數學-專項02 二次根式的運算（帶答案）

2022-2023學年浙教版八年級數學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題02二次根式的運算評卷人得分一、選擇題（每題2分，(共20分)1．(本題2分)（2023春·福建福州·八年級校考階段練習）當，代數式的值是（

）A．22 B．23 C．24 D．25【答案】C【思路點撥】將的值代入原式計算即可．【規(guī)范解答】解：當時，原式，故選：C．【考點評析】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則及完全平方公式．2．(本題2分)（2022秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖是小剛同學某天的作業(yè)，小剛做對題目的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A【思路點撥】根據二次根式的性質和二次根式的加法法則逐項判斷即可．【規(guī)范解答】，故①計算錯誤；，故②計算正確；，故③計算錯誤；和不是同類二次根式，不能合并，故④計算錯誤．綜上可知小剛做對題目的個數為1個．故選A．【考點評析】本題考查二次根式的性質和二次根式的加法．熟練掌握二次根式的性質和二次根式的加法法則是解題關鍵．3．(本題2分)（2023秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）下列式子中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】根據最簡二次根式滿足的兩個條件：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式逐項判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D、，是最簡二次根式，故本選項符合題意；故選：D．【考點評析】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式是解題的關鍵．4．(本題2分)（2023秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）木工師傅想利用三根木條（單位：分米）制作一個直角三角形的工具，那么下列各組數據中，符合木工師傅需求的是（

）A． B．3，4，5 C．5，10，12 D．6，8，12【答案】B【思路點撥】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．

【規(guī)范解答】解：A、∵，∴不能夠成直角三角形，故本選項不符合題意；B、∵，∴能夠成直角三角形，故本選項符合題意；C、∵，∴不能夠成直角三角形，故本選項不符合題意；D、∵，∴不能夠成直角三角形，故本選項不符合題意．故選：B．【考點評析】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．5．(本題2分)（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯考階段練習）對于實數x，我們規(guī)定表示不大于x的最大整數，如，，．現對82進行如下操作：82第一次，第二次，第三次，這樣對82只需進行3次操作后即可變?yōu)?，類似地，對300只需進行多少次操作后即可變?yōu)?（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【思路點撥】表示不大于x的最大整數，依據題目中提供的操作進行計算即可．【規(guī)范解答】解：第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，故對300只需進行4次操作后即可變?yōu)?，故選：B．【考點評析】本題考查了估算無理數的大小，解決本題的關鍵是明確表示不大于x的最大整數．6．(本題2分)（2022春·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）當時，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C

【思路點撥】根據二次根式的性質以及二次根式和分式的有意義的條件即可求出答案．【規(guī)范解答】解：A．當時，，故，選項錯誤；B．當時，，故，選項錯誤；C．當時，，，故，符合題意；D．當時，，分母為0，根式無意義，選項錯誤，不符合題意．故選：C【考點評析】本題考查二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是熟練運用二次根式的性質以及二次根式有意義的條件，本題屬于基礎題型．7．(本題2分)（2023秋·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學?？计谀┕烙嫷闹祽?

)A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B【思路點撥】先根據二次根式乘法運算法則計算得到，再根據無理數估算由，得到，從而確定答案．【規(guī)范解答】解：，又，，即的值在2和3之間，故選：B．【考點評析】本題考查二次根式的運算及無理數估算，掌握二次根式乘法運算法則及無理數估算方法是解決問題的關鍵．8．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）若，，則a與b的大小關系是（

）A．a>b B．a<b C．a=b D．不能確定【答案】B【思路點撥】先利用二次根式的混合運算化簡a和b，再根據二次根式的估算比較即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴，

∴，∵，，∴，故選：B．【考點評析】本題主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．9．(本題2分)（2023·全國·八年級專題練習）二次根式除法可以這樣做：如．像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或者把根號中的分母化去，叫做分母有理化．有下列結論：①將式子進行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以；②若a是的小數部分，則的值為；③比較兩個二次根式的大小：；④計算；⑤若，，且，則整數．以上結論正確的是（

）A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤【答案】D【思路點撥】①類比示例，利用分式的基本性質進行分母有理化；②估計無理數的整數部分，求出小數部分，進而分母有理化進行化簡；③通過分母有理化，比較兩個二次根式的大小；④通過分母有理化找到題中無理式求和的運算規(guī)律，從而化簡求出值；

⑤與y可以利用分母有理化化簡，可得出x與y互為倒數，故，然后觀察方程特點，求得n的值．【規(guī)范解答】解：，故將式子進行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以，故①對；∵a是的小數部分，∴，∴，故②錯誤；∵，，又∵，，∴，∴，∴，∴，故③對；∵，故④錯誤；

⑤∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，，，，，∵，∴，即，解得.故⑤正確．故選：D．【考點評析】本題考查利用分式的基本性質、平方差公式進行分母有理化,解決二次根式的化簡、比較大小和運算的問題．10．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）與最接近的整數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【思路點撥】把原式去括號后根據算術平方根的性質求解．【規(guī)范解答】解：原式=，∵49<54<64，

∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故選：B．【考點評析】本題考查二次根式的應用，熟練掌握二次根式的混合運算法則和算術平方根的性質是解題關鍵．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯考期末）比較大小_____3；_____；_____6．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】

＞

＜

＜【思路點撥】根據，可比較與3的大?。慌c可直接比較；根據，比較與的大小即可．【規(guī)范解答】∵，，∴，又∵，∴，∵，，∴，故答案為：＞，＜，＜，【考點評析】本題考查實數的大小的比較，解題的關鍵是知道如果還有根號，首先通過乘方化為根指數相同的根式，然后比較．12．(本題2分)（2023秋·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）計算的結果是__________．

【答案】1【思路點撥】利用積的乘方的逆運算及平方差公式，二次根式的相應的運算對式子進行求解即可．【規(guī)范解答】，故答案為：1．【考點評析】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．13．(本題2分)（2022春·廣東河源·八年級校考期中）已知滿足方程組則的值為___________．【答案】【思路點撥】把兩個方程相加即可得到答案．【規(guī)范解答】解：，①+②得：，故答案為：．【考點評析】本題考查的是二元一次方程組的解法，二次根式的加減運算，選擇合適的方法求解的值是解本題的關鍵．14．(本題2分)（2023秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）若與最簡二次根式可以合并，則___________．【答案】4【思路點撥】把化為最簡根式，然后根據同類次根式的定義列出方程求解即可．【規(guī)范解答】解：與最簡二次根式可以合并，，∴，

解得：．故答案為：4【考點評析】本題主要考查同類二次根式的概念，掌握一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關鍵．15．(本題2分)（2023秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）已知，則_________．【答案】5【思路點撥】把，代入計算，即可求得結果．【規(guī)范解答】解：，，故答案為：5．【考點評析】本題考查了運用完全平方公式計算，二次根式的化簡求值，熟練掌握和運用求代數式的值的方法是解決本題的關鍵．16．(本題2分)（2022秋·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）的三邊分別是a、b、c，且滿足，則當c=___________時是直角三角形．【答案】10或##或【思路點撥】根據絕對值和偶次方的非負性得出，，再分情況根據勾股定理解答即可．【規(guī)范解答】解∶∵，∴，，解得：，，∴當是以為直角的直角三角形時，，∴，

當是以為直角的直角三角形時，，∴，故答案為：10或．【考點評析】本題考查的是勾股定理的應用，二次根式的化簡，即如果直角三角形的三邊長分別為a，b，c，那么，注意分情況討論，不要漏解，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．17．(本題2分)（2022秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習）計算：________．【答案】【思路點撥】根據二次根式的除法運算法則即可求解．【規(guī)范解答】解：．【考點評析】此題主要考查了二次根式的運算，解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則．18．(本題2分)（2022秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習）計算：________．【答案】##【思路點撥】根據積的乘方運算的逆運算將變形為，再結合平方差公式計算即可得到答案．【規(guī)范解答】解：．故答案為：．【考點評析】本題考查二次根式計算，涉及積的乘方運算的逆運算、平方差公式等知識，熟練掌握相關運算法則及公式是解決問題的關鍵．19．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）已知，則的值為

_____．【答案】##【思路點撥】先利用二次根式有意義求得與的值，然后把與的值代入變形后的代數式求值即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案為：【考點評析】本題考查了代數式的化簡求值，二次根式有意義的條件的應用是解題的關鍵．20．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習）已知y＝＋＋18，求代數式﹣的值為_____．【答案】-【思路點撥】首先由二次根式有意義的條件求得x＝8，則y＝18，然后代入化簡后的代數式求值．【規(guī)范解答】解：由題意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x＝8，則y＝18，∵x＞0，y＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝

＝﹣把x＝8，y＝18代入原式＝﹣＝2﹣3＝-，故答案為：-．【考點評析】本題考查了二次根式有意義的條件和二次根式的化簡求值，解題關鍵是根據二次根式有意義的條件確定x、y的值，能夠熟練的運用二次根式的性質化簡．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第十九中學?？计谀┯嬎悖?1)；(2)【答案】(1)；(2)．【思路點撥】（1）利用完全平方公式展開，再合并同類項即可求解；（2）利用二次根式的性質化簡，然后再進行二次根式的加減運算即可．【規(guī)范解答】（1）解：；（2）解：．【考點評析】

本題主要考查整式的乘法及二次根式的加減運算，熟練掌握整式的乘法及二次根式的加減運算法則是解題的關鍵．22．(本題6分)（2023春·全國·八年級專題練習）已知，，求下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)(2)【思路點撥】（1）先計算，的值，再根據平方差公式因式分解，進而代入求解即可；（2）先計算，的值，再將式子變形，進而求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：，，，，；（2）解：，，，．【考點評析】本題考查了二次根式的混合運算，將代數式變形化簡是解題的關鍵．23．(本題8分)（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀鹃喿x材料】小明在學習二次根式時，發(fā)現一些含根號的式子可以化成另一個式子的平方，如：，；【類比歸納】(1)請你仿照小明的方法將化成另一個式子的平方．

【變式探究】(2)若且a，m，n均為正整數，求a值．【答案】(1)；(2)或10．【思路點撥】（1）將7看成是，則，由此求解即可；（2）根據，，可以得到，，再根據a，m，n均為正整數，則，由此求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：；（2）解：∵，，∴，，∵a，m，n均為正整數，∴，∴或．【考點評析】本題主要考查了二次根式的性質和完全平方公式的使用，解題的關鍵在于能夠準確讀懂題意．24．(本題8分)（2022秋·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）（1）計算：；（2）下面是小文同學進行二次根式混合運算的過程，請認真閱讀，完成相應的任務：解：……第1步………第2步…………第3步．………………第4步

任務：①上述解答過程中，第1步依據的乘法公式為______（用字母表示）；②上述解答過程，從第______步開始出錯，具體的錯誤是______；③計算的正確結果為______．【答案】（1）；（2）①；②三，計算錯誤；③【思路點撥】（1）根據二次根式的加減運算法則進行計算即可；（2）根據平方差公式以及完全平方公式進行解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式；（2）①根據題意第1步依據的乘法公式為完全平方公式，故答案為：；②上述解答過程，從第三步開始出錯，具體的錯誤是計算錯誤，故答案為：三，計算錯誤；③，∴計算的正確結果為，故答案為：．【考點評析】本題考查了二次根式的混合運算以及乘法公式，熟練掌握相關運算法則以及乘法公式的結構特點是解本題的關鍵．25．(本題8分)（2022秋·江西鷹潭·八年級?？计谥校╅喿x下列解題過程，并解答問題．①；

②．(1)直接寫出結果；(2)化簡：；(3)比較大?。号c．【答案】(1)(2)9(3)【思路點撥】（1）根據①中的計算方法，可以求得所求式子的值；（2）根據（1）中的結果，可以將所求式子展開，然后計算即可；（3）根據②中的結果，可以將與變形，從而可以求得與的大小關系．【規(guī)范解答】（1），故答案為：；（2）；（3）∵【考點評析】本題考查平方差公式、分母有理化，解答本題的關鍵是明確二次根式混合運算的運算法則和運算順序，注意平方差公式的應用．

26．(本題8分)（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）已知三個實數：，，．(1)計算：，并在下面的數軸上找出計算結果對應的點（注意保留作圖痕跡）；(2)在算式“”中，□表示“×”、“＋”中的某個運算符號，請通過計算說明當□表示哪種運算符號時，算式的結果較?。敬鸢浮?1)；數軸見詳解；(2)“□”為“×”算式的結果較??；【思路點撥】（1）先化簡二次根式，再將結果表示在數軸上；（2）分別計算當□表示“×”、“＋”時算式的結果，并比較即可．【規(guī)范解答】（1）解：，在數軸上表示該點如下：（2）解：當“□”為“＋”時：，當“□”為“×”時：，∵，故“□”為“×”算式的結果較?。究键c評析】本題考查二次根式的化簡，在數軸上表示無理數，二次根式的加減乘除運算，能夠掌握數形結合思想是解決本題的關鍵．27．(本題8分)（2023春·浙江·八年級專題練習）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：設（其中，，，均為正整數），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當，，．均為正整數時，若，用含，的式子分別表示，，得，；

(2)利用所探索的結論，找一組正整數；，，，填空：；(3)若，且，，均為正整數，求的值．【答案】(1)(2)，(3)a的值