數(shù)學-專項9.16四邊形與動點問題（重難點培優(yōu)30題八下蘇科）-【】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【蘇科版】

【拔尖特訓】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.16四邊形與動點問題大題提升訓練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎過關題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．（2022春·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A即停止；同時點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止．點P、Q的速度都是1cm/s，連接PQ，AQ，CP，設點P、Q運動的時間為t（s）．(1)當t為何值時，四邊形ABQP是矩形？(2)當t為何值時，四邊形AQCP是菱形？(3)分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．【答案】(1)4s(2)3s(3)菱形AQCP的周長是20cm，面積是20cm2【分析】（1）當四邊形ABQP是矩形時，BQ=AP，據(jù)此求得t的值；（2）當四邊形AQCP是菱形時，AQ=AC，列方程求得運動的時間t；（3）菱形的四條邊相等，則菱形的周長等于邊長乘以4，面積等于底乘以高，即可求解．（1）解：設點P、Q運動的時間為t（s），則BQ=t，DP=t，∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=8，∴CD=AB=4，AD=BC=8，∴AP=8-t，當四邊形ABQP是矩形時，BQ=AP，

∴t=8-t，解得：t=4，答：當t=4s時，四邊形ABQP是矩形；（2）解：∵AB=4，BQ=t，∠B=90°，∴AQ=A當四邊形AQCP是菱形時，AP=AQ，∴42解得：t=3，答：當t=3s時，四邊形AQCP是菱形；（3）由（2）可知：當t=3時，BQ=3，∴CQ=BC-BQ=5，∴菱形AQCP的周長為4CQ=4×5=20（cm），菱形AQCP的面積為CQ·AB=5×4=20（cm2）答：菱形AQCP的周長是20cm，面積是20cm2．【點睛】本題考查了菱形、矩形的判定與性質(zhì)，利用結(jié)合方程的思想解題是解題的關鍵．2．（2022春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）已知，如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（20，0），C（0，8），點D是OA的中點，動點P在線段BC上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動．設動點P的運動時間為t秒．(1)當t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？(2)在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)在線段PB上有一點M，且PM=10，當P運動秒時，四邊形OAMP的周長最小,

并在圖②畫出點M的位置．【答案】(1)當t的值為5時，四邊形PODB是平行四邊形；(2)存在，當t=3時，Q（16,8），t=8時，Q（6,8），t=2時，Q（﹣6,8）；(3)2.5【分析】（1）由四邊形OABC為矩形，A（20,0），C（0,8），可知BC=OA=20，AB=OC=8，由點D是OA的中點，可得OD=12OA=10，由運動可知，PC=2t，則BP=BC－PC=20－2t，由于四邊形PODB是平行四邊形，則PB=OD=10，解得t＝5，故當t（2）分三種情況討論①當Q點在P點右邊時，當Q在P左側(cè)，且在BC上時，當Q在P的左側(cè)，且在BC的延長線上時，分別計算即可；（3）由（1）知，OD=10，由于PM=10，則OD=PM，由于BC∥OA，則四邊形OPMD是平行四邊形，則OP=DM，根據(jù)四邊形OAMP的周長為OA+AM+PM+OP=20+AM+10+DM=30+AM+DM，可知AM+DM最小時，四邊形OAMP的周長最小，則作點A關于BC的對稱點E，連接DE交BC于點M，則AB=EB，由BC∥OA，可知BM=12AD=5，進而可知PC=BC－BM（1）解：∵四邊形OABC為矩形，A（20,0），C（0,8），∴BC=OA=20，AB=OC=8，∵點D是OA的中點，∴OD=1由運動知，PC=2t，∴BP=BC－PC=20－2t，∵四邊形PODB是平行四邊形，∴PB=OD=10，解得t＝5，∴當t的值為5時，四邊形PODB是平行四邊形；（2）解：分為三種情況：當Q點在P點右邊時，如下圖，

∵四邊形ODQP是菱形，∴OD=OP=PQ=10，∴在Rt△OPC中，由勾股定理可得：PC=O∴2t=6，解得t=3，∴Q（16,8）；當Q在P左側(cè)，且在BC上時，如圖所示，同理①得PC=16，即2t=6，解得t=8，∴Q（6,8）；當Q在P的左側(cè)，且在BC的延長線上時，如圖，同理①求出QC=6，PC=10-6=4，

即2t=4，解得：t=2，∴Q（﹣6,8），綜上所述，t=3時，Q（16,8），t=8時，Q（6,8），t=2時，Q（﹣6,8）；（3）如下圖所示：由（1）知，OD=10，∵PM=10，∴OD=PM，∵BC∥OA，∴四邊形OPMD是平行四邊形，∴OP=DM，∵四邊形OAMP的周長為OA+AM+PM+OP=20+AM+10+DM=30+AM+DM，∴AM+DM最小時，四邊形OAMP的周長最小，∴作點A關于BC的對稱點E，連接DE交BC于點M，∴AB=EB，∵BC∥OA，∴BM=1∴PC=BC－BM－PM=20－10－5=5，即2t=5，解得：t=2.5，故答案為2.5．【點睛】本題考查平行四邊形的動點問題，菱形的判判定，勾股定理，能夠分析出實際的運動情況是解決本題的關鍵．

3．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達中學校?？计谥校┤鐖D，?ABCD中，∠B=2∠A，動點P、Q、M、N分別從點A、B、C、D同時出發(fā)，沿平行四邊形的邊，分別向點B、C、D、A勻速運動，運動時間記為t，當其中一個點到達終點時，其余各點均停止運動，連接PQ，QM，MN，NP．已知AB=6cm，BC=4.5cm，動點P、M的速度均是2cm/s，動點Q(1)AP=_______cm，CQ=_______cm（用含t的代數(shù)式表示）(2)在點P、Q、M、N的整個運動過程中，四邊形PQMN一定會是一種特殊的四邊形嗎？如果是，指出并證明你的結(jié)論，如果不是，說明理由．(3)在點P、Q、M、N的運動過程中，四邊形PQMN能成為菱形嗎？如果能，求出t的值，如果不能，說明理由．【答案】(1)2t，（4.5-t）(2)四邊形PQMN是平行四邊形，理由見解析(3)四邊形PQMN能成為菱形，t=3【分析】（1）根據(jù)速度×時間求解即可；（2）根據(jù)題意和平行四邊形的性質(zhì)可得AP=CM，BP=DM，BQ=DN，CQ=AN，∠A=∠C，∠B=∠D，證明△APN≌△CMQ和△PBQ≌△MDN得到PN=MQ，PQ=MN，利用平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（3）過P作PE⊥AD于E，PF⊥CB，交CB延長線于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)可求得PQ=PF2+QF2=3(3?t)（1）解：由題意，AP=CM=2tcm，BQ=DN=tcm，則CQ=BC-BQ=(4.5-t)cm，故答案為：2t，（4.5-t）；（2）解：四邊形PQMN是平行四邊形，理由為：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，BC∥AD，∠A=∠C，∠B=∠D，∴AB-AP=CD-CM，BC-BQ=AD-DN，∴BP=DM，CQ=AN，∴△APN≌△CMQ，△PBQ≌△MDN，∴PN=MQ，PQ=MN，∴四邊形PQMN是平行四邊形；（3）解：四邊形PQMN能成為菱形．過P作PE⊥AD于E，PF⊥CB，交CB延長線于F，則∠AEP=∠BFP=90°，∵BC∥AD，∴∠A+∠ABC=180°，又∠ABC=2∠A，∴∠A+2∠A=180°，∴∠A

=60°，∠ABC=120°，∴∠APE=∠BPF=30°，則AE=12AP=tcm，BF=12BP=12（6-2t）=（3-t）cm，∴PE=AP2?AE2=3tcm，PF=BP2?BF2=3(3?t)cm，QF=BF+BQ=3-t+t=3cm，EN=AD-AE-DN=（4.5-2t）cm，∴PQ=PF2+QF2=3(3?t)2+32cm，PN=PE【點睛】本題考查特殊四邊形的動點問題，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，根據(jù)動點的運動的速度和時間表示線段的長度是解答的關鍵．4．（2022春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOCB的點O在坐標原點上，點A在y軸上，AB∥OC，點B的坐標為（15，8），點C的坐標為（21，0），動點M從點A沿AB方向以每秒1個長度單位的速度運動，動點N從C點沿CO的方向以每秒2個長度單位的速度運動．點M、N同時出發(fā)，一點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為t秒．(1)當t＝2時，點M的坐標為，點N的坐標為；(2)當t為何值時，四邊形AONM是矩形？【答案】(1)（2，8），（17，0）(2)7秒【分析】（1）根據(jù)已知點的坐標和移動的速度求得AM和ON的長，然后即可求得點M和點N的坐標；（2）利用矩形的對邊相等得到AM=ON，從而得到有關t的方程，求得t值即可（1）解：∵點B的坐標為（15，8），點C的坐標為（21，0），動點M從點A沿AB

方向以每秒1個長度單位的速度運動，動點N從C點沿CO的方向以每秒2個長度單位的速度運動，當t=2時，AM＝2，CN＝4，∴ON＝21﹣4＝17，∴點M的坐標為：（2，8），點N的坐標為：（17，0）；故答案為：（2，8），（17，0）；（2）當四邊形AONM是矩形時，AM＝ON，所以t＝21﹣2t，解得：t＝7．故t＝7秒時四邊形AONM是矩形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，一元一次方程的應用等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．5．（2022春·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習）如圖，在長方形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從A點出發(fā)沿A-B-C-D移動，且點P的速度是2cm/s，設運動的時間為t秒，若點P與點A、點D連線所圍成的三角形PAD的面積表示為S1．（1）當t=2秒時，求S1=______cm2；（2）當S1=12cm2時，則t=______秒；（3）如圖2，若在點P運動的同時，點Q也從C點同時出發(fā)，沿C-B運動，速度為1cm/s，若點Q與點C、點D連線所圍成的三角形QCD的面積表示為S2，當|S1－S2|=18時，求t的值．

【答案】（1）24；（2）1或11；（3）t的值為2或6或10.8秒．【分析】（1）直接運用直角三角形面積等于兩條直角邊乘積的一半計算即可；（2）分①當點P在AB邊上時，②當點P在CD邊上時，討論即可；（3）分①當點P在AB邊上時，②當點P在BC邊上時，③當點P在CD邊上時，討論S1與S2的大小即可求解．【詳解】解：（1）∵點P從A點出發(fā)沿A-B-C-D移動，且點P的速度是2cm/s，t=2，∴AP=4cm，∵AD=BC=12cm，∴S1=12AP·AD=1（2）當S1=12cm2時，有兩種情況，①當點P在AB邊上時，如下圖：則S1=12AP·AD=1∴t=22②當點P在CD邊上時，如下圖：則S1=12DP·AD=∴CP=CD?DP=4，∴點P運動的路程為AB+BC+CP=22,∴t=22

故：則t=1或11秒；（3）①當點P在AB邊上時，如下圖：S1=12×12×2t=12t，S2=12×6×t=3t，顯然當|S1－S2|=18時，則9t=18,t1=2；②當點P在BC邊上時，如下圖：S1=12×12×6=36，S2=12×6×t=3t，顯然S當|S1－S2|=18時，則36-3t=18，t2=6；③當點P在CD邊上時，如下圖：S1=12×12×24?2t=144?12t，S此時無法判斷S1與S2的大小,當S1－S2=18時，則144-12t-3t=18,t3=8.4（舍去）當S2－S1=18時，則3t-（144-12t）=18,t4=10.8

答：t的值為2或6或10.8秒．【點睛】本題是三角形綜合題，考查矩形的性質(zhì)，三角形面積，絕對值的性質(zhì)等知識，解題關鍵是運用分類討論的思想．6．（2021秋·江蘇常州·八年級常州實驗初中校考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC＝20cm，BC＝15cm，點E為AB的中點．如果點P在線段BC上以5cm/秒的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CD上由點C向點D運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPE與△CQP是否全等，請說明理由．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，且P、Q兩點仍然同時出發(fā)，當點Q的運動速度為多少時，△BPE與△CQP全等？【答案】（1）全等，理由見解析；（2）203厘米/【分析】（1）速度相等，運動的時間相等，所以距離相等，根據(jù)全等三角形的判定定理可證明．（2）因為運動時間一樣，運動速度不相等，所以BP≠CQ，只有BP＝CP時才全等，根據(jù)此可求解．【詳解】解：（1）全等；∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝5×1＝5厘米，∵矩形ABCD中，AB＝DC＝20cm，BC＝15cm，點E為AB的中點．∴PC＝BE＝10厘米，又∵∠B＝∠C，∴△BPE≌△CQP（2）∵點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CPQ，∠B＝∠C，則BP＝PC，QC＝BE＝10，而BP＝5t，CP＝15﹣5t，∴5t＝15﹣5t

∴點P，點Q運動的時間t=3∴1032=203（點Q的運動速度為203厘米/秒時，△BPE與△CQP【點睛】本題考查矩形的動點問題，解題關鍵是利用速度和運動時間表示線段長，關鍵全等三角形的條件列方程．7．（2021春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，點P是直線BC上一個動點，連接AP，作DQ⊥AP于點Q．（1）AP?DQ＝；（2）以AP、AD為鄰邊作平行四邊形APMD，當平行四邊形APMD是菱形時，求PQ的長；（3）連接DP，以AP、DP為鄰邊作平行四邊形APDN，當對角線PN取得最小值時，求DQ的長．【答案】（1）2；（2）2﹣3；（3）2【分析】（1）利用面積法求解即可．（2）利用（1）中結(jié)論求出DQ，再利用勾股定理求出AQ，可得結(jié)論．（3）根據(jù)四邊形APDN是平行四邊形，推出AM＝DM，PM＝MN，可得PN＝2PM，根據(jù)垂線段最短可知，當PM⊥AD時，PN的值最?。驹斀狻拷猓海?）如圖1中，連接DP．∵S△APD＝12S矩形ABCD＝12×1×2＝1，DQ⊥

∴12?AP?DQ∴AP?DQ＝2．故答案為：2．（2）如圖2中，∵四邊形APMD是菱形，∴AP＝AD＝BC＝2，∵AP?DQ＝2，∴DQ＝1，在Rt△ADQ中，AQ＝AD∴PQ＝AP－AQ＝2﹣3．（3）如圖3中，設PN交AD于M．∵四邊形APDN是平行四邊形，∴AM＝DM，PM＝MN，∴PN＝2PM，根據(jù)垂線段最短可知，當PM⊥AD時，PN的值最小，此時PB＝PC＝1，∴PA＝AB∵DQ?AP＝2，∴DQ＝22＝2

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用面積法解決問題和利用垂線段最短解決問題．8．（2021春·江蘇蘇州·八年級常熟市第一中學校考階段練習）在四邊形ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，AD=6cm，BC=10cm，點E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運動，點F從點B（1）t取何值時，四邊形EFCD為矩形？（2）M是BC上一點，且BM=4，t取何值時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？【答案】（1）t＝4（2）t＝4或4【分析】（1）當DE＝CF時，四邊形EFCD為矩形，列出方程即可解決問題；（2）分兩種情形列出方程即可解決問題；【詳解】解：（1）當DE＝CF時，四邊形EFCD為矩形，則有6?t＝10?2t，解得t＝4，答：t＝4s時，四邊形EFCD為矩形．（2）①當點F在線段BM上，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝4?2t，解得t＝43②當F在線段CM上，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝2t?4，解得t＝4，綜上所述，t＝4或43s時，以A、M、E、F【點睛】本題考查矩形判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．9．（2021春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，AD//BC，∠BAD＝90°，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，與射線AD相交于點E，連接BE，過C作CF⊥BE于點F．

（1）線段BF與圖中哪條線段相等？寫出來并加以證明：（2）若AB＝8，BC＝10，P從E沿直線ED方向運動，Q從C出發(fā)沿直線CB方向運動，兩點同時出發(fā)且速度均為每秒1個單位．①求出當t為何值時，四邊形EPCQ是矩形；②求出當t為何值時，四邊形EPCQ是菱形．【答案】（1）BF＝EA（2）①t＝4②t＝10【分析】（1）通過證明△BCF≌△EBA可判斷BF＝EA；（2）EP＝t，CQ＝t，先求出AE＝6，再判斷四邊形EPCQ為平行四邊形，①當CP⊥AD可判斷平行四邊形EPCQ為矩形，從而得到6＋t＝10；②作CH⊥AD于H，如圖，當CD＝CQ＝ED＝t可判斷平行四邊形EPCQ為菱形，則利用勾股定理得到82＋（t?4）2＝t2，然后分別解關于t的方程即可．【詳解】解：（1）BF＝AE．理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AEB，在△BCF和△EBA，∠BFC=∠A∠CBF=∠AEB∴△BCF≌△EBA，∴BF＝EA；（2）EP＝t，CQ＝t，在Rt△ABE中，AB＝8，BC＝10，∴BE=10，AE＝BE∵EP＝CQ，EP∥CQ，

∴四邊形EPCQ為平行四邊形，①當CP⊥AD時，∠CPE＝90°，則平行四邊形EPCQ為矩形，此時AP＝BC＝10，即6＋t＝10，解得t＝4，即當t＝4時，四邊形EPCQ是矩形；②作CH⊥AD于H，如圖，當CP＝CQ＝EP＝t時，平行四邊形EPCQ為菱形，而HP＝t＋6?10＝t?4，在Rt△HPC中，82＋（t?4）2＝t2，解得t＝10，即當t＝10，四邊形EPCQ是菱形．【點睛】本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了矩形和菱形的判定．10．（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A10,0，C0,4，點D是線段OA的中點，點P在線段BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點（1）當t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？（2）在直線BC上是否存在一點Q，使得點O、點D、點P、點Q構成菱形，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）5；（2）存在，3s或8s或2s【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)就可以知道PB=5，可以求出PC=5，從而可以求出t的值．

（2）要使ODQP為菱形，可以得出PO=5，分三種情形討論即可．【詳解】解：（1）∵四邊形PODB是平行四邊形，∴PB=OD=5，∴PC=5，∴t=5；（2）∵點O、點D、點P、點Q構成菱形，當P，Q在線段CB上時，若點Q在點P左側(cè)，∴OD=OQ=PQ=5，∴CQ=OQ∴CP=8，此時t=8；同理，若點Q在點P右側(cè)，CQ=8，CP=3，此時t=3；當Q點在P的左邊且在BC的延長線上時，同理：CQ=3，∴CP=2，此時t=2，綜上所述，t=3s或8s或2s時，滿足條件．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運用．11．（2020·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，四邊形ABCD是菱形，AD=5，過點D作AB的垂線DH

，垂足為H，交對角線AC于M，連接BM，且AH=3．（1）求DM的長；（2）如圖2，動點P從點A出發(fā),沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S(S≠0)，點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關系式；（3）在（2）的條件下，當點P在邊AB上運動時，是否存在這樣的t的值，使∠MPB與∠BCD互為余角?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）MD=52；（2）S與t的關系式為：S=?【分析】（1）過點M作ME⊥AD于點E，則有AH=AE，MH=ME，進而可得DH=4，設MH=ME=x，則MD=4-x，然后利用勾股定理可求解；（2）由題意易得AC平分∠BAD，CD=CB=AB=AD=5，則有MD=BM，∠CDM=∠CBM=90°，由（1）可得：BM=MD=52,MH=32（3）由題意易得∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，∠DAM=∠BAM，易證∠ADM=∠ABM，進而可得△PMB是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及線段的等量關系可求解．【詳解】解：（1）過點M作ME⊥AD于點E，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，

∵DH⊥AB，AD=5，AH=3，∴DH=A∵AM=AM，∴Rt△AMH≌Rt△AME（HL），∴AH=AE=3，∴ED=2，設MH=ME=x，則MD=4-x，∴在Rt△MED中，ME即x2+2∴MD=5（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，CD=CB=AB=AD=5，∴∠DCM=∠BCM，∵CM=CM，∴△CDM≌△CBM（SAS），∴MD=BM，∠CDM=∠CBM=90°，由（1）可得：BM=MD=5由題可得點P的運動路程為2t，①當點P在AB之間時，0<t<5∴BP=5?2t，∴S△PMB②當點P在BC之間時，52

∴BP=2t?5，S△PMB綜上：S與t的關系式為：S=?（3）存在，理由如下：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，DH⊥AB，∴∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，∠DAM=∠BAM，∴∠ADM+∠BCD=90°，∵∠MPB+∠BCD=90°，∴∠MPB=∠ADM，∵AM=AM，AB=AD，∴△ADM≌△ABM（SAS），∴∠ADM=∠ABM，∴∠MPB=∠ABM，∴MP=MB，∴△PMB是等腰三角形，∴BP=2BH=2PH，∵AH=3，AB=AD=5，

∴BH=2，∴PB=2BH=4，∴AP=1，∴t=AP∴當t=1【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．12．（2021秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖1，在長方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點C運動（點P運動到點（1）PC=_____________cm．（用含t的式子表示）（2）當t為何值時，△ABP≌△DCP？（3）如圖2，當點P從點B開始運動，同時，點Q從點C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD向點D運動（點Q運動到點D處時停止運動，P,Q兩點中有一點停止運動后另一點也停止運動），是否存在這樣的υ值使得△ABP與△PQC【答案】（1）10?2t；（2）t=2.5；（3）存在，v=2.4或2【分析】（1）由路程=速度×時間，解得BP=2t，再由（2）由全等三角形對應邊相等的性質(zhì)得BP=PC，即2t=10?2t，據(jù)此解題；（3）分兩種情況討論，當BP=CQ,AB=PC時或當BA=CQ,PB=PC時，△ABP與△PQC全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，分別計算求出t的值即可解得v的值．【詳解】解：（1）由題意得，BP=2∴PC=BC?BP=10?2t，故答案為：10?2t；（2）若△ABP≌△DCP

則BP=PC∴2t=10?2t即4t=10∴t=2.5∴當t=2.5時，△ABP≌△DCP；（3）存在，理由如下：當BP=CQ,AB=PC時，△ABP?△PCQ∵AB=6∴PC=6∴BP=10?6=4∴2t=4∴t=2∵CQ=BP=42v=4∴v=2；當BA=CQ,PB=PC時，△ABP?△QCP∵PB=PC∴BP=PC=∴∴t=2.5∵CQ=BP=6∴2.5v=6∴v=2.4綜上所述，當v=2.4或2時，△ABP與△PQC【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．13．（2020秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，長方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E為CD邊上一點，CE＝6．

（1）求AE的長．（2）點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著邊BA向終點A運動，連接PE．設點P運動的時間為t秒，①則當t為何值時，△PAE為等腰三角形？②當t為何值時，△PAE為直角三角形，直接寫出答案．【答案】（1）AE＝5；（2）①t值為3或4或296；②當t為6或2【分析】（1）由長方體ABCD中，CD=9，CE=6，可以求出DE的長，又由AD=4，在△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的長；（2）①根據(jù)若△PAE為等腰三角形，分三種情況討論：當EP=EA時，當AP=AE時，當PE=PA時；②需要分情況討論：AE為斜邊和AP為斜邊兩種情況下的直角三角形，從而分別去計算t的值；【詳解】（1）在長方形ABCD中，∠D＝90°，CD＝AB＝9，在Rt△ADE中，DE＝9－6＝3，AD＝4，∴AE＝5，（2）①若△PAE為等腰三角形，則有三種可能．當EP＝EA時，AP＝6，∴t＝BP＝3，當AP＝AE時，則9－t＝5，∴t＝4，當PE＝PA時，則(6?t)2+4綜上所述，符合要求的t值為3或4或296②若∠EPA=90°，t=6，若∠PEA=90°時，由（1）可知AE＝5，如圖所示，做PF⊥CD交CD于點F，∴PE∴AP可得：(6?t)2解得t=23

綜上所述，符合要求的t值為23【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識點，要注意分類討論，以防遺漏．14．（2020秋·江蘇揚州·八年級?？计谥校┰谛W，我們已經(jīng)初步了解到，長方形的對邊平行且相等，每個角都是90°．如圖，長方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E為邊AD上一動點，從點D出發(fā)，以1cm/s向終點A運動，同時動點P從點B出發(fā)，以acm/s向終點C運動，運動的時間為ts．（1）當t=3時，①線段CE的長為______；②當EP平分∠AEC時，求a的值；（2）若a=1，且△CEP是以CE為腰的等腰三角形，求t的值．【答案】（1）①5，②43；（2）3或【分析】（1）先得出BP＝3a，DE＝t＝3，進而CP＝BC?BP＝9?3a，①在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得到CE的長度，②先判斷出∠CPE＝∠CEP，得出CP＝CE，進而建立方程即可得出結(jié)論；（2）先得出DE＝t，BP＝t，CP＝9?t，再分兩種情況①CE＝CP，②CE＝PE，建立方程即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，∴AD//BC，BC=AD=9，當t=3時，由運動知，BP=at=3a，DE=t=3，

∴CP=BC?BP=9?3a①在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，CE=故填：5；②∵AD//∴∠AEP=∠CPE，∵EP平分∠AEC，∴∠AEP=∠CEP，∴∠CPE=∠CEP，∴CP=CE=5，9?3a=5，∴a=4（2）當a=1時，由運動知，DE=t，BP=t，∴CP=9?t，在Rt△CDE中，CE=∵△CEP是以CE為腰的等腰三角形，∴①CE=CP，∴16+t∴t=②CE=PE，∴1∴9?t=2t，∴t=3，即：t的值為3或6518【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了長方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解（1）的關鍵是判斷出CE＝CP，解（2）的關鍵是分兩種情況討論．15．（2020秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在長方形ABCD中，AD=3cm，AB=7cm，E為邊AB上任一點（不與A、B重合），從點B出發(fā)，以1cm/s向終點A運動，同時動點F從點D出發(fā)，以xcm/s向終點C運動，運動的時間為ts．（注：長方形的對邊平行且相等，每個角都是90°）

（1）若t=4，則CE=；（2）若x=2，當t為何值時點E在CF的垂直平分線上；（3）連接BF，直接寫出點C與點E關于BF對稱時x與t的值．【答案】（1）CE=5cm；（2）t=74；（3）t=3，x=【分析】（1）根據(jù)勾股定理計算即可；（2）過點E作EH⊥CD垂足為點H，得到四邊形BEHC是長方形，在根據(jù)條件計算即可；（3）點C與點E關于BF對稱時，即CE⊥BF，CN=EN，即四邊形BCFE為正方形，即可得到結(jié)果；【詳解】解：（1）t=4時，BE=4cm，∴CE=B∴CE=5cm；(2)過點E作EH⊥CD垂足為點H，∵點E在CF的垂直平分線上，∴CH=FH=12由題意知：四邊形BEHC是長方形，∴CH=BE=t，DF=2t，∴CF=7-2t∴t=12則t=74（3）點C與點E關于BF對稱時，即CE⊥BF，CN=EN，即四邊形BCFE為正方形，

∴t=3，xt=4，∴t=3，x=43【點睛】本題主要考查了四邊形綜合題，結(jié)合勾股定理進行計算是解題的關鍵．16．（2020春·江蘇·八年級?？茧A段練習）如圖，在?ABCD中，AB＝13，BC＝50，BC邊上的高為12．點P從點B出發(fā)，沿B﹣A﹣D﹣A運動，沿B﹣A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A﹣D﹣A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點B出發(fā)沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．連結(jié)PQ．（1）當t＝5時，AP＝________．（2）當點P沿A﹣D﹣A運動時，求AP的長（用含t的代數(shù)式表示）．（3）連結(jié)AQ，在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關系式．（4）設點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．【答案】（1）32；（2）AP的長為8t﹣8或108﹣8t；（3）S＝{?30t2+30t(0<t≤1)48t?48(1<t≤【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）分情況討論，當點P沿A﹣D運動時，當點P沿D﹣A運動時分別可以表示出AP的值；（3）分類討論，當0＜t＜1時，當1＜t＜294

（4）分情況討論當P在A﹣D之間或D﹣A之間時，如圖③，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以知道四邊形QCOC′為菱形，根據(jù)其性質(zhì)建立方程求出其解，當P在D﹣A之間如圖⑥，根據(jù)菱形的性質(zhì)建立方程求出其解即可．【詳解】解：（1）由題意得AP＝8×（5-1）=32，故答案為：32；（2）當點P沿A﹣D運動時，AP＝8（t﹣1）＝8t﹣8，當點P沿D﹣A運動時，AP＝50×2﹣8（t﹣1）＝108﹣8t；綜上所述，AP的長為8t﹣8或108﹣8t；（3）當點P與點A重合時，BP＝AB，t＝1．當點P與點D重合時，AP＝AD，8t﹣8＝50，t＝294當0＜t≤1時，如圖①．過點Q作QE⊥AB于點E．S△ABQ＝12AB?QE＝1∴QE＝12BQAB＝12×5t13＝∴S＝﹣30t2+30t．當1＜t≤294S＝12AP×12＝1∴S＝48t﹣48；綜上所述，S與t之間的函數(shù)關系式為S＝{?30（4）如圖③，當P在A﹣D之間或D﹣A之間時，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，∴∠C′OQ＝∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ＝∠COQ，∴∠CQO＝∠COQ，∴QC＝OC，∴50﹣5t＝50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t＝8（t﹣1）﹣50+13，解得：t＝7或t＝9513

當P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖④．同理由菱形的性質(zhì)可以得出：OD＝PD，∴50﹣5t+13＝8（t﹣1）﹣50，解得：t＝12113∴當t＝7，t＝9513，t＝121

【點睛】本題主要考查了四邊形綜合，準確計算是解題的關鍵．17．（2022春·江蘇無錫·八年級宜興市樹人中學?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(﹣6，0)，點B在y軸正半軸上，∠ABO＝30°，動點D從點A出發(fā)沿著射線AB方向以每秒3個單位的速度運動，過點D作DE⊥y軸，交y軸于點E，同時，動點F從定點C(1，0)出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，連結(jié)DO，EF，設運動時間為t秒．（1）當點D運動到線段AB的中點時．①t的值為；②判斷四邊形DOFE是否是平行四邊形，請說明理由．（2）點D在運動過程中，若以點D，O，F(xiàn)，E為頂點的四邊形是矩形，求出滿足條件的t的值．【答案】（1）①2s，②是平行四邊形，見解析；（2）14秒

【分析】（1）①由直角三角形的性質(zhì)得出AB＝2OA＝12，由題意得出BD＝AD＝12②求出OF＝OC+CF＝3，由三角形中位線定理DE＝12（2）要使以點D，O，F(xiàn)，E為頂點的四邊形是矩形，則點D在射線AB上，求出BD＝3t﹣12，由直角三角形的性質(zhì)得出DE＝12BD＝3【詳解】解：（1）如圖1，①∵點A的坐標為（﹣6，0），∴OA＝6，Rt△ABO中，∠ABO＝30°，∴AB＝2AO＝12，由題意得：AD＝3t，當點D運動到線段AB的中點時，3t＝6，∴t＝2，故答案為：2s；②四邊形DOFE是平行四邊形，理由是：∵DE⊥y軸，AO⊥y軸，∴DE∥AO，∵AD＝BD，∴BE＝OE，∴DE＝12∵動點F從定點C（1，0）出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，且t＝2，

∴OF＝1+2＝3＝DE，∴四邊形DOFE是平行四邊形；（2）要使以點D，O，F(xiàn)，E為頂點的四邊形是矩形，則點D在射線AB上，如圖2所示：∵AD＝3t，AB＝12，∴BD＝3t﹣12，在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，∴DE＝12BD＝12（3t﹣12）＝則32解得：t＝14，即以點D，O，F(xiàn)，E為頂點的四邊形是矩形時，t的值為14秒．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；本題難度適中，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．18．（2020春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E為BC延長線上一點，且BD＝BE，連接DE，Q為DE的中點，有一動點P從B點出發(fā)，沿BC以每秒1個單位的速度向E點運動，運動時間為t秒．（1）如圖1，連接DP、PQ，則S△DPQ＝（用含t的式子表示）；（2）如圖2，M、N分別為AD、AB的中點，當t為何值時，四邊形MNPQ為平行四邊形？請說明理由；（3）如圖3，連接CQ，AQ，試判斷AQ、CQ的位置關系并加以證明．

【答案】（1）154?34t；（2）當t＝52時，四邊形【分析】（1）由勾股定理可求BD＝5，由三角形的面積公式和S△DPQ＝12（S△BED﹣S△BDP（2）當t＝52時，可得BP＝52＝12BE，由中位線定理可得MN∥BD，MN＝12BD＝5，PQ∥BD，PQ＝12BD＝5，可得MN∥PQ（3）連接BQ，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AQD+∠BQA＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得DQ＝CQ，∠DCQ＝∠CDQ，由“SAS”可證△ADQ≌△BCQ，可得∠AQD＝∠BQC，即可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，∴BC＝4，CD＝3，∴BD＝BC∴BD＝BE＝5，∵Q為DE的中點，∴S△DPQ＝12S△DPE∴S△DPQ＝12（S△BED﹣S△BDP）＝121故答案為：154（2）當t＝52時，四邊形MNQP理由如下：∵M、N分別為AB、AD的中點，∴MN∥BD，MN＝12BD＝5∵t＝52∴BP＝52＝12BE，且點Q是

∴PQ∥BD，PQ＝12BD＝5∴MN∥PQ，MN＝PQ，∴四邊形MNQP是平行四邊形．（3）AQ⊥CQ．理由如下：如圖，連接BQ，∵BD＝BE，點Q是DE中點，∴BQ⊥DE，∴∠AQD+∠BQA＝90°，∵在Rt△DCE中，點Q是DE中點，∴DQ＝CQ，∴∠DCQ＝∠CDQ，且∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADQ＝∠BCQ，且BC＝AD，DQ＝CQ，∴△ADQ≌△BCQ（SAS），∴∠AQD＝∠BQC，且∠AQD+∠BQA＝90°，∴∠BQC+∠BQA＝90°，∴∠AQC＝90°，∴AQ⊥CQ．【點睛】本題考查平行四邊形中的動點問題,關鍵在于熟練掌握矩形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定.19．（2019春·江蘇連云港·八年級階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設點P

（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形；（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．【答案】（1）t=8s；（2）t=6s；（3）40cm，80cm2【分析】（1）根據(jù)題中已知，當四邊形ABQP是矩形時，AP=BQ，據(jù)此列出t的方程，解之即可；（2）易證四邊形AQCP是平行四邊形，當AQ=CQ時，四邊形AQCP是菱形，在Rt△ABQ中利用勾股定理列t的方程，解之即可；（3）由（2）求得CQ，根據(jù)菱形的周長和面積公式即可求解．【詳解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=8cm，∴BC=AD=16cm，由已知可得，BQ=DP=tcm，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD//BC當BQ=AP時，四邊形ABQP為矩形∴t=16?t，得t=8故當t=8s時，四邊形ABQP（2）∵AP=CQ，AP//CQ∴四邊形AQCP為平行四邊形∴當AQ=CQ時，四邊形AQCP為菱形即82+t2故當t=6s時，四邊形AQCP（3）當t=6s時，則周長為4×10=40(cm)【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，解答的關鍵是認真審題，找到點運動過程中滿足結(jié)論的等價條件，進而推理、計算．20．（2020春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標系xOy中，點O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動．（1）直接寫出坐標：D（，）；

（2）當四邊形PODB是平行四邊形時，求t的值；（3）在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點Q，使得以O、P、D、Q為頂點四邊形為菱形，若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）5，0；（2）t＝5；（3）滿足條件的點Q的坐標為：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．【分析】（1）根據(jù)中點的定義求出OD的長即可解決問題；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)求出PC＝5即可解決問題；（3）分四種情形：當P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5時，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵A（10，0），OD＝DA，∴OA＝10，OD＝DA＝5，∴D（5，0）．故答案為5，0．（2）∵四邊形PODB是平行四邊形，∴PB＝OD＝5，∴PC＝5，∴t＝5．（3）當P1O＝OD＝5時，由勾股定理可以求得P1C＝3，可得Q1（8，4）當P2O＝P2D時，作P2E⊥OA，∴OE＝ED＝2.5，可得Q2（2.5，﹣4），當P3D＝OD＝5時，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，∴P3C＝2，可得Q3（﹣3，4），當P4D＝OD＝5時，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG＝3，∴OG＝8，可得Q4（3，4），

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為：（8，4）、（﹣3，4）、（3，4）、（2.5，﹣4）．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運用．解決本題的關鍵是熟練掌握平行四邊形和菱形的判定方法．21．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級丹陽市第八中學?？茧A段練習）如圖所示，菱形ABCD的頂點A,B在x軸上，點A在點B的左側(cè)，點D在y軸的正半軸上.點C的坐標為(4,23).動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為(1)①點B的坐標.②求菱形ABCD的面積.(2)當t=3時，問線段AC上是否存在點E，使得PE+DE最小，如果存在，求出PE+DE最小值;如果不存在，請說明理由.(3)若點P到AC的距離是1，則點P運動的時間t等于.

【答案】（1）①（2,0）②83

（2）存在；13

（3）【分析】（1）①過點C作CF⊥AB，根據(jù)點C的坐標求出BF的長度，便可求出C的坐標．②根據(jù)已知，得到∴CD=4,CF=23，AB=CD（2）作點P關于AC的對稱點為點P'，AP'=3，則有PE+DE=P'E+DE=P'D便可找到最小值了．（3）分四種情況進行討論即可．【詳解】解：1①2,0

②過點C作CF⊥AB垂足為F∵點C的坐標為4,2∴CD=4,CF=2在菱形ABCD中，AB=CDS2如圖所示:當t=3時，AP=3在菱形ABCD中，點P關于AC的對稱點為點P'，AP'=3連結(jié)DP交AC于點E.連接PE.PE+DE=P'E+DE=P'D由1易得A∴OP'=1在RtΔDOP'中O∴P'D=∴PE+DE最小值為13（3）分四種情況討論：

第一種，如圖2所示∠PAE=30°,PE=1∴AP=2∴t=2第二種如圖3所示∠PCE=30°,PE=1∴CP=2∴AD+DP=6∴t=6第三種情況如圖4所示同理可以得到PC=2∴AD+DC+CP=10∴t=10

第四種情況如圖5所示同理可以得到AP=2∴AD+DC+CB+BP=14∴t=14綜上所述，滿足條件的為：2s,6s,10s,14s【點睛】本題屬于幾何坐標系與幾何圖形的綜合，結(jié)合動點進行考查，難度一般。做題時，認真分析，細心應對．22．（2020春·江蘇揚州·八年級校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若E，F(xiàn)是AC上兩動點，分別從A，C兩點以相同的速度向C、A運動，其速度為1cm／s．（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是平行四邊形嗎?說明理由；（2）若BD=8cm，AC=12cm，當運動時間t為何值時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形?【答案】（1）四邊形DEBF是平行四邊形，見解析；（2）t=2或10，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形．【分析】（1）判斷四邊形DEBF是否為平行四邊形，需證明其對角線是否互相平分；已知了四邊形ABCD是平行四邊形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可證得BD、EF互相平分，即四邊形DEBF是平行四邊形；（2）若以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形，則必有BD=EF，可據(jù)此求出時間t的值．注意分點E在線段OA上和在線段OC上分類討論.【詳解】解:（1）∵點E、F的速度均為1cm/s∴AE=FC∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AO=OC，DO=BO∴EO=FO∴四邊形DEBF是平行四邊形（2）∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴當BD=EF時，四邊形DEBF是矩形；∵BD=8cm，∴EF=8cm；∴OE=OF=4cm；∵AC=12cm；∴OA=OC=6cm；當E(或F)在線段OA(或OC)上時，AE=2cm當E(或F)在線段OC(或OA)上時，AE=10cm；由于動點的速度都是1cm/s，所以t=2（s）或t=10（s）；故當運動時間t=2s或10s時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，是解答此題的關鍵．23．（2021春·江蘇蘇州·八年級常熟市第一中學?？茧A段練習）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為xcm/s．當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設點E，F(xiàn)，G運動的時間為t（單位：s）．（1）當t＝s時，四邊形EBFB'為正方形；（2）當x為何值時，以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形可能全等？（3）是否存在實數(shù)t，使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）2.5；（2）3或4；（3）不存在，理由見解析【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）分兩種情況討論，①△EBF≌△FCG，②△EBF≌△GCF，分別根據(jù)對應邊相等列等式計算即可；（3）本問為存在型問題．假設存在，則可以分別求出在同一條件下的t值，但它們互相矛盾，所以不存在．【詳解】解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，BE=10-t，BF=3t，即：10-t=3t，解得t=2.5；（2）分兩種情況討論：①△EBF≌△FCG，則EB=FC，BF=CG，∴10?t=12?3t3t=xt解得：t=1x=3②當△EBF≌△GCF時，則EB=GC，BF=FC，∴10?t=xt3t=12?3t解得：t=2x=4綜上，當x=3或4時，以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形可能全等；（3）假設存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合．如圖，過點O作OM⊥BC于點M，ON⊥AB于點N，

則在Rt△OFM中OF=BF=3t，F(xiàn)M=12BC?BF=6?3t∴OM即52解得：t=在Rt△OEN中，OE=BE=10?t，EN=BE?BN=10?t?5=5?t，ON=6，∴ON即62解得：t=39∵6136∴假設不成立，即不存在實數(shù)t，使得點B'與點O重合．【點睛】本題為運動型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對稱、全等三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識點．注意分類討論，避免漏解，利用假設法，然后通過推導出互相矛盾的結(jié)論，從而判定不存在是解此題的關鍵．24．（2020秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，長方形OABC的頂點A,B的坐標分別為A6,0，B6,4，D是BC的中點，動點P從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿著O→A→B→D運動，設點P運動的時間為t秒（（1）點D的坐標是______；

（2）當點P在AB上運動時，點P的坐標是______（用t表示）；（3）求△POD的面積S與t之間的函數(shù)表達式，并寫出對應自變量t的取值范圍.【答案】（1）（3,4）；（2）（6，t－6）（3）S=【分析】（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)和A、B的坐標，即可求出OA=BC=6，OC=AB=4，再根據(jù)中點的定義即可求出點D的坐標；（2）畫出圖形，易知：點P的橫坐標為6，然后根據(jù)路程＝速度×時間，即可求出點P的運動路程，從而求出AP的長，即可得出點P的坐標；（3）分別求出點P到達A、B、D三點所需時間，然后根據(jù)點P運動到OA、AB、BD分類討論，并寫出t對應的取值范圍，然后畫出圖形，利用面積公式即可求出各種情況下S與t之間的函數(shù)表達式．【詳解】解：（1）∵長方形OABC的頂點A,B的坐標分別為A6,0，B∴OA=BC=6，OC=AB=4，BA⊥x軸，BC⊥y軸∵D是BC的中點，∴CD=BD=12∴點D的坐標為（3,4）故答案為：（3,4）；（2）當點P在AB上運動時，如下圖所示易知：點P的橫坐標為6，∵動點P從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，時間為t∴點P運動的路程OA＋AP=t∴AP=t－6∴點P的坐標為（6，t－6）故答案為：（6，t－6）；（3）根據(jù)點P的速度可知：點P到達A點所需時間為OA÷1=6s

點P到達B點所需時間為（OA+AB）÷1=10s點P到達D點所需時間為（OA+AB+BD）÷1=13s①當點P在OA上運動時，此時0<t≤6，過點D作DE⊥x軸于E∴DE=4∵動點P從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，∴OP=t∴S=1②當點P在AB上運動時，此時6<t≤10，由（2）知AP=t－6∴BP=AB－AP=10－t∴S==OA?AB?=6×4?=?3③當點P在BD上運動時，此時10<t<13，

∵動點P從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，時間為t∴點P運動的路程OA＋AB＋BP=t∴BP=t－OA－AB=t－10∴DP=BD－BP=13－tS==1=26?2t綜上所述：S=【點睛】此題考查的是平面直角坐標系與長方形中的動點問題，掌握行程問題公式：路程＝速度×時間、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和分類討論的數(shù)學思想是解決此題的關鍵．25．（2019秋·江蘇常州·八年級校聯(lián)考期中）綜合探究題在之前的學習中，我們已經(jīng)初步了解到，長方形的對邊平行且相等，每個角都是90°.如圖，長方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E為邊AD上一動點，從點D出發(fā)，以1cm/s向終點A運動，同時動點P從點B出發(fā)，以a?cm/s向終點C運動，運動的時間為（1）當t=3時，①則線段CE的長=______；②當EP平分∠AEC時，求a的值；（2）若a=1，且ΔCEP是以CE為腰的等腰三角形，求t的值；（3）連接DP，直接寫出點C與點E關于DP對稱時a與t的值.

【答案】(1)①5cm②43(2)3或6518(3)【分析】(1)①先得出BP=at=3a，DE=t=3，CP=BC?BP=9?3a，在RtΔCDE中，根據(jù)勾股定理得，CE=5；

②當EP平分∠AEC時，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：點P到EC的距離等于點P到AD距離，求出BC上的高等于4，根據(jù)面積可以求出a的值;(2)先得出DE=t，BP=t，CP=9?t，再分兩種情況①CE=CP，②CE=PE，建立方程即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出DE=CD，PE=PC，進而求出t=t，再構造出直角三角形，得出PE【詳解】解：(1)①∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC,BC=AD=9,CD=AB=4.當t=3時，由運動知，BP=at=3a,DE=t=3，∴CP=BC?BP=9?3a,在RtΔCDE中，根據(jù)勾股定理得，CE=3②當EP平分∠AEC時，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：點P到EC的距離等于點P到AD距離，即：SΔPCE∵EC=5,∴PC=5,則PB=BC?PC=9?5=4,∵PB=at=3a,∴3a=4,a=4故a=4(2)當a=1時，由運動知，DE=t,BP=t，∴CP=9?t，在RtΔCDE中，CE=16+∵ΔCEP是以CE為腰的等腰三角形，∴①CE=CP，∴16+t∴t=65

②CE=PE，∴1∴9?t=2t，∴t=3.即：t的值為3或6518(3)如圖，由運動知，BP=at,?∴CP=BC?BP=9?at，∵點C與點E關于DP對稱，∴DE=CD,PE=PC,∴t=4.∴BP=4a,過點P作PF⊥AD于F，∴四邊形CDFP是長方形，∴PF=CD=4,DF=CP，在RtΔPEF中，PF=4,根據(jù)勾股定理得，PE∴(5?4a)∴a=5【點睛】本題主要考查四邊形中動點問題，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵.26．（2019春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，平行四邊形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，點P與點Q是平行四邊形ABCD邊上的動點，點P以每秒1個單位長度的速度，從點C運動到點D，點Q

以每秒2個單位長度的速度從點A→點B→點C運動.當其中一個點到達終點時，另一個隨之停止運動.點P與點Q同時出發(fā)，設運動時間為t，ΔCPQ的面積為S.(1)求S關于t的函數(shù)關系式；(2)t為何值時，將ΔCPQ以它的一邊為軸翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形.【答案】（1）①當0<t≤2時，S=23t；②當2<t≤4時，S=?32t2+33t【分析】（1）當0＜t≤2時，如圖1，過點B作BE⊥CD，交DC的延長線于點E，根據(jù)三角形面積公式求得S關于t的函數(shù)關系式，當2＜t≤4時，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，過點P作PF⊥BC，交BC的延長線于F點，由三角形面積公式求得S關于t的函數(shù)關系式，（2）要使翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形，則△CPQ為等腰三角形，則要CQ=CP，看看t是否存在．【詳解】(1)①當0<t≤2時，如圖1，過點B作BE⊥DC，交DC的延長線于點E，∴∠BED=90°,即∠BCE+∠CBE=90°,∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,∴∠BCE=∠D=60°，∠CBE=30°∴CE=12BC=4∵CP=t，∴S=1②當2<t≤4時，由題意得：CP=t,BQ=2t?4，CQ=8?2t?4如圖2，過點P作PF⊥BC，交BC的延長線于點F,∴∠F=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC,∴∠DCF=∠D=∠B=60°，∵∠F=90°，∴∠CPF=30°,

∴CF=12CP=∴S=1即S=?3∴S=23(2)當0<t≤2時，ΔCPQ不是等腰三角形，所以不存在符合條件的菱形.當2<t≤4時，令CQ=CP，即t=12?2t，解得t=4∴當t=4時，ΔCPQ為等腰三角形，即為ΔCPQ的一邊所在直線為軸翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形.【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，解本題多次運用解直角三角形的知識，用含t的式子表示出有關線段的長度是解本題的關鍵．27．（2019春·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)求證：矩形DEFG是正方形．(2)當點E從A點運動到C點時；①求證：∠DCG的大小始終不變；②若正方形ABCD的邊長為2，則點G運動的路徑長為．【答案】(1)詳見解析;（2）①詳見解析;②2

【分析】（1）要證明矩形DEFG為正方形，只需要證明它有一組臨邊（DE和EF）相等即可，而要證明兩條線段相等，需證明它們所在的三角形全等，如下圖本小題的關鍵是證明△EMF≌△END，∠MEF=∠NED可用等角的余角證明，EM=EN可用角平分線上的點到角兩邊距離相等，∠EMF和∠END為一組直角相等，所以可以用ASA證明它們?nèi)?；?）此類題，前面的問題是給后面做鋪墊，第一問已經(jīng)證明四邊形DEFG為正方形，結(jié)合第一問我們很容易發(fā)現(xiàn)并證明△ADE≌△CDG，從而得到∠DCG=∠CAD=45°；（3）當當E點在A處時，點G在C處；當E點在C處時，點G在AD的延長線上，并且AD=DG，以CD為邊作正方形，我們會發(fā)現(xiàn)G點的運動軌跡剛好是正方形的對角線，它的長度等于22【詳解】證明:(1)作EM⊥BC,EN⊥CD,∵四邊形ABCD為正方形∴∠DCB=90°，∠ACB=∠ACD=45°又∵EM⊥BC,EN⊥CD，∴EM=EN（角平分線上的點到角兩邊距離相等），∠MEN=90°，∴∠MEF+∠NEF=90°，∵四邊形DEFG為矩形，∴∠DEF=90°，∴∠NED+∠NEF=90°，∴∠MEF=∠NED，在△EMF和△END中∵∠MEF=∠NEDME=NE∴△EMF≌△END，

∴DE=DF,∴矩形DEFG為正方形；（2）①證明：∵正方形ABCD、DEFG∴AD=CD，ED=GD∵∠ADE+∠DEC=90°，∠CDG+∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDG在△ADE和△CDG中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，ED=GD∴△ADE≌△CDG∴∠DCG=∠EAD=45°∴∠DCG的大小始終保持不變②以CD為邊作正方形DCPQ，連接QC∴∠DCQ=45°，又∵∠DCG=45°∴C、G、Q在同一條直線上，當E點在A處時，點G在C處；當E點在C處時，點G在Q處，∴G點的運動軌跡為QC，∵正方形ABCD的邊長為2所以QC=22即點G運動的路徑長為2【點睛】（1）本題考查正方形的判定定理，有一組臨邊相等的矩形為正方形，所以此題的關鍵是證明DE=DF，我們可通過化輔助線，證明△ADE≌△CDG；（2）①本題考查的是全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合第一問通過觀察圖象，我們會發(fā)現(xiàn)△ADE≌△CDG，所以∠DCG=∠EAD=45°；

②做這道題時，我們先構造模型，觀察一下G點的起始位置和終點位置，結(jié)合①，我們會發(fā)現(xiàn)其實G點的運動軌跡剛好是正方形DCPQ的對角線，所以點G運動的路徑長為2228．（2019春·江蘇泰州·八年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出t的值，如果不能，說明理由；（3）在運動過程中，四邊形BEDF能否為正方形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）當t=10時，四邊形AEFD是菱形；（3）四邊形BEDF不能為正方形，理由見解析.【分析】（1）由已知條件可得RT△CDF中∠C=30°，即可知DF=12（2）由（1）知DF∥AE且DF=AE，即四邊形ADFE是平行四邊形，若構成菱形，則