解】解：，∵，，∴，∴，∴，∴原式．題型二利用完全平方公式的變形求值【例題2】已知，，則的值為（

）A．5 B．25 C．37 D．6【答案】B【分析】利用完全平方公式進(jìn)行變形計算即可．

【詳解】解：∵，，∴．故選：B．【變式2-1】若中，則（

）A．10 B． C． D．40【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式得出，代入求出即可．【詳解】解：∵，∴，故選：C．【變式2-2】已知，則的值為（

）A．10 B．17 C．26 D．33【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式變形計算即可．【詳解】∵，，∴．故選B．【變式2-3】若，，則的值為（

）A．21 B．29 C．17 D．33【答案】C

【分析】根據(jù)變形，然后將已知代入即可求．【詳解】解：∵，∴，故選C．【變式2-4】已知，，則的值為（）A．25 B．36 C．11 D．16【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式變形求值即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故選：D．【變式2-5】已知，則（

）A． B．3 C． D．9【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而得到，再由完全平方公式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴．故選：C【變式2-6】已知，，那么的值是（

）A．11 B．13 C．37 D．85

【答案】D【分析】根據(jù)，得到，進(jìn)而求出的值，即可求出的值．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴；故答案為：85．【變式2-7】，為實(shí)數(shù)，整式的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分組，然后運(yùn)用配方法得到，最后利用偶次方的非負(fù)性得到最小值．【詳解】解：，∵，∴當(dāng)時，原式有最小值，最小值為．故選：A．【變式2-8】已知，則代數(shù)式的值為_____．【答案】【分析】將已知等式完全平方，然后根據(jù)完全平方公式展開即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，

∴，故答案為：．【變式2-9】已知：，則________．【答案】【分析】將方程兩邊同時除以字母x，把整式方程化為分式方程，再結(jié)合完全平方公式及其變式即可求解．【詳解】解：將方程兩邊同時除以字母x得：，故答案為：．【變式2-10】已知，則______．【答案】【分析】首先由已知可得，可得，再由，即可求得．【詳解】解：，，，，

．故答案為：．【變式2-11】多項(xiàng)式的最小值是______．【答案】12【分析】利用完全平方公式把多項(xiàng)式化成一個偶次方加常數(shù)的形式，偶次方為0時，代數(shù)式有最小值．【詳解】解：，的最小值是12，故答案為：12．【變式2-12】已知a2－3a＋1＝0，則分式的值是_______．【答案】【分析】利用降冪的思想，由題可知a2=3a-1，進(jìn)行代入多次降冪即可求解.【詳解】解：∵a2－3a＋1=0∴a2=3a-1∴======故答案為：

題型三乘法公式的實(shí)際應(yīng)用【例題3】如圖1，長方形的兩邊分別是，，如圖2的長方形的兩邊為，（其中m為正整數(shù)）．(1)求出兩個長方形的面積S1、S2；(2)現(xiàn)有一個正方形，它的周長與圖1的長方形的周長相等，試證明該正方形的面積與圖1的長方形的面積的差是一個常數(shù)，并求出這個常數(shù)．【答案】(1)（m為正整數(shù)），（m為正整數(shù)）；(2)該正方形的面積與圖1的長方形的面積的差是一個常數(shù)4【分析】（1）根據(jù)長方形面積長寬及整式乘法法則直接計算即可得到答案；（2）設(shè)正方形邊長為a，根據(jù)周長相等得到邊長，再根據(jù)正方面積公式求出面積與長方形面積比較即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，（m為正整數(shù)），（m為正整數(shù)）；（2）解：設(shè)正方形邊長為a，由題意可得，，∴，∴，∵，∴，∴該正方形的面積與圖1的長方形的面積的差是一個常數(shù)4．

【變式3-1】某市有一塊長為，寬為的長方形空地，規(guī)劃部門計劃這塊地在中間留出一塊邊長為的正方形地來修建雕像，剩余部分進(jìn)行綠化．(1)綠化部分的面積是多少平方米（用含，的式子表示）？(2)若，滿足，求綠化部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）綠化面積=矩形面積-正方形面積，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，及完全平方公式化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式求出a與b的值，再將a與b的值代入計算即可求出值．【詳解】（1）解：由題知，綠化部分的面積是.故綠化部分的面積是；（2）解：∵，即，∴，，∴．故綠化部分的面積是．【變式3-2】【閱讀理解】若滿足，求的值．解：設(shè)，則，，我們把這種方法叫做換元法．利用換元法達(dá)到簡化方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．【解決問題】

(1)若滿足，則；(2)若滿足，求的值；(3)如圖，在長方形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，且，分別以為邊在長方形外側(cè)作正方形和，若長方形的面積為，求圖中陰影部分的面積和．【答案】(1)15(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法，進(jìn)行計算即可．（2）根據(jù)題意可得，設(shè)，，則，，將化成的形式，代入求值即可．（3）根據(jù)題意可得，設(shè)，，則，，再由陰影部分的面積，即可求出陰影部分的面積．【詳解】（1）解：設(shè)；則，，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)，，則，，∴

，故答案為：．（3）解：由題意得，，，∵長方形的面積為，∴，設(shè)，，則，，∴陰影部分的面積，，∴陰影部分的面積和為．【變式3-3】數(shù)形結(jié)合可以讓抽象的數(shù)學(xué)問題更加直觀形象，課上老師準(zhǔn)備了如圖①所示的長為4a，寬為b的長方形紙片，沿虛線用剪刀剪出4個全等的小長方形，按照圖②的形狀拼成一個大正方形，其中陰影部分的圖形是正方形．(1)填空：圖②中陰影部分正方形的邊長是______；（用a、b表示）請你觀察圖形，寫出、、ab之間的等量關(guān)系：______．問題探究(2)如圖③是由兩個正方形與一個長方形組成，其中小正方形的邊長為m，面積為，大正方形的邊長為n，面積為，若長方形的周長是14．．求長方形的面積．拓展延伸

(3)圖④中正方形的邊長為x，，長方形的面積是100，四邊形和四邊形都是正方形，四邊形是長方形，請直接寫出四邊形的面積=______．【答案】(1)，(2)12(3)464【分析】（1）根據(jù)長方形的邊長關(guān)系即可得到正方形的邊長，利用大正方形的面積減去4個長方形的面積得到陰影面積，由此列得等量關(guān)系式；（2）由題意得，利用完全平方公式變形求出即可；（3）由大正方形的邊長為x，則，設(shè)，，則四邊形的面積，代入即可．【詳解】（1）解：由題意得，小長方形的長為b，寬為a，圖②中陰影部分正方形的邊長是，∴陰影部分的面積為，∵陰影部分的面積，∴，故答案為：，；（2）由題意得，∵，∴，∴，∴長方形的面積是12（3）∵正方形的邊長為x，∴，∴，設(shè)，

∴，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴四邊形的面積，故答案為：464．【變式3-4】閱讀：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“算兩次”是建立相等關(guān)系的一種重要思想，例如：一條直線上有個點(diǎn)，它們可以確定多少條線段呢？方法一：從左至右，不重不漏的數(shù)．以為端點(diǎn)的線段共條；以為端點(diǎn)的線段共條；以為端點(diǎn)的線段共條；……以為端點(diǎn)的線段是1條．以上累加起來即可．方法二：每個點(diǎn)都能和除它以外的個點(diǎn)形成線段，共可形成條線段，但所有線段都數(shù)了兩遍．(1)根據(jù)上述兩種方法計算線段的總條數(shù)N，各寫出一個用n表示N的表達(dá)式．方法一：方法二：(2)運(yùn)用：①試猜想之間的關(guān)系．②計算：(3)拓展：七年級一班有8名班干部，現(xiàn)要隨機(jī)選派3人參加某志愿者活動，共有種不同的選派方案．（填數(shù)字）【答案】(1)，(2)①；②(3)56【分析】（1）由不同的計算方法求解即可；（2）①利用整式的乘法求解即可；

②首選根據(jù)平方差公式展開，然后利用（1）總結(jié)的規(guī)律求解即可；（3）由方法一求解即可．【詳解】（1）解：把不同端點(diǎn)的線段相加可得總條數(shù)；由點(diǎn)和線段的規(guī)律可得線段的總條數(shù)；故答案為：，．（2）①∵∴之間的關(guān)系是；②；（3）由題意可得，共有．【變式3-5】微專題探究學(xué)習(xí)：閱讀探究學(xué)習(xí)過程，完成（1）小題中的填空、（2）小題的圖形設(shè)計和（3）小題的求面積．《面積與完全平方公式》如圖1，陰影部分是一個邊長為的大正方形剪去一個邊長為的小正方形和兩個寬為的長方形之后所剩余的部分．

(1)①圖1中剪去的長方形的長為______，面積為______．②用兩種方式表示陰影部分的面積為______或______，由此可以驗(yàn)證的公式為______．(2)請設(shè)計一個新的圖形驗(yàn)證公式：．(3)如圖2，，分別表示邊長為，的正方形的面積，且，，三點(diǎn)在一條直線上，若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)①；；②；；(2)圖形見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形和長方形的面積公式計算；（2）通過面積構(gòu)造幾何圖形；（3）利用所得乘法公式計算．【詳解】（1）解：①由長方形的性質(zhì)可知，圖1中剪去的長方形的長為，∵長方形寬為，∴長方形的面積為．故答案為：；．②由題意可得，圖1中陰影部分是一個正方形，面積為：，還可以表示為：，∴可以驗(yàn)證的公式為：．故答案為：；；．（2）1個邊長為的正方形，1個邊長為的正方形和2個長為，寬為的長方形可拼成一個邊長為的正方形，如下圖所示，∴．

（3）∵，分別表示邊長為，的正方形的面積，且，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴．∴圖中陰影部分的面積為．【變式3-6】閱讀理解，自主探究數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．例如：平方差公式“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，就等于?兩個數(shù)的平方差”，即，平方差公式的幾何意義如下圖所示：圖甲陰影部分面積為，圖乙陰影部分面積為；由于陰影部分面積相同，所以有

(1)解決問題：如下圖是完全平方公式的幾何意義，請寫出這個公式________．(2)學(xué)以致用：請解釋的幾何意義．(3)拓展延伸：請解釋的幾何意義，并寫出乘積的結(jié)果．【答案】(1)(2)見解析(3)；圖見解析【分析】（1）根據(jù)圖形面積的兩種不同表達(dá)方式，可得到恒等式；（2）由恒等式可知，可以構(gòu)造整體圖形為邊長為的正方形，陰影部分正方形邊長，據(jù)此作圖即可．（3）由恒等式可知，整體圖形為邊長為、的長方形，然后用兩種方法表示長方形面積，即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)正方形面積公式可得，圖3中圖形的面積為：，同時圖中圖形的面積也可表示為：，故可得恒等式：；（2）如圖：陰影部分正方形面積等于：，也可以表示為，故：；

（3）解：如圖：-【變式3-7】數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片______張，號卡片______張，號卡片_____張．(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系______；根據(jù)得出的等量關(guān)系，解決如下問題：已知，求的值．(3)兩個正方形，如圖3擺放，邊長分別為，．若，，求圖中陰影部分面積和．

【答案】(1)3，2，7(2)，(3)8【分析】（1）計算，再根據(jù)三個紙片的面積可求解；（2）用兩種方法表示出大正方形的面積，即可得出三者的關(guān)系；設(shè)，，則，，，利用等量關(guān)系求出即可求解；（3）根據(jù)圖形得到,，利用完全平方公式分別求得和即可求解.【詳解】（1）解：，又種紙片的面積為，種紙片的面積為，種紙片的面積為，∴需種紙片3張，種紙片2張，種紙片7張，故答案為：3，2，7；（2）解：由圖2知，大正方形的面積為，又可以為，∴，故答案為：；設(shè)，，則，，，∵，

∴，則，∵，∴，∴；（3）解：由題意和圖形知，，，則，則，∴，∴或（舍去），陰影部分的面積和為．題型四巧用平方差公式計算【例題4】計算的結(jié)果為（

）A． B．1 C．11 D．4027【答案】B【分析】根據(jù)題意可以寫成，利用平方差公式簡便計算出結(jié)果．【詳解】解：．故選：B．【變式4-1】化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可知，原式由兩個平方差公式組成，因此利用平方差公式計算即可．

【詳解】解：故選：D．【變式4-2】計算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：．故選：D．【變式4-3】計算的值為（

）A．5048 B．50 C．4950 D．5050【答案】D【分析】把所求的式子的第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)結(jié)合，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)結(jié)合，依次結(jié)合了50組，把結(jié)合后的偶次項(xiàng)提取-1，然后分別運(yùn)用平方差公式變形，提取101后得到25個2相加，從而計算出結(jié)果．【詳解】解：1002-992+982-972+…+22-12=（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502）=（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50）=101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1

=101×（99-97+95-…+3-1）=101×（2+2+…+2）=101×25×2=5050．故答案為：D.【變式4-4】計算，結(jié)果的個位數(shù)字是（）A．6 B．5 C．8 D．7【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式將原式可化簡為．求出2的乘方的前幾項(xiàng)，總結(jié)出其個位數(shù)字依次為并依次循環(huán)出現(xiàn)．從而即得出的個位數(shù)字為6，進(jìn)而得出的個位數(shù)字為5．【詳解】解：…．∵，，，，，…，即其個位數(shù)字依次為并依次循環(huán)出現(xiàn)．∵，∴的個位數(shù)字為6，∴的個位數(shù)字為．故選B．【變式4-5】算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1計算結(jié)果的個位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】先配一個（2-1），則可利用平方差公式計算出原式=264

，然后利用底數(shù)為2的正整數(shù)次冪的個位數(shù)的規(guī)律求解．【詳解】解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（232-1）×（232+1）+1=264-1+1=264，因?yàn)?1=2，22=4，23=8，24=16，25=32，所以底數(shù)為2的正整數(shù)次冪的個位數(shù)是2、4、8、6的循環(huán)，所以264的個位數(shù)是6．故選：B．【變式4-6】請你估計一下，的值最接近于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式對所求式子進(jìn)行化簡，從而進(jìn)行求解．【詳解】解：．故選：B．【變式4-7】計算：____________.【答案】2019.

【分析】原式利用數(shù)的變形化為平方差公式，計算即可求出值．【詳解】解：∵∴=故答案是：2019.【變式4-8】請你計算：，…猜想的結(jié)果是____（n為大于2的正整數(shù)）【答案】##【分析】各式計算得到結(jié)果，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可．【詳解】解：∵，，；∴猜想，故答案為：題型五求完全平方式中的字母系數(shù)【例題5】若是一個完全平方式，則常數(shù)k的值為（

）A．11 B．21 C．21或 D．11或【答案】C【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得出答案.【詳解】解：是一個完全平方式∴解得：或，故選：C．【變式5-1】若是完全平方式，則n的值為（

）A．6 B．或6 C．1 D．

【答案】B【分析】由完全平方式的特點(diǎn)可得或再解方程即可．【詳解】解：是完全平方式，∴或解得：或，故B正確．故選：B．【變式5-2】已知是一個完全平方式，則可為（）A．3 B． C．7 D．7或【答案】D【分析】先將原式變形為，即可得到，進(jìn)而得到或，即可求出，問題得解．【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴，∴或，∴或．故選：D【變式5-3】已知，則b的值為（

）A．6 B． C．12 D．【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式展開，建立方程組求解即可．【詳解】∵，∴，

∴，∴，故選D．題型六運(yùn)用乘法公式找規(guī)律【例題6】觀察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著一定的運(yùn)算規(guī)律，并利用這個運(yùn)算規(guī)律求出了式子“”的值，這個值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知可得=①，設(shè)=k②，則由①+②得：③，由①-②得：④，由④-③得：=，即可求解．【詳解】解：由題意，得=(2-1)()=即=①，設(shè)=k②，由①+②得：，，即③，由①-②得：，即④，由④-③得：=，∴=k，解得：k=．故選：D．

【變式6-1】已知：，，，，…，若符合前面式子的規(guī)律，則的值為（）A．1008015 B．1009019 C．2016030 D．無法求解【答案】B【分析】通過觀察可以看出b=1004，a=（1004-1）×（1004+1）=1003×1005．從而得到a+b的值．【詳解】解：由所給的各式可知，b與第一個加數(shù)相等，a=（b-1）（b+1），因此b=1004，a=（1004-1）×（1004+1）=1003×1005．a(chǎn)+b=1004+1003×1005=1009019．故選B．【變式6-2】某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)置了一個數(shù)字游戲：第一步：取一個自然數(shù)，計算得到；第二步：算出的各位數(shù)字之和得到，計算得到；第三步：算出的各位數(shù)字之和得到，再計算得到；…；依此類推，則的值是（

）A．63 B．80 C．99 D．120【答案】A【分析】先根據(jù)題意分別求出，，，，，可得出從第3個數(shù)開始，每2個數(shù)一循環(huán)，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，，，，，，，，，，∴從第三個數(shù)開始，每2個數(shù)一循環(huán)，∵，∴是第個循環(huán)的第1個數(shù)，∴的值為63，

故選：A．【變式6-3】我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了（，1，2，3，…）展開式系數(shù)的規(guī)律：以上