必修五第三章《不等式》電子教案

不等關(guān)系與不等式不等關(guān)系與不等式〔一〕教學(xué)目標(biāo)1.通過具體情境建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系；2.了解不等式或不等式組的實(shí)際背景；3.掌握不等式的根本性質(zhì).過程與方法1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學(xué)模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；2.教師提供問題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；3.設(shè)計(jì)較典型的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.教學(xué)重點(diǎn)1.通過具體的問題情景，讓學(xué)生體會(huì)不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式組表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡(jiǎn)單的不等關(guān)系的問題；3.理解不等式或不等式組對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值.教學(xué)難點(diǎn)1.用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系；2.用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問題.教學(xué)過程［過程引導(dǎo)］師能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好,這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說,能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比擬過程,這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人來說必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識(shí)來表示這些不等關(guān)系呢?生可以用不等式或不等式組來表示.師什么是不等式呢?生用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來所成的式子叫不等式.〔老師給出一組不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是讓同學(xué)們回憶不等式的一些根本形式，并說明不等號(hào)“≤，≥”的含義，是或的關(guān)系.回憶了不等式的概念，不等式組學(xué)生自然而然就清楚了〕師能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過程，通過對(duì)不等式數(shù)學(xué)模型的研究，反過來作用于我們的現(xiàn)實(shí)生活，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的.課堂練習(xí)教科書第83頁練習(xí)1、2.(老師讓學(xué)生輪流答復(fù)，學(xué)生答復(fù)很好.此時(shí)，同學(xué)們已真正進(jìn)入了本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài),老師再用投影儀給出課本上的三個(gè)問題.問題是數(shù)學(xué)研究的核心，以問題展示的形式來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)與探究意識(shí)〕【問題1】設(shè)點(diǎn)A與平面α的距離為d,B為平面α上的任意一點(diǎn).［師請(qǐng)同學(xué)們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量關(guān)系.(此時(shí),教室一片安靜,同學(xué)們?cè)诜e極思考,時(shí)間較長(zhǎng),老師應(yīng)該及時(shí)點(diǎn)撥)［方法引導(dǎo)］師前面我們借助圖形來表示不等量關(guān)系,這個(gè)問題是否可以?(可以讓學(xué)生板演，結(jié)合三角形草圖來表達(dá))過點(diǎn)A作AC⊥平面α于點(diǎn)C，那么d=|AC|≤|AB|.師這位同學(xué)做得很好,我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想,以形助數(shù),以數(shù)解形.師請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)來處理問題2.【問題2】某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式?師假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)當(dāng)有什么樣的不等量關(guān)系呢？生截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過4000mm.生截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.生截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù).師上述的三個(gè)不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢？生它們要同時(shí)滿足條件，應(yīng)該是且的關(guān)系.生由實(shí)際問題的意義，還應(yīng)有x,y∈N.師這位同學(xué)答復(fù)得很好，思維很嚴(yán)密.那么我們?cè)撚迷鯓拥牟坏仁浇M來表示此問題中的不等關(guān)系呢？生要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：師這位同學(xué)答復(fù)很準(zhǔn)確.通過上述三個(gè)問題的探究，同學(xué)們對(duì)如何用不等式或不等組把實(shí)際問題中所隱含的不等量關(guān)系表示出來，這一點(diǎn)掌握得很好.請(qǐng)同學(xué)們?cè)偻瓿上旅孢@個(gè)練習(xí).課堂練習(xí)練習(xí)：假設(shè)需在長(zhǎng)為4000mm的圓鋼上，截出長(zhǎng)為698mm和518mm兩種毛坯，問怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組?分析：設(shè)截出長(zhǎng)為698mm的毛坯x個(gè)和截出長(zhǎng)為518mm的毛坯y個(gè)，把截取條件數(shù)學(xué)化地表示出來就是：〔練習(xí)可讓學(xué)生板演，老師結(jié)合學(xué)生具體完成情況作評(píng)析，特別應(yīng)注意x≥0,y≥0,x,y∈N〕課堂小結(jié)師通過今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識(shí)，有何體會(huì)？生我感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決生活中的實(shí)際問題.生數(shù)學(xué)就在我們的身邊，與我們的生活聯(lián)系非常緊密，我更加喜愛數(shù)學(xué)了.生本節(jié)課我們還進(jìn)一步穩(wěn)固了初中所學(xué)的二元一次不等式及二元一次不等式組，并且用它來解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的大量不等量關(guān)系的實(shí)際問題.師我來補(bǔ)充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式組表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，思維要嚴(yán)密、標(biāo)準(zhǔn)，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用.〔慢慢培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)自己來歸納總結(jié)，將所學(xué)的知識(shí)，結(jié)合獲取知識(shí)的過程與方法，進(jìn)行回憶與反思，從而到達(dá)三維目標(biāo)的整合.進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語言表達(dá)能力〕布置作業(yè)第84頁習(xí)題A組4、5.不等關(guān)系與不等式〔二〕在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過不等式的一些根本性質(zhì)。請(qǐng)同學(xué)們回憶初中不等式的的根本性質(zhì)?！?〕不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不改變；即假設(shè)〔2〕不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不改變；即假設(shè)〔3〕不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。即假設(shè)一、講授新課常用的不等式的根本性質(zhì)〔1〕〔對(duì)稱性〕〔2〕〔傳遞性〕〔3〕〔可加性〕〔4〕；〔可乘性〕〔5〕〔同向不等式的可乘性〕〔6〕〔可乘方性、可開方性〕二、問題探究嗎？證明：，∴．實(shí)際上，我們還有，證明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．2.證明不等式的以下性質(zhì)：〔1〕；〔2〕；〔3〕。證明：〔1〕∵a＞b， ∴a+c＞b+c①∵c＞d，∴b+c＞b+d②由①、②得a＋c＞b＋d．2〕3〕反證法〕假設(shè)，那么：假設(shè)，這都與矛盾，∴．三、范例講解：例1求證。證明：以為，所以ab>0,。于是，即由c<0，得〔教師講思路→學(xué)生板演→小結(jié)方法〕例2、比擬(a＋3)〔a－５〕與〔a＋2〕〔a－4〕的大小。分析：此題屬于兩代數(shù)式比擬大小，實(shí)際上是比擬它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號(hào)，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要)。根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法那么來得出兩個(gè)代數(shù)式的大小。比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算符號(hào)問題。解：由題意可知：〔a＋3〕〔a－5〕－〔a＋2〕〔a－4〕＝〔a2－2a－15〕－〔a2－2a－＝－7＜0∴〔a＋3〕〔a－5〕＜〔a＋2〕〔a－4〕(比擬兩個(gè)數(shù)的大小，根本方法是作差，對(duì)差的正、負(fù)或零做出判斷，得出結(jié)論)例3如果30＜x＜42，1６＜y＜24，求x＋y，x－2y及的取值范圍.∵30＜x＜42，16＜y＜24∴－48＜－2y＜－32，∴30＋1６＜x＋y＜42＋24即46＜x＋y＜66；∴30－4８＜x－2y＜42－32即－1８＜x－2y＜10；(確定取值范圍→利用不等式的性質(zhì)求解)四、課堂練習(xí)1．假設(shè)a、b、c，a>b,那么以下不等式成立的是〔〕A．B．C．D．2．假設(shè)滿足，那么的取值范圍是〔〕A．B．C．D．3.在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：(1)〔＋〕2６＋2；〔2〕〔－〕2〔－1〕2；〔3〕；(4)當(dāng)時(shí)，答案：1.C2.C3.(1)＜〔2〕＜〔3〕＜〔4〕＜五、回憶小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明了一些簡(jiǎn)單的不等式，還研究了如何比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)〔代數(shù)式〕的大小——作差法，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡(jiǎn)，其目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論；第三步：得出結(jié)論六、課后作業(yè)：課本習(xí)題3.1[A組]第2、3題；[B組]第1題3.2一元二次不等式及其解法教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系;3.會(huì)解一次二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖.教學(xué)重點(diǎn)1.從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型.2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出表達(dá)數(shù)形結(jié)合的思想.教學(xué)難點(diǎn)理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系.第1課時(shí)教學(xué)過程推進(jìn)新課師因此這個(gè)問題實(shí)際就是解不等式：x2-5x＜0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學(xué)習(xí)討論的重點(diǎn).什么叫做一元二次不等式？含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0〔a≠0〕.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？師在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關(guān)系呢？思考：對(duì)一次函數(shù)y=2x-7，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？它的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：x2345y-3-2-10123由對(duì)應(yīng)值表與圖象〔如上圖〕可知：當(dāng)時(shí)，y=0，即2x-7=0；當(dāng)x＜時(shí)，y＜0，即2x-7＜0；當(dāng)x＞時(shí)，y＞0，即2x-7＞0.師一般地，設(shè)直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)是(x0，0),那么有如下結(jié)果：〔1〕一元一次方程ax+b=0的解是x0；〔2〕①當(dāng)a＞0時(shí)，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.②當(dāng)a＜0時(shí)，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.師在解決上述問題的根底上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.能通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？生函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方)局部對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).a＞0a＜0一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象一元一次方程ax+b=0的解集{x|x=}{x|x=}一元一次不等式ax+b＞0的解集{x|x＞}{x|x＜}一元一次不等式ax+b＜0的解集{x|x＜}{x|x＞}師在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系.利用這種聯(lián)系〔集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖象上〕我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，我們?cè)鉀Q過這樣的問題：對(duì)二次函數(shù)y=x2-5x，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？當(dāng)時(shí)我們又是怎樣解決的呢？生當(dāng)時(shí)我們是通過作出函數(shù)的圖象，找出圖象與x軸的交點(diǎn)，通過觀察來解決的.二次函數(shù)y=x2-5x的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：x-10123456y60-4-6-6-406由對(duì)應(yīng)值表與圖象〔如上圖〕可知：當(dāng)x=0或x=5時(shí)，y=0，即x2-5x=0；當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y＜0，即x2-5x＜0；當(dāng)x＜0或x＞5時(shí)，y＞0，即x2-5x＞0.這就是說，假設(shè)拋物線y=x2-5x與x軸的交點(diǎn)是(0，0)與(5，0),那么一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.［教師精講］由一元二次不等式的一般形式知，任何一個(gè)一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0〔a＞0〕的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關(guān)，即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集.如何討論一元二次不等式的解集呢？我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，設(shè)其判別式為Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分為三種情況，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況〔如以下圖〕，因此，對(duì)相應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0〔a＞0〕的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論.〔1〕假設(shè)Δ＞0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)〔圖〔1〕〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2〔x1＜x2〕,那么不等式ax2+bx+c＞0〔a＞0〕的解集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax2+bx+c＜0〔a＞0〕的解集是{x|x1＜x＜x2}.〔2〕假設(shè)Δ=0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)〔圖〔2〕〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=,那么不等式ax2+bx+c＞0〔a＞0〕的解集是{x|x≠}；不等式ax2+bx+c＜0〔a＞0〕的解集是.(3)假設(shè)Δ＜0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸沒有交點(diǎn)〔圖(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)無實(shí)根，那么不等式ax2+bx+c＞0〔a＞0〕的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0〔a＞0〕的解集是.Δ=b2-4Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)的圖象ax2+bx+c=0的根x1=x2=ax2+bx+c＞0的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠}Rax2+bx+c＜0的解集{x|x1＜x＜x2}對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)〔即a＜0〕的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.［知識(shí)拓展］【例1】解不等式2x2-5x-3＞0.生解：因?yàn)棣ぃ?，2x2-5x-3=0的解是x1=-,x2=3.所以不等式的解集是{x|x＜，或x＞3}.【例2】解不等式-3x2+15x＞12.生解：整理化簡(jiǎn)得3x2-15x+12＜0.因?yàn)棣ぃ?，方程3x2-15x+12=0的解是x1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.【例3】解不等式4x2+4x+1＞0.生解：因?yàn)棣?0，方程4x2+4x+1=0的解是x1=x2=.所以不等式的解集是{x|x≠}.【例4】解不等式-x2+2x-3＞0.生解：整理化簡(jiǎn)，得x2-2x+3＜0.因?yàn)棣ぃ?，方程x2-2x+3=0無實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是.師由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？生歸納如下：〔1〕將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：y=ax2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).〔2〕計(jì)算判別式Δ，分析不等式的解的情況：①Δ＞0時(shí)，求根x1＜x2，②Δ=0時(shí)，求根x1=x2=x0，③Δ＜0時(shí)，方程無解，〔3〕寫出解集.課堂小結(jié)1.一元二次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0〔a≠0〕.2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序.布置作業(yè)1.完成第90頁的練習(xí).2.完成第90頁習(xí)題第1題.一元二次不等式的解法第2課時(shí)教學(xué)過程推進(jìn)新課師因此這個(gè)問題實(shí)際就是解不等式x2+9x-7110＞0的問題.因?yàn)棣ぃ?,方程x2+9x-7110=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，畫出二次函數(shù)y=x2+9x-7110,由圖象得不等式的解集為{x|x＜或x＞79.94}.在這個(gè)實(shí)際問題中x＞0,所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.師【例2】一個(gè)車輛制造廠引進(jìn)一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x〔輛〕與創(chuàng)造的價(jià)值y〔元〕之間有如下的關(guān)系：y=-2x2+220x.假設(shè)這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么他在一星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？生設(shè)在一星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車.根據(jù)題意，能得到-2x2+220x＞6000.移項(xiàng)、整理得x2-110x+3000＜0.［教師精講］因?yàn)棣?100＞0，所以方程x2-110x+3000=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1=50,x2=60,然后，畫出二次函數(shù)y=x2-110x+3000,由圖象得不等式的解集為{x|50＜x＜60}.因?yàn)橹荒苋≌麛?shù)值，所以，當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51到59輛之間時(shí)，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益.［知識(shí)拓展］【例3】解不等式(x-1)(x+4)＜0.思路一：利用前節(jié)的方法求解.思路二：由乘法運(yùn)算的符號(hào)法那么可知，假設(shè)原不等式成立，那么左邊兩個(gè)因式必須異號(hào)，∴原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組與的解集的并集，即∪{x|-4＜x＜1}={x|-4＜x＜1}.書寫時(shí)可按以下格式：解：∵(x-1)(x+4)＜0或x∈或-4＜x＜1-4＜x＜1，∴原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.思路三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)表示出來即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x〔從小到大排列〕分別為-4，1，這兩根將x軸分為三局部：〔-∞，-4〕，〔-4，1〕，〔1，+∞〕.②分析這三局部中原不等式左邊各因式的符號(hào)：〔-∞，-4〕〔-4，1〕〔1，+∞〕x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.點(diǎn)評(píng)：此法叫區(qū)間法，解題步驟是：①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)＞0(＜0)的形式〔各項(xiàng)x的符號(hào)化“+”〕，令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點(diǎn)，一個(gè)分界點(diǎn)把〔實(shí)數(shù)〕數(shù)軸分成兩局部，兩個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成三局部……②按各根把實(shí)數(shù)分成的幾局部，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列〔由對(duì)應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列〕；③計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào)，下面是乘積的符號(hào)；④看下面積的符號(hào)寫出不等式的解集〔你會(huì)發(fā)現(xiàn)符號(hào)的規(guī)律嗎〕.練習(xí)1：解不等式：(1)x2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.教師書寫示范：如第(2)題：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0.解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；②求得相應(yīng)方程的根為-2，1，3；③列表如下：〔-∞，-2〕〔-2，1〕〔1，3〕〔3，+∞〕x+2-+++x-1--++x-3---+各因式積-+-+④由上表可知，原不等式的解集為{x|-2＜x＜1或x＞3}.思路四：上面的區(qū)間法實(shí)際上是把看相應(yīng)函數(shù)圖象上使y＜0或y＞0的x的局部數(shù)值化列成表了，我們?cè)囅爰僭O(shè)能畫出圖象〔此時(shí)我們只注意y值的正負(fù)不注意其他方面〕，那么它相對(duì)于x軸的位置應(yīng)是什么呢？可把表上各局部函數(shù)值的正負(fù)情況用以下圖表示，由圖即可寫出不等式的解集.由此看出，如果不像上面那樣列表，就用這種方法也可以求這個(gè)不等式的解.你能總結(jié)一下用這種方法解不等式的規(guī)律嗎？①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)＞0(＜0)的形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；②求根，并在數(shù)軸上表示出來；③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)〔為什么〕；④假設(shè)不等式〔x的系數(shù)化“+”后〕是“＞0”,那么找“線”在x軸上方的區(qū)間；假設(shè)不等式是“＜0”,那么找“線”在x軸下方的區(qū)間.這種方法叫數(shù)軸標(biāo)根法.練習(xí)2：用數(shù)軸標(biāo)根法解上述練習(xí)1中不等式〔1〕～〔3〕.教師書寫示范：如第〔2〕題：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.解：①將原不等式化為x(x-3)(x-2)(x+1)＜0；②求得相應(yīng)方程的根為-1，0，2，3；③在數(shù)軸上表示各根并穿線〔自右上方開始〕，如右圖：④原不等式的解集為{x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.［合作探究］師【例4】解不等式：〔x-2〕2(x-3)3(x+1)＜0.解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；②求得相應(yīng)方程的根為-1，2，3〔注意：2是二重根，3是三重根〕；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個(gè)根穿一次〔自右上方開始〕，如以下圖：④原不等式的解集為{x|-1＜x＜2或2＜x＜3}.說明：∵3是三重根，∴在C處穿三次，2是二重根.∴在B處穿兩次，結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出，當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n，n為奇數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.【練習(xí)3】解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.解：①將原不等式化為(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相應(yīng)方程的根為-2〔二重〕，-1，3；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，如右圖：④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.點(diǎn)評(píng)：注意不等式假設(shè)帶“=”，點(diǎn)畫為實(shí)心，解集邊界處應(yīng)有等號(hào)；另外，線雖不穿-2點(diǎn)，但x=-2滿足“=”的條件，不能漏掉.［教師精講］師由分式方程的定義不難聯(lián)想到：分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.例如，等都是分式不等式.師分式不等式的解法.由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向要變；分母中有未知數(shù)x，不等式兩邊同乘以一個(gè)含x的式子，它的正負(fù)不知，不等號(hào)方向無法確定，無從解起，假設(shè)討論分母的正負(fù)，再解也可以，但太復(fù)雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移項(xiàng)、通分，右邊化為0，左邊化為f(x)[]g(x)的形式.【例5】解不等式：.解法一：化為兩個(gè)不等式組來解.∵0或x∈或-7＜x＜3-7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}.解法二：化為二次不等式來解.∵-7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}.點(diǎn)評(píng)：假設(shè)此題帶“=”，即(x-3)(x+7)≤0，那么不等式解集中應(yīng)注意x≠-7的條件，解集應(yīng)是{x|-7＜x≤3}.【例6】解不等式：.解法一：化為不等式組來解(較繁).解法二：∵∴原不等式的解集為{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}.練習(xí)：解不等式.答案：{x|-13＜x＜-5}.［方法引導(dǎo)］講練結(jié)合法通過講解強(qiáng)化訓(xùn)練題目,加深對(duì)分式不等式及簡(jiǎn)單高次不等式解法的理解,提高分析問題和解決問題的能力.針對(duì)不同類型的不等式,使學(xué)生能靈活有效地進(jìn)行等價(jià)變形.上述過程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分表達(dá)學(xué)生的主體作用，新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作用，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，勇于探索的精神.課堂小結(jié)1.關(guān)于一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用題，要注意其實(shí)際意義.2.求解一般的高次不等式的解法.特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區(qū)間法解，注意：①左邊各因式中x的系數(shù)化為“+”，假設(shè)有因式為二次的〔不能再分解了〕二次項(xiàng)系數(shù)也化為“+”，再按我們總結(jié)的規(guī)律做；②注意邊界點(diǎn)〔數(shù)軸上表示時(shí)是“?！边€是“.”〕.3.分式不等式，切忌去分母，一律移項(xiàng)通分化為(或的形式，轉(zhuǎn)化為，〔或，即轉(zhuǎn)化為一次、二次或特殊高次不等式形式.布置作業(yè)完成第90頁習(xí)題A組第5、6題，習(xí)題B組第4題.一元二次不等式的解法的應(yīng)用(二)第3課時(shí)推進(jìn)新課師思考一下如何解下面這個(gè)不等式：解關(guān)于x的不等式a(x-ab)＞b(x+ab).生將原不等式展開，整理得(a-b)x＞ab(a+b).討論：當(dāng)a＞b時(shí)，,∴x∈(,+∞).當(dāng)a=b時(shí)，假設(shè)a=b≥0時(shí)x∈；假設(shè)a=b＜0時(shí)x∈R.當(dāng)a＜b時(shí)，,∴x∈(-∞,).師【例1】解關(guān)于x的不等式x2-x-a(a-1)＞0.生原不等式可以化為(x+a-1)(x-a)＞0，假設(shè)a＞-(a-1),即a＞,那么x＞a或a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞).假設(shè)a=-(a-1),即a=,那么(x-1[]2)2＞0.∴x∈{x|x≠,x∈R}.假設(shè)a＜-(a-1),即a＜,那么x＜a或x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞).師引申：解關(guān)于x的不等式(x-x2+12)(x+a)＜0.生①將二次項(xiàng)系數(shù)化“+”為(x2-x-12)(x+a)＞0.②相應(yīng)方程的根為-3，4，-a，現(xiàn)a的位置不定，應(yīng)如何解？③討論：〔ⅰ〕當(dāng)-a＞4，即a＜-4時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：∴原不等式的解集為{x|-3＜x＜4或x＞-a}.〔ⅱ〕當(dāng)-3＜-a＜4，即-4＜a＜3時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：∴原不等式的解集為{x|-3＜x＜-a或x＞4}.〔?！钞?dāng)-a＜-3，即a＞3時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：∴原不等式的解集為{x|-a＜x＜-3或x＞4}.〔ⅳ〕當(dāng)-a=4，即a=-4時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：∴原不等式的解集為{x|x＞-3}.(ⅴ)當(dāng)-a=-3，即a=3時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：∴原不等式的解集為{x|x＞4}.師變題：解關(guān)于x的不等式2x2+kx-k≤0.師此不等式為含參數(shù)k的不等式，當(dāng)k值不同時(shí)相應(yīng)的二次方程的判別式的值也不同，故應(yīng)先從討論判別式入手.生Δ=k2+8k=k(k+8).(1)當(dāng)Δ＞0,即k＜-8或k＞0時(shí)，方程2x2+kx-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{x|};(2)當(dāng)Δ=0，即k=-8或k=0時(shí)，方程2x2+kx-k=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{}，即{0,2}；(3)當(dāng)Δ＜0,即-8＜k＜0時(shí)，方程2x2+kx-k=0無實(shí)根，所以不等式2x2+kx-k≤0的解集為.練習(xí)解不等式：mx2-2x+1＞0.師此題對(duì)解集的影響因素較多，假設(shè)處理不當(dāng)，不僅要分級(jí)討論，而且極易漏解或重復(fù).較好的解決方法是整體考慮，分區(qū)間討論，方為上策.顯然此題首先要討論m與0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要討論m與1的大小.我們將0與1分別標(biāo)在數(shù)軸上，將區(qū)間進(jìn)行劃分，這樣就可以保證不重不漏.解：∵Δ=4-4m=4(1-m),∴當(dāng)m＜0時(shí),Δ＞0,此時(shí).∴解集為{}.當(dāng)m＝0時(shí)，方程為-2x+1＞0,解集為{x|x＜},當(dāng)0＜m＜1時(shí),Δ＞0，此時(shí),∴解集為{}.當(dāng)m＝1時(shí),不等式為(x-1)2＞0,∴其解集為{x|x≠1};當(dāng)m＞1時(shí),此時(shí)Δ＜0,故其解集為R.師小結(jié)：在以上的討論中，請(qǐng)不要漏掉在端點(diǎn)的解集的情況.［教師精講］對(duì)應(yīng)的一元二次方程有實(shí)數(shù)根1-a和a,不等式中二次項(xiàng)的系數(shù)為正，所以要寫出它的解集需要對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論.〔1〕當(dāng)最高次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，首先需討論該系數(shù)是否為零.〔2〕整合結(jié)論時(shí)，對(duì)所討論的對(duì)象按一定的順序進(jìn)行整理，做到不重不漏.總之，解含參數(shù)的一元二次不等式，大家首先要克服畏懼心理，冷靜分析，掌握好解題技巧，恰當(dāng)分類，必然能解答好.［知識(shí)拓展］【例2】關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|x＜-2或x＞}，求關(guān)于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集.師由題設(shè)a＜0且，，從而ax2-bx+c＞0可以變形為，即x2-x+1＜0.∴＜x＜2.∴原不等式的解集為{x|＜x＜2}.引申：關(guān)于x的二次不等式ax2+(a-1)x+a-1＜0的解集為R，求a的取值范圍.師原不等式的解集為R，即對(duì)一切實(shí)數(shù)x不等式都成立，故必然y=ax2+(a-1)x+a-1的圖象開口向下，且與x軸無交點(diǎn)，反映在數(shù)量關(guān)系上那么有a＜0且Δ＜0.生由題意知，要使原不等式的解集為R，必須即∴a的取值范圍是a∈(-∞,).師此題假設(shè)無“二次不等式”的條件，還應(yīng)考慮a=0的情況，但對(duì)此題講a=0時(shí)式子不恒成立.〔想想為什么〕師變題：假設(shè)函數(shù)f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.顯然k=0時(shí)滿足.而k＜0時(shí)不滿足.∴k的取值范圍是[0,1].練習(xí)：不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|-＜x＜}，求a、b.()［教師精講］解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？首先，必須弄清楚它的解集與哪些因素有關(guān).一般地，一元二次不等式的解集〔以ax2+bx+c＞0為例〕常與以下因素有關(guān)：〔1〕a；〔2〕Δ；〔3〕兩根x1,x2的大小.其中系數(shù)a影響著解集最后的形式，Δ關(guān)系到不等式對(duì)應(yīng)的方程是否有解，而兩根x1,x2的大小關(guān)系到解集最后的次序；其次再根據(jù)具體情況，合理分類，確保不重不漏.［合作探究］【例3】假設(shè)不等式對(duì)于x取任何實(shí)數(shù)均成立，求k的取值范圍.生∵2x2-2(k-3)x+3-k＞0(∵4x2+6x+3恒正)，∴原不等式對(duì)x取任何實(shí)數(shù)均成立，等價(jià)于不等式2x2-2(k-3)x+3-k＞0對(duì)x取任何實(shí)數(shù)均成立.∴Δ=[-2(k-3)]2-8(3-k)＜0k2-4k+3＜01＜k＜3.∴k的取值范圍是〔1，3〕.師逆向思維題目，告訴解集反求參數(shù)范圍，即確定原不等式，待定系數(shù)法的一局部.【例4】當(dāng)m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分別有:①兩個(gè)實(shí)根；②一正根和一負(fù)根；③正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值；④兩根都大于1.解：設(shè)方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的兩根為x1，x2.①假設(shè)方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0有兩個(gè)正根，那么需滿足：m∈.∴此時(shí)m的取值范圍是，即原方程不可能有兩個(gè)正根.②假設(shè)方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一負(fù)根，那么需滿足：m＜5.∴此時(shí)m的取值范圍是(-∞,5).③假設(shè)方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值，那么需滿足：m＜2.∴此時(shí)m的取值范圍是(-∞,2).④假設(shè)方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的兩根都大于1，那么需滿足：m∈.∴此時(shí)m的取值范圍是，即原方程不可能兩根都大于1.師說明：解這類題要充分利用判別式和韋達(dá)定理.練習(xí)：1.關(guān)于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，那么m的取值范圍是……〔〕A.(,+∞) B.(-∞,)C.[，+∞〕 D.(,0)∪(0,+∞)提示：由m≠0且Δ＞0，得m＜，∴選D.答案：D2.假設(shè)不等式ax2+5x+b＞0的解集為{x|＜x＜}，那么a、b的值分別是__________.提示：由答案：-6，-13.假設(shè)方程x2-(k+2)x+4=0有兩負(fù)根，求k的取值范圍.提示：由k≤-6.師變式引申：方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.師解：要原方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，必須-2＜k＜-1或＜k＜1.k＞2[]3或k＜-1∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}.練習(xí)：不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.生假設(shè)a2-1=0，即a=1或a=-1時(shí)，原不等式的解集為R和{x|x＜}；假設(shè)a2-1≠0，即a≠±1時(shí)，要使原不等式的解集為R，必須-＜a＜1.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,1)∪{1}=(,1］.［方法引導(dǎo)］講練結(jié)合法通過講解強(qiáng)化訓(xùn)練題目,加深對(duì)分式不等式及簡(jiǎn)單高次不等式解法的理解,提高分析問題和解決問題的能力.針對(duì)不同類型的不等式,使學(xué)生能靈活有效地進(jìn)行等價(jià)變形.上述過程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分表達(dá)學(xué)生的主體作用，新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作用，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、勇于探索的精神.課堂小結(jié)1.本節(jié)我們利用一元二次不等式及有關(guān)知識(shí)解決了一些簡(jiǎn)單的問題，這類問題常見的有：不等式恒成立的條件；一元二次不等式的解集，求二次三項(xiàng)式的系數(shù)；討論一元二次方程根的簡(jiǎn)單情況等.2.分類討論的步驟一般可分為以下幾步：〔1〕確定討論的對(duì)象及其范圍；〔2〕確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；〔3〕逐類討論，分級(jí)進(jìn)行；〔4〕歸納整合，作出結(jié)論.3.對(duì)于解含有字母參數(shù)不等式時(shí)，著重考慮最高次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及系數(shù)為0時(shí)的情況，以及該不等式對(duì)應(yīng)方程的根的大小情況.4.在分類過程中要注意按照一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，一定的順序進(jìn)行討論，做到不重復(fù)不遺漏.考慮問題要周到縝密，特別是對(duì)于一些特殊情況要考慮慎重，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和思想作風(fēng).布置作業(yè)〔1〕不等式x2+5x+m＞0的解集為{x|x＜-7或x＞2}，求實(shí)數(shù)m的值.(答案：m=-14)〔2〕關(guān)于x的二次不等式px2+px-4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)p的范圍.(由p＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p＜0})(3)假設(shè)y=ax2+bx+c經(jīng)過(0，-6)點(diǎn)，且當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，y≤0，求實(shí)數(shù)a,b,c的值.〔答案：a=2,b=4,c=-6〕(4)方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：要使原方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，必須-2＜k＜-1或＜k＜1.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題教學(xué)目標(biāo)1.掌握線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等根本概念;2.運(yùn)用線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題..教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)是二元一次不等式〔組〕表示平面的區(qū)域.教學(xué)難點(diǎn)難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答.解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解.為突出重點(diǎn)，本節(jié)教學(xué)應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、代數(shù)問題幾何化。教學(xué)過程推進(jìn)新課［合作探究］師在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題.例如，某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A產(chǎn)品耗時(shí)1小時(shí)，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B產(chǎn)品耗時(shí)2小時(shí)，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8小時(shí)計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，應(yīng)如何列式？生由條件可得二元一次不等式組：師如何將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域？生〔板演〕師對(duì)照課本98頁圖，圖中陰影局部中的整點(diǎn)〔坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)〕就代表所有可能的日生產(chǎn)安排，即當(dāng)點(diǎn)P〔x,y〕在上述平面區(qū)域中時(shí)，所安排的生產(chǎn)任務(wù)x、y才有意義.進(jìn)一步，假設(shè)生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤(rùn)最大？設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件時(shí)，工廠獲得利潤(rùn)為z，那么如何表示它們的關(guān)系？生那么z=2x+3y.師這樣，上述問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x、y滿足上述不等式組并且為非負(fù)整數(shù)時(shí)，z的最大值是多少？［教師精講］師把z=2x+3y變形為,這是斜率為，在y軸上的截距為z的直線.當(dāng)z變化時(shí)可以得到什么樣的圖形？在上圖中表示出來.生當(dāng)z變化時(shí)可以得到一組互相平行的直線.〔板演〕師由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個(gè)點(diǎn)〔例如〔1，2〕〕，就能確定一條直線，這說明，由平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定.可以看到直線與表示不等式組的區(qū)域的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足不等式組，而且當(dāng)截距最大時(shí)，z取最大值，因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與不等式組確定的區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，可以在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)P，使直線經(jīng)過P時(shí)截距最大.由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M〔4，2〕時(shí)，截距最大，最大值為.此時(shí)2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)14萬元.［知識(shí)拓展］再看下面的問題：分別作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三條直線，先找出不等式組所表示的平面區(qū)域〔即三直線所圍成的封閉區(qū)域〕,再作直線l0:2x+y=0.然后，作一組與直線l0平行的直線：l:2x+y=t,t∈R〔或平行移動(dòng)直線l0〕，從而觀察t值的變化：t=2x+y∈［3,12］.假設(shè)設(shè)t=2x+y，式中變量x、y滿足以下條件求t的最大值和最小值.分析：從變量x、y所滿足的條件來看，變量x、y所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組那么表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域ABC.作一組與直線l0平行的直線：l:2x+y=t,t∈R〔或平行移動(dòng)直線l0〕，從而觀察t值的變化：t=2x+y∈［3,12］.(1)從圖上可看出，點(diǎn)〔0，0〕不在以上公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)x=0，y=0時(shí)，t=2x+y=0.點(diǎn)〔0，0〕在直線l0：2x+y=0上.作一組與直線l0平行的直線〔或平行移動(dòng)直線l0)l:2x+y=t,t∈R.可知，當(dāng)l在l0的右上方時(shí)，直線l上的點(diǎn)〔x,y)滿足2x+y＞0,即t＞0.而且，直線l往右平移時(shí)，t隨之增大〔引導(dǎo)學(xué)生一起觀察此規(guī)律〕.在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)B〔5，2〕的直線l2所對(duì)應(yīng)的t最大，以經(jīng)過點(diǎn)A〔1，1〕的直線l1所對(duì)應(yīng)的t最小.所以tmax=2×5+2=12,tmin=2×1+3=3.(2)(3)［合作探究］師諸如上述問題中，不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.t=2x+y是欲到達(dá)最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù).由于t=2x+y又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù).另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.例如：我們剛剛研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題.那么，滿足線性約束條件的解〔x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影局部表示的三角形區(qū)域.其中可行解〔5，2〕和〔1，1〕分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解.課堂小結(jié)用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的根本步驟：1.首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域〔即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域〕.2.設(shè)t=0，畫出直線l0.3.觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解.4.最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.布置作業(yè)1.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，假設(shè)采用甲種原料，每噸本錢1000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90千克；假設(shè)采用乙種原料，每噸本錢為1500元，運(yùn)費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每月原料的總本錢不超過6000元，運(yùn)費(fèi)不超過2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？分析：將數(shù)據(jù)列成下表：甲原料〔噸〕乙原料〔噸〕費(fèi)用限額本錢100015006000運(yùn)費(fèi)5004002000產(chǎn)品90100解：設(shè)此工廠每月甲、乙兩種原料各x噸、y噸，生產(chǎn)z千克產(chǎn)品，那么z=90x+100y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如右圖：由得令90x+100y=t，作直線:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行線90x+100y=t，當(dāng)90x+100y=t過點(diǎn)M〔,〕時(shí)，直線90x+100y=t中的截距最大.由此得出t的值也最大，zmax=90×+100×=440.答：工廠每月生產(chǎn)440千克產(chǎn)品.2.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.木工做一張A、B型桌子分別需要1小時(shí)和2小時(shí)，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時(shí)和1小時(shí)；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時(shí)和9小時(shí)，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤(rùn)2千元和3千元，試問工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤(rùn)最大？解：設(shè)每天生產(chǎn)A型桌子x張，B型桌子y張，那么目標(biāo)函數(shù)為z=2x+3y.作出可行域：把直線l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=2x+3y取得最大值.解方程得M的坐標(biāo)為〔2，3〕.答：每天應(yīng)生產(chǎn)A型桌子2張，B型桌子3張才能獲得最大利潤(rùn).3.課本106頁習(xí)題A組2.第2課時(shí)推進(jìn)新課師【例1】x、y滿足不等式組試求z=300x+900y的最大值時(shí)的整點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)的z的最大值.師分析：先畫出平面區(qū)域，然后在平面區(qū)域內(nèi)尋找使z=300x+900y取最大值時(shí)的整點(diǎn).解：如下圖平面區(qū)域AOBC，點(diǎn)A〔0，125〕，點(diǎn)B〔150，0〕，點(diǎn)C的坐標(biāo)由方程組得C〔,〕，令t=300x+900y，即,欲求z=300x+900y的最大值，即轉(zhuǎn)化為求截距t[]900的最大值，從而可求t的最大值，因直線與直線平行，故作的平行線，當(dāng)過點(diǎn)A〔0，125〕時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線的截距最大，所以此時(shí)整點(diǎn)A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112500.師【例2】求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件3x+y≤300，x+2y≤250，x≥0,y≥0的整數(shù)值.師分析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域即可行域再解.解：可行域如下圖.四邊形AOBC，易求點(diǎn)A〔0，126〕，B〔100，0〕,由方程組得點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔,).因題設(shè)條件要求整點(diǎn)〔x,y)使z=600x+300y取最大值，將點(diǎn)〔69，91〕，〔70，90〕代入z=600x+300y，可知當(dāng)x=70,y=90時(shí)，z取最大值為zmax=600×70+300×900=69000.師【例3】x、y滿足不等式求z=3x+y的最小值.師分析：可先找出可行域，平行移動(dòng)直線l0:3x+y=0找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值.解：不等式x+2y≥2表示直線x+2y=2上及其右上方的點(diǎn)的集合；不等式2x+y≥1表示直線2x+y=1上及其右上方的點(diǎn)的集合.可行域如右圖所示.作直線l0:3x+y=0，作一組與直線l0平行的直線l:3x+y=t(t∈R).∵x、y是上面不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo).由圖可知：當(dāng)直線l:3x+y=t通過P〔0，1〕時(shí)，t取到最小值1，即zmin=1.師評(píng)述：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：〔1〕尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；〔2〕由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；〔3〕在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.師課堂練習(xí)：請(qǐng)同學(xué)們通過完成練習(xí)來掌握?qǐng)D解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.〔1〕求z=2x+y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件〔2〕求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件［教師精講］師〔1〕求z=2x+y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件解：不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，z=2x+y=0，點(diǎn)〔0，0〕在直線l0:2x+y=0上.作一組與直線l0平行的直線l:2x+y=t,t∈R.可知在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)A〔2，-1〕的直線所對(duì)應(yīng)的t最大.所以zmax=2×2-1=3.〔2〕求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件解：不等式組所表示的平面區(qū)域如右圖所示.從圖示可知直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過點(diǎn)〔-2，-1〕的直線所對(duì)應(yīng)的t最小，以經(jīng)過點(diǎn)〔,〕的直線所對(duì)應(yīng)的t最大.所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11,zmax=3×+5×=14.［知識(shí)拓展］某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t，需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中要求消耗A種礦石不超過360t、B種礦石不超過200t、煤不超過300t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少〔精確到0.1t〕，能使利潤(rùn)總額到達(dá)最大？師分析：將數(shù)據(jù)列成下表：消耗量產(chǎn)品資源甲產(chǎn)品〔1t〕乙產(chǎn)品(1t)資源限額〔t〕A種礦石〔t〕104300B種礦石(t)54200煤(t)利潤(rùn)〔元〕493606001000解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤(rùn)總額為z元，那么目標(biāo)函數(shù)為z=600x+1000y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.作直線l:600x+1000y=0,即直線:3x+5y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=600x+1000y取最大值.解方程組得M的坐標(biāo)為x=≈12.4,y=≈34.4.答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t，乙產(chǎn)品34.4t，能使利潤(rùn)總額到達(dá)最大.課堂小結(jié)用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的根本步驟：〔1〕首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域〔即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域〕.〔2〕設(shè)t=0，畫出直線l0.〔3〕觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解.〔4〕最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.以實(shí)際問題為背景的線性規(guī)劃問題其求解的格式與步驟：〔1〕尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；〔2〕由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；〔3〕在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.當(dāng)然也要注意問題的實(shí)際意義布置作業(yè)課本第105頁習(xí)題A組3、4.第3課時(shí)推進(jìn)新課師【例5】營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元.為了滿足營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B各多少克？師分析：將數(shù)據(jù)列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kgAB假設(shè)設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總本錢為z，如何列式？生由題設(shè)條件列出約束條件其目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y.二元一次不等式組①等價(jià)于師作出二元一次不等式組②所表示的平面區(qū)域，即可行域.請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞寮埳贤瓿?，再與課本上的對(duì)照.生考慮z=28x+21y,將它變形為,這是斜率為、隨z變化的一族平行直線.是直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最小值時(shí)，z的值最小.當(dāng)然直線與可行域相交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y取得最小值.由圖可見，當(dāng)直線z=28x+21y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距z[]28最小，即z最小.解方程組得點(diǎn)M(,)，因此，當(dāng),時(shí)，z=28x+21y取最小值，最小值為16.由此可知每天食用食物A約143克，食物B約571克，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低本錢為16元師【例6】在上一節(jié)課本的例題〔課本95頁例3〕中，假設(shè)根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，初中每人每年可收取學(xué)費(fèi)1600元，高中每人每年可收取學(xué)費(fèi)2700元.那么開設(shè)初中班和高中班各多少個(gè)，每年收取的學(xué)費(fèi)總額最多？學(xué)段班級(jí)學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元初中45226/班2/人高中40354/班2/人師由前面內(nèi)容知假設(shè)設(shè)開設(shè)初中班x個(gè)，高中班y個(gè)，收取的學(xué)費(fèi)總額為z萬元,此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如以下圖把變形為，得到斜率為-，在y軸上截距為，隨z變化的一組平行直線.由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大.解方程組得點(diǎn)M〔20,10〕，因此，當(dāng)x=20,y=10時(shí)，取最大值，最大值為252.由此可知開設(shè)20個(gè)初中班和10個(gè)高中班時(shí)，每年收取的學(xué)費(fèi)總額最多，為252萬元.師【例7】在上一節(jié)例4中〔課本96頁例4〕，假設(shè)生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為10000元，假設(shè)生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為5000元，那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？生假設(shè)設(shè)生產(chǎn)x車皮甲種肥料，y車皮乙種肥料，能夠產(chǎn)生的利潤(rùn)z萬元.目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y,可行域如以下圖：把變形為y=-2x+2z,得到斜率為-2，在y軸上截距為2z,隨z變化的一組平行直線.由圖可以看出，當(dāng)直線y=-2x+2z經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距2z最大，即z最大.解方程組得點(diǎn)M(2,2),因此當(dāng)x=2,y=2時(shí)，取最大值，最大值為3.由此可見，生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3萬元.［教師精講］師以實(shí)際問題為背景的線性規(guī)劃問題其求解的格式與步驟：〔1〕尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；〔2〕由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；〔3〕在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.當(dāng)然也要注意問題的實(shí)際意義.課堂小結(jié)用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的根本步驟：〔1〕首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域〔即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域〕；〔2〕設(shè)t=0，畫出直線l0；〔3〕觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解；〔4〕最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.以實(shí)際問題為背景的線性規(guī)劃問題其求解的格式與步驟：〔1〕尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；〔2〕由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；〔3〕在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.當(dāng)然也要注意問題的實(shí)際意義.布置作業(yè)課本第105頁習(xí)題B組1、2、3根本不等式：教學(xué)目標(biāo)1.利用根本不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，穩(wěn)固強(qiáng)化根本不等式；2.從不等式的證明過程去體會(huì)分析法與綜合法的證明思路；3.對(duì)不等式證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)而又標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá).教學(xué)重點(diǎn)1.利用根本不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，穩(wěn)固強(qiáng)化根本不等式；2.對(duì)不等式證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)而又標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)；3.從不等式的證明過程去體會(huì)分析法與綜合法的證明思路.教學(xué)難點(diǎn)1.利用根本不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，穩(wěn)固強(qiáng)化根本不等式；2.對(duì)不等式證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)而又標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)；3.從不等式的證明過程去體會(huì)分析法與綜合法的證明思路.根本不等式的證明教學(xué)過程推進(jìn)新課師設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，那么，四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？生顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和.師請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab.生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個(gè)完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.［合作探究］師請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，等號(hào)何時(shí)取到.生當(dāng)四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號(hào).〔學(xué)生的思維仍建立在感性思維根底之上，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥〕師從不等式a2+b2≥2ab的證明過程能否去說明.生當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時(shí)，取等號(hào).師這位同學(xué)答復(fù)得很好.請(qǐng)同學(xué)們看一下，剛剛兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致.〔大家齊聲〕一致.〔此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺思維與理性思維要合并使用.就此問題來講，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用〕一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.即(a＞0,b＞0).師請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的根本性質(zhì)來推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？〔此時(shí)，同學(xué)們信心十足，都說能.教師利用投影片展示推導(dǎo)過程的填空形式〕要證：，①只要證a+b≥2，②要證②，只要證：a+b-2≥0，③要證③，只要證：④顯然④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，④中的等號(hào)成立，這樣就又一次得到了根本不等式.〔此處以填空的形式,突出表達(dá)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的根底上去體會(huì)分析法的證明思路，加大了證明根本不等式的探究力度〕如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD′，連結(jié)AD、BD.你能利用這個(gè)圖形得出根本不等式的幾何解釋嗎？〔本節(jié)課開展到這里，學(xué)生從根本不等式的證明過程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法，對(duì)根本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個(gè)問題的知識(shí)與情感根底〕［合作探究］師同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？生可證△ACD∽△BCD,所以可得.生由射影定理也可得.師這兩位同學(xué)答復(fù)得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？生表示半弦長(zhǎng)，表示半徑長(zhǎng).師半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？生由半徑大于半弦可得.師這位同學(xué)答復(fù)得是否很嚴(yán)密？生當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào)，所以也可得出根本不等式(a＞0,b＞0).課堂小結(jié)師本節(jié)課我們研究了哪些問題？有什么收獲？生我們通過觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a2+b2≥2ab.生由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，以、分別代替a、b，得到了根本不等式(a＞0,b＞0).進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了根本不等式.生在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到根本不等式.〔此處，創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的時(shí)機(jī)，目的是培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高〕師大家剛剛總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出根本不等式.并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予根本不等式幾何直觀，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到根本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.在對(duì)不等式的證明過程中，體會(huì)到一些證明不等式常用的思路、方法.以后，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用.布置作業(yè)活動(dòng)與探究：a、b都是正數(shù)，試探索,,,的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.分析：〔方法一〕由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達(dá)式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明.〔方法二〕創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景.設(shè)AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長(zhǎng)度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.板書設(shè)計(jì)根本不等式的應(yīng)用〔一〕教學(xué)過程推進(jìn)新課x、y都是正數(shù)，求證：(1)；(2)〔x＋y〕〔x2＋y2〕〔x3＋y3〕≥８x3y3.師前面我們研究了可以用不等式和實(shí)數(shù)的根本性質(zhì)來證明不等式，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，第一小問是否可以用不等式和實(shí)數(shù)的根本性質(zhì)來證明此不等式呢？〔思考兩分鐘〕生不可以證明.師是否可以用根本不等式證明呢？生可以.〔讓學(xué)生板演，老師根據(jù)學(xué)生的完成情況作點(diǎn)評(píng)〕解：∵x、y都是正數(shù)，∴，.∴，即.師這位同學(xué)板演得很好.下面的同學(xué)都完成了嗎？〔齊聲：完成〕［合作探究］師請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)思考第二小問該如何證明？它是否能用一次根本不等式就能證明呢？〔引導(dǎo)同學(xué)們積極思考〕生可以用三次根本不等式再結(jié)合不等式的根本性質(zhì).師這位同學(xué)分析得非常好.他對(duì)要證不等式的特征觀察的很細(xì)致、到位.生∵x，y都是正數(shù)，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0,x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得〔x＋y〕〔x2＋y2〕〔x3＋y3〕≥2xy·2·2＝８x3y3，即〔x＋y〕〔x2＋y2〕〔x3＋y3〕≥８x3y3.師這位同學(xué)表達(dá)得非常好，思維即嚴(yán)謹(jǐn)又周到.〔在表達(dá)過程中，對(duì)條件x，y都是正數(shù)往往無視〕師在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，往往可以激發(fā)我們想到解題思路，再結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)進(jìn)行變形，進(jìn)而可以得證.(此時(shí)，老師用投影儀給出以下問題)問題3.求證：.〔此處留的時(shí)間可以長(zhǎng)一些，意在激發(fā)學(xué)生自主探究問題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生〕師利用完全平方公式，結(jié)合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰當(dāng)變形，是證明此題的關(guān)鍵.〔讓學(xué)生板演，老師根據(jù)學(xué)生的完成情況作點(diǎn)評(píng)〕解：∵a2＋b2≥2ab，∴2〔a2＋b2〕≥a2＋b2＋2ab＝〔a＋b〕2.∴2〔a2＋b2〕≥〔a＋b〕2.不等式兩邊同除以4，得≥，即.師下面同學(xué)都是用這種思路解答的嗎？生也可由結(jié)論到條件去證明，即用作差法.師這位同學(xué)答得非常好，思維很活潑，具體的過程讓同學(xué)們課后去完成.［課堂練習(xí)］a、b、c都是正數(shù)，求證：〔a＋b〕〔b＋c〕〔c＋a〕≥８abc.分析：對(duì)于此類題目，選擇定理：〔a＞0，b＞0〕靈活變形，可求得結(jié)果.∵a、b、c都是正數(shù)，∴a＋b≥2＞0,b＋c≥2＞0,c+a≥2＞0.∴〔a＋b〕〔b＋c〕〔c＋a〕≥2·2·2＝８abc,即〔a＋b〕〔b＋c〕〔c＋a〕≥８abc.［合作探究］2.〔a＋b〕〔x＋y〕＞2〔ay＋bx〕，求證：.〔老師先分析，再讓學(xué)生完成〕師此題結(jié)論中，注意互為倒數(shù)，它們的積為1，可利用公式a＋b≥2ab，但要注意條件a、b為正數(shù).故此題應(yīng)從條件出發(fā)，經(jīng)過變形，說明為正數(shù)開始證題.(在教師引導(dǎo)下，學(xué)生積極參與以下證題過程)生∵〔a＋b〕〔x＋y〕＞2〔ay＋bx〕,∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.∴ax－ay＋by－bx＞0.∴〔ax－bx〕－〔ay－by〕＞0.∴〔a－b〕〔x－y〕＞0,即a－b與x－y同號(hào).∴均為正數(shù).∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”).∴.師生共析我們?cè)谶\(yùn)用重要不等式a2＋b2≥2ab時(shí)，只要求a、b為實(shí)數(shù)就可以了.而運(yùn)用定理：“≥ab”時(shí)，必須使a、b滿足同為正數(shù).此題通過對(duì)條件變形(恰當(dāng)?shù)匾蚴椒纸?，從討論因式乘積的符號(hào)來判斷是正還是負(fù)，是我們今后解題中常用的方法.課堂小結(jié)師本節(jié)課我們研究了什么問題？同學(xué)們?cè)诒竟?jié)課的研究過程中有什么收獲呢？生我們以根本不等式為根底，證明了另外一些重要、常用的不等式，并且在證明過程中進(jìn)一步穩(wěn)固了證明不等式常用的思想方法.〔教師提出對(duì)重要、常用不等式的掌握要求〕師